高中數(shù)學(xué)-雙曲線的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計

一、教材分析

1.教材中的地位及作用

本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后，在此基礎(chǔ)上，反過來利用雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個考點,

是深入研究雙曲線，靈活運用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎(chǔ)，更能使學(xué)生理解、體

會解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)

平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。教學(xué)參考書

中明確要求：學(xué)生要掌握圓錐曲線的性質(zhì)，初步掌握根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)

的方法和步驟。根據(jù)這些教學(xué)原則和要求，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學(xué)目

標(biāo)。

（1）知識目標(biāo)：①使學(xué)生能運用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離

心率、漸近線等幾何性質(zhì)；

②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念

及證明；

③能運用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。

（2）能力目標(biāo)：①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想

象能力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的

學(xué)習(xí)方法；

②使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)

系中曲線與方程的概念的理解。

（3）德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運用運動的，變化的

觀點分析理解事物。

3.重點、難點的確定及依據(jù)

對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、

理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維

過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近

線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，學(xué)生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本

節(jié)課的難點，根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱以及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實際水平和

認(rèn)知能力，我把漸近線和離心率這兩個性質(zhì)作為本節(jié)課的重點。

4.教學(xué)方法

這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單

的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，得到類似的結(jié)論。在教學(xué)

中，學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決

的問題，應(yīng)該讓學(xué)生自己解決,這樣有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性，

同時也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解

決問題的能力。

漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)

與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思

維，通過誘導(dǎo)、分析，從已有知識出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動學(xué)生

自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性.

例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論），訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開拓其解

題思路，使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題

能力。

二、教學(xué)程序

（一）.設(shè)計思路

（二）.教學(xué)流程

1.復(fù)習(xí)引入

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單的幾何性質(zhì)，請

同學(xué)們來回顧這些知識點，對學(xué)習(xí)的舊知識加以復(fù)習(xí)鞏固，同時為新知識的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，利

用多媒體工具的先進(jìn)性，結(jié)合圖像來演示。

2.觀察、類比

這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單

的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，首先觀察雙曲線的形狀,

試著按照橢圓的幾何性質(zhì)，歸納總結(jié)出雙曲線的幾何性質(zhì)。一般學(xué)生能用類似于推導(dǎo)橢圓的

幾何性質(zhì)的方法得出雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率，對知識的理解不能浮于表面只

會看圖，也要會從方程的角度來解釋，抓住方程的本質(zhì)。用多媒體演示，加強(qiáng)學(xué)生對雙曲線

的簡單幾何性質(zhì)范圍、對稱性、頂點（實軸、虛軸）、離心率（不深入的講解）的鞏固。之

后，比較雙曲線的這四個性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)有何聯(lián)系及區(qū)別，這樣可以加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系,

借助于類比方法，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)求知欲。

3.雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明

（1）發(fā)現(xiàn)

由橢圓的幾何性質(zhì)，我們能較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形。那么，由雙曲線的幾何性質(zhì)，能

否較準(zhǔn)確地畫出雙曲線=i的圖形為引例，讓學(xué)生動筆實踐，通過列表描點，就能

把雙曲線的頂點及附近的點較準(zhǔn)確地畫出來，但雙曲線向遠(yuǎn)處如何伸展就不是很清楚。從而

說明想要準(zhǔn)確的畫出雙曲線的圖形只有那四個性質(zhì)是不行的。

從學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)入手,而且可以比較精確的畫出反比例函數(shù)y=1的圖

X

像，它的圖像是雙曲線，當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時，它與x、y軸無限接近，此時x、y軸是>

X

的漸近線，為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學(xué)生猜想雙曲線--產(chǎn)=1有何特

征？有沒有漸近線？由于雙曲線的對稱性，我們只須研究它的圖形在第一象限的情況即可。

在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程=1,可解出y2=--i,

4=&一］,當(dāng)X無限增大時，y也隨之增大，不容易發(fā)現(xiàn)它們之間的微妙關(guān)系。但是如

果將式子變形為上3,我們就會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)X無限增大，1逐漸減小、

XXX

無限接近于o,而上就逐漸增大、無限接近于1（）<i）；若將工變形為上二9,即說明此

xxxx-0

時雙曲線在第一象限，當(dāng)x無限增大時，其上的點與坐標(biāo)原點之間連線的斜率比1小，但與

斜率為1的直線無限接近，且此點永遠(yuǎn)在直線y=x的下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變

化趨勢就可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線/一y2=1的圖形在遠(yuǎn)處與直線y=±x無

限接近,此時我們就稱直線y=±x叫做雙曲線/->2=1的漸近線。這樣從己有知識出發(fā),

層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或

圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。

利用由特殊到一般的規(guī)律，就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋雙曲線0—1'=l（a>0,b>0）的漸近

a'b~

線，讓學(xué)生同樣利用類比的方法，將其變形為與=「-1,y2=^（x2-a2）,由于雙

baa

曲線的對稱性,我們可以只研究第一象限向遠(yuǎn)處的變化趨勢，繼續(xù)變形為y=-ylx2-a2,

a

上=21-1，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)X無限增大時，《逐漸減小、無限接近于o,2逐漸增大、無

xa\xxx

限接近于2,即說明對于雙曲線在第一象限遠(yuǎn)處的點與坐標(biāo)原點之間連線的斜率比2小，

aa

與斜率為一的直線無限接近，且此點永遠(yuǎn)在直線y=±-x下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展

aa

22

的變化趨勢可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線二-2=l（a>0,b>0）的圖形在遠(yuǎn)處與

a'h

直線y=±b2x無限接近，直線y=±b±x叫做雙曲線x"一vJ=l（a>0,b>0）的漸近線。我

aaab~

就是這樣將漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、

分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，

學(xué)生也易接受。

（2）證明

如何證明直線y=±是雙曲線二一二=1（a>0,b>0）的漸近線呢？

aa'b~

啟發(fā)思考①：首先，逐步接近，轉(zhuǎn)換成什么樣的數(shù)學(xué)語言？（Xf8,dfO）

啟發(fā)思考②：顯然有四處逐步接近，是否每一處都進(jìn)行證明？

啟發(fā)思考③：鎖定第一象限后，具體地怎樣利用X表示d

(工具是什么：點到宜線的距離公式)

啟發(fā)思考④：讓學(xué)生設(shè)點，而d的表達(dá)式較復(fù)雜，能否將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化?

b尤？2

分析：要證明直線y=±±x是雙曲線—1(a>0,b>0)的漸近線，即要證明隨著

aa

X的增大，直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點到直線的距離

IMQ|越來越短，因此把問題轉(zhuǎn)化為計算門歸I。但因IMQ|不好直接求得，因此又可以把

問題轉(zhuǎn)化為求IMN|o

|MQ\<\MN\^-x--ylx2-a2

aa

=-(x-yjx2-a2)=-----：仍，

ax+>]x2-a2

啟發(fā)思考⑤：這樣證明后，還須交代什么？

(在其他象限，同理可證，或由對稱性可知有相似情況)

引導(dǎo)學(xué)生層層深入的進(jìn)行探究，從而更深刻的理解雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明過程。

(3)深化

再來研究實軸在y軸上的雙曲線3=l(a>0,b>0)的漸近線方程就會變得容易很

a~b~

多，此時可利用類比的方法或者利用對稱性得到焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程即為

y=+—x。

-h

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精確的畫出雙曲線。但

是如果仔細(xì)觀察漸近線實質(zhì)就是雙曲線過實軸端點、虛軸端點，作平行與坐標(biāo)軸的直線

x=±a,y=±b所成的矩形的兩條對角線，數(shù)形結(jié)合，來加強(qiáng)對雙曲線的漸近線的理解。

4.離心率的幾何意義

橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度，雙曲線離心率有何幾何意義呢？不難得到:

-：e=-,c>a,:.e>l,這是剛剛學(xué)生在類比橢圓的幾何性質(zhì)時就可以得到的簡單結(jié)論。

a

通過對離心率的研究，同樣也可以使學(xué)生進(jìn)一步加深對漸近線的理解。

由等式。2—。2=82,可得：.=鼻_1=&2_],不難發(fā)現(xiàn)：e越小

aavci

（越接近于1）,2就越接近于o,雙曲線開口越小；e越大，2就越大，雙曲線開口越大。

aa

所以，雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對這些性質(zhì)的探究，就可以更好的

理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關(guān)系，更加準(zhǔn)確的作出雙曲線的圖形。

5.例題分析

為突出本節(jié)內(nèi)容，使學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識。我選配了這樣的例題：

例1.求雙曲線9/-16y2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標(biāo)、漸近線方程、

離心率。選題目的在于拿到一個雙曲線的方程之后若不是標(biāo)準(zhǔn)式，要先將所給的雙曲線方程

化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量。本題求漸近線的方程的方法：（1）直接

根據(jù)漸近線方程寫出；（2）利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對角線得到。加強(qiáng)對于雙曲

線的漸近線的應(yīng)用和理解。

變1：求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標(biāo)、漸近線方程、

離心率。選題目的：和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別

求出有關(guān)量；但求漸近線時可直接求出，也可以利用對稱性來求解。

關(guān)鍵在于對比：雙曲線的形狀不變，但在坐標(biāo)系中的位置改變，它的那些性質(zhì)改變，

那些性質(zhì)不變？試歸納雙曲線的幾何性質(zhì)。（小結(jié)列表）

415

變2：已知雙曲線的漸近線方程是y=±-x,且經(jīng)過點I1,3）,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

選題目的：在已知雙曲線的漸近線的前提下，如何利用已知信息求解雙曲線的方程。方法1：

分焦點在x軸，焦點在y軸分別求解；方法2：確定點所在的區(qū)域，定方程的形式，然后求

a、bo深化知識，加強(qiáng)應(yīng)用，使知識系統(tǒng)化。

例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論），訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開拓其解

題思路，使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題

能力。

6.課堂練習(xí)

課本P113練習(xí)1.2,讓學(xué)生自己練習(xí)，熟悉并運用雙曲線的幾何性質(zhì)解題，加強(qiáng)應(yīng)用

性。

7.課堂小結(jié)

(1)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生熟悉并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，尤其是雙曲線的漸近線

方程及其“漸近”性質(zhì)的證明，并能簡單應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)；

(2)雙曲線的幾何性質(zhì)總結(jié)(學(xué)生填表歸納)。

8.課后作業(yè)

課本P113習(xí)題1.2.3,鞏固并掌握課上所學(xué)的知識。

思考：雙曲線與其漸近線的方程之間有何內(nèi)在的變化規(guī)律？

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》學(xué)情分析

知識結(jié)構(gòu)：

雙曲線是圓墜曲線中第二學(xué)習(xí)的曲線，再此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓曲線，

對學(xué)習(xí)曲線方程已經(jīng)有了一定基礎(chǔ)和方法，運用類比的學(xué)習(xí)方法得到雙曲線的簡

單幾何性質(zhì)并不困難，但在求方程的過程中還有許多需要注意的地方，這又提升

了學(xué)生分析問題的能力及嚴(yán)密認(rèn)真的態(tài)度。

心理特征：

高二學(xué)生思維活躍，具備了一定的類比轉(zhuǎn)化及分析問題的能力，在心里上也

具備了承受和辨證地接受別人的意見和建議，但對于復(fù)雜問題的處理還不夠靈活,

因此在課堂上要注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，體現(xiàn)教師的點撥引領(lǐng)效果。

效果分析

一、教學(xué)目標(biāo)具體、可測、針對性強(qiáng)，達(dá)成度高，不同層次的學(xué)生均有收獲。

二、師生互動、生生互動，師生交流對話充分，教學(xué)相長，形成民主和諧、相互尊重、合作

探究的教學(xué)氛圍，學(xué)生能主動參與研究過程。

三、教學(xué)過程中關(guān)注了每個學(xué)生的個性發(fā)展，尊重了每個學(xué)生發(fā)展的特殊需要，使學(xué)生思維

開放。

四、在教學(xué)過程中，學(xué)生的認(rèn)識和體驗不斷加深，創(chuàng)造性的火花不斷進(jìn)發(fā)，學(xué)生的思維資源

被開發(fā)出來，得到充分利用。

五、注重了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。既注重了研究性學(xué)習(xí)，又注重了接受性學(xué)習(xí)，教師不把結(jié)

論告訴學(xué)生，而是學(xué)生自己在教師指導(dǎo)下自主地發(fā)現(xiàn)問題、探究問題獲得結(jié)論，從而解

決問題。

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》教材分析

1.教材中的地位及作用

本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后，在此基礎(chǔ)上，反過來利用雙曲線的標(biāo)

準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個考點，是

深入研究雙曲線，靈活運用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎(chǔ)，更能使學(xué)生理解、體會

解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)

平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。教學(xué)參考書中明

確要求：學(xué)生要掌握圓錐曲線的性質(zhì)，初步掌握根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)的方

法和步驟。根據(jù)這些教學(xué)原則和要求，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

（1）知識目標(biāo)：①使學(xué)生能運用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離

心率、漸近線等幾何性質(zhì)；②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概

念及證明；

③能運用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題.

（2）能力目標(biāo)：①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想

象能力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法；②使學(xué)生

進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的概念的理

解。

（3）德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運用運動的，變化的

觀點分析理解事物。

3.重點、難點的確定及依據(jù)

對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理

解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維過

程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線

方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，學(xué)生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本節(jié)

課的難點，根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱以及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實際水平和認(rèn)

知能力，我把漸近線和離心率這兩個性質(zhì)作為本節(jié)課的重點。

4.教學(xué)方法

這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于''橢圓的簡單的幾

何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，得到類似的結(jié)論。在教學(xué)中，

學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問

題，應(yīng)該讓學(xué)生自己解決，這樣有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性，同

時也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決

問題的能力。

漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證

明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,

通過誘導(dǎo)、分析，從己有知識出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動學(xué)生自身

探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。

例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論），訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開拓其解題思

路，使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。

《雙曲線簡單幾何性質(zhì)》評測練習(xí)

|基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)。30分鐘50分|

一、選擇題（每小題3分，共18分）

1.雙曲線方程為x2-2y2=l,則它的右焦點坐標(biāo)為（）

A俘0）B停0）C.停,0）D.(V3,0)

【解析】選C.因為雙曲線方程為x-2y2=1,

所以a=1,b=—,

7

得c-Va2+b212+(9)

所以它的右焦點坐標(biāo)為

2.雙曲線的兩焦點坐標(biāo)是F,（3,0）,F2（-3,0）,2b=4,則雙曲線的

標(biāo)準(zhǔn)方程是

A.直-匕=1B.上立1

5454

C.t—UlD.--^-1

32916

【解析】選A.因為c=3,b=2,所以a?=5.

且焦點在x軸上，故所求方程為土-亡;1.

54

3.(2014四平高二檢測)雙曲線X?-y2=l右支上一點P(a,b)到直線/：

y=x的距離d=&，則a+b=()

A.-B.--C/或4D.2或-2

7777

【解析】選A.因為點P在直線/:y=x的下方，所以b<a,所以d二里，

V2

得a-b=2.

又因為a2-b2=1,所以a+b二，所以選A.

7

4.(2014?萍鄉(xiāng)高二檢測)已知雙曲線方程為1-1=1,點A,B在雙曲

線右支上，線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點Fz,|AB|=m,迪為另一個焦

點，則AABFi的周長為

()

A.2a+2mB.4a+2m

C.a+mD.2a+4m

【解析】選B.設(shè)AABB的周長為C,則C=|AFj+|BFj+|AB|

=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB|

=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|

=2a+2a+2m=4a+2m.

22

5.(2013?唐山高二檢測)雙曲線二-二=1的一個焦點是(0,2),則實

m3m

數(shù)m的值是

A.1B.-l

C.--D.—

ss

【解析】選B.由于雙曲線焦點在y軸，

所以a2二-3m,b2=-m,

因為c=2,所以-m+(-3m)=4,即m=-1.

22

【變式訓(xùn)練】(2013?唐山高二檢測)雙曲線一"-J=l的焦距是

m2+124-m2

()

A.4B.272

C.8D.與m有關(guān)

【解析】選C.因為m2+12>0,所以雙曲線焦點在x軸上，且4-m2>0,

所以c2=m2+12+(4-m2)=16,

所以2c=8,即雙曲線的焦距為8.

22

6.雙曲線2-0=1上的點P到點(5,0)的距離為8.5,則點P到點(-5,

169

0)的距離為()

A.16.5或0.5B.16.5

C.0.5D.5

【解析】選B.由題意知雙曲線的兩個焦點分別為日(-5,0),F2(5,

0),由雙曲線定義知||PFj-|PF2||二8,

所以|PF/=16.5或|PF/=0.5.

當(dāng)|PFj=0.5時，P點在左支上，在△PFR中，又因為|PFz|=8.5,

|FF2|=10,則三邊組不成三角形，不合題意，所以|PF」=16.5.

【誤區(qū)警示】解此類問題時，應(yīng)靈活運用雙曲線定義，分析P的位置,

否則易出錯.

二、填空題（每小題4分，共12分）

22

7.若雙曲線三-U1過點（-3式,2）,則該雙曲線的焦距為.

a24.

【解析】點（-3魚，2）在雙曲線1-右二1上，

a24

代入解得a?=9,

所以半焦距C=V9T4=V13,

從而焦距為2VT3.

答案：2回

22

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線Ui上一點M的橫坐標(biāo)

4.17

是3,則點M到此雙曲線的右焦點的距離為.

22

【解析】因為士-U1,

4.12

所以當(dāng)x=3時，y=±V15.

又因為F2（4,0）,

所以IAF2R,|MA|=V15,

所以|MF2|=、1+15=4.

答案：4

22

9.若方程:-蕓=1表示雙曲線，則k的取值范圍是.

【解析】方程表示雙曲線需滿足(5-k)(k+2)>0,解得-2<k<5,即k的

取值范圍是(-2,5).

答案:(-2,5)

三、解答題(每小題10分，共20分)

10.設(shè)雙曲線與橢圓直+亡=1有共同的焦點，且與橢圓相交，在第一象

7736

限的交點A的縱坐標(biāo)為4,求此雙曲線的方程.

【解題指南】橢圓蘭+匕=1,故有焦點F(0,-3),F2(0,3),由此設(shè)

2736

出雙曲線的方程，再由雙曲線與橢圓的一個交點的縱坐標(biāo)為4,求出

此點的橫坐標(biāo)，將此點的坐標(biāo)代入方程，求出參數(shù)即得雙曲線方程.

【解析】設(shè)雙曲線方程為e-二=1(a>0,b>0),

a2b2

由已知橢圓的兩個焦點Fi(0,-3),F2(0,3),

又雙曲線與橢圓交點A的縱坐標(biāo)為4,所以A(J正，4),

42(VH)21

-----------=1a2=4,

a2b2

2

a2+b2=9,b=5,

故雙曲線方程為《-￡=1.

45

11.如圖所示，在AABC中，已知|AB|=4或，且三內(nèi)角A,B,C滿足

2sinA+sinC=2sinB,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點C的軌跡方程.

C

AB

【解析】如圖所示,

以AB邊所在的直線為x軸，

AB的垂直平分線為v軸，

建立直角坐標(biāo)系,則A(-2位,0),B(2V2,0).

因為2sinA+sinC=2sinB,

所以2|CB|+|AB|=2|CA|,

從而有|CA1|CB|3|AB|

=2V2<|AB|.

由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去和x軸的交點).

JLa=V2,c=2或，所以b?=c2_a2=6.

22

所以頂點C的軌跡方程為上-匕=1(x>&).

26

I能力提升。30分鐘50分I

一、選擇題(每小題4分，共16分)

2

1.已知F”Fz是雙曲線匚y2=l的左、右焦點，P,Q為右支上的兩點，

直線PQ過Fz且傾斜角為a,則|PFJ+|QFIHPQ|的值為()

A.8B.272

C.4或D.隨a的大小而變化

【解析】選C.由雙曲線定義知：

|PF1|+|QF1|-|PQ|=|PF1|+|QF1|-(|PF2|+|QF2|)=(|PF1|-|PF2|)+(|QF1|

-|QF2|)=4a=4x<2.

2.“k>9”是”方程表示雙曲線”的（）

9-kk-4

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【解析】選B.當(dāng)k>9時，9-k<0,k-4>0,方程表示雙曲線.當(dāng)k<4時，

9-k>0,k-4<0,方程也表示雙曲線.所以“k>9”是“方程±+爐=1

9-kk-4

表示雙曲線”的充分不必要條件.

3.（2013?亳州高二檢測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知4ABC的頂

點A（-6,0）和C（6,0）,頂點B在雙曲線￡-金1的左支上，則MB

2511sinA—sinC

等于（）

A..-5?B.-6C?.1—1nD.—11

65256

【解題指南】根據(jù)正弦定理先將三角函數(shù)的比轉(zhuǎn)化為長度比，再利用

雙曲線的定義求解.

【解析】選B.根據(jù)正弦定理可知，

sinB_|AC|

sinA-sinCIBC|-|ABr

2?2

因為點B在雙曲線v匚的左支上，

2511

所以|BC|-|AB|>0,

所以|BC卜|AB|=2a=10,

因為|AC|=2c=12,

所以sinB一|AC|一二一士

sinA-sinC|BC|-|AB|105*

22

4.雙曲線上-工=1的左焦點為F”點P在雙曲線右支上.如果線段PF.

174

的中點M在y軸上，那么點P的縱坐標(biāo)是（）

A.士2B.土立C.土匹D.±-

2774.

【解析】選A.易得0M（0為坐標(biāo)原點）為三角形PFFZ（F2為右焦點）的

中位線，故點P的橫坐標(biāo)為4,代入得P的縱坐標(biāo)為土

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.E,F2是雙曲線￡-e=1的兩個焦點，P在雙曲線上且滿足

916

iPFj-|PF2|=32,則△FFF2的面積為.

【解題指南】先由余弦定理和雙曲線定義確定NFFF2的大小，然后利

用三角形面積公式求解.

222

[解析】設(shè)NFFFz二a,在△FFF2中，由余弦定理得（2C）=|PF1|+|PF2|

-21PF,||PF2|?cosa.

所以cosa二（|PF，HPF爐+2嗎|PF-36+64T00—0.

aiPFJIPF,164

所以a=90°,所以SAFPFmPE||PF2|=16.

ar1rr27

答案：16

6.一動圓M過定點A（-4,0）,且與定圓B：（x-4￥+y2=16相切，則動

圓圓心的軌跡方程為.

【解析】設(shè)動圓M的半徑為r,依題意有|MA|二r.因為動圓與定圓相

切，所以|MB|二r±4,即|MB卜|MA|二±4,從而動圓圓心M到兩定點A,

B的距離之差的絕對值等于常數(shù)，又4<|AB],因此動點M的軌跡為雙

2

曲線，且c=4,2a=4,所以a=2,a2=4,b2=c2-a2=12,故軌跡方程是士

4.

--1.

12

」V2V2

答案：--^1

412

三、解答題（每小題12分，共24分）

7.求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且滿足下列條件的雙曲線方程：

(1)經(jīng)過兩點(2々，3),(-7,-672).

⑵雙曲線過點(3,972),離心率e=旦.

a

【解題指南】(1)由于不清楚雙曲線的焦點在哪條坐標(biāo)軸上，可設(shè)其

22

方程為七一七1(mn>0),然后把點的坐標(biāo)分別代入該方程形成方程組,

mn

最后解方程組即可.

⑵分別設(shè)出焦點在x軸，y軸上的雙曲線的方程，然后根據(jù)其過點

(3,972),離心率e=匚包，且有c2=a?+b2,列方程組，求解即可.

a2

22

【解析】(1)設(shè)雙曲線方程為--^-=1(mn>0),

mn

則jS72解得m=25,n=75,

\mn

所以該雙曲線的方程為寸-e=1.

2575

22

⑵若雙曲線焦點在X軸上，設(shè)其方程為3-9二1,

a2b2

0=色

a39

則(2_絲=i

a2b2'

vc2=a24-b2,

解得b?=-161(舍去)，

22

若雙曲線焦點在y軸上，設(shè)其方程為

fc_vTo

a-3，

則〈募_2=1

a2b2'

<c2=a24-b2,

解得a?=81,b2=9,

所以雙曲線的方程為亡-鼠1,

819

故雙曲線的方程為e一左1.

819

22

8.設(shè)命題p：方程」J+二=l表示的曲線是雙曲線；命題q：3xGR,

1—2mm+4

3x2+2mx+m+6<0.若命題p/\q為假命題，pVq為真命題，求實數(shù)m的

取值范圍.

【解題指南】先求出命題p與命題q為真命題時m的取值范圍，再根

據(jù)p,q的真假確定最終結(jié)果.

【解析】對于命題P,因為方程上■+上二1表示的曲線是雙曲線，所

1—2mm+4

以(1-2m)(m+4)<0,解得m<-4或m>-,則命題p：m<-4或m>-.

對于命題q,因為mxGR,3x2+2mx+(m+6)<0,即不等式

3x2+2mx+(m+6)〈。在實數(shù)集R上有解，

所以△=(2m)-4X3X(m+6)>0,

解得m<-3或m>6.

則命題q：m<-3或m>6.

因為命題p/\q為假命題，pVq為真命題，所以命題p與命題q有且

只有一個為真命題.

若命題p為真命題且命題q為假命題，

即［m<-4或m>?得々mW6；

、-3<m<6,

若命題p為假命題且命題q為真命題，

1

—4WmM

即2得-4Wm〈-3.

m<—3或m>6,

綜上，實數(shù)m的取值范圍為［-4,-3)uQ,6.

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》教學(xué)反思

我的課題是《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》，上課的對象是高二年級理科班的學(xué)生。

本節(jié)課我按時完成了規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容，完成了教學(xué)任務(wù)，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果。上完這節(jié)

課后我認(rèn)真地進(jìn)行了反思，具體內(nèi)容如下：

一、教學(xué)過程回顧

1、導(dǎo)入新課：以橢圓的的幾何性質(zhì)的復(fù)習(xí)導(dǎo)入，雙曲線的的幾何性質(zhì)的內(nèi)容，由兩名

學(xué)生分別發(fā)言給出的。預(yù)熱用待定系數(shù)法求“雙曲線”標(biāo)準(zhǔn)方程。然后在老師引導(dǎo)下，總結(jié)

出待定系數(shù)法求方程的一般步