新教材數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第1課時學(xué)案

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第1課時學(xué)習(xí)目標1.學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式.2.能夠簡單應(yīng)用定理求最值.自主預(yù)習(xí)1.給定兩個正數(shù)a,b,數(shù)稱為a,b的算術(shù)平均值,數(shù)稱為a,b的幾何平均值.

2.如果a,b都是正數(shù),那么a+b2≥ab,當且僅當時3.幾何意義:所有周長一定的矩形中,的面積最大.

課堂探究問題探究一(1)假設(shè)一個矩形的長和寬分別為a和b,求與這個矩形周長相等的正方形的邊長,以及與這個矩形面積相等的正方形的邊長,并比較這兩個邊長的大小;(2)如下表所示,再任意取幾組正數(shù),算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值,猜測一般情況下兩個數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對大小,并根據(jù)(1)說出結(jié)論的幾何意義.a12b14a13ab122問題探究二均值定理的幾何解釋:作線段AD=a,延長AD至點B,使DB=b(a,b>0)以AB為直徑作半圓O,過D點作CD⊥AB于D,交半圓于點C,連接AC,BC,OC.當點D在線段AB(端點除外)上運動時,試探討OC與CD的大小關(guān)系.典型例題:例1已知x>0,求y=x+1x的最小值,并說明當x為何值時y取得最小值變式訓(xùn)練1已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值,并說明此時x,y的值.要點歸納在利用均值不等式求最值時要注意三點:一是各項均為正;二是尋求定值,求和式最小值時應(yīng)使積為定值,求積式最大值時應(yīng)使和為定值;三是考慮等號成立的條件是否具備.例2已知ab>0,求證:ba+ab≥2,變式訓(xùn)練2已知ab>0,求證:b3a+3ab≥例3已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取得最大值時x的值.核心素養(yǎng)專練1.若0<a<b,則下列不等式一定成立的是()A.a>a+b2>ab>b B.b>abC.b>a+b2>ab>a D.b>a>2.已知a>0,b>0,則1a+1b+2ab的最小值是(A.2 B.22 C.4 D.53.設(shè)b>a>0,且a+b=1,則此四個數(shù)12,2ab,a2+b2,b中最大的是(A.b B.a2+b2C.2ab D.14.x∈[0,3],y=(1+x)(3-x)的最大值是,最小值是.

參考答案自主預(yù)習(xí)1.a+b2.a=b3.正方形課堂探究典型例題例1解:因為x>0,所以根據(jù)均值不等式有x+1x≥2x·1x=2,其中等號成立的條件是當且僅當x=1x,即x2=1,解得x=1或x=-1(舍去),因此x=1時變式訓(xùn)練1解:∵x>0,y>0,∴4x+6y≥224×又xy=24,∴4x+6y≥224×24=當且僅當4x=6y時,等號成立.即當x=6,y=4時,最小值為48.例2證明:因為ab>0,所以ba>0,ab>0ba+ab≥2ba即ba+ab≥當且僅當ba=ab時,即a2=b2等號成立.因為ab>0,變式訓(xùn)練2證明:因為ab>0,所以b3a>0,3abb3a+3ab≥2即b3a+3a當且僅當b3a=3ab時,即9a2=b2等號成立.因為ab>0例3解:當x∈(-1,3)時,1+x>0,3-x>0.(1+x)(3-x)≤1+x+3-x2=2.從而(1+x)(3-x)≤4,即y≤4.當且僅當1+x=3-x,即x=1時核心素養(yǎng)專練1.C2.C3.A4.40學(xué)習(xí)目標1.能夠掌握均值不等式的內(nèi)容以及證明過程.2.結(jié)合具體實例,能用均值不等式解決簡單的最大值或最小值問題.自主預(yù)習(xí)知識點一算術(shù)平均值與幾何平均值對任意兩個a,b,數(shù)叫做a,b的算術(shù)平均值,數(shù)叫做a,b的幾何平均值,兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值它的幾何平均值.

知識點二均值定理1.均值定理如果,那么a+b2

ab.當且僅當a=b時,等號成立,以上結(jié)論通常稱為定理均值定理可敘述為:兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值.2.均值不等式求最值的條件(1)x,y必須是.

(2)求積xy的最大值時,應(yīng)看和x+y是否為;求和x+y的最小值時,應(yīng)看積xy是否為.

(3)等號成立的條件是否滿足.3.用均值不等式求最值(1)設(shè)x,y為正實數(shù),若x+y=s(和s為定值),則當且僅當時,積xy有最值.

(2)設(shè)x,y為正實數(shù),若xy=p(積p為定值),則當且僅當時,和x+y有最值.

課堂探究探究均值不等式國際數(shù)學(xué)家大會是由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟(IMU)主辦,首屆大會于1897年在瑞士蘇黎世舉行,1900年巴黎大會之后每四年舉行一次,它已經(jīng)成為最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會議.第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車,代表中國人民熱情好客.問題1四邊形ABCD特殊嗎?問題2四邊形的面積與四個直角三角形之間有關(guān)系嗎?問題3每個直角三角形的兩直角邊分別用a,b表示,你能用ab來表示四邊形與直角三角形的面積嗎?問題4中間的小正方形可以消失嗎?問題5此時a2+b2與2ab的關(guān)系怎么樣?問題6a2+b2≥2ab的關(guān)系永遠成立嗎?你能用代數(shù)法證明嗎?問題7特別地,當a,b代替a,b時,上述表達式變?yōu)槭裁?均值定理如果a,b∈R+,那么,當且僅當a=b時,等號成立.

均值定理可以表述為:.

均值不等式的使用條件:嘗試分別用代數(shù)法和幾何法證明均值定理.代數(shù)法:幾何法:例1已知x,y∈R+,求證:yx+xy≥2,變式訓(xùn)練1已知a,b∈R+,求證:a+1a例2(1)已知矩形的面積為100,則這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的周長最短?最短周長是多少?(2)已知矩形的周長為36,則這個矩形的長、寬各為多少時,它的面積最大?最大面積是多少?變式訓(xùn)練2已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取最大值時x的值.核心素養(yǎng)專練1.已知a,b,c為不全相等的正數(shù),求證:a+b+c>ab+bc+ac.2.求函數(shù)y=2-4x-x(x>0)的最大值及相應(yīng)的課后作業(yè)課本第76頁練習(xí)A.參考答案自主預(yù)習(xí)知識點一正實數(shù),a+b2,知識點二1.a,b∈R+,≥,均值2.(1)正實數(shù)(2)定值,定值3.(1)x=y最大值(2)x=y最小值課堂探究a+b2≥ab例1證明:∵x,y∈R+,∴xy>0,yx>∴yx+xy≥2yx·xy=2,即當且僅當x=y時等號成立.變式訓(xùn)練1證明:∵a,b∈R+,∴1a,1b∈R∴a+1a≥2a·1a=2,b+1b≥∴a+1a當且僅當a=1a,b=1b,即a=b=1例2解:(1)設(shè)矩形的長為x,則寬為100x,則矩形的周長l=2x+100x≥2×2x·100x=40,當且僅當x=100x,即x=10時等號成立,因此,當矩形的長和寬都是(2)設(shè)矩形的長為x,則寬為36-2x2=18-x,則矩形的面積S=x(18-x)≤x+18-x22=81,當且僅當x=18-x,即x=9時等號成立,因此,變式訓(xùn)練2解:因為x∈(-1,3),所以1+x>0,3-x>0.所以y=(1+x)(3-x)≤(1+x)當且僅當1+x=3-x,即x=1時等號成立.因此y的最大值是4,此時x