高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)專題

專題二概率統(tǒng)計(jì)專題

【考點(diǎn)透析】概率統(tǒng)計(jì)的考點(diǎn)主要有：概率與統(tǒng)計(jì)包括隨機(jī)事務(wù)，等可能性事務(wù)的概率，互斥事務(wù)有一個(gè)發(fā)生的概率,

古典概型，幾何概型，條件概率，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布，超幾何分布，離散型隨機(jī)變量的分布列，離散型隨機(jī)變量的期

望和方差，抽樣方法，總體分布的估計(jì)，正態(tài)分布，線性回來等.

【例題解析】

題型1抽樣方法

［例1］在1000個(gè)有機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)的號(hào)碼（編號(hào)為000-999）中，在公證部門監(jiān)督下依據(jù)隨機(jī)抽取的方法確定后兩位數(shù)為

的號(hào)碼為中獎(jiǎng)號(hào)碼，該抽樣運(yùn)用的抽樣方法是（）

A.簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.以上均不對(duì)

分析：實(shí)際“間隔距離相等''的抽取，屬于系統(tǒng)抽樣.

解析：題中運(yùn)用了系統(tǒng)抽樣的方法采確定中獎(jiǎng)號(hào)碼，中獎(jiǎng)號(hào)碼依次為：088,188,288,388,488,588,688,788,

888,988.答案B.

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于系統(tǒng)抽樣要留意如下幾個(gè)問題：（1）系統(tǒng)抽樣是將總體分成均衡幾個(gè)部分，然依據(jù)預(yù)先定出的規(guī)則從每一部

分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所須要的樣本的一種抽樣方法.（2）系統(tǒng)抽樣的步驟：①將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào)；②將編號(hào)分

段；③在第一段中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)；④按事先探討的規(guī)則抽取樣本.（3）適用范圍：個(gè)體數(shù)較多的

總體.

例2（2008年高考廣東卷理3）某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表.已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽

到二年級(jí)女生的概率是0.19.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（）

一年級(jí)二年級(jí)

年級(jí)

女生373Xy

力生377370Z

分析：依據(jù)給出的概領(lǐng)先求出x的值，這樣就可以知道三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)，問題就解決了.

解析：C二年級(jí)女生占全校學(xué)生總數(shù)的19%,即x=2000x（）.19=38（）,這樣一年級(jí)和二年級(jí)學(xué)生的總數(shù)是

64

373+377+380+370=1500,三年級(jí)學(xué)生有500人，用分層抽樣抽取的三年級(jí)學(xué)生應(yīng)是—x500=16.答案C.

2000

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率統(tǒng)計(jì)最基礎(chǔ)的學(xué)問，還涉與到一點(diǎn)分析問題的實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，題目以抽樣的等可能性為動(dòng)身點(diǎn)考

查隨機(jī)抽樣和分層抽樣的學(xué)問.

例3.（2009江蘇泰州期末第2題）一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了■）（）（）（）人，并依據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本

的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這1（X）0。人中再用分層抽

樣方法抽出10（）人作進(jìn)一步調(diào)查，則在［2500,3500）（元）月收入段應(yīng)抽出人.

頻率/組距

0.0005

0.0004

0.0003

0.0002

().0001

月收入(元)

--------?

1000150020002500300035004000

分析：事實(shí)上是每10（）人抽取一人，只要把區(qū)間內(nèi)的人數(shù)找出來即可.

解析：依據(jù)圖可以看出月收入在［2500,3500）的人數(shù)的頻率是

（0.0005+0.0003）x500=0.4,故月收入在［2500,3500）人數(shù)是10000x0.4=4000,

故抽取25人.

點(diǎn)評(píng)：本題把統(tǒng)計(jì)圖表和抽樣方法結(jié)合起來，主要目的是考查識(shí)圖和計(jì)算實(shí)力.

題型2統(tǒng)計(jì)圖表問題

例4（安徽省皖南八校2009屆高三其次次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)第2題）從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取一個(gè)班，對(duì)該班50名學(xué)生的

高校招生體檢表中視力狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果的頻率分布直方圖如右圖：若某高校A專業(yè)對(duì)視力的要求在0.9以上，則

該班學(xué)生中能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為

T須率

L00

0.75

05

025—1視

0.30.50.709I.I1.315

A.10B.20C.8D.16

分析：依據(jù)圖找出視力在0.9以上的人數(shù)的頻率即可.

解析：B.視力住0.9以上的頻率為（1+0.75+.025）x0.2=0.4,人數(shù)為0.4x50=20.

點(diǎn)評(píng)：在解決頻率分別直方圖問題時(shí)簡(jiǎn)潔出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為直方圖中小矩形的高就是各段的頻率，事實(shí)上小矩形的高是

頻率除以組距.

例5（2009年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科第13題）某籃球運(yùn)動(dòng)員在一個(gè)賽季的4（）場(chǎng)競(jìng)賽中的得分的莖葉

圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；眾數(shù)是.

9

23346789

20333355788

302234489

40356

分析：依據(jù)莖葉圖和中位數(shù)、眾數(shù)的概念解決.

解析：由于中位數(shù)是把樣本數(shù)據(jù)依據(jù)由小到大的依次排列起來，處在中間位置的一個(gè)（或是最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），故

從莖葉圖可以看出中位數(shù)是23；而眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故眾數(shù)也是23.

點(diǎn)評(píng)：一表（頻率分布表）、三圖（頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖）、三數(shù)（眾數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和標(biāo)準(zhǔn)差，

是高考考查統(tǒng)計(jì)的一個(gè)主要考點(diǎn).

例5（2008高考廣東文11）為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的實(shí)力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)

品數(shù)量的分組區(qū)間為[45,55）,[55,65）,[65,75）,[75,85）,

[85,95）由此得到頻率分布直方圖如圖，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75）的人數(shù)是.

頻率/組距

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

455565758595

圖3

分析：找出頻率即可.

解析：20x[（0.040+0.0025）xl0]=13.

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖，解題的關(guān)鍵是明確這個(gè)直方圖上的縱坐標(biāo)是頻率/組距，得誕生產(chǎn)數(shù)量在[55,75）的人

數(shù)的頻率.

題型3平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差（方差）的計(jì)算問題

例6（2008高考山東文9）從某項(xiàng)綜合實(shí)力測(cè)試中抽取100人的成果，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成果的標(biāo)準(zhǔn)差為（）

分?jǐn)?shù)54321

人數(shù)2010303010

25/io

A.GC.3D.-

55

分析：依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式干脆計(jì)算即可.

"廣〒…曰5x20+4x10+3x30+2x30+1x10,

解析：平均數(shù)是---------------------------------=3,

100

標(biāo)準(zhǔn)差是

/20x（5-3）2+10x（4-3『+30x（3-3『+30x（2-3y+10x（l—3）2

5-V100

/80+10+30+40_82M

—V100-V5-5

答案B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)據(jù)組的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的學(xué)問，考查數(shù)據(jù)處理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力.解題的關(guān)鍵是正確理解統(tǒng)計(jì)表的意義,

會(huì)用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的公式，只要考生對(duì)此相識(shí)清晰，解答并不困難.

例7.（中山市高三級(jí)2008—2009學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試?yán)砜频?題）若數(shù)據(jù)看,當(dāng),占，，X,,的平均數(shù)x=5,

方差。2=2,則數(shù)據(jù)3玉+1,3々+1,3為+1,-,34+1的平均數(shù)為,方差為

分析：依據(jù)平均數(shù)與方差的性質(zhì)解決.

解析：16,18

例8.（浙江寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第3題）如圖是2009年元旦晚會(huì)舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評(píng)委

為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為

A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,4

79

844647

93

解析：C

題型4用樣本估計(jì)總體

例8（2008高考湖南文12）從某地區(qū)15000位老人中隨機(jī)抽取500人，其生活能否自理的狀況如下表所示:

毛

7生活渝男女

杏自理

能178278

不能2321

則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多人.

23-21

解析：60由上表得15000x=——=2x30=60.

500

點(diǎn)評(píng)：考查樣本估計(jì)總體的思想.

題型5.線性回來分析

例9.（2007高考廣東）下表供應(yīng)了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y

（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組比照數(shù)據(jù)

3

2.5

(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)請(qǐng)依據(jù)上表供應(yīng)的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回來方程》=云+“；

(3)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤；試依據(jù)(2)求出的線性回來方程，預(yù)料生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)

品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？

分析：本題中散點(diǎn)圖好作，本題的關(guān)鍵是求y關(guān)于x的線性回來方程)，=法+”，它既可以由給出的回來系數(shù)公式干脆計(jì)

算，也可以遵循著最小二乘法的基本思想一一即所求的直線應(yīng)使殘差平方和最小，用求二元函數(shù)最值的方法解決.

解析：

(1)散點(diǎn)圖如右

(2)方法一：設(shè)線性回來方程為丫=加+°,則

」(a,b)=(3b+a-2.5)2+(4fc+a-3)2+(5b+a-4y+(6b+a-4.5)2

=4a2+2a(l8b-14)+(3b-2.5)2+(4b-3)2+(5a-4)2+(6b-4.5)2

a==3.5-4.5〃時(shí)，f(a,b)取得最小值(1.5b-+(0.5b-0.5)2+(0.5b-0.5)2+(1.5fe-l)2,

即0.5[(3fe-2)2+S-1尸]=5〃一7匕+g,:.b=O.7,a=0.35時(shí)/(a,Z?)取得最小值.

所以線性回來方程為y=0.7x+0.35.

方法二：由系數(shù)公式可知，4=4.5,-=3.5,b=665-4*45：3.5=66.5-63=。：

86-4x4.525

o

“=3.5-0.7x2=0.35,所以線性回來方程為y=0.7x+0.35.

2

(3)》=100時(shí)-，y=O.7x+O.35=70.35,所以預(yù)料生產(chǎn)1()()噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤.

點(diǎn)評(píng)：本題考查回來分析的基本思想.求線性回來方程的方法一這事實(shí)上是重復(fù)了回來系數(shù)公式的推導(dǎo)過程，這里的另

個(gè)解決方法是對(duì)/(?,&)我們?cè)侔碽集項(xiàng)，即

/(a,&)=86/?2+(36a-133)&+(a-2.5)2+(a-3)2+(a-4)2+(a-4.5)2,而這個(gè)時(shí)候，當(dāng)(="：；；小時(shí)/(。力)

有最小值，結(jié)合上面解法中。=3.5—4.56時(shí)/(。,6)有最小值，組成方程組就可以解出。，6的值；方法二前提是正確

地運(yùn)用回來系數(shù)的計(jì)算公式，一般考試中都會(huì)給出這個(gè)公式，但要留意各個(gè)量的計(jì)算；最終求出的19.65是指的平均值

或者是估計(jì)值，不是完全確定的值.對(duì)于本題我們可以計(jì)算題目所給的數(shù)據(jù)組的相關(guān)系數(shù)r=0.9899,相關(guān)指數(shù)

店=0.98.這說明x,y具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，說明說明變量對(duì)預(yù)報(bào)變量的貢獻(xiàn)率是98%,即耗煤量的98%是來自

生產(chǎn)量，只有約2%來自其它因素，這與我們的直觀感覺是非常符合的.本題簡(jiǎn)潔用錯(cuò)計(jì)算回來系數(shù)的公式，或是把回

來系數(shù)和回來常數(shù)弄顛倒了.

例10.(江蘇揚(yáng)州市2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期期未調(diào)研測(cè)試第17題)為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階

段的學(xué)習(xí)供應(yīng)指導(dǎo)性建議.現(xiàn)對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成果X、物理成果y進(jìn)行分析.下面是該生7次考試的成果.

婁

(1)他的數(shù)學(xué)成果與物理成果哪個(gè)更穩(wěn)定？請(qǐng)給出你的證明；

(2)已知該生的物理成果y與數(shù)學(xué)成果x是線性相關(guān)的，若該生的物理成果達(dá)到115分，請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成果大約是

多少？并請(qǐng)你依據(jù)物理成果與數(shù)學(xué)成果的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議.

分析：成果的穩(wěn)定性用樣本數(shù)據(jù)的方差推斷，由物理成果估計(jì)數(shù)學(xué)成果由回來直線方程解決.

：(1)x

7

-6-9+8-4+4+1+6…

y=100+-------------------------------=101)

從而S全學(xué)〉S)理，所以物理成果更穩(wěn)定.

(2)由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，依據(jù)回來系數(shù)公式得到

，497

/?=—=0.5,0=100-0.5x100=50,

.?.線性回來方程為y=0.5x+50.當(dāng)y=115時(shí)，x=l30.

建議：進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成果的穩(wěn)定性，將有助于物理成果的進(jìn)一步提高.

點(diǎn)評(píng)：《考試大綱》在必修部分的統(tǒng)計(jì)中明確指出“①會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖相識(shí)變量間的

相關(guān)關(guān)系.②了解最小二乘法的思想，能依據(jù)給出的線性回來方程系數(shù)公式建立線性回來方程”.2007年廣東就以解答

題的方式考查了這個(gè)問題，在復(fù)習(xí)備考時(shí)不行掉一輕心.

題型6古典概型與幾何概型計(jì)算問題

例11(2008高考江蘇2)一個(gè)骰子連續(xù)投2次，點(diǎn)數(shù)和為4的概率.

分析：枚舉基本領(lǐng)件總數(shù)和隨機(jī)事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)后，依據(jù)古典概型的計(jì)算公式計(jì)算.

31

解析：點(diǎn)數(shù)和為4,即(1,3),(2,2),(3,1),基本領(lǐng)件的總數(shù)是36,故這個(gè)概率是器=,.或是數(shù)形結(jié)合處理.

點(diǎn)評(píng)：古典概型的計(jì)算是一個(gè)基礎(chǔ)性的考點(diǎn)，高考中除了以解答題的方式重點(diǎn)考查概率的綜合性問題外，也以選擇題、

填空題的方式考查古典概型的計(jì)算.

例12.(2009年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第4題)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓.在圖形上隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，

則該點(diǎn)落到圓內(nèi)的概率是

分析：就是圓的面積和正方形面積的比值.

解析：依據(jù)幾何概型的計(jì)算公式，這個(gè)概率值是巴TT，答案A.

點(diǎn)評(píng)：高考對(duì)幾何概型的考查一般有兩個(gè)方面，一是以選擇題、填空題的方式有針對(duì)性地考查，二是作為綜合解答題的

一部分和其他概率計(jì)算一起進(jìn)行綜合考查.

例13.(2008高考山東文18)現(xiàn)出名8奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者4，A，A?通曉日語，弊B2,員通曉俄語，G，C2

通曉韓語.從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個(gè)小組.

(1)求A1被選中的概率；

(2)求用和G不全被選中的概率.

分析：枚舉的方法找出基本領(lǐng)件的總數(shù)，結(jié)合著隨機(jī)事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的概率，用古典概型的計(jì)算公式解決.

解析：（1）從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本領(lǐng)件空間

c=｛（A，G），（4，與，G）,（4，B2fC2）9（Ai9B3,G），

9

（4，B3,C2）,（4,Bj￡）,（4,Bp。2）,（4,B2fC］）>（A,>B?,C2）

（4,B#Cj）>（4，B3,c*2）?（A，BpG）,（4,Bp。2）,（4,B-t，C|）?

（4，B~C））,（A，G），（A，鳥，c>2））

由18個(gè)基本領(lǐng)件組成.由于每一個(gè)基本領(lǐng)件被抽取的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的.

用”表示"從恰被選中”這一事務(wù)，則

用=｛（4，與，G），（A，旦，G），（4，/G），

（4B?,G>（A，B3,G）,（A，Byc2））

事務(wù)W由6個(gè)基本領(lǐng)件組成，因而P（M）=9=L.

183

（2）用N表示“4,G不全被選中”這一事務(wù)，則其對(duì)立事務(wù)亓表示“四，G全被選中”這一事務(wù)，

由于討=｛（4，耳，G），（4，ByG），（4，弊G）｝，事務(wù)亓有3個(gè)基本領(lǐng)件組成，

—31—15

所以P（N）由對(duì)立事務(wù)的概率公式得P（N）=1-P（N）=1--=-.

18666

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概率、對(duì)立事務(wù)等概率的基礎(chǔ)學(xué)問，考查分類探討、“正難則反”等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題解

決問題的實(shí)力.

題型7排列組合（理科）

例14.（浙江寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第9題）由0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，按

從小到大的依次排成一個(gè)數(shù)列｛4｝，則a”=

A.2014B.2034C.1432D.1430

分析：依據(jù)千位的數(shù)字找尋規(guī)律.

解析：千位是1的四位偶數(shù)有C；A；=18,故笫19和是千位數(shù)字為2的四位偶數(shù)中最小的一個(gè)，即2014,答案A.

例15.（2009年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科第17題）有3張都標(biāo)著字母A,6張分別標(biāo)著數(shù)字1,2,3,4,5,6

的卡片，若任取其中6張卡片組成牌號(hào)，則可以組成的不同牌號(hào)的總數(shù)等于.（用數(shù)字作答）

分析：由于字母A是一樣的，沒有區(qū)分，故可以依據(jù)含有字母A的多少分類解決，如含有2個(gè)字母A時(shí)，只要在6個(gè)位

置上選兩個(gè)位置支配字母A即可，再在其余位置上支配數(shù)字.

解析：不含字母A的有屋=720；含一個(gè)字母A的有C：6=6x720=4320；含兩個(gè)字母A時(shí)，星=5400；含三

個(gè)字母4時(shí)，CX=2400.故總數(shù)為720+4320+5400+2400=12840.

點(diǎn)評(píng)：解決排列、組合問題的一個(gè)基本原則就是先對(duì)問題分類、再對(duì)每一類中的問題合理地分步，依據(jù)排列組合的有關(guān)

計(jì)算公式和兩個(gè)基本原理進(jìn)行計(jì)算.

題型8二項(xiàng)式定理（理科）

例15.（浙江寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第12題）已知（or+1）"+4（〃wN"）,點(diǎn)

列a（i,%）（i=0,l,2,,〃）部分圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)。的值為.

分析：依據(jù)點(diǎn)列的圖可以知道4,q,%的值，即可以通過列方程組解決.

解析：由圖g=3,%=4,又依據(jù)二項(xiàng)綻開式%=C：%=na=3,

=禺42=^1/=^^=^1=4,解得a=L

點(diǎn)評(píng)：本題以點(diǎn)列的部分圖象設(shè)計(jì)了一個(gè)與二項(xiàng)式有關(guān)的問題，解決問題的基本動(dòng)身點(diǎn)是方程的思想.

例16（安徽省皖南八校2009屆高三其次次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)第4題）

若（1-x）"=1+。/+。232++x"（neN+）,且4：生3=1：7,則應(yīng)等于

A.56B.-56C.35D.-35

分析：依據(jù)綻開式的系數(shù)之比求出〃值.

解析：%=—=—C：，由4：%=1：7，得〃=8,故%=—C；=—56,答案B.

點(diǎn)評(píng)：解這類題目要留意綻開式的系數(shù)和綻開式中項(xiàng)的系數(shù)是區(qū)分，別把符號(hào)弄錯(cuò)了.

題型9離散型隨機(jī)變量的分布、期望與方差（理科的重要考點(diǎn)）

例17.（浙江寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第19題）在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)

從這個(gè)盒子中，章放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y,記J=|x—]+僅—4

（1）求隨機(jī)變量J的最大值，并求事務(wù)取得最大值'’的概率；

（2）求隨機(jī)變量J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析：依據(jù)對(duì)隨機(jī)變量4的規(guī)定，結(jié)合的取值確定隨機(jī)變量可以取那些值，然后依據(jù)其取這些值的意義，分別計(jì)算

其概率.

解析：（1）???X、y可能的取值為1、2、3,.-.|x-2|<l,|y-^<2,

二孑43,且當(dāng)x=l,y=3或x=3,y=l時(shí)，孑=3.因此，隨機(jī)變量J的最大值為3.

2

?.?有放回抽兩張卡片的全部狀況有3x3=9種，，P4=3）=§.

（2）J的全部取值為0,1,2,3.

?.?4=0時(shí)，只有x=2,y=2這一種狀況，

4=1時(shí),，有x=l,y=l或x=2,y=l或x=2,y=3或x=3,y=3四種狀況，

自=2時(shí)，有彳=1,丁=2或》=3,丫=2兩種狀況.

142

.?，e=0）=§,P（^=l）=-,P（^=2）=-.

則隨機(jī)變量J的分布列為:

40123

422

P

9999

142214

因此，數(shù)學(xué)期望Eq=0x±+lx2+2x￡+3xW=上.

99999

點(diǎn)評(píng)：有放回的“取卡片、取球”之類的問題，其基本領(lǐng)件的總數(shù)要由分步乘法計(jì)數(shù)原理解決，這是一類重要的概率模型.

例18.(江蘇揚(yáng)州市2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期期未調(diào)研測(cè)試加試第4題)某次乒乓球競(jìng)賽的決賽在甲乙兩名選手之間

2

實(shí)行，競(jìng)賽采納五局三勝制，按以往競(jìng)賽閱歷，甲勝乙的概率為一.

3

(I)求競(jìng)賽三局甲獲勝的概率；

(2)求甲獲勝的概率；

(3)設(shè)甲競(jìng)賽的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

分析：競(jìng)賽三局甲即指甲連勝三局，可以依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式計(jì)算，也可以將問題歸結(jié)為三次獨(dú)

立重復(fù)試驗(yàn)，將問題歸結(jié)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型；甲最終獲勝，可以分為甲三局獲勝、四局獲勝、五局獲勝三個(gè)互斥事務(wù)

的概率之和；甲競(jìng)賽的次數(shù)也就是本次競(jìng)賽的次數(shù)，留意當(dāng)三局就結(jié)束時(shí)，可能是甲取勝也可能是乙取勝等.

解析：記甲〃局獲勝的概率為2，〃=3,4,5,

2Q

(1)競(jìng)賽三局甲獲勝的概率是：鳥=C；(§)3=;

21Q

3

(2)競(jìng)賽四局甲獲勝的概率是：^=C；(-)(-)=^-；

32

競(jìng)賽五局甲獲勝的概率是：^=C；(|)(1)=^;

64

甲獲勝的概率是：^+P4+P5=—.

(3)記乙〃局獲勝的概率為，,‘，72=3,4,5.

吟修，AY(鴻=條與=。即守嗑

故甲競(jìng)賽次數(shù)的分布列為：

X345

P(X)A+分心+與

所以甲競(jìng)賽次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是:

八c/18、“/82、u,168、107

E(X)=3x(——+——)+4x(—+——)+5x(1)=-.

27272727818127

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)以獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型為基本考查點(diǎn)的概率試題，但這里又不是單純的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型，是一個(gè)局部的

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型和相互獨(dú)立事務(wù)的結(jié)合.這類競(jìng)賽型的概率試題也是一個(gè)重要的概率模型.

題型11正態(tài)分布

例19.(2008高考湖南理4)設(shè)隨機(jī)變量4聽從正態(tài)分布N(2,9),若PC>c+l)=PC<c—1),則()

A.1B.2C.3D.4

分析：依據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性解決.

解析:B依據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，即直線％=。+1與直線x=c-l關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故匕*二!■=2,即c=2.

2

點(diǎn)評(píng)：本質(zhì)是通過正態(tài)密度曲線考查數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí).

例20(2008高考安徽理10)設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(外，端)(,>0)和N(〃2，端)(%>0)的密度函數(shù)圖像如圖所示.則

有

A.M<從2，。1<%B.

C.D.從>〃2，，>%

分析：依據(jù)正態(tài)密度曲線的性質(zhì)解決.

解析：A依據(jù)正態(tài)分布N(〃,b2)函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于x=〃對(duì)稱，在x=〃處取得最大值的連續(xù)鐘

形曲線；0■越大，曲線的最高點(diǎn)越底且彎曲較平緩；反過來，b越小，曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭，選A.

點(diǎn)評(píng)：考試大綱對(duì)正態(tài)分布的要求是“利用實(shí)際問題直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)與曲線所表示的意義“，這個(gè)考點(diǎn)

多次出現(xiàn)在高考試卷中.

【專題訓(xùn)練與高考預(yù)料】

文科部分

一、選擇題

1.從某魚池中捕得120條魚，做了記號(hào)之后，再放回池中，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間后，再?gòu)某刂胁兜?00條魚，若其中有記號(hào)的魚

為10條，試估計(jì)魚池中共有魚的條數(shù)為（）

A.1000B.1200C.130D.1300

2.己知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：

X0123

y1357

則y與x的線性回來方程為y=a+Ar必過點(diǎn)（）

A.（2,2）B.（1.5,0）C.（1,2）D.（1.5,4）

3.從2007名學(xué)生中選取50名學(xué)生參與全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽，若采納下面的方法選?。合扔煤?jiǎn)潔隨機(jī)抽樣從2007人中剔除7人，

剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每人入選的概率（）

A.不全相等B.均不相等

501

C.都相等，且為2007D.都相等，且為40

4.依據(jù)某醫(yī)療探討所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：。型50%,A型15%,8型30%,鉆型5%.現(xiàn)有一血液為A型病

人須要輸血，若在該地區(qū)任選一人，則能為病人輸血的概率為（）

A.15%B.20%C.45%D.65%

5.4張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由4名同學(xué)無放回地抽取.若已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)券，則最終一名同學(xué)抽到

中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是（）

6.有如下四個(gè)嬉戲盤，假如撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎(jiǎng).小明希望中獎(jiǎng)，他應(yīng)選擇的嬉戲盤是（）

二、填空題

7.歸直線方程為y=0.5x—0.81,則x=25時(shí)，y的估計(jì)值為.

8.若由一個(gè)2*2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得K?=4.013,則有把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系.

9.一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品180件，它們來自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，確定采納分層抽樣的方法進(jìn)行

抽樣，已知甲、乙、丙三條生產(chǎn)線抽取的個(gè)體數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了件產(chǎn)品.

10.如圖：M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能的任取一點(diǎn)N,連接“V,則弦MN的長(zhǎng)度超過0R的概

率是

11.一個(gè)質(zhì)地勻稱的正方體玩具的六個(gè)面上分別寫著數(shù)字1,2,3,4,5,6,現(xiàn)將這個(gè)正方體玩具向桌面上先后投擲兩次，記和桌

面接觸的面上的數(shù)字分別為。力，曲線c：kl+?=i.

ab

(1)曲線C和圓/+丁=1有公共點(diǎn)的概率；

(2)曲線C所圍成區(qū)域的面積不小于5()的概率.

12.某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：

年收入X(萬元)24466677810

年飲食支出y(萬元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3

(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，確定家庭的年收入和年飲食支出的相關(guān)關(guān)系；

(2)假如某家庭年收入為9萬元，預(yù)料其年飲食支出.

理科部分

一、選擇題

1.在區(qū)間［-2,2］內(nèi)任取兩數(shù)a,b,使函數(shù)〃力=￡+次+/有兩相異零點(diǎn)的概率是

()

2.在一次試驗(yàn)中，測(cè)得(x,y)的四組值分別為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則y與x的線性回來方程可能是

()

A.y=x+lB.y=x+2C.y=2x+lD.y=x-l

5.向假設(shè)的三座相互毗鄰的軍火庫(kù)投擲一顆炸彈，只要炸中其中任何一座，另外兩座也要發(fā)生爆炸.已知炸中第一座軍火庫(kù)

的概率為0.2,炸中其次座軍火庫(kù)的概率為0.3,炸中第三座軍火庫(kù)的概率為().1,則軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率是

()

A.O.(X)6B.0.4C.0.5D.0.6

6.從標(biāo)有123,7的7個(gè)小球中取出一球，登記它上面的數(shù)字，放回后再取出一球，登記它上面的數(shù)字，然后把兩數(shù)相加

得和，則取得的兩球上的數(shù)字之和大于11或者能被4整除的概率是()

1615213

A.—B.—C.—D.—

4949749

7.在長(zhǎng)為6()加，寬為406的矩形場(chǎng)地上有一個(gè)橢圓形草坪，在一次大風(fēng)后,發(fā)覺該場(chǎng)地內(nèi)共落有300片樹葉，其中落在橢

圓外的樹葉數(shù)為96片，以此數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出草坪的面積約為()

22

A.768mB.1632〃，c.1732〃D.868m

8.6名同學(xué)報(bào)考A,B,C三所院校，假如每一所院校至少有1人報(bào)考，則不同的報(bào)考方法共有()

A.216種B.54()種C.729種D.324()種

二、填空題

9.某校有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生302人，高三學(xué)生25（）人，現(xiàn)在按年級(jí)分層抽樣，從全部學(xué)生中抽取一個(gè)容量為19（）人

的樣本，應(yīng)當(dāng)高學(xué)生中，剔除人，高一、高二、高三抽取的人數(shù)依次是.

10.（二+4+五產(chǎn)的綻開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為.

2x

11.若》=夜，則（1+X）5°綻開式中最大的項(xiàng)是一項(xiàng).

三、解答題

13.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，己知他們擊中的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán)，且每次射擊成果互不影響.射擊環(huán)數(shù)的頻率

分布條形圖如下：

若將頻率視為概率，回答下列問題.

（1）求甲運(yùn)動(dòng)員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率;

（2）若甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各自射擊1次，J表示這2次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的次數(shù)，求J的分布列與

15.袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球.求:

（1）有放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)X的分布列；

（2）不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)y的分布列.

16.某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：

年收入X（萬元）24466677810

年飲食支出y（萬元）0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3

（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，確定家庭的年收入和年飲食支出的相關(guān)關(guān)系;

（2）假如某家庭年收入為9萬元，預(yù)料其年飲食支出.

【參考答案】

文科部分

1.解析：B依據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，池中有記號(hào)的魚的頻率是」■，故魚池中魚的條數(shù)是1200條.

10

4.解析：D過樣本中心點(diǎn).選D.

7.解析：C任何個(gè)體被抽到的概率都相等，且是旦.

2007

8.解析：D只有。型和A型，依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法得結(jié)論為65%.

9.解析：B相當(dāng)于在3張獎(jiǎng)券中1張有獎(jiǎng)，3人抽取，最終一人抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是

3

10.解析：A選擇嬉戲盤的原則是中獎(jiǎng)的概率大，A中中獎(jiǎng)的概率是3士，B中中獎(jiǎng)的概率是1上，C中中獎(jiǎng)的概率是4—土7T』,

834

B中中獎(jiǎng)的概率是比較大小即知.

71

11.解析:11.690.5x25-0.81=11.69

12.解析:95%

13.解析：60.三條生產(chǎn)線的產(chǎn)品也組成等差數(shù)列.

14.解析：2連接圓心。與〃點(diǎn)，作弦使/MON=90",這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為N，%,僅當(dāng)N在不屬于M

180°_1

的半圓弧上取值時(shí)滿意”N＞血及，此時(shí)NNQN?=180",故所求的概率為360°2.

15.解析：基本領(lǐng)件的總數(shù)是36.

(1)a,b應(yīng)滿意―,-<1>吟+?,逐個(gè)檢驗(yàn),

2

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,隨機(jī)事務(wù)：曲線C和圓/+產(chǎn)=1有公共點(diǎn)

的概率包含著11個(gè)基本領(lǐng)件，故所求的概率是u；

36

（2）曲線C所圍成的區(qū)域的面積是2aA,即求出J225的概率，基本領(lǐng)件只能是（5,5）,（5,6）,（6,5）,（6,6）,故所

求的概率是4二=！1.

369

16.解析：（1）由題意知，年收入x為說明變量，年飲食支出y為預(yù)報(bào)變量，作散點(diǎn)圖（如圖所示）.

從圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，年收入和年飲食支出有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回來方程刻畫它

們之間的關(guān)系.

__io1010

"x=6,y=1.83,=406,=35.13,?*=117.7,

1=11=11=1

0.172,?=y-/?x=1.83-0.172x6=0.798.

從而得到回來直線方程為y=0.172x+0.798.

(2)y=0.172x9+0.798=2.346萬元.

理科部分

1.解析：D依據(jù)題意a*應(yīng)滿意/>/,即網(wǎng)>同，以僅為)為點(diǎn)，在陽。平面上，結(jié)合圖形可知這個(gè)概率為;.

2.解析：A線性回來直線肯定過樣本中心點(diǎn)(2.5,3.5),故選A.

3.解析：D設(shè)AB,C分別表示炸中第一、其次、第三座軍火庫(kù)這三個(gè)事務(wù).則P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1.設(shè)￡>

表示”軍火庫(kù)爆炸"，則。=ABC.又B,C彼此互斥，

：.P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.3+0.1=0.6.

4.解析：A基本領(lǐng)件總數(shù)為7x7=49個(gè)，而滿意條件的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為16個(gè)：

(1,3),(22),(31),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(53),(62),(7,1),(5,7),(66),(7,5),(67),(7,6),(7,7).

故所求事務(wù)的概率為3.

49

7891011121314

678910111213

56789101112

4567891011

345678910

23456789

12345678

，。?彳234567Ax

5.解析：B依據(jù)隨機(jī)模擬的思想，可以認(rèn)為樹葉落在該場(chǎng)地上是隨機(jī)的，這樣橢圓草坪的面積和整個(gè)矩形場(chǎng)地的面積之比

就近似地等于落在橢圓草坪上的樹葉數(shù)目和落在整個(gè)矩形場(chǎng)地上的樹葉數(shù)目之比.

2

60x40x30°-96=J632(,?).

300

6.解析：B先將6名同學(xué)分成(1,1,4);。,2,3);(2,2,2)三組，再安排到三所院校.其中(1,1,4),(2,2,2)涉與到勻稱分組,

留意考慮分組的特別性./時(shí)+C2+如但用田，選B.

7.解析：二2,80、60、50總體人數(shù)為400+302+250=952(人)，?.9,5"2=5……余2,40—0=80,302-2=60,

19055

二2520二50,???從高二年級(jí)中剔除2人，所以從高一，高二，高三年級(jí)中分別抽取80人、60人、50人.

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r-1010-rr

解析：乎