高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè):第2課時(shí) 直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

第2課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一直線與橢圓的位置關(guān)系

1.直線y=x+l與橢圓]W=1的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切

C.相離D.無(wú)法判斷

2.(2020江西南昌二中高二上第一次月考)直線y=kx-k+l與橢圓g+==l的位置關(guān)

94

系為()

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

22

3.若直線y=kx+2與橢圓尹?1有且只有一個(gè)交點(diǎn),則斜率k的值是()

人點(diǎn)B.-^C.±^D.±^

3333

4.已知直線y=kx+l和橢圓x2+2y2=l有公共點(diǎn),則k的取值范圍是()

V2-B-<一

A.k<2V2-2

2

或<k

V2-k>V2-DV2wkWV2

\-一-

2222

題組二直線與橢圓的相交弦問(wèn)題

5.過(guò)橢圓x2+2y2M的左焦點(diǎn)作傾斜角為三的弦AB,則弦AB的長(zhǎng)為()

Ag>B.—7C—UD6-

22

6.直線y=x+l被橢圓:+三=1所截得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A?能)B.能)

C(IW)M-”)

丫2

7.經(jīng)過(guò)橢圓3+y2=l的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45。的直線1,交橢圓于A,B兩點(diǎn).設(shè)0為

坐標(biāo)原點(diǎn),則瓦5,麗等于()

A.-3B.-|C.[或-3D.±g

22

8.(2019廣東深圳中學(xué)高二上期中)若橢圓才+1的弦被點(diǎn)(4,2)平分,則此弦所在直

線的斜率為.

9.過(guò)橢圓9+9=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)Q為坐標(biāo)原

點(diǎn),則aOAB的面積為.

10.(2020河北唐山一中高二上期中)已知橢圓C:左。1(a>b>0)的離心率e為景短

軸長(zhǎng)為4.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)P(2,l)作弦且弦被P平分,求此弦所在的直線方程及弦長(zhǎng).

題組三直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用

22

11.設(shè)橢圓C:3+號(hào)=1的左,右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,以F1F2為直徑的圓與C在第一象限

74

的交點(diǎn)為P,則直線PR的斜率為()

11百

a一

-B-CV3-

A.3232

22

12.若點(diǎn)0和點(diǎn)F分別為橢圓—+5=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則

4a

OP?司的最大值為

22

13.已知P(m,n)(m>0,n>0)為橢圓3+—=1上一點(diǎn),Q,R,S分別為P關(guān)于y軸,原點(diǎn),x軸

oZ

的對(duì)稱點(diǎn).

⑴求四邊形PQRS面積的最大值;

(2)當(dāng)四邊形PQRS面積最大時(shí),在線段PQ上任取一點(diǎn)M(不與端點(diǎn)重合),若過(guò)M

的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),且AB中點(diǎn)恰為M,求直線AB斜率k的取值范圍.

能力提升練

題組一直線與橢圓的相交弦問(wèn)題

1.(*7)已知橢圓x2+^=l和點(diǎn)AG,J,BC,1),若橢圓的某弦的中點(diǎn)在線段AB上,

且此弦所在直線的斜率為k,則k的取值范圍為()

A.[-4,-2]B.[-2,-l]

C.[-4,-l]

2.(多選)(*)已知直線l:y=2x+3被橢圓C:,》=l(a>b>0)截得的弦長(zhǎng)為7,則下列直

線中被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7的有()

A.y=2x-3B.y=2x+1

C.y=-2x-3D.y=-2x+3

3.(2020吉林長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,聚:)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±5或)的

橢圓截直線3x-y-2=0所得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為今則該橢圓的方程

4.(2020山東師大附中高二上第五次學(xué)分認(rèn)定*)設(shè)橢圓親。l(a>b>0)的短軸長(zhǎng)

為4,離心率為當(dāng)

⑴當(dāng)直線y=x+m與橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)設(shè)點(diǎn)M(2,l)是直線1被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn),求直線1的方程.

5.(2020遼寧大連高二上期中,*)如圖,設(shè)P是圓x2+y-25上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x

軸上的射影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|W|PD|.

(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;

(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為(的直線被C所截線段的長(zhǎng)度.

題組二直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用

6.(2019黑龍江牡丹江一中高二上期中,站?)若直線mx+ny=4和圓x?+y2=4沒(méi)有交點(diǎn),

22

則過(guò)點(diǎn)(m,n)的直線與橢圓高+3=1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.0或1B.2

C.lD.0

22

7.(2018吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末*)已知橢圓q+9=l(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為FI,F2,

過(guò)Fi且與x軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),直線AF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C,

若SMBC=3SABCF2,則橢圓的離心率為()

710^3V3

C-D..

22

8.(多選)(")已知橢圓C:??l的左,右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為BE,直線y=kx(kWO)與

C交于A,B兩點(diǎn),AE_Lx軸,垂足為E,直線BE與C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,則下列結(jié)論

正確的是()

A.四邊形ABBF2為平行四邊形

B.ZFIPF2<90°

C.直線BE的斜率為夫

D.ZPAB>90°

9.(2020海南??诤D现袑W(xué)高二上期中,站?)已知點(diǎn)P是橢圓,+9=1上任意一點(diǎn),則

當(dāng)點(diǎn)P到直線4x-5y+40=()的距離達(dá)到最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

10.(2020山東煙臺(tái)高二上期末,")過(guò)橢圓C:*5=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)B作斜率為g

的直線1與C交于A,B兩點(diǎn),若|OB|=|OA|,則橢圓C的離心率為.

22

11.(2020遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,")已知橢圓今+%=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分

別為Fi、F2,且過(guò)點(diǎn)(1,日)和停,日).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如圖,點(diǎn)A為橢圓上一位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn),AF2的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)B,AO的

延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)C,求4ABC面積的最大值,并寫出取到最大值時(shí)直線BC的

方程.

12.(2020北京通州高二上期末,")已知橢圓*5=l(a>b>0)的焦點(diǎn)是FiE,且

|FIF2|=2,離心率為今

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線1交橢圓于A(xi,yi),B(X2,y2)(xGx2)兩點(diǎn).

⑴求|AF2|?|BF2|的最小值;

(ii)點(diǎn)Q是直線1上異于F2的一點(diǎn),且滿足的=督,求證:點(diǎn)Q在一條定直線上.

2、,2、萬(wàn)

13.(")已知橢圓C:av+/=l(a>b>())的離心率e號(hào),過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為30°

的直線m與圓x2+y2=b2相交所得弦長(zhǎng)為國(guó).

(1)求橢圓C的方程;

(2)是否存在過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且|PA|=2|AB|?若存在,求

直線1的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.A解法一:直線y=x+l過(guò)點(diǎn)(0,1),將(0,1)代入士+}=1得,0+%,即點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi)

544

部,所以直線與橢圓相交.

(y=x+1,

解法二:聯(lián)立直線與橢圓的方程,得1消去y得,9x2+l0x-l5=0,

A=100-4x9x(-l5)=640>0,所以直線與橢圓相交.

2.A直線y=kx-k+l=k(x-l)+l恒過(guò)定點(diǎn)(1,1),因?yàn)椋?卜1,所以點(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)部,故

直線與橢圓相交.

ry=kx+2,

3.C由*2

消去y并整理,

W(2+3k2)x2+12kx+6=0,

由題意知A=(12k)2-4x6x(2+3k2)=0,

解得k=±漁,故選C.

3

4.C由一¥[1]得(2k2+l)x2+4kx+l=0.

+2yz=1,

?.?直線與橢圓有公共點(diǎn),

.,.A=16k2-4(2k2+l)^0,

解得kW-正或k?正.

22

5.B設(shè)直線AB的方程為y=kx+b(kWO),易求直線AB的方程為y=V^(x+&).由

牝=8?)式)'消去y并整理,得7x2+12V2x+8=0.

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2)則xi+x2=-^,xix2=^.

由弦長(zhǎng)公式,得|AB|=V1+A.|X|-

X2|=V1+k2?,(久1+%2)2-4比1比2=J1+(遮)2*J-4義

(y=x+1,

6.C聯(lián)立方程,得了一2消去y并整理,得3x2+4x-2=0.設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)

匕+]=1d,

A(xi,y)B(X2,y2),中點(diǎn)M(xo,yo).

xI+x2=-g,xo=,^=-:,yo=xo+1;?中點(diǎn)坐標(biāo)為.

7.B由彳+y2=l,得a?=2,b2=l,c2=a2-b2=l,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0).

不妨設(shè)直線1過(guò)右焦點(diǎn),又傾斜角為45。,則直線1的方程為y=x-l.

代入尹y2=l得x2+2(x-l)2-2=0,EP3x?-4x=().設(shè)交點(diǎn)A(xi,yi),B(X2,y2),

貝IJX1X2=0,Xl+X2=-,yiy2=(xl-1)(X2-1)=X1X2-(X1+X2)+1=1---

所以0/?OB=x\X2+yiy2=0_~=-3,

8.答案4

解析設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為人區(qū),丫|)》儀2,丫2).因?yàn)?4,2)是線段AB的中點(diǎn),所以

xi+x2=8,yi+y2=4,將A,B兩點(diǎn)代入橢圓方程,

但+S=12222

1

得代''兩式相減得”3=0,整理得①=-上工,即kAB=^=-.

[以+絲=]369交』4(72+打)交』2

1369'

9.答案-

3

解析由題意知,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),直線的斜率k=2,所以直線的方程為y=2(x-l),

將其與:+:=1聯(lián)立,消去y,得3x2-5x=0.設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),則xi+x2=:,xiX2=(),所以

|AB|=V1+k2,|xi-X2|=Vl+卜2又1(x、+%2)2-4%1%2=,1+22XJG)-4X0=乎.設(shè)原

點(diǎn)到直線的距離為d,則€1=7^=^.

V(-l)2+225

所以SAOAB=^|AB|?d=;x苧、半二;.

10.解析⑴由e―二造可設(shè),a=2t,c=gt(t>0),貝ijb=t=2,因止匕a=4,

a2

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土以=1.

164

(2)設(shè)以點(diǎn)P(2,l)為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A(xi,yi),B(x2,y2),

_e+4=1,

則xi+x2=4,yi+y2=2,將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓的方程得《t兩式相減

-+^=1,

\164

可得,

(xi+x2)(xi-X2)+4(yi+y2)(yi-y2)=0,

4(xi-X2)+8(yi-y2)=0,

二弦所在直線的斜率k=d=」,

"12

二以點(diǎn)P(2,l)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為x+2y-4=0,

聯(lián)立橢圓的方程得xZ4x=0,解得x=0或x=4,

因此弦長(zhǎng)|AB|=,1+H?|XI-X2|=2,^.

11.B依題意得,a2=9,b2=4,;.c2=5,

因此以BF2為直徑的圓的方程為x2+y2=5.

又點(diǎn)P在第一象限,.丁(9,卓),

又Fi(-V5,0),

運(yùn)0,

;?斜率kpFiTvl廠二?故選B.

—+V5乙

12.答案6

解析由甘亡=1,可得F(-1,O).

43

設(shè)P(x,y),-2WxW2,則而=(x,y),而=(x+l,y),

所以O(shè)P?FP=x2+x+y2=x2+x+3,(1—y^=^x2+x+3=^(x+2)2+2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),赤?而取得最大值,最大值為6.

22

13.解析⑴由p在橢圓上得巴u=i,

82

???m>0,n>0,...利用基本不等式得1=吧+眩22X少弓=%,當(dāng)且僅當(dāng)貯上二,即m=2,n=l

82V8V22822

時(shí),等號(hào)成立,

易知S四邊形pQRs=2mx2n=4mnW8,當(dāng)m=2,n=l時(shí)取等號(hào),

故當(dāng)m=2,n=l時(shí),四邊形PQRS的面積取最大值,最大值為8.

(2)由⑴得P(2,l),則Q(-2,l),設(shè)M的坐標(biāo)為其中-2<t<2,A(xi,yD,B(X2,y2),

件+9=1,

則有V8

\82

兩式相減得為+丫2)(*)

82

???M為線段AB的中點(diǎn),

.?.勺+氣二1%+乞二]

2'2,

...(*)化為吟匚-(y「y2),

能力提升練

1.A設(shè)橢圓x2R=l的某弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為P(xi,yi),Q(X2,y2),中點(diǎn)為M(xo,yo),則

4

+:=1,①

[據(jù)+?=1,②

①-②,得(*-xl)+;(光-yl)=(),

即k=9=_4(A+、2)=_%.

可寺yt+y2y0

,:點(diǎn)M在線段AB上,

二xog衿yo〈i,

.?永=-%=:2W三忘4,故-44一忘-2,則kW[-4,-2],故選A.

y0y0y。%

2.ACD直線y=2x-3與直線1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線y=-2x-3與直線1關(guān)于x軸對(duì)稱,

直線y=-2x+3與直線1關(guān)于y軸對(duì)稱,因此A、C、D中的直線被橢圓C截得的弦

長(zhǎng)一定為7,而直線y=2x+l被橢圓C截得的弦長(zhǎng)大于7.故選ACD.

3?答案》S=1

解析設(shè)橢圓方程為f2=l(a>b>0),則a2=b2+c2=t>2+5().①

設(shè)直線3x-y-2=O與橢圓相交的弦的端點(diǎn)為A(xi,yD,B(X2,y2),則

(b2yl+a2xl=a2b2,

\b2yj+a2%2=a2b2,

:.b2(yi-y2)(yi+y2)+a2(xi-x2)(xi+x2)=O.

/.b2x3x(-1)+a2x1=(),BPa2=3b2.@

聯(lián)立①②得,a2=75,b2=25.

故該橢圓的方程為片1=1.

7525

4.解析(1)因?yàn)殡x心率e-=£所以c2=%2,又因?yàn)闄E圓的短半軸長(zhǎng)b=2,aZb2=c2,所

a24

以a2=16,b2=4,

即橢圓方程為乙乙=1,

164

m1

因此,卜6+4'=5x2+8mx+4m2-16=0,因?yàn)橹本€y=x+m與橢圓有公共點(diǎn),所以

{,y=x+m

A=64m2-4x5x(4m2-16)^0,@Pm2^2(),解得-2遙Wm<2遍.

⑵設(shè)A(xi,yD,B(X2,y2).

解法一:當(dāng)斜率不存在時(shí),不符合題意;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y-l=k(x-2),

聯(lián)立方程y2=>(4k2+l)x2+8k?(l-2k)x+16k2-16k-12=0,

I--1--=1

k164

所以手=甯=2,解得k=T,所以直線1的方程為x+2y-4=0.

解法二:蔣+匕=1=x2+4y2=16,

2+42

X1y1

2+4216=(x』)(x52)+4(yLy2)?(%+丫2)=0=詈=就產(chǎn);,

X2y2

所以斜率k=g所以直線1的方程為x+2y-4=().

5.解析⑴設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(xp,yp),

由已知得{1=:因?yàn)镻在圓上,所以x2+gy)2=25,即點(diǎn)M的軌跡C的方程為

2516

⑵過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為:的直線方程為y=gx-3),

設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(xi,yD,B(X2,y2),將直線方程y=g(x-3)代入C的方程,得

二”』,

2525

2

整理得x2-3x-8=0,所以XI+X2=3,XIX2=-8,所以|AB|=J1+(g)?y/(xx+x2)-4x1x2=p

6.B因?yàn)橹本€mx+ny=4和圓x2+y2=4沒(méi)有交點(diǎn),所以點(diǎn)三>2,所以m2+n2<4,而

已1,因此點(diǎn)(m,n)在橢圓內(nèi)部,從而過(guò)點(diǎn)(m,n)的直線與橢圓二^=1必有兩

944494

個(gè)交點(diǎn),故選B.

7.A設(shè)F(的坐標(biāo)為(-c,()),F2的坐標(biāo)為(c,0),故過(guò)Fi且與x軸垂直的直線方程為x=-

c,代入橢圓方程可得丫二土三可設(shè)A(-Gf),C(x,y),由題意可得4ABF2的面積是

,2c—2c

△BCF2的面積的2倍,故福=2或,即有&c,-f)=2(x-c,y),即2y'

b2則

廣-,代入橢圓方程可得[g=l,即竽彎=1,

(y=------,a24a2a24a2

?2a

.,.4e2+Ue2=l,解得e=4負(fù)值舍去).故選A.

445

8.ABC由橢圓的對(duì)稱性知,四邊形ABBF2是平行四邊形,故A正確;

a2=4,b2=2,:.c2=2,

二ZFIAF2<90°,

又NFIPF2<NFIAF2<90°,

故B正確;

結(jié)合圖形,不妨設(shè)k>°,則A(募,高),

B(-高,-品)田(高,。),

2k

,kBE=—=*,故C正確;

取k=2,則AG3,B(-*),EG,0)

二直線BE的方程為y=x-j,與橢圓方程聯(lián)立得,PG,?,.,.刀=(-油,而=($勺,

...萬(wàn)?方吟合0,二4AB>90。錯(cuò)誤.故選ABC.

9.答案(4,;)

解析設(shè)平行于4x-5y+4()=0,且與橢圓相切的直線方程為4x-5y+c=()(cW40).

由償5;獴;225,得25x2+8cx+c2一225=0,

令A(yù)=(8C)2-4X25X(C<225)=0得,

c?=625,解得c=±25.

結(jié)合圖形(圖略)取c=25,此時(shí),x2+8x+16=0=>x=-4.

代入4x-5y+25=()得,y=g,

.?.P㈤).

10.答案?

解析如圖所示,設(shè)右焦點(diǎn)為F2,

又tanZAFiFz=-,

2

.-.|AFI|=^C,|AF2|=^C.

因此,2a=|AFi|+|AF2|=鳴:=e=-=—.

5a3

=1,解得償:I

11.解析(1)將兩點(diǎn)代入橢圓方程,得K9+塌

“2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+y2=l.

⑵設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2).由A在x軸上方,可知直線AF?的斜率不為0,所以設(shè)直線

AF2的方程為x=ty+l,

+y2=

聯(lián)立71)=>(t2+2)y2+2ty-l=0,

.x=ty+1

得,1+及二刀'所以|AB|="T^?卜~2|=粵氈

1yly2="產(chǎn)+2

設(shè)原點(diǎn)到直線AF2的距離為d,%=意,

2/2(1+產(chǎn))_2yli

所以SAABC=2SZ\OAB=2x;x|AB|xd二:—^V2,

產(chǎn)+2Vl+t2+-

Vi+t2

當(dāng)且僅當(dāng)=*,即t=0時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)直線AB的方程為x=l,所以

Vi+t2

所以此時(shí)直線BC的方程為y=1.

12.解析⑴因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)是FiE,且|FE|=2,所以半焦距c=L

因?yàn)殡x心率為近,所以a=VI所以b=l.所以橢圓的方程是Oy2=l.

22

(2)(i)由⑴知F2(l,0),

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí),不妨設(shè)A(1,9),B(1,-9),所以|AF2|?|BF2|三.

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí),直線1的方程可設(shè)為y=k(x-l).

聯(lián)立方程[亍+必=1'消去y,整理得(l+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.

ly=fc(x-l),

r-r4k22k2.2

月「以Xl+X2=--—,X1X2=---

l+2k21+2/

所以|AF2|=J(久1-1)2+y/=,l+12

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