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文檔簡(jiǎn)介
第2課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一直線與橢圓的位置關(guān)系
1.直線y=x+l與橢圓]W=1的位置關(guān)系是()
A.相交B.相切
C.相離D.無(wú)法判斷
2.(2020江西南昌二中高二上第一次月考)直線y=kx-k+l與橢圓g+==l的位置關(guān)
94
系為()
A.相交B.相切
C.相離D.不確定
22
3.若直線y=kx+2與橢圓尹?1有且只有一個(gè)交點(diǎn),則斜率k的值是()
人點(diǎn)B.-^C.±^D.±^
3333
4.已知直線y=kx+l和橢圓x2+2y2=l有公共點(diǎn),則k的取值范圍是()
我
V2-B-<一
A.k<2V2-2
2
或<k
V2-k>V2-DV2wkWV2
\-一-
2222
題組二直線與橢圓的相交弦問(wèn)題
5.過(guò)橢圓x2+2y2M的左焦點(diǎn)作傾斜角為三的弦AB,則弦AB的長(zhǎng)為()
Ag>B.—7C—UD6-
22
6.直線y=x+l被橢圓:+三=1所截得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A?能)B.能)
C(IW)M-”)
丫2
7.經(jīng)過(guò)橢圓3+y2=l的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45。的直線1,交橢圓于A,B兩點(diǎn).設(shè)0為
坐標(biāo)原點(diǎn),則瓦5,麗等于()
A.-3B.-|C.[或-3D.±g
22
8.(2019廣東深圳中學(xué)高二上期中)若橢圓才+1的弦被點(diǎn)(4,2)平分,則此弦所在直
線的斜率為.
9.過(guò)橢圓9+9=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)Q為坐標(biāo)原
點(diǎn),則aOAB的面積為.
10.(2020河北唐山一中高二上期中)已知橢圓C:左。1(a>b>0)的離心率e為景短
軸長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)P(2,l)作弦且弦被P平分,求此弦所在的直線方程及弦長(zhǎng).
題組三直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用
22
11.設(shè)橢圓C:3+號(hào)=1的左,右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,以F1F2為直徑的圓與C在第一象限
74
的交點(diǎn)為P,則直線PR的斜率為()
11百
a一
-B-CV3-
A.3232
22
12.若點(diǎn)0和點(diǎn)F分別為橢圓—+5=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則
4a
OP?司的最大值為
22
13.已知P(m,n)(m>0,n>0)為橢圓3+—=1上一點(diǎn),Q,R,S分別為P關(guān)于y軸,原點(diǎn),x軸
oZ
的對(duì)稱點(diǎn).
⑴求四邊形PQRS面積的最大值;
(2)當(dāng)四邊形PQRS面積最大時(shí),在線段PQ上任取一點(diǎn)M(不與端點(diǎn)重合),若過(guò)M
的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),且AB中點(diǎn)恰為M,求直線AB斜率k的取值范圍.
能力提升練
題組一直線與橢圓的相交弦問(wèn)題
1.(*7)已知橢圓x2+^=l和點(diǎn)AG,J,BC,1),若橢圓的某弦的中點(diǎn)在線段AB上,
且此弦所在直線的斜率為k,則k的取值范圍為()
A.[-4,-2]B.[-2,-l]
C.[-4,-l]
2.(多選)(*)已知直線l:y=2x+3被橢圓C:,》=l(a>b>0)截得的弦長(zhǎng)為7,則下列直
線中被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7的有()
A.y=2x-3B.y=2x+1
C.y=-2x-3D.y=-2x+3
3.(2020吉林長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,聚:)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±5或)的
橢圓截直線3x-y-2=0所得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為今則該橢圓的方程
為
4.(2020山東師大附中高二上第五次學(xué)分認(rèn)定*)設(shè)橢圓親。l(a>b>0)的短軸長(zhǎng)
為4,離心率為當(dāng)
⑴當(dāng)直線y=x+m與橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè)點(diǎn)M(2,l)是直線1被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn),求直線1的方程.
5.(2020遼寧大連高二上期中,*)如圖,設(shè)P是圓x2+y-25上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x
軸上的射影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|W|PD|.
(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為(的直線被C所截線段的長(zhǎng)度.
題組二直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用
6.(2019黑龍江牡丹江一中高二上期中,站?)若直線mx+ny=4和圓x?+y2=4沒(méi)有交點(diǎn),
22
則過(guò)點(diǎn)(m,n)的直線與橢圓高+3=1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()
A.0或1B.2
C.lD.0
22
7.(2018吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末*)已知橢圓q+9=l(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為FI,F2,
過(guò)Fi且與x軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),直線AF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C,
若SMBC=3SABCF2,則橢圓的離心率為()
710^3V3
C-D..
22
8.(多選)(")已知橢圓C:??l的左,右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為BE,直線y=kx(kWO)與
C交于A,B兩點(diǎn),AE_Lx軸,垂足為E,直線BE與C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,則下列結(jié)論
正確的是()
A.四邊形ABBF2為平行四邊形
B.ZFIPF2<90°
C.直線BE的斜率為夫
D.ZPAB>90°
9.(2020海南??诤D现袑W(xué)高二上期中,站?)已知點(diǎn)P是橢圓,+9=1上任意一點(diǎn),則
當(dāng)點(diǎn)P到直線4x-5y+40=()的距離達(dá)到最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
10.(2020山東煙臺(tái)高二上期末,")過(guò)橢圓C:*5=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)B作斜率為g
的直線1與C交于A,B兩點(diǎn),若|OB|=|OA|,則橢圓C的離心率為.
22
11.(2020遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,")已知橢圓今+%=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分
別為Fi、F2,且過(guò)點(diǎn)(1,日)和停,日).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,點(diǎn)A為橢圓上一位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn),AF2的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)B,AO的
延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)C,求4ABC面積的最大值,并寫出取到最大值時(shí)直線BC的
方程.
12.(2020北京通州高二上期末,")已知橢圓*5=l(a>b>0)的焦點(diǎn)是FiE,且
|FIF2|=2,離心率為今
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線1交橢圓于A(xi,yi),B(X2,y2)(xGx2)兩點(diǎn).
⑴求|AF2|?|BF2|的最小值;
(ii)點(diǎn)Q是直線1上異于F2的一點(diǎn),且滿足的=督,求證:點(diǎn)Q在一條定直線上.
2、,2、萬(wàn)
13.(")已知橢圓C:av+/=l(a>b>())的離心率e號(hào),過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為30°
的直線m與圓x2+y2=b2相交所得弦長(zhǎng)為國(guó).
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且|PA|=2|AB|?若存在,求
直線1的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
答案全解全析
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.A解法一:直線y=x+l過(guò)點(diǎn)(0,1),將(0,1)代入士+}=1得,0+%,即點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi)
544
部,所以直線與橢圓相交.
(y=x+1,
解法二:聯(lián)立直線與橢圓的方程,得1消去y得,9x2+l0x-l5=0,
A=100-4x9x(-l5)=640>0,所以直線與橢圓相交.
2.A直線y=kx-k+l=k(x-l)+l恒過(guò)定點(diǎn)(1,1),因?yàn)椋?卜1,所以點(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)部,故
直線與橢圓相交.
ry=kx+2,
3.C由*2
消去y并整理,
W(2+3k2)x2+12kx+6=0,
由題意知A=(12k)2-4x6x(2+3k2)=0,
解得k=±漁,故選C.
3
4.C由一¥[1]得(2k2+l)x2+4kx+l=0.
+2yz=1,
?.?直線與橢圓有公共點(diǎn),
.,.A=16k2-4(2k2+l)^0,
解得kW-正或k?正.
22
5.B設(shè)直線AB的方程為y=kx+b(kWO),易求直線AB的方程為y=V^(x+&).由
牝=8?)式)'消去y并整理,得7x2+12V2x+8=0.
設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2)則xi+x2=-^,xix2=^.
由弦長(zhǎng)公式,得|AB|=V1+A.|X|-
X2|=V1+k2?,(久1+%2)2-4比1比2=J1+(遮)2*J-4義
(y=x+1,
6.C聯(lián)立方程,得了一2消去y并整理,得3x2+4x-2=0.設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)
匕+]=1d,
A(xi,y)B(X2,y2),中點(diǎn)M(xo,yo).
xI+x2=-g,xo=,^=-:,yo=xo+1;?中點(diǎn)坐標(biāo)為.
7.B由彳+y2=l,得a?=2,b2=l,c2=a2-b2=l,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0).
不妨設(shè)直線1過(guò)右焦點(diǎn),又傾斜角為45。,則直線1的方程為y=x-l.
代入尹y2=l得x2+2(x-l)2-2=0,EP3x?-4x=().設(shè)交點(diǎn)A(xi,yi),B(X2,y2),
貝IJX1X2=0,Xl+X2=-,yiy2=(xl-1)(X2-1)=X1X2-(X1+X2)+1=1---
所以0/?OB=x\X2+yiy2=0_~=-3,
8.答案4
解析設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為人區(qū),丫|)》儀2,丫2).因?yàn)?4,2)是線段AB的中點(diǎn),所以
xi+x2=8,yi+y2=4,將A,B兩點(diǎn)代入橢圓方程,
但+S=12222
1
得代''兩式相減得”3=0,整理得①=-上工,即kAB=^=-.
[以+絲=]369交』4(72+打)交』2
1369'
9.答案-
3
解析由題意知,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),直線的斜率k=2,所以直線的方程為y=2(x-l),
將其與:+:=1聯(lián)立,消去y,得3x2-5x=0.設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),則xi+x2=:,xiX2=(),所以
|AB|=V1+k2,|xi-X2|=Vl+卜2又1(x、+%2)2-4%1%2=,1+22XJG)-4X0=乎.設(shè)原
點(diǎn)到直線的距離為d,則€1=7^=^.
V(-l)2+225
所以SAOAB=^|AB|?d=;x苧、半二;.
10.解析⑴由e―二造可設(shè),a=2t,c=gt(t>0),貝ijb=t=2,因止匕a=4,
a2
22
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土以=1.
164
(2)設(shè)以點(diǎn)P(2,l)為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A(xi,yi),B(x2,y2),
_e+4=1,
則xi+x2=4,yi+y2=2,將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓的方程得《t兩式相減
-+^=1,
\164
可得,
(xi+x2)(xi-X2)+4(yi+y2)(yi-y2)=0,
4(xi-X2)+8(yi-y2)=0,
二弦所在直線的斜率k=d=」,
"12
二以點(diǎn)P(2,l)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為x+2y-4=0,
聯(lián)立橢圓的方程得xZ4x=0,解得x=0或x=4,
因此弦長(zhǎng)|AB|=,1+H?|XI-X2|=2,^.
11.B依題意得,a2=9,b2=4,;.c2=5,
因此以BF2為直徑的圓的方程為x2+y2=5.
又點(diǎn)P在第一象限,.丁(9,卓),
又Fi(-V5,0),
運(yùn)0,
;?斜率kpFiTvl廠二?故選B.
—+V5乙
12.答案6
解析由甘亡=1,可得F(-1,O).
43
設(shè)P(x,y),-2WxW2,則而=(x,y),而=(x+l,y),
所以O(shè)P?FP=x2+x+y2=x2+x+3,(1—y^=^x2+x+3=^(x+2)2+2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),赤?而取得最大值,最大值為6.
22
13.解析⑴由p在橢圓上得巴u=i,
82
???m>0,n>0,...利用基本不等式得1=吧+眩22X少弓=%,當(dāng)且僅當(dāng)貯上二,即m=2,n=l
82V8V22822
時(shí),等號(hào)成立,
易知S四邊形pQRs=2mx2n=4mnW8,當(dāng)m=2,n=l時(shí)取等號(hào),
故當(dāng)m=2,n=l時(shí),四邊形PQRS的面積取最大值,最大值為8.
(2)由⑴得P(2,l),則Q(-2,l),設(shè)M的坐標(biāo)為其中-2<t<2,A(xi,yD,B(X2,y2),
件+9=1,
則有V8
雪
\82
兩式相減得為+丫2)(*)
82
???M為線段AB的中點(diǎn),
.?.勺+氣二1%+乞二]
2'2,
...(*)化為吟匚-(y「y2),
能力提升練
1.A設(shè)橢圓x2R=l的某弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為P(xi,yi),Q(X2,y2),中點(diǎn)為M(xo,yo),則
4
+:=1,①
[據(jù)+?=1,②
①-②,得(*-xl)+;(光-yl)=(),
即k=9=_4(A+、2)=_%.
可寺yt+y2y0
,:點(diǎn)M在線段AB上,
二xog衿yo〈i,
.?永=-%=:2W三忘4,故-44一忘-2,則kW[-4,-2],故選A.
y0y0y。%
2.ACD直線y=2x-3與直線1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線y=-2x-3與直線1關(guān)于x軸對(duì)稱,
直線y=-2x+3與直線1關(guān)于y軸對(duì)稱,因此A、C、D中的直線被橢圓C截得的弦
長(zhǎng)一定為7,而直線y=2x+l被橢圓C截得的弦長(zhǎng)大于7.故選ACD.
3?答案》S=1
解析設(shè)橢圓方程為f2=l(a>b>0),則a2=b2+c2=t>2+5().①
設(shè)直線3x-y-2=O與橢圓相交的弦的端點(diǎn)為A(xi,yD,B(X2,y2),則
(b2yl+a2xl=a2b2,
\b2yj+a2%2=a2b2,
:.b2(yi-y2)(yi+y2)+a2(xi-x2)(xi+x2)=O.
/.b2x3x(-1)+a2x1=(),BPa2=3b2.@
聯(lián)立①②得,a2=75,b2=25.
故該橢圓的方程為片1=1.
7525
4.解析(1)因?yàn)殡x心率e-=£所以c2=%2,又因?yàn)闄E圓的短半軸長(zhǎng)b=2,aZb2=c2,所
a24
以a2=16,b2=4,
即橢圓方程為乙乙=1,
164
m1
因此,卜6+4'=5x2+8mx+4m2-16=0,因?yàn)橹本€y=x+m與橢圓有公共點(diǎn),所以
{,y=x+m
A=64m2-4x5x(4m2-16)^0,@Pm2^2(),解得-2遙Wm<2遍.
⑵設(shè)A(xi,yD,B(X2,y2).
解法一:當(dāng)斜率不存在時(shí),不符合題意;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y-l=k(x-2),
聯(lián)立方程y2=>(4k2+l)x2+8k?(l-2k)x+16k2-16k-12=0,
I--1--=1
k164
所以手=甯=2,解得k=T,所以直線1的方程為x+2y-4=0.
解法二:蔣+匕=1=x2+4y2=16,
2+42
X1y1
2+4216=(x』)(x52)+4(yLy2)?(%+丫2)=0=詈=就產(chǎn);,
X2y2
所以斜率k=g所以直線1的方程為x+2y-4=().
5.解析⑴設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(xp,yp),
由已知得{1=:因?yàn)镻在圓上,所以x2+gy)2=25,即點(diǎn)M的軌跡C的方程為
2516
⑵過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為:的直線方程為y=gx-3),
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(xi,yD,B(X2,y2),將直線方程y=g(x-3)代入C的方程,得
二”』,
2525
2
整理得x2-3x-8=0,所以XI+X2=3,XIX2=-8,所以|AB|=J1+(g)?y/(xx+x2)-4x1x2=p
6.B因?yàn)橹本€mx+ny=4和圓x2+y2=4沒(méi)有交點(diǎn),所以點(diǎn)三>2,所以m2+n2<4,而
已1,因此點(diǎn)(m,n)在橢圓內(nèi)部,從而過(guò)點(diǎn)(m,n)的直線與橢圓二^=1必有兩
944494
個(gè)交點(diǎn),故選B.
7.A設(shè)F(的坐標(biāo)為(-c,()),F2的坐標(biāo)為(c,0),故過(guò)Fi且與x軸垂直的直線方程為x=-
c,代入橢圓方程可得丫二土三可設(shè)A(-Gf),C(x,y),由題意可得4ABF2的面積是
,2c—2c
△BCF2的面積的2倍,故福=2或,即有&c,-f)=2(x-c,y),即2y'
b2則
廣-,代入橢圓方程可得[g=l,即竽彎=1,
(y=------,a24a2a24a2
?2a
.,.4e2+Ue2=l,解得e=4負(fù)值舍去).故選A.
445
8.ABC由橢圓的對(duì)稱性知,四邊形ABBF2是平行四邊形,故A正確;
a2=4,b2=2,:.c2=2,
二ZFIAF2<90°,
又NFIPF2<NFIAF2<90°,
故B正確;
結(jié)合圖形,不妨設(shè)k>°,則A(募,高),
B(-高,-品)田(高,。),
2k
,kBE=—=*,故C正確;
取k=2,則AG3,B(-*),EG,0)
二直線BE的方程為y=x-j,與橢圓方程聯(lián)立得,PG,?,.,.刀=(-油,而=($勺,
...萬(wàn)?方吟合0,二4AB>90。錯(cuò)誤.故選ABC.
9.答案(4,;)
解析設(shè)平行于4x-5y+4()=0,且與橢圓相切的直線方程為4x-5y+c=()(cW40).
由償5;獴;225,得25x2+8cx+c2一225=0,
令A(yù)=(8C)2-4X25X(C<225)=0得,
c?=625,解得c=±25.
結(jié)合圖形(圖略)取c=25,此時(shí),x2+8x+16=0=>x=-4.
代入4x-5y+25=()得,y=g,
.?.P㈤).
10.答案?
解析如圖所示,設(shè)右焦點(diǎn)為F2,
又tanZAFiFz=-,
2
.-.|AFI|=^C,|AF2|=^C.
因此,2a=|AFi|+|AF2|=鳴:=e=-=—.
5a3
=1,解得償:I
11.解析(1)將兩點(diǎn)代入橢圓方程,得K9+塌
“2
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+y2=l.
⑵設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2).由A在x軸上方,可知直線AF?的斜率不為0,所以設(shè)直線
AF2的方程為x=ty+l,
+y2=
聯(lián)立71)=>(t2+2)y2+2ty-l=0,
.x=ty+1
得,1+及二刀'所以|AB|="T^?卜~2|=粵氈
1yly2="產(chǎn)+2
設(shè)原點(diǎn)到直線AF2的距離為d,%=意,
2/2(1+產(chǎn))_2yli
所以SAABC=2SZ\OAB=2x;x|AB|xd二:—^V2,
產(chǎn)+2Vl+t2+-
Vi+t2
當(dāng)且僅當(dāng)=*,即t=0時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)直線AB的方程為x=l,所以
Vi+t2
所以此時(shí)直線BC的方程為y=1.
12.解析⑴因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)是FiE,且|FE|=2,所以半焦距c=L
因?yàn)殡x心率為近,所以a=VI所以b=l.所以橢圓的方程是Oy2=l.
22
(2)(i)由⑴知F2(l,0),
當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí),不妨設(shè)A(1,9),B(1,-9),所以|AF2|?|BF2|三.
當(dāng)直線1的斜率存在時(shí),直線1的方程可設(shè)為y=k(x-l).
聯(lián)立方程[亍+必=1'消去y,整理得(l+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
ly=fc(x-l),
r-r4k22k2.2
月「以Xl+X2=--—,X1X2=---
l+2k21+2/
所以|AF2|=J(久1-1)2+y/=,l+12
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