2025版新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.2函數(shù)的表示法第2課時(shí)分段函數(shù)導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)分段函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)通過實(shí)例了解簡(jiǎn)潔的分段函數(shù)．(2)駕馭分段函數(shù)的應(yīng)用．題型1分段函數(shù)求值【問題探究】為了愛護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，我市對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)算方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過12m3的部分3元/m3超過12m3的部分但不超過18m3的部分6元/m3超過18m3的部分9元/m3假如你家本月用了15m3水，請(qǐng)你算一算你家本月交了多少水費(fèi)？例1已知函數(shù)f(x)＝1+(1)求f(f(－2))的值；(2)若f(a)＝32，求a一題多變將本例中函數(shù)f(x)的解析式改為已知f(x)＝3x2-題后師說(shuō)(1)分段函數(shù)求值的步驟留意：若題目是含有多層“f”的問題，要依據(jù)“由里到外”的依次，層層處理．(2)已知函數(shù)值求字母取值的步驟跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝x2-xA．6B．3C．2D．－1(2)已知函數(shù)f(x)＝x2+1，x≤0-題型2分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的較小者)．(1)分別用圖象和解析式表示φ(x)；(2)求函數(shù)φ(x)的定義域，值域．學(xué)霸筆記：分段函數(shù)圖象的畫法(1)對(duì)含有肯定值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)依據(jù)肯定值的意義去掉肯定值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象．(2)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特殊留意連接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏．跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)＝x＋xx(2)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[0，4]上是拋物線的一段，求f(x)的解析式．題型3分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例3“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)．探討表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在肯定的條件下，把每尾魚的平均生長(zhǎng)速度v(單位：千克/年)表示為養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)．當(dāng)0<x≤4時(shí)，v的值為2；當(dāng)4<x≤20時(shí)，v是關(guān)于x的一次函數(shù)．當(dāng)x＝20時(shí)，因缺氧等緣由，v的值為0.(1)當(dāng)0<x≤20時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為多大時(shí)，魚的年生長(zhǎng)量(單位：千克/立方米)f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大？并求出最大值．學(xué)霸筆記：分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(1)當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算表達(dá)方式時(shí)，往往須要用分段函數(shù)模型來(lái)表示兩變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖象也須要分段畫．(2)分段函數(shù)模型應(yīng)用的關(guān)鍵是確定分段的各分界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間，對(duì)每一個(gè)區(qū)間進(jìn)行分類探討，從而寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式．跟蹤訓(xùn)練3某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定：①5公里以內(nèi)(含5公里)，票價(jià)2元；②5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元(不足5公里的按5公里計(jì)算)．假如某條線路的總里程為20公里，(1)請(qǐng)依據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出該函數(shù)的圖象．隨堂練習(xí)1.函數(shù)y＝|x－1|＋1可表示為()A．y＝2-x，xC．y＝x，x<122．函數(shù)f(x)＝xx3．函數(shù)f(x)＝x-2，x<2A．1B．3C．－1D．－34．已知函數(shù)f(x)＝-x+4，x<0x2，課堂小結(jié)1.會(huì)用解析法和圖象法表示分段函數(shù)．2．解決分段函數(shù)的求值問題．3．能用分段函數(shù)解決生活中的問題．第2課時(shí)分段函數(shù)問題探究提示：3×12＋3×6＝54(元)．例1解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f(f(－2))＝f(－1)＝2.(2)當(dāng)a>1時(shí)，f(a)＝1＋1a＝32，∴當(dāng)－1≤a≤1時(shí)，f(a)＝a2＋1＝32，∴a＝±2當(dāng)a<－1時(shí)，f(a)＝2a＋3＝32，∴a＝－3綜上，a＝2或a＝±22一題多變解析：由題知，f(10)＝f(10－3)＝f(7)，f(7)＝f(7－3)＝f(4)，f(4)＝f(4－3)＝f(1)，f(1)＝f(1－3)＝f(－2)，f(－2)＝3×(－2)2－5＝7，∴f(10)＝7.跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)由題意，在f(x)＝x2f(－2)＝|－2|＋1＝3.故選B.(2)當(dāng)a≤0時(shí)，由f(a)＝a2＋1＝10可得a＝－3；當(dāng)a>0時(shí)，由f(a)＝－2a<0，此時(shí)f(a)＝10無(wú)解．綜上所述，a＝－3.答案：(1)B(2)－3例2解析：(1)在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象如圖①.由圖①中函數(shù)取值的狀況，結(jié)合函數(shù)φ(x)的定義，可得函數(shù)φ(x)的圖象如圖②.令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.結(jié)合圖②，得出φ(x)的解析式為φ(x)＝-(2)由圖②知，φ(x)的定義域?yàn)镽，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域?yàn)?－∞，1].跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)依題意，原函數(shù)化為：f(x)＝x+1，x>0x-1，明顯當(dāng)x>0時(shí)，圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0，1)的直線y＝x＋1在y軸右側(cè)部分，當(dāng)x<0時(shí)，圖象是是經(jīng)過點(diǎn)(0，－1)的直線y＝x－1在y軸左側(cè)部分，依據(jù)一次函數(shù)圖象知，符合條件的只有選項(xiàng)B.故選B.(2)由圖可知，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝3，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，設(shè)f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，把點(diǎn)(1，0)代入得a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－1，當(dāng)x>4時(shí)，設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，把(4，3)，(5，0)代入得，4k+b=35k+b=0，解得k=所以f(x)＝－3x＋15，所以f(x)＝3，答案：(1)B(2)見解析例3解析：(1)依題意，當(dāng)0<x≤4時(shí)，v(x)＝2；當(dāng)4<x≤20時(shí)，v(x)是關(guān)于x的一次函數(shù)，假設(shè)v(x)＝ax＋b(a≠0)，則4a+b=220a+b=0，解得a=所以v(x)＝2，(2)當(dāng)0<x≤4時(shí)，v(x)＝2?0<f(x)＝x·v(x)＝2x≤8；當(dāng)4<x≤20時(shí)，v(x)＝－0.125x＋2.5?f(x)＝－0.125x2＋2.5x，當(dāng)x＝－2.52×-0.125＝10時(shí)，f(因?yàn)?2.5>8，所以當(dāng)x＝10時(shí)，魚的年生長(zhǎng)量f(x)可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克/立方米．跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)依題意，令x為里程數(shù)(單位：公里)，f(x)為行駛x公里的票價(jià)(單位：元)，當(dāng)0<x≤5時(shí)，f(x)＝2，當(dāng)5<x≤10時(shí)，f(x)＝3，當(dāng)10<x≤15時(shí)，f(x)＝4，當(dāng)15<x≤20時(shí)，f(x)＝5，所以票價(jià)與里程之間的函數(shù)關(guān)系式為f(x)＝2，(2)由(1)得函數(shù)f(x)的圖象，如圖：[隨堂練習(xí)]1．解析：當(dāng)x<1時(shí)，y＝1－x＋1＝2－x