浙江專用2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷專題06圓錐曲線的方程難點(diǎn)新人教A版

專題06圓錐曲線的方程（難點(diǎn)）一、單選題1．已知直線與雙曲線無公共交點(diǎn)，則雙曲線C離心率e的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系即可求得結(jié)果.【解析】由題意得，的斜率為，而的漸近線為，由于直線與雙曲線沒有公共交點(diǎn)，如圖，所以，即，故，即，所以，故，即.故選：C.2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.先證明是等邊三角形，再求出，求出的值即得解.【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.由題得,所以.因?yàn)?，所以是等邊三角?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以.所以.所以所以拋物線的方程是.故選：C3．已知雙曲線：斜率為的直線與的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線交于另一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，如圖1.若直線的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，線段AB的中點(diǎn)，代入雙曲線的方程中可得，兩式相減得，可得①，設(shè)，線段CD的中點(diǎn)，同理得②，由，得三點(diǎn)共線，從而求得，由此可求得雙曲線的離心率.【解析】設(shè)，線段AB的中點(diǎn)，則，兩式相減得，所以①，設(shè)，線段CD的中點(diǎn)，同理得②，因?yàn)?，所以，則三點(diǎn)共線，所以，將①②代入得：，即，所以，即，所以，故選：D.4．已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，A是該橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點(diǎn)M，N．記，設(shè)該橢圓的離心率為e，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】A【分析】設(shè)在軸上方，在軸下方，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求的坐標(biāo)，同理可求的坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線可得，利用離心率的范圍可得，從而可推斷為銳角.【解析】不失一般性，設(shè)在軸上方，在軸下方，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，則，，，且.又.又直線的方程為，由可得，故，所以，故，同理，故，因?yàn)楣簿€，故，整理得到即，若，，因?yàn)?，，故，所以，?故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與橢圓有關(guān)的角的計(jì)算，一般利用其正切來刻畫，因?yàn)榻堑恼信c直線的斜率相關(guān)，留意運(yùn)算結(jié)果的精確性.5．是拋物線C：上肯定點(diǎn)，A，B是C上異于P的兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率，滿意為常數(shù)，，且直線AB的斜率存在，則直線AB過定點(diǎn)（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，結(jié)合題意可得①，設(shè)直線AB：并聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理及①求參數(shù)b關(guān)于的關(guān)系式，并將直線化為，利用其過定點(diǎn)求x、y，即可確定坐標(biāo).【解析】設(shè)，則，相減得，，同理得：，

為常數(shù)，，，整理有，①設(shè)直線AB：，代入拋物線方程得：，，則，代入①，得：，有，代入AB的直線方程，得：，，，直線過定點(diǎn)，則，解得：，即，直線AB所過定點(diǎn)

.故選：C.6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，在橢圓上，其中，，若，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】確定四邊形為矩形，設(shè)，，依據(jù)橢圓定義和勾股定理得到，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到范圍.【解析】，故，故四邊形為矩形.設(shè)，，，設(shè)，，，故，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，故，故.故選：D.7．已知是拋物線：的焦點(diǎn)，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿意，記線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，進(jìn)而得，再結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而依據(jù)基本不等式求解得.【解析】解：設(shè)，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以依據(jù)梯形中位線定理得點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)椋栽谥?，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，余弦定理，基本不等式，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于依據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.8．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，角的平分線與P點(diǎn)的軌跡相交于I點(diǎn)．存在非零實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)A的直線與C點(diǎn)的軌跡相交于MN兩點(diǎn)．若的面積為，則原點(diǎn)O到直線MN的距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由條件可知點(diǎn)C的軌跡為橢圓，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證直線MN不垂直與x軸，設(shè)，直線MN的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，依據(jù)的面積為求出t，繼而可求出結(jié)果．【解析】設(shè)點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，由，知G為的重心，則G的坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)P在角的平分線上，又角的平分線與P點(diǎn)的軌跡相交于I點(diǎn)，因此點(diǎn)I為的內(nèi)心，如圖，設(shè)角平分線交于，則，故，由為角平分線可得，而，故，故即,因此，點(diǎn)C的軌跡是橢圓，點(diǎn)C的軌跡方程為．若直線MN垂直于x軸，則，此時(shí)，不符合題意；所以直線MN不垂直于x軸，設(shè)直線MN的方程為：，，由，得：，可知：，所以，所以，解得，所以直線MN的方程為：，則原點(diǎn)O到直線MN的距離為：．故選：C．二、多選題9．如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則（

）A．直線與拋物線必相切 B．C． D．【答案】BD【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及過點(diǎn)的直線方程；選項(xiàng)A，聯(lián)列方程，整理成的一元二次方程，用判別式判定是否恒為零即可；選項(xiàng)B，由知，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，計(jì)算得，，兩式不恒等，故C不正確；選項(xiàng)D，先計(jì)算，從而得，由等面積法知選項(xiàng)D正確.【解析】由已知，，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，設(shè)點(diǎn)，，則，，由得，所以，選項(xiàng)A：直線的方程為，聯(lián)立方程組得：，所以，不恒為零，故選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B：由題得，而所以，所以，所以，故B正確；選項(xiàng)C：，所以；，所以，，，，所以所以選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D：，，，在中，，故D正確.故選：BD.10．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)Q在圓E：上，且圓E上的全部點(diǎn)均在橢圓C外，若的最小值為，且橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓E的直徑長(zhǎng)相等，則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的焦距為1 B．橢圓C的短軸長(zhǎng)為C．的最小值為 D．過點(diǎn)F的圓E的切線斜率為【答案】BD【分析】求出的值，利用橢圓的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可求得的值，進(jìn)一步求出的值，可推斷選項(xiàng)AB；利用橢圓的定義結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可推斷C選項(xiàng)；設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出切線的方程，可推斷D選項(xiàng).【解析】對(duì)于A，因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與圓的直徑長(zhǎng)相等，所以，即，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，所以，所以，解得或，因?yàn)?，所以，即橢圓的焦距為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，則直線方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意；設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，即，則，解得，故D正確.故選：BD.11．已知雙曲線E：的左?右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作直線與雙曲線E的右支相交于P，Q兩點(diǎn)，在點(diǎn)P處作雙曲線E的切線，與E的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．若，則B．若，則雙曲線的離心率C．周長(zhǎng)的最小值為8D．△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由雙曲線的定義知，，結(jié)合，即可判定A.對(duì)于B，在中，由正弦定理得出，結(jié)合雙曲線的定義求出，因?yàn)椋纯膳卸˙.對(duì)于C，由分析知，當(dāng)直線PQ垂直x軸時(shí)，周長(zhǎng)的最小值，代入即可判定C.對(duì)于D，設(shè)，過點(diǎn)P的雙曲線E的切線方程為，與兩條漸近線聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，又因?yàn)?，故點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，所以，代入計(jì)算，即可判定D.【解析】由題意知，，則，所以有，從而，，故A正確.在中，由正弦定理得，則在，解得.又，所以，整理得，所以，解得，故B錯(cuò)誤.當(dāng)直線PQ垂直x軸時(shí)，的最小值為，，故C正確.設(shè)，過點(diǎn)P的雙曲線E的切線方程為，E的漸近線方程為，不妨設(shè)切線與漸近線的交點(diǎn)為A，聯(lián)立方程組，解得，即，同理可得.又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線E上，則有，，故點(diǎn)P是AB的中點(diǎn).設(shè)切線與x軸的交點(diǎn)為G，易知，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為e，點(diǎn)A、B、P在橢圓E上，且滿意(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則下列說法正確的是(

)A．若是等腰直角三角形，則B．的取值范圍是C．直線過定點(diǎn)(定點(diǎn)坐標(biāo)與a，b有關(guān))D．為定值(定值與a，b有關(guān))【答案】BD【分析】A：分為斜邊和直角邊時(shí)計(jì)算橢圓離心率即可推斷；B：依據(jù)即可推斷；C：當(dāng)直線AB為x=-t或x=t時(shí)明顯滿意，由此即可推斷；D：，設(shè)，，依據(jù)A、B在橢圓上滿意橢圓方程可得和，由此可求為定值．【解析】對(duì)于A，若是等腰直角三角形，則當(dāng)為斜邊時(shí)，離心率；當(dāng)為直角邊時(shí)，，離心率，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，，故B正確；對(duì)于C，易知存在兩條平行直線：和使得，故直線不經(jīng)過定點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；∵，故，則，∵，不妨設(shè)，則，，則，因?yàn)锳在橢圓上，則，則，同理可得：，則為定值，則也為定值，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題綜合考察橢圓的相關(guān)性質(zhì).B選項(xiàng)利用O是的中點(diǎn)，將向量數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，削減變量從而求得結(jié)果；C選項(xiàng)則只需依據(jù)橢圓對(duì)稱性舉出反例即可；D選項(xiàng)可采納設(shè)，的方法進(jìn)行求解．三、填空題13．已知橢圓的離心率e的取值范圍為，直線交橢圓于點(diǎn)M，N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是______．【答案】【分析】設(shè)，，聯(lián)立和韋達(dá)定理求出，再依據(jù)，求出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.【解析】聯(lián)立，化簡(jiǎn)得設(shè)，，則，由，則即，化簡(jiǎn)得，，，，即，解得：，所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要留意：（1）留意視察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算實(shí)力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．14．過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若上存在相異的兩點(diǎn)使得，則外接圓半徑的最小值為___________.【答案】【分析】依據(jù)題意可知在同一個(gè)阿氏圓上，可設(shè)設(shè)為線段AB的外分點(diǎn)，由此可依據(jù)外接圓的直徑為,列出等量關(guān)系，并表示出外接圓半徑，設(shè)直線AB的參數(shù)方程，聯(lián)立橢圓的方程，依據(jù)參數(shù)的幾何意義，進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得答案.【解析】由題意知點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故，則可設(shè)，不妨設(shè)，故可知在同一個(gè)阿氏圓上，設(shè)其半徑為，不妨設(shè)A,B位置如圖：則由阿氏圓的定義可知，為線段AB的分比為的內(nèi)分點(diǎn)，設(shè)為分比為的外分點(diǎn)，則,則,故,即,故；設(shè)直線AB的方程為（t為參數(shù)，為傾斜角，），代入到中得到：，，設(shè)其兩根為，則，故，由于，其中為銳角，故，當(dāng)時(shí)，取到最大值，故的最小值為，當(dāng)時(shí)，同理可解得的最小值為，故答案為：15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為A，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是________（1）雙曲線的離心率

（2）當(dāng)點(diǎn)異于頂點(diǎn)時(shí)，△的內(nèi)切圓的圓心總在直線上

（3）為定值

（4）的最小值為【答案】（1）（3）（4）【分析】先依據(jù)題給條件求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.求得雙曲線的離心率推斷（1）；求得△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)推斷（2）；對(duì)化簡(jiǎn)整理，并求值推斷（3）；求得的最小值推斷（4）.【解析】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的漸近線為，由圓與雙曲線的漸近線相切，可得，解之得或（舍），則雙曲線，，，（1）雙曲線的離心率.推斷正確；（2）為雙曲線右支上（異于右頂點(diǎn)）一點(diǎn)，設(shè)△的內(nèi)切圓與x軸相切于M點(diǎn)，則，解之得，則切點(diǎn)則△的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，則圓心總在直線上.推斷錯(cuò)誤；（3）設(shè)雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則又雙曲線的漸近線為則，即為定值.推斷正確；（4）設(shè)雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則由，可得由，可得不妨令，則由為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，可得，則則，即的最小值為.推斷正確.故答案為：（1）（3）（4）16．已知曲線：，拋物線：，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，與兩條曲線都相切的直線叫做這兩條曲線的公切線，則以下說法正確的有___________①直線l：是曲線和的公切線：②曲線和的公切線有且僅有一條；③最小值為；④當(dāng)軸時(shí)，最小值為.【答案】①③④【分析】對(duì)于①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；對(duì)于②，分別設(shè)兩條曲線上的切線方程，然后依據(jù)公切線的定義建立方程，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，探討函數(shù)的零點(diǎn)即可；對(duì)于③，利用拋物線的焦半徑公式轉(zhuǎn)化求的最小值，進(jìn)而建立函數(shù)，然后再探討函數(shù)的單調(diào)性即可；對(duì)于④，先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)軸，進(jìn)而建立目標(biāo)函數(shù)，然后探討該函數(shù)單調(diào)性即可.【解析】解：選項(xiàng)①，對(duì)于曲線，，當(dāng)時(shí)，，，故直線與曲線相切與點(diǎn)；聯(lián)立，可得，故此時(shí)直線與切于點(diǎn)，故直線l：是曲線和的公切線，故①正確；對(duì)于②，設(shè)公切線分別與切于點(diǎn)，則曲線的切線為：，曲線的切線為，依據(jù)與表示同一條直線，則有，解得，令，則有，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有，依據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，即存在一條公切線故曲線和的公切線有且僅有2條，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如圖所示，可得，依據(jù)拋物線的焦半徑公式可得，故有：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則有：，令，可得，再次求導(dǎo)可得：，故在上單調(diào)遞增，又，可得：當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；故，則，故，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)軸時(shí)，設(shè)，則，則有：，記，則有，令，解得：，故當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故有，故，故選項(xiàng)④正確.故答案為：①③④.四、解答題17．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O．(1)求E的方程；(2)連接AF，BF，分別延長(zhǎng)交E于C，D兩點(diǎn)，問是否為定值，若是求出該定值；若不是說明理由．【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，得出，，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過原點(diǎn)O，所以O(shè)A⊥OB，所以，即可求出的值，進(jìn)而求出E的方程；（2）再次聯(lián)立方程組，表示出和，由（1）知，代入可求得為定值.(1)由題知，直線l的斜率不為0，可設(shè)其方程為，，，聯(lián)立，得，所以，，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過原點(diǎn)O，所以O(shè)A⊥OB，即，所以，即，將代入，解得．所以E的方程為；(2)設(shè)，，直線AF的方程為，聯(lián)立，得，所以，即，同理，即，，同理，由（1）知，所以．18．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，離心率為2，直線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，證明：在軸的負(fù)半軸上存在定點(diǎn)，使得．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由雙曲線的對(duì)稱性可取漸近線，則可求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合與離心率為2，即可列出方程組，即可求出答案；（2）設(shè)，探討當(dāng)時(shí)求出點(diǎn)；當(dāng)，設(shè)出點(diǎn)，由可知，化簡(jiǎn)利用恒成立，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).（1）依據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線與漸近線的交點(diǎn)為，由，得，因?yàn)椋?，即，又離心率為2，所以，故．所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知雙曲線的右焦點(diǎn)為．設(shè)，則．①當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋?，所以，所以，符合題意．②當(dāng)時(shí)，設(shè)．，，因?yàn)?，所以（結(jié)合正切倍角公式）．（i）當(dāng)時(shí)，上式化簡(jiǎn)為，又，所以，對(duì)隨意恒成立.所以，解得，即．（ii）當(dāng)，時(shí)，即也能滿意．綜上，在軸的負(fù)半軸上存在定點(diǎn)，使得．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線中滿意某條件的定點(diǎn)問題，屬于難題，解本題的關(guān)鍵在于將角度的關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率的關(guān)系，從而列出方程，由恒成立求出答案.19．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2．(1)求p與m的值；(2)過點(diǎn)作直線交y軸于點(diǎn)A，交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B，交C于G，H兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線上，且，求的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依據(jù)焦半徑公式求解即可；（2）設(shè)過的直線方程為，，聯(lián)立拋物線方程得出韋達(dá)定理，再依據(jù)可得，設(shè)的方程分別為，則是的兩根，再表達(dá)出的表達(dá)式，利用基本不等式求解即可（1）由焦半徑公式有，解得，故拋物線，故，（2）明顯斜率不為0，故設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立拋物線方程有，即，設(shè)，則..設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，代入韋達(dá)定理有，化簡(jiǎn)得.設(shè)的方程分別為，則是的兩根，故，.又與軸的交點(diǎn)分別為和，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故的最大值為20．已知橢圓：與直線（不平行于坐標(biāo)軸）相切于點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn).(1)證明：直線與橢圓相切；(2)①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的軌跡方程：②若，，不共線，求三角形面積的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)①；②【分析】（1）通過聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合判別式證得結(jié)論成立.（2）①依據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得的軌跡方程.②求得三角形面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得面積的最大值.(1)在橢圓上，所以，由得，，，，，整理得，有唯一解，所以直線與橢圓相切.(2)①，依題意可知直線與坐標(biāo)軸不平行，所以，直線的斜率為，所以直線的斜率為，直線的方程為，令，解得；令解得，所以，，所以點(diǎn)的軌跡方程為.②，由①知，，且，，直線的方程為，即，到直線的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.【點(diǎn)睛】求解圓錐曲線中三角形面積的最值問題的求解思路是：首先求得三角形面積的表達(dá)式，然后結(jié)合表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，考慮基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角換元、導(dǎo)數(shù)等學(xué)問來求得面積的最值.21．已知橢圓C：的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓C過點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)A，B是橢圓C上異于點(diǎn)P的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線PA與PB的斜率均存在，分別記為，且，①求證：直線AB恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離最大時(shí)，求直線AB的方程.【答案】(1)；(2)①證明見解析，定點(diǎn)；②.【分析】（1）由給定的雙曲線求出a，再由橢圓過的點(diǎn)求解作答.（2）①直線斜率存在時(shí)，設(shè)出其方程并與C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知計(jì)算推斷，再驗(yàn)證斜率不存在的狀況作答；②由①中動(dòng)直線，確定點(diǎn)O到直線AB的最大距離即可求解作答.（1）雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，則，即橢圓C：過點(diǎn)，有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，由消去y并整理得：，，有，則，，，，，即，整理得，滿意，直線AB的方程：，即，直線AB過定點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，，，解得，直線：過點(diǎn)，所以直線恒過定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為.②由①知，直線過點(diǎn)，明顯在橢圓內(nèi)，并且為定值，因此當(dāng)且僅當(dāng)直線時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離最大，此時(shí)直線AB的斜率，方程為，所以直線AB的方程為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與圓錐曲線相交的直線過定點(diǎn)問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.22．已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)（2，3），兩條漸近線的夾角為60°，直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程．(2)若l過原點(diǎn)，P為雙曲線上異于A、B的一點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率、均存在．求證：為定值．(3)若l過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在x軸上的點(diǎn)M（m，0），使得直線l繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在；【分析】（1）依據(jù)題意得到，解方程組即可求出結(jié)果；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合依據(jù)兩點(diǎn)求斜率，化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果；（3）設(shè)出直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到，從而可得，即可得到結(jié)果，留意檢驗(yàn)斜率不存在的狀況即可.（1）由題意得，解得所以雙曲線C的方程為．（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則由對(duì)稱性知點(diǎn)B的坐標(biāo)為．設(shè)P（x，y），則，由得，所以．（3）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，所以，得且，所以．假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得，則對(duì)隨意的恒成立，所以，解得．所以當(dāng)時(shí)，．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由A（2，3），B（2，－3）及M（－1，0）知結(jié)論也成立．綜上，存在M（－1，0），使得．【點(diǎn)睛】（1）解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽視直線斜率為0或不存在等特別情形．23．已知點(diǎn)A、F分別為雙曲線C：的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且點(diǎn)A、F到直線的距離相等．(1)求雙曲線C的離心率；(2)設(shè)M為雙曲線C上的點(diǎn)，且點(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線的距離乘積為．①求雙曲線C的方程；②設(shè)過點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與雙曲線C相交于點(diǎn)P、Q，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)B，求值．【答案】(1)2(2)①；②1【分析】（1）依據(jù)已知條件列出等式，化簡(jiǎn)可以得到雙曲線C的離心率；（2）①由（1）可得，設(shè)，代入雙曲線方程，由依據(jù)點(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線的距離乘積為列出等式，結(jié)合可求出a的值，從而求得雙曲線C的方程；②由①得，設(shè)直線l的方程為，，，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，表示PQ中點(diǎn)坐標(biāo)，得到線段PQ的垂直平分線的方程，用m表示與，從而得到的值．（1）點(diǎn)A、F到直線的距離相等，得，即，所以c＝2a，所以，即雙曲線C的離心率為2．（2）①由（1）c＝2a，所以，所以雙曲線C：，漸近線方程為．設(shè)，則，即．因?yàn)辄c(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線的距離乘積為，所以，即，所以，解得a＝1．所以雙曲線C的方程為．②由①得F（2，0），設(shè)直線l的方程為x＝my＋2，，，，則由得．所以．設(shè)線段PQ中點(diǎn)E為，則，，所以線段PQ的垂直平分線的方程為．令y＝0，則，即．所以．由，得，所以，所以，即的值為