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專題二概率統(tǒng)計(jì)專題
【考點(diǎn)透析】概率統(tǒng)計(jì)的考點(diǎn)主要有:概率與統(tǒng)計(jì)包括隨機(jī)事務(wù),等可能性事務(wù)的概率,互斥事務(wù)有一個(gè)發(fā)生的概率,
古典概型,幾何概型,條件概率,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布,超幾何分布,離散型隨機(jī)變量的分布列,離散型隨機(jī)變量的期
望和方差,抽樣方法,總體分布的估計(jì),正態(tài)分布,線性回來等.
【例題解析】
題型1抽樣方法
[例1]在1000個(gè)有機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)的號(hào)碼(編號(hào)為000-999)中,在公證部門監(jiān)督下依據(jù)隨機(jī)抽取的方法確定后兩位數(shù)為
的號(hào)碼為中獎(jiǎng)號(hào)碼,該抽樣運(yùn)用的抽樣方法是()
A.簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.以上均不對(duì)
分析:實(shí)際“間隔距離相等''的抽取,屬于系統(tǒng)抽樣.
解析:題中運(yùn)用了系統(tǒng)抽樣的方法采確定中獎(jiǎng)號(hào)碼,中獎(jiǎng)號(hào)碼依次為:088,188,288,388,488,588,688,788,
888,988.答案B.
點(diǎn)評(píng):關(guān)于系統(tǒng)抽樣要留意如下幾個(gè)問題:(1)系統(tǒng)抽樣是將總體分成均衡幾個(gè)部分,然依據(jù)預(yù)先定出的規(guī)則從每一部
分抽取一個(gè)個(gè)體,得到所須要的樣本的一種抽樣方法.(2)系統(tǒng)抽樣的步驟:①將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào);②將編號(hào)分
段;③在第一段中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào);④按事先探討的規(guī)則抽取樣本.(3)適用范圍:個(gè)體數(shù)較多的
總體.
例2(2008年高考廣東卷理3)某校共有學(xué)生2000名,各年級(jí)男、女生人數(shù)如表.已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽
到二年級(jí)女生的概率是0.19.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生,則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為()
一年級(jí)二年級(jí)
年級(jí)
女生373Xy
力生377370Z
分析:依據(jù)給出的概領(lǐng)先求出x的值,這樣就可以知道三年級(jí)的學(xué)生人數(shù),問題就解決了.
解析:C二年級(jí)女生占全校學(xué)生總數(shù)的19%,即x=2000x().19=38(),這樣一年級(jí)和二年級(jí)學(xué)生的總數(shù)是
64
373+377+380+370=1500,三年級(jí)學(xué)生有500人,用分層抽樣抽取的三年級(jí)學(xué)生應(yīng)是—x500=16.答案C.
2000
點(diǎn)評(píng):本題考查概率統(tǒng)計(jì)最基礎(chǔ)的學(xué)問,還涉與到一點(diǎn)分析問題的實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力,題目以抽樣的等可能性為動(dòng)身點(diǎn)考
查隨機(jī)抽樣和分層抽樣的學(xué)問.
例3.(2009江蘇泰州期末第2題)一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了■)()()()人,并依據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本
的頻率分布直方圖(如下圖).為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系,要從這1(X)0。人中再用分層抽
樣方法抽出10()人作進(jìn)一步調(diào)查,則在[2500,3500)(元)月收入段應(yīng)抽出人.
頻率/組距
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
().0001
月收入(元)
--------?
1000150020002500300035004000
分析:事實(shí)上是每10()人抽取一人,只要把區(qū)間內(nèi)的人數(shù)找出來即可.
解析:依據(jù)圖可以看出月收入在[2500,3500)的人數(shù)的頻率是
(0.0005+0.0003)x500=0.4,故月收入在[2500,3500)人數(shù)是10000x0.4=4000,
故抽取25人.
點(diǎn)評(píng):本題把統(tǒng)計(jì)圖表和抽樣方法結(jié)合起來,主要目的是考查識(shí)圖和計(jì)算實(shí)力.
題型2統(tǒng)計(jì)圖表問題
例4(安徽省皖南八校2009屆高三其次次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)第2題)從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取一個(gè)班,對(duì)該班50名學(xué)生的
高校招生體檢表中視力狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其結(jié)果的頻率分布直方圖如右圖:若某高校A專業(yè)對(duì)視力的要求在0.9以上,則
該班學(xué)生中能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為
T須率
L00
0.75
05
025—1視
0.30.50.709I.I1.315
A.10B.20C.8D.16
分析:依據(jù)圖找出視力在0.9以上的人數(shù)的頻率即可.
解析:B.視力住0.9以上的頻率為(1+0.75+.025)x0.2=0.4,人數(shù)為0.4x50=20.
點(diǎn)評(píng):在解決頻率分別直方圖問題時(shí)簡(jiǎn)潔出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為直方圖中小矩形的高就是各段的頻率,事實(shí)上小矩形的高是
頻率除以組距.
例5(2009年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科第13題)某籃球運(yùn)動(dòng)員在一個(gè)賽季的4()場(chǎng)競(jìng)賽中的得分的莖葉
圖如圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是;眾數(shù)是.
9
23346789
20333355788
302234489
40356
分析:依據(jù)莖葉圖和中位數(shù)、眾數(shù)的概念解決.
解析:由于中位數(shù)是把樣本數(shù)據(jù)依據(jù)由小到大的依次排列起來,處在中間位置的一個(gè)(或是最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)),故
從莖葉圖可以看出中位數(shù)是23;而眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),故眾數(shù)也是23.
點(diǎn)評(píng):一表(頻率分布表)、三圖(頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖)、三數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))和標(biāo)準(zhǔn)差,
是高考考查統(tǒng)計(jì)的一個(gè)主要考點(diǎn).
例5(2008高考廣東文11)為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的實(shí)力,隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)
品數(shù)量的分組區(qū)間為[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),
[85,95)由此得到頻率分布直方圖如圖,則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是.
頻率/組距
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
455565758595
圖3
分析:找出頻率即可.
解析:20x[(0.040+0.0025)xl0]=13.
點(diǎn)評(píng):本題考查頻率分布直方圖,解題的關(guān)鍵是明確這個(gè)直方圖上的縱坐標(biāo)是頻率/組距,得誕生產(chǎn)數(shù)量在[55,75)的人
數(shù)的頻率.
題型3平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的計(jì)算問題
例6(2008高考山東文9)從某項(xiàng)綜合實(shí)力測(cè)試中抽取100人的成果,統(tǒng)計(jì)如表,則這100人成果的標(biāo)準(zhǔn)差為()
分?jǐn)?shù)54321
人數(shù)2010303010
25/io
A.GC.3D.-
55
分析:依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式干脆計(jì)算即可.
"廣〒…曰5x20+4x10+3x30+2x30+1x10,
解析:平均數(shù)是---------------------------------=3,
100
標(biāo)準(zhǔn)差是
/20x(5-3)2+10x(4-3『+30x(3-3『+30x(2-3y+10x(l—3)2
5-V100
/80+10+30+40_82M
—V100-V5-5
答案B.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)據(jù)組的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的學(xué)問,考查數(shù)據(jù)處理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力.解題的關(guān)鍵是正確理解統(tǒng)計(jì)表的意義,
會(huì)用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的公式,只要考生對(duì)此相識(shí)清晰,解答并不困難.
例7.(中山市高三級(jí)2008—2009學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試?yán)砜频?題)若數(shù)據(jù)看,當(dāng),占,,X,,的平均數(shù)x=5,
方差。2=2,則數(shù)據(jù)3玉+1,3々+1,3為+1,-,34+1的平均數(shù)為,方差為
分析:依據(jù)平均數(shù)與方差的性質(zhì)解決.
解析:16,18
例8.(浙江寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第3題)如圖是2009年元旦晚會(huì)舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上,七位評(píng)委
為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為
A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,4
79
844647
93
解析:C
題型4用樣本估計(jì)總體
例8(2008高考湖南文12)從某地區(qū)15000位老人中隨機(jī)抽取500人,其生活能否自理的狀況如下表所示:
毛
7生活渝男女
杏自理
能178278
不能2321
則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多人.
23-21
解析:60由上表得15000x=——=2x30=60.
500
點(diǎn)評(píng):考查樣本估計(jì)總體的思想.
題型5.線性回來分析
例9.(2007高考廣東)下表供應(yīng)了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y
(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組比照數(shù)據(jù)
3
2.5
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)依據(jù)上表供應(yīng)的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回來方程》=云+“;
(3)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤;試依據(jù)(2)求出的線性回來方程,預(yù)料生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)
品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
分析:本題中散點(diǎn)圖好作,本題的關(guān)鍵是求y關(guān)于x的線性回來方程),=法+”,它既可以由給出的回來系數(shù)公式干脆計(jì)
算,也可以遵循著最小二乘法的基本思想一一即所求的直線應(yīng)使殘差平方和最小,用求二元函數(shù)最值的方法解決.
解析:
(1)散點(diǎn)圖如右
(2)方法一:設(shè)線性回來方程為丫=加+°,則
」(a,b)=(3b+a-2.5)2+(4fc+a-3)2+(5b+a-4y+(6b+a-4.5)2
=4a2+2a(l8b-14)+(3b-2.5)2+(4b-3)2+(5a-4)2+(6b-4.5)2
a==3.5-4.5〃時(shí),f(a,b)取得最小值(1.5b-+(0.5b-0.5)2+(0.5b-0.5)2+(1.5fe-l)2,
即0.5[(3fe-2)2+S-1尸]=5〃一7匕+g,:.b=O.7,a=0.35時(shí)/(a,Z?)取得最小值.
所以線性回來方程為y=0.7x+0.35.
方法二:由系數(shù)公式可知,4=4.5,-=3.5,b=665-4*45:3.5=66.5-63=。:
86-4x4.525
o
“=3.5-0.7x2=0.35,所以線性回來方程為y=0.7x+0.35.
2
(3)》=100時(shí)-,y=O.7x+O.35=70.35,所以預(yù)料生產(chǎn)1()()噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤.
點(diǎn)評(píng):本題考查回來分析的基本思想.求線性回來方程的方法一這事實(shí)上是重復(fù)了回來系數(shù)公式的推導(dǎo)過程,這里的另
個(gè)解決方法是對(duì)/(?,&)我們?cè)侔碽集項(xiàng),即
/(a,&)=86/?2+(36a-133)&+(a-2.5)2+(a-3)2+(a-4)2+(a-4.5)2,而這個(gè)時(shí)候,當(dāng)(=":;;小時(shí)/(。力)
有最小值,結(jié)合上面解法中。=3.5—4.56時(shí)/(。,6)有最小值,組成方程組就可以解出。,6的值;方法二前提是正確
地運(yùn)用回來系數(shù)的計(jì)算公式,一般考試中都會(huì)給出這個(gè)公式,但要留意各個(gè)量的計(jì)算;最終求出的19.65是指的平均值
或者是估計(jì)值,不是完全確定的值.對(duì)于本題我們可以計(jì)算題目所給的數(shù)據(jù)組的相關(guān)系數(shù)r=0.9899,相關(guān)指數(shù)
店=0.98.這說明x,y具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性,說明說明變量對(duì)預(yù)報(bào)變量的貢獻(xiàn)率是98%,即耗煤量的98%是來自
生產(chǎn)量,只有約2%來自其它因素,這與我們的直觀感覺是非常符合的.本題簡(jiǎn)潔用錯(cuò)計(jì)算回來系數(shù)的公式,或是把回
來系數(shù)和回來常數(shù)弄顛倒了.
例10.(江蘇揚(yáng)州市2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期期未調(diào)研測(cè)試第17題)為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),對(duì)其下一階
段的學(xué)習(xí)供應(yīng)指導(dǎo)性建議.現(xiàn)對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成果X、物理成果y進(jìn)行分析.下面是該生7次考試的成果.
婁
(1)他的數(shù)學(xué)成果與物理成果哪個(gè)更穩(wěn)定?請(qǐng)給出你的證明;
(2)已知該生的物理成果y與數(shù)學(xué)成果x是線性相關(guān)的,若該生的物理成果達(dá)到115分,請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成果大約是
多少?并請(qǐng)你依據(jù)物理成果與數(shù)學(xué)成果的相關(guān)性,給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議.
分析:成果的穩(wěn)定性用樣本數(shù)據(jù)的方差推斷,由物理成果估計(jì)數(shù)學(xué)成果由回來直線方程解決.
:(1)x
7
-6-9+8-4+4+1+6…
y=100+-------------------------------=101)
從而S全學(xué)〉S)理,所以物理成果更穩(wěn)定.
(2)由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,依據(jù)回來系數(shù)公式得到
,497
/?=—=0.5,0=100-0.5x100=50,
.?.線性回來方程為y=0.5x+50.當(dāng)y=115時(shí),x=l30.
建議:進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),提高數(shù)學(xué)成果的穩(wěn)定性,將有助于物理成果的進(jìn)一步提高.
點(diǎn)評(píng):《考試大綱》在必修部分的統(tǒng)計(jì)中明確指出“①會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,會(huì)利用散點(diǎn)圖相識(shí)變量間的
相關(guān)關(guān)系.②了解最小二乘法的思想,能依據(jù)給出的線性回來方程系數(shù)公式建立線性回來方程”.2007年廣東就以解答
題的方式考查了這個(gè)問題,在復(fù)習(xí)備考時(shí)不行掉一輕心.
題型6古典概型與幾何概型計(jì)算問題
例11(2008高考江蘇2)一個(gè)骰子連續(xù)投2次,點(diǎn)數(shù)和為4的概率.
分析:枚舉基本領(lǐng)件總數(shù)和隨機(jī)事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)后,依據(jù)古典概型的計(jì)算公式計(jì)算.
31
解析:點(diǎn)數(shù)和為4,即(1,3),(2,2),(3,1),基本領(lǐng)件的總數(shù)是36,故這個(gè)概率是器=,.或是數(shù)形結(jié)合處理.
點(diǎn)評(píng):古典概型的計(jì)算是一個(gè)基礎(chǔ)性的考點(diǎn),高考中除了以解答題的方式重點(diǎn)考查概率的綜合性問題外,也以選擇題、
填空題的方式考查古典概型的計(jì)算.
例12.(2009年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第4題)如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓.在圖形上隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn),
則該點(diǎn)落到圓內(nèi)的概率是
分析:就是圓的面積和正方形面積的比值.
解析:依據(jù)幾何概型的計(jì)算公式,這個(gè)概率值是巴TT,答案A.
點(diǎn)評(píng):高考對(duì)幾何概型的考查一般有兩個(gè)方面,一是以選擇題、填空題的方式有針對(duì)性地考查,二是作為綜合解答題的
一部分和其他概率計(jì)算一起進(jìn)行綜合考查.
例13.(2008高考山東文18)現(xiàn)出名8奧運(yùn)會(huì)志愿者,其中志愿者4,A,A?通曉日語,弊B2,員通曉俄語,G,C2
通曉韓語.從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名,組成一個(gè)小組.
(1)求A1被選中的概率;
(2)求用和G不全被選中的概率.
分析:枚舉的方法找出基本領(lǐng)件的總數(shù),結(jié)合著隨機(jī)事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的概率,用古典概型的計(jì)算公式解決.
解析:(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名,其一切可能的結(jié)果組成的基本領(lǐng)件空間
c={(A,G),(4,與,G),(4,B2fC2)9(Ai9B3,G),
9
(4,B3,C2),(4,Bj£),(4,Bp。2),(4,B2fC])>(A,>B?,C2)
(4,B#Cj)>(4,B3,c*2)?(A,BpG),(4,Bp。2),(4,B-t,C|)?
(4,B~C)),(A,G),(A,鳥,c>2))
由18個(gè)基本領(lǐng)件組成.由于每一個(gè)基本領(lǐng)件被抽取的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的.
用”表示"從恰被選中”這一事務(wù),則
用={(4,與,G),(A,旦,G),(4,/G),
(4B?,G>(A,B3,G),(A,Byc2))
事務(wù)W由6個(gè)基本領(lǐng)件組成,因而P(M)=9=L.
183
(2)用N表示“4,G不全被選中”這一事務(wù),則其對(duì)立事務(wù)亓表示“四,G全被選中”這一事務(wù),
由于討={(4,耳,G),(4,ByG),(4,弊G)},事務(wù)亓有3個(gè)基本領(lǐng)件組成,
—31—15
所以P(N)由對(duì)立事務(wù)的概率公式得P(N)=1-P(N)=1--=-.
18666
點(diǎn)評(píng):本題考查古典概率、對(duì)立事務(wù)等概率的基礎(chǔ)學(xué)問,考查分類探討、“正難則反”等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題解
決問題的實(shí)力.
題型7排列組合(理科)
例14.(浙江寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第9題)由0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù),按
從小到大的依次排成一個(gè)數(shù)列{4},則a”=
A.2014B.2034C.1432D.1430
分析:依據(jù)千位的數(shù)字找尋規(guī)律.
解析:千位是1的四位偶數(shù)有C;A;=18,故笫19和是千位數(shù)字為2的四位偶數(shù)中最小的一個(gè),即2014,答案A.
例15.(2009年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科第17題)有3張都標(biāo)著字母A,6張分別標(biāo)著數(shù)字1,2,3,4,5,6
的卡片,若任取其中6張卡片組成牌號(hào),則可以組成的不同牌號(hào)的總數(shù)等于.(用數(shù)字作答)
分析:由于字母A是一樣的,沒有區(qū)分,故可以依據(jù)含有字母A的多少分類解決,如含有2個(gè)字母A時(shí),只要在6個(gè)位
置上選兩個(gè)位置支配字母A即可,再在其余位置上支配數(shù)字.
解析:不含字母A的有屋=720;含一個(gè)字母A的有C:6=6x720=4320;含兩個(gè)字母A時(shí),星=5400;含三
個(gè)字母4時(shí),CX=2400.故總數(shù)為720+4320+5400+2400=12840.
點(diǎn)評(píng):解決排列、組合問題的一個(gè)基本原則就是先對(duì)問題分類、再對(duì)每一類中的問題合理地分步,依據(jù)排列組合的有關(guān)
計(jì)算公式和兩個(gè)基本原理進(jìn)行計(jì)算.
題型8二項(xiàng)式定理(理科)
例15.(浙江寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第12題)已知(or+1)"+4(〃wN"),點(diǎn)
列a(i,%)(i=0,l,2,,〃)部分圖象如圖所示,則實(shí)數(shù)。的值為.
分析:依據(jù)點(diǎn)列的圖可以知道4,q,%的值,即可以通過列方程組解決.
解析:由圖g=3,%=4,又依據(jù)二項(xiàng)綻開式%=C:%=na=3,
=禺42=^1/=^^=^1=4,解得a=L
點(diǎn)評(píng):本題以點(diǎn)列的部分圖象設(shè)計(jì)了一個(gè)與二項(xiàng)式有關(guān)的問題,解決問題的基本動(dòng)身點(diǎn)是方程的思想.
例16(安徽省皖南八校2009屆高三其次次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)第4題)
若(1-x)"=1+。/+。232++x"(neN+),且4:生3=1:7,則應(yīng)等于
A.56B.-56C.35D.-35
分析:依據(jù)綻開式的系數(shù)之比求出〃值.
解析:%=—=—C:,由4:%=1:7,得〃=8,故%=—C;=—56,答案B.
點(diǎn)評(píng):解這類題目要留意綻開式的系數(shù)和綻開式中項(xiàng)的系數(shù)是區(qū)分,別把符號(hào)弄錯(cuò)了.
題型9離散型隨機(jī)變量的分布、期望與方差(理科的重要考點(diǎn))
例17.(浙江寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第19題)在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)
從這個(gè)盒子中,章放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y,記J=|x—]+僅—4
(1)求隨機(jī)變量J的最大值,并求事務(wù)取得最大值'’的概率;
(2)求隨機(jī)變量J的分布列和數(shù)學(xué)期望.
分析:依據(jù)對(duì)隨機(jī)變量4的規(guī)定,結(jié)合的取值確定隨機(jī)變量可以取那些值,然后依據(jù)其取這些值的意義,分別計(jì)算
其概率.
解析:(1)???X、y可能的取值為1、2、3,.-.|x-2|<l,|y-^<2,
二孑43,且當(dāng)x=l,y=3或x=3,y=l時(shí),孑=3.因此,隨機(jī)變量J的最大值為3.
2
?.?有放回抽兩張卡片的全部狀況有3x3=9種,,P4=3)=§.
(2)J的全部取值為0,1,2,3.
?.?4=0時(shí),只有x=2,y=2這一種狀況,
4=1時(shí),,有x=l,y=l或x=2,y=l或x=2,y=3或x=3,y=3四種狀況,
自=2時(shí),有彳=1,丁=2或》=3,丫=2兩種狀況.
142
.?,e=0)=§,P(^=l)=-,P(^=2)=-.
則隨機(jī)變量J的分布列為:
40123
422
P
9999
142214
因此,數(shù)學(xué)期望Eq=0x±+lx2+2x£+3xW=上.
99999
點(diǎn)評(píng):有放回的“取卡片、取球”之類的問題,其基本領(lǐng)件的總數(shù)要由分步乘法計(jì)數(shù)原理解決,這是一類重要的概率模型.
例18.(江蘇揚(yáng)州市2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期期未調(diào)研測(cè)試加試第4題)某次乒乓球競(jìng)賽的決賽在甲乙兩名選手之間
2
實(shí)行,競(jìng)賽采納五局三勝制,按以往競(jìng)賽閱歷,甲勝乙的概率為一.
3
(I)求競(jìng)賽三局甲獲勝的概率;
(2)求甲獲勝的概率;
(3)設(shè)甲競(jìng)賽的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.
分析:競(jìng)賽三局甲即指甲連勝三局,可以依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式計(jì)算,也可以將問題歸結(jié)為三次獨(dú)
立重復(fù)試驗(yàn),將問題歸結(jié)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型;甲最終獲勝,可以分為甲三局獲勝、四局獲勝、五局獲勝三個(gè)互斥事務(wù)
的概率之和;甲競(jìng)賽的次數(shù)也就是本次競(jìng)賽的次數(shù),留意當(dāng)三局就結(jié)束時(shí),可能是甲取勝也可能是乙取勝等.
解析:記甲〃局獲勝的概率為2,〃=3,4,5,
2Q
(1)競(jìng)賽三局甲獲勝的概率是:鳥=C;(§)3=;
21Q
3
(2)競(jìng)賽四局甲獲勝的概率是:^=C;(-)(-)=^-;
32
競(jìng)賽五局甲獲勝的概率是:^=C;(|)(1)=^;
64
甲獲勝的概率是:^+P4+P5=—.
(3)記乙〃局獲勝的概率為,,‘,72=3,4,5.
吟修,AY(鴻=條與=。即守嗑
故甲競(jìng)賽次數(shù)的分布列為:
X345
P(X)A+分心+與
所以甲競(jìng)賽次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是:
八c/18、“/82、u,168、107
E(X)=3x(——+——)+4x(—+——)+5x(1)=-.
27272727818127
點(diǎn)評(píng):這是一個(gè)以獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型為基本考查點(diǎn)的概率試題,但這里又不是單純的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型,是一個(gè)局部的
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型和相互獨(dú)立事務(wù)的結(jié)合.這類競(jìng)賽型的概率試題也是一個(gè)重要的概率模型.
題型11正態(tài)分布
例19.(2008高考湖南理4)設(shè)隨機(jī)變量4聽從正態(tài)分布N(2,9),若PC>c+l)=PC<c—1),則()
A.1B.2C.3D.4
分析:依據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性解決.
解析:B依據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性,即直線%=。+1與直線x=c-l關(guān)于直線x=2對(duì)稱,故匕*二!■=2,即c=2.
2
點(diǎn)評(píng):本質(zhì)是通過正態(tài)密度曲線考查數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí).
例20(2008高考安徽理10)設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(外,端)(,>0)和N(〃2,端)(%>0)的密度函數(shù)圖像如圖所示.則
有
A.M<從2,。1<%B.
C.D.從>〃2,,>%
分析:依據(jù)正態(tài)密度曲線的性質(zhì)解決.
解析:A依據(jù)正態(tài)分布N(〃,b2)函數(shù)的性質(zhì):正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于x=〃對(duì)稱,在x=〃處取得最大值的連續(xù)鐘
形曲線;0■越大,曲線的最高點(diǎn)越底且彎曲較平緩;反過來,b越小,曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭,選A.
點(diǎn)評(píng):考試大綱對(duì)正態(tài)分布的要求是“利用實(shí)際問題直方圖,了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)與曲線所表示的意義“,這個(gè)考點(diǎn)
多次出現(xiàn)在高考試卷中.
【專題訓(xùn)練與高考預(yù)料】
文科部分
一、選擇題
1.從某魚池中捕得120條魚,做了記號(hào)之后,再放回池中,經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間后,再?gòu)某刂胁兜?00條魚,若其中有記號(hào)的魚
為10條,試估計(jì)魚池中共有魚的條數(shù)為()
A.1000B.1200C.130D.1300
2.己知x與y之間的一組數(shù)據(jù):
X0123
y1357
則y與x的線性回來方程為y=a+Ar必過點(diǎn)()
A.(2,2)B.(1.5,0)C.(1,2)D.(1.5,4)
3.從2007名學(xué)生中選取50名學(xué)生參與全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽,若采納下面的方法選?。合扔煤?jiǎn)潔隨機(jī)抽樣從2007人中剔除7人,
剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取,則每人入選的概率()
A.不全相等B.均不相等
501
C.都相等,且為2007D.都相等,且為40
4.依據(jù)某醫(yī)療探討所的調(diào)查,某地區(qū)居民血型的分布為:。型50%,A型15%,8型30%,鉆型5%.現(xiàn)有一血液為A型病
人須要輸血,若在該地區(qū)任選一人,則能為病人輸血的概率為()
A.15%B.20%C.45%D.65%
5.4張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng),現(xiàn)分別由4名同學(xué)無放回地抽取.若已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)券,則最終一名同學(xué)抽到
中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是()
6.有如下四個(gè)嬉戲盤,假如撒一粒黃豆落在陰影部分,則可中獎(jiǎng).小明希望中獎(jiǎng),他應(yīng)選擇的嬉戲盤是()
二、填空題
7.歸直線方程為y=0.5x—0.81,則x=25時(shí),y的估計(jì)值為.
8.若由一個(gè)2*2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得K?=4.013,則有把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系.
9.一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品180件,它們來自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線,為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量,確定采納分層抽樣的方法進(jìn)行
抽樣,已知甲、乙、丙三條生產(chǎn)線抽取的個(gè)體數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列,則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了件產(chǎn)品.
10.如圖:M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn),在圓周上等可能的任取一點(diǎn)N,連接“V,則弦MN的長(zhǎng)度超過0R的概
率是
11.一個(gè)質(zhì)地勻稱的正方體玩具的六個(gè)面上分別寫著數(shù)字1,2,3,4,5,6,現(xiàn)將這個(gè)正方體玩具向桌面上先后投擲兩次,記和桌
面接觸的面上的數(shù)字分別為。力,曲線c:kl+?=i.
ab
(1)曲線C和圓/+丁=1有公共點(diǎn)的概率;
(2)曲線C所圍成區(qū)域的面積不小于5()的概率.
12.某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表:
年收入X(萬元)24466677810
年飲食支出y(萬元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3
(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù),確定家庭的年收入和年飲食支出的相關(guān)關(guān)系;
(2)假如某家庭年收入為9萬元,預(yù)料其年飲食支出.
理科部分
一、選擇題
1.在區(qū)間[-2,2]內(nèi)任取兩數(shù)a,b,使函數(shù)〃力=£+次+/有兩相異零點(diǎn)的概率是
()
2.在一次試驗(yàn)中,測(cè)得(x,y)的四組值分別為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則y與x的線性回來方程可能是
()
A.y=x+lB.y=x+2C.y=2x+lD.y=x-l
5.向假設(shè)的三座相互毗鄰的軍火庫(kù)投擲一顆炸彈,只要炸中其中任何一座,另外兩座也要發(fā)生爆炸.已知炸中第一座軍火庫(kù)
的概率為0.2,炸中其次座軍火庫(kù)的概率為0.3,炸中第三座軍火庫(kù)的概率為().1,則軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率是
()
A.O.(X)6B.0.4C.0.5D.0.6
6.從標(biāo)有123,7的7個(gè)小球中取出一球,登記它上面的數(shù)字,放回后再取出一球,登記它上面的數(shù)字,然后把兩數(shù)相加
得和,則取得的兩球上的數(shù)字之和大于11或者能被4整除的概率是()
1615213
A.—B.—C.—D.—
4949749
7.在長(zhǎng)為6()加,寬為406的矩形場(chǎng)地上有一個(gè)橢圓形草坪,在一次大風(fēng)后,發(fā)覺該場(chǎng)地內(nèi)共落有300片樹葉,其中落在橢
圓外的樹葉數(shù)為96片,以此數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出草坪的面積約為()
22
A.768mB.1632〃,c.1732〃D.868m
8.6名同學(xué)報(bào)考A,B,C三所院校,假如每一所院校至少有1人報(bào)考,則不同的報(bào)考方法共有()
A.216種B.54()種C.729種D.324()種
二、填空題
9.某校有高一學(xué)生400人,高二學(xué)生302人,高三學(xué)生25()人,現(xiàn)在按年級(jí)分層抽樣,從全部學(xué)生中抽取一個(gè)容量為19()人
的樣本,應(yīng)當(dāng)高學(xué)生中,剔除人,高一、高二、高三抽取的人數(shù)依次是.
10.(二+4+五產(chǎn)的綻開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為.
2x
11.若》=夜,則(1+X)5°綻開式中最大的項(xiàng)是一項(xiàng).
三、解答題
13.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練,己知他們擊中的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán),且每次射擊成果互不影響.射擊環(huán)數(shù)的頻率
分布條形圖如下:
若將頻率視為概率,回答下列問題.
(1)求甲運(yùn)動(dòng)員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率;
(2)若甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各自射擊1次,J表示這2次射擊中擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的次數(shù),求J的分布列與
15.袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球,從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次,每次取1個(gè)球.求:
(1)有放回抽樣時(shí),取到黑球的個(gè)數(shù)X的分布列;
(2)不放回抽樣時(shí),取到黑球的個(gè)數(shù)y的分布列.
16.某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表:
年收入X(萬元)24466677810
年飲食支出y(萬元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3
(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù),確定家庭的年收入和年飲食支出的相關(guān)關(guān)系;
(2)假如某家庭年收入為9萬元,預(yù)料其年飲食支出.
【參考答案】
文科部分
1.解析:B依據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想,池中有記號(hào)的魚的頻率是」■,故魚池中魚的條數(shù)是1200條.
10
4.解析:D過樣本中心點(diǎn).選D.
7.解析:C任何個(gè)體被抽到的概率都相等,且是旦.
2007
8.解析:D只有。型和A型,依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法得結(jié)論為65%.
9.解析:B相當(dāng)于在3張獎(jiǎng)券中1張有獎(jiǎng),3人抽取,最終一人抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是
3
10.解析:A選擇嬉戲盤的原則是中獎(jiǎng)的概率大,A中中獎(jiǎng)的概率是3士,B中中獎(jiǎng)的概率是1上,C中中獎(jiǎng)的概率是4—土7T』,
834
B中中獎(jiǎng)的概率是比較大小即知.
71
11.解析:11.690.5x25-0.81=11.69
12.解析:95%
13.解析:60.三條生產(chǎn)線的產(chǎn)品也組成等差數(shù)列.
14.解析:2連接圓心。與〃點(diǎn),作弦使/MON=90",這樣的點(diǎn)有兩個(gè),分別記為N,%,僅當(dāng)N在不屬于M
180°_1
的半圓弧上取值時(shí)滿意”N>血及,此時(shí)NNQN?=180",故所求的概率為360°2.
15.解析:基本領(lǐng)件的總數(shù)是36.
(1)a,b應(yīng)滿意―,-<1>吟+?,逐個(gè)檢驗(yàn),
2
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),隨機(jī)事務(wù):曲線C和圓/+產(chǎn)=1有公共點(diǎn)
的概率包含著11個(gè)基本領(lǐng)件,故所求的概率是u;
36
(2)曲線C所圍成的區(qū)域的面積是2aA,即求出J225的概率,基本領(lǐng)件只能是(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),故所
求的概率是4二=!1.
369
16.解析:(1)由題意知,年收入x為說明變量,年飲食支出y為預(yù)報(bào)變量,作散點(diǎn)圖(如圖所示).
從圖中可以看出,樣本點(diǎn)呈條狀分布,年收入和年飲食支出有比較好的線性相關(guān)關(guān)系,因此可以用線性回來方程刻畫它
們之間的關(guān)系.
__io1010
"x=6,y=1.83,=406,=35.13,?*=117.7,
1=11=11=1
0.172,?=y-/?x=1.83-0.172x6=0.798.
從而得到回來直線方程為y=0.172x+0.798.
(2)y=0.172x9+0.798=2.346萬元.
理科部分
1.解析:D依據(jù)題意a*應(yīng)滿意/>/,即網(wǎng)>同,以僅為)為點(diǎn),在陽。平面上,結(jié)合圖形可知這個(gè)概率為;.
2.解析:A線性回來直線肯定過樣本中心點(diǎn)(2.5,3.5),故選A.
3.解析:D設(shè)AB,C分別表示炸中第一、其次、第三座軍火庫(kù)這三個(gè)事務(wù).則P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1.設(shè)£>
表示”軍火庫(kù)爆炸",則。=ABC.又B,C彼此互斥,
:.P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.3+0.1=0.6.
4.解析:A基本領(lǐng)件總數(shù)為7x7=49個(gè),而滿意條件的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為16個(gè):
(1,3),(22),(31),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(53),(62),(7,1),(5,7),(66),(7,5),(67),(7,6),(7,7).
故所求事務(wù)的概率為3.
49
7891011121314
678910111213
56789101112
4567891011
345678910
23456789
12345678
,。?彳234567Ax
5.解析:B依據(jù)隨機(jī)模擬的思想,可以認(rèn)為樹葉落在該場(chǎng)地上是隨機(jī)的,這樣橢圓草坪的面積和整個(gè)矩形場(chǎng)地的面積之比
就近似地等于落在橢圓草坪上的樹葉數(shù)目和落在整個(gè)矩形場(chǎng)地上的樹葉數(shù)目之比.
2
60x40x30°-96=J632(,?).
300
6.解析:B先將6名同學(xué)分成(1,1,4);。,2,3);(2,2,2)三組,再安排到三所院校.其中(1,1,4),(2,2,2)涉與到勻稱分組,
留意考慮分組的特別性./時(shí)+C2+如但用田,選B.
7.解析:二2,80、60、50總體人數(shù)為400+302+250=952(人),?.9,5"2=5……余2,40—0=80,302-2=60,
19055
二2520二50,???從高二年級(jí)中剔除2人,所以從高一,高二,高三年級(jí)中分別抽取80人、60人、50人.
5
r-1010-rr
解析:乎
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