2025版新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.4.1正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊

5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象【學(xué)習(xí)目標】(1)了解利用單位圓作正弦函數(shù)圖象的方法．(2)會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象．(3)會用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象解決簡潔問題．題型1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的初步相識【問題探究1】(1)在[0，2π]上任取一個值x0，如何利用正弦函數(shù)的定義，確定正弦函數(shù)值sinx0并畫出點T(x0，sinx0)，進而畫出函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象？(2)依據(jù)函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象，你能想象函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象嗎？(3)你認為應(yīng)當(dāng)利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的哪些關(guān)系，通過怎樣的圖形變換，才能將正弦函數(shù)的圖象變換為余弦函數(shù)的圖象？例1(多選)下列關(guān)于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象描述正確的是()A．都可由[0，2π]內(nèi)的圖象向上、向下無限延展得到B．都是對稱圖形C．都與x軸有多數(shù)個交點D．y＝sin(－x)的圖象與y＝sinx的圖象關(guān)于x軸對稱學(xué)霸筆記：對于正弦、余弦函數(shù)的圖象問題，要畫出正確的正弦曲線、余弦曲線，駕馭兩者的形態(tài)相同，只是在坐標系中的位置不同，可以通過相互平移得到．跟蹤訓(xùn)練1給出下列命題：①y＝sinx，x∈R的圖象關(guān)于點P(π，0)成中心對稱；②y＝cosx，x∈R的圖象關(guān)于直線x＝π成軸對稱；③y＝sinx，y＝cosx的圖象不超過兩直線y＝1和y＝－1所夾的范圍．其中正確的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3題型2利用“五點法”作三角函數(shù)的圖象【問題探究2】在確定正弦函數(shù)的圖象形態(tài)時，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點？例2用“五點法”作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝－sinx－1，x∈[0，2π]；(2)y＝－2cosx＋3，x∈[0，2π].題后師說用五點法作函數(shù)y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0，2π]的圖象的一般步驟跟蹤訓(xùn)練2用“五點法”在同一坐標系下畫出下列函數(shù)在[－π，π]上的圖象：(1)y＝－sinx；(2)y＝2－cosx.題型3正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用例3函數(shù)y＝2sin一題多變將本例中的“sinx”改為“cosx”，再求解．題后師說利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象解三角不等式的步驟跟蹤訓(xùn)練3(1)在[0，2π]內(nèi)不等式sinx<－32A．(0，π)B．(π3C．(4π3，(2)函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝－12隨堂練習(xí)1.已知點(5π6，m)在余弦曲線上，則A．32B．－32C．12．用五點法作函數(shù)y＝2sinx－1的圖象時，首先應(yīng)描出的五點的橫坐標可以是()A．0，π2，π，3π2C．0，π，2π，3π，4πD．0，π3．依據(jù)函數(shù)y＝sinx的圖象，可得方程sinx＝0的解為()A．x＝2kπ(k∈Z)B．x＝kπ(k∈Z)C．x＝π2＋kπ(k∈Z)D．x＝3π2＋2kπ(k4．函數(shù)y＝-cos課堂小結(jié)1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的作法及初步相識．2．“五點法”作函數(shù)的圖象．3．利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象解不等式(方程)．5．4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象問題探究1提示：(1)如圖，在[0，2π]上任取一個值x0，依據(jù)正弦函數(shù)的定義可知y0＝sinx0，此時弧AB的長度為x0，結(jié)合之前每一個角的弧度數(shù)與實數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，可得點T(x0，sinx0)．如圖，借助單位圓，在x軸上把[0，2π]12等分，它們所對應(yīng)的角的終邊與單位圓的交點將圓周12等分，就可畫出自變量取這些值時對應(yīng)的函數(shù)圖象上的點，當(dāng)然把圓周等分的份數(shù)越多，將這些點用光滑的曲線連接起來，可得到比較精確的正弦函數(shù)圖象(通過信息技術(shù)展示)．(2)把y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象沿著x軸向左和向右連續(xù)的平行移動，每次移動的距離為2π，就得到函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象．(3)sin(x＋π2)＝cosx函數(shù)y＝sinx(x∈R)的圖象向左平移π2個單位長度得到y(tǒng)＝cosx(x∈例1解析：A.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象是將[0，2π]內(nèi)的圖象向左、向右無限“重復(fù)”得到，是“重復(fù)”不是延展，因為延展可能是拉伸，不符合，故A選項錯誤；B.正弦函數(shù)關(guān)于原點對稱，余弦函數(shù)關(guān)于y軸對稱，故都是對稱圖形，故B選項正確；C.由函數(shù)圖象可知，圖象與x軸有多數(shù)個交點，故C選項正確；D.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，故y＝sin(－x)＝－sinx，故其圖象與y＝sinx關(guān)于x軸對稱，故D選項正確．答案：BCD跟蹤訓(xùn)練1解析：由于正弦曲線的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z，可得y＝sinx，x∈R的圖象關(guān)于點P(π，0)成中心對稱，即①正確；由于余弦曲線的對稱軸為x＝kπ，k∈Z，可得y＝cosx，x∈R的圖象關(guān)于直線x＝π成軸對稱，即②正確；由于－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，可得y＝sinx，y＝cosx的圖象不超過兩直線y＝1和y＝－1所夾的范圍，即③正確．故正確的個數(shù)為3個．故選D.答案：D問題探究2提示：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3例2解析：(1)①列表：x0ππ32πy－1－2－10－1②描點并用光滑曲線連接可得其圖象如圖所示．(2)由條件列表如下：x0ππ32π－2cosx－2020－2－2cosx＋313531描點、連線得出函數(shù)y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的圖象如圖所示．跟蹤訓(xùn)練2解析：列表：x－π－π0ππ－sinx010－102－cosx32123例3解析：由2sinx－1≥0得sinx≥12畫出y＝sinx的圖象和直線y＝12可知sinx≥12的解集為y＝sinx圖象與直線y＝12的交點及上方部分的集合，即函數(shù)定義域為答案：{x|一題多變解析：由2cosx－1≥0得cosx≥12，畫出y＝cosx的圖象和直線y＝1視察圖象可知函數(shù)的定義域為{x|2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)畫出y＝sinx，x∈[0，2π]的草圖如下：因為sinπ3＝32，所以sin(π＋π3sin(2π－π3)＝－3即在[0，2π]內(nèi)，滿意sinx＝－32的是x＝4π3或x可知不等式sinx<－32的解集是(4(2)作出y＝cosx，x∈[0，2π]與y＝－12的圖象(圖略)，由圖象可知，函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝－1答案：(1)C(2)2[隨堂練習(xí)]1．解析：因為點(5π6，m)在余弦函數(shù)y＝cosx的圖象上，所以m＝cos5π答案：B2．解析：由五點作圖法可知，