高中數(shù)學(xué)提升訓(xùn)練5.4三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

2020—2021高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修配套提升訓(xùn)練

5.4三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

主要命題方向

1.用“五點法”作三角函數(shù)的圖象；2.利用圖象變換作三角函數(shù)的圖象；3.利用正、余弦函數(shù)的圖象解

三角不等式：4.利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象判斷方程根的個數(shù)；5.求三角函數(shù)的周期；6.三角函數(shù)奇

偶性的判斷；7.三角函數(shù)奇偶性與周期性的綜合運用；8.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；9.三角函數(shù)對稱軸、對

稱中心；10.與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域（或最值）的求解問題；11.求定義域；12.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

的綜合應(yīng)用.

配套提升訓(xùn)練

一、單選題

1.（浙北四校2019屆高三12月模擬）若函數(shù)/（X）=cos（：+2x）,x€R,則f（x）是（）

A.最小正周期為n為奇函數(shù)B.最小正周期為“為偶函數(shù)

C.最小正周期為《為奇函數(shù)D.最小正周期為1■為偶函數(shù)

【答案】A

【解析】

VcosG+2x）=-sin2x,

Af（x）=-sin2x,

可得f（x）是奇函數(shù)，最小正周期T=g=貝

故選：A.

2.（2020?永州市第四中學(xué)高一月考）函數(shù)y=l—sinx,x?0,2句的大致圖像是（）

【答案】B

【解析】

當(dāng)x=0時，y=l；當(dāng)x=g時，y=0；當(dāng)％=兀時，y=l；當(dāng)》=千時，y=2；當(dāng)彳=2%時，y=l.

結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可知B正確.

故選B.

3.(2020.全國高三課時練習(xí)(理))已知函數(shù)了(力=(；］—cosx，則/(x)在［0,2句上的零點的個數(shù)為

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

由下圖可得/(X)在［0,2句上的零點的個數(shù)為3.故選C.

4.(2020?河南濮陽。高一期末(文))下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是()

A.y=(x+l)2B.y=2'x

C.y-|sinx|D.y=lg(x+l)+lg(x-l)

【答案】C

【解析】

對于A,函數(shù)關(guān)于x=-1對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；

對于B,函數(shù)為減函數(shù)，不具備對稱性，不是偶函數(shù)，故B錯誤；

對于Cj(—x)=kin(—x)|=|-sinX=kinx|=/(x),則函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，滿足條件，故C正確:

x+l〉0x>-1

對于口,由<得<得X>1,函數(shù)的定義為(l，+<?),定義域關(guān)于原點不對稱，為非奇非偶函數(shù),

x-l>0尤>1

故D錯誤.

故選：C.

5.(2020?河南信陽。高一期末)估計cos、2020°的大小屬于區(qū)間(

_V2C.4

A.4,。B.

7

【答案】B

【解析】

cos2020°=cos(5x360°+220°)=cos220°=cos(l80°+40°)=-cos40°,

因為y=cosx在(0,90°)上遞減，且30°<40°<45°.

所以cos300>cos40°>cos450,

所以>cos40°>,

22

所以一^^<-cos40°<一立^

22

miU--<cos20200

22

故選：B

6.(2020?遼寧大連O高一期末)函數(shù)〃x)=cos[2x+?)的圖像的一條對稱軸方程為()

715冗2424

A.X--B.X-——C.x=—D.x=------

61233

【答案】B

【解

函數(shù)/(%)=COSI2%d—

I6

令2x+—=攵;r(Z￡Z),

6

Ek7l兀1r

則X--------次￡Z,

212

54

當(dāng)左=1時，x=—,

12

故選B.

7.（2020?海南楓葉國際學(xué)校高一期中）函數(shù)〃x）=COS（（yx+e）的部分圖像如圖所示，則/&）的單調(diào)遞減

13

B.(2人萬—a，2&乃+W),火￡Z

13

D.(2k——,2k+—),keZ

44

【答案】D

【解析】

171

—co+(p=——

42TT1T

由五點作圖知,,解得刃=乃，(p=—,所以f(x)=COS(4X+—),令

53萬44

—co+(p=—

42

〃]3I3

2k兀<7TXH—v2k兀+7i,kGZ,解得2k—VxV2kH—,攵￡Z，故單調(diào)減區(qū)間為（2k—，2kH—）,

44444

kwZ,故選D.

8.（2020?河南林州一中高一月考）函數(shù)“司二0-白卜詁》的圖象的大致形狀是（）

【答案】A

【解析】

,ZXf,2A.（ex-l］.

（）

八fx'=I\1---\--+--e--xs）inx=（--e--'-+---U-sinx

故/（—x）=/（x）則〃x）是偶函數(shù)，排除C、D,又當(dāng)xf0,/（x）＞0

故選：A.

9.（2020?山東聊城。高一期末）用五點法作函數(shù)了=4311（但+0）4＞0,@＞0,|同'的圖象時，得到

如下表格:

7t2乃

X

6T

7134

CDX+(p0兀

~22

y040-40

則A,3,。的值分別為（）

A.4,2,——B.4,—,—C.4,2,—D.4,—,——

323626

【答案】A

【解析】

由表中的最大值為4,最小值為一4，可得A=4，

由二一工=」T,則7=乃，0）=^-=2,

362兀

?.?y=4sin（2x+。），圖象過（￡,0）,

6

TTTTTT

.,.0=4sin（—x2+°）,「.一x2+°=2Z乃，（2wZ）,解得夕=---，

663

TTTT

.」例＜5，?二當(dāng)A=0時，9=一§.

故選：A-

10.（2020?鎮(zhèn)原中學(xué)高一期末）若點P［一專,2）是函數(shù)/（#=5m（5+9）+團卜〉0,囤＜］）的圖象的

7T

一個對稱中心，且點尸到該圖象的對稱軸的距離的最小值為不，則（）

2

A./（x）的最小正周期是萬B.“X）的值域為［0,4］

47r

C./(x)的初相夕=?D./(x)在—,271：上單調(diào)遞增

【答案】D

【解析】

----C0-\-(p=k7l(keZy7V

山題意得《6"'乙且函數(shù)的最小正周期為T=4x—=2〃,

m=。22

247T7T

故69=-=1.代入-7口+0=Z%(ZGZ),得火=k%十%(k￡Z),

又I時告,所以。吟

7T\.

所以/(x)=sinXH—+2.

6；

故函數(shù)/(x)的值域為［1,3］,初相為‘故A,B,C不正確,

?Ajr

t,「44-?7t37r13"、「一.一3兀13〃

'IXG[—,2TT]時，XH—G[r—,----],而y=sinX在1———］上單調(diào)遞增，所以/(x)在工-,2%［：

3626263

單調(diào)遞增，故。正確.

故選：D.

二、多選題

71

11.(2020?陜西渭濱。高一期末)函數(shù))=tan(2x—")的一個對稱中心是()

A.臉,0)B.(開,0)C.(y,0)D.(￡,0)

12363

【答案】AD

【解析】

因為/[焉]=tan(￡-￡)=0：/f--1=tan(---)=tan—=—；

112；66H3J3663

乃、7CA/3兀2n7171

=tan—=—；\x=一時，2x-------=一

6,633362

所以(￡,0)、(工,0)是函數(shù)y=tan(2x--)的對稱中心.

1236

故選：AD

12.(2020?浙江高三專題練習(xí))下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是().

A.y=x2sinxB.y=sinx,xi[0,2開]

C.y=sinx,x&[-7i,7r]D.y=xcosx

【答案】ACD

【解析】

對A,由>=/(x)=fsinx,定義域為R,

且/(—x)=(-X)-sin(—x)=-x2sinx=—/(x),

故函數(shù)ynfsinx為奇函數(shù)，故A正確

對B,由函數(shù)的定義域為川。2狗，故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯

對C,y=g(x)=sinx,定義域關(guān)于原點對稱，

且g(-X)=sin(-x)=-sinx=-g(x),故C正確

對D,y=/〃(％)=xcosx的定義域為R,

且m(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx--m(x),

故該函數(shù)為奇函數(shù)，故D正確

故選：ACD

13.(2020?湖南天心?長郡中學(xué)高三月考)下圖是函數(shù)/(x)=Asin(a>+0)(其中A>0,0>(),

0<1。1<》)的部分圖象，下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=/x—g的圖象關(guān)于頂點對稱

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點[一強,0)對稱

C.函數(shù)/(X)在區(qū)間一上單調(diào)遞增

D.方程/(x)=l在區(qū)間一臺，笠上的所有實根之和為竽

【答案】ABD

【解析】

.一,.127r5TC兀...

由已知，A=2,——-------=一,因此丁=7，

43124

所以/(x)=2sin(2x+0),過點V-4

47r37r

因此《-+e=j-+2匕r,keZ，又0<|。|<乃，

所以9=：兀,；./(x)=2sin(2x+?J,

6

對A，y=/[x-點)=2sin2x圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；

對B,當(dāng)x=—1時，/(一專)=°，故8正確；

冗冗冗兀兀

對C,由2&zr42xH—42左zrH—，有k兀---<xKkiH—，Z￡Z故C不正確；

26236

對。，當(dāng)一包時，2x+Je[0,4乃]，所以y=l與函數(shù)y=/(x)有4個交點令橫坐標為司，超，

12126

%3，14，X]+X,+工3+X=—x2H---x2=,故。止確.

663

故選：ABD.

14.(2020.江蘇海安高級中學(xué)高二期末)關(guān)于函數(shù)/(x)=binM+|cosR(xeR),如下結(jié)論中正確的是

().

A.函數(shù)“X)的周期是1

B.函數(shù)/(x)的值域是［0,啦］

C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線％對稱

兀3兀

D.上遞增

【答案】ACD

【解析】

A.V/(x)=|sinx|+|cosx),

n

.??小+方sinx+互+cosx+—二|cosx\+1-sinx|=|cosx\+|sinx|=/(x),

I2jI2

TT

.??/(x)是周期為二的周期函數(shù)，A正確,

2

n717C34

B.當(dāng)XG[0,、]時,f(x)=sinx+cosx=V2sinXH---,此時X+一￡

2447'T

sin卜+?

G當(dāng)4A/(x)e［l,V2］,又的周期是...xeR時，/(x)值域是［1,0］，B錯;

C./(2TT—x)=|sin(2^--x)|+|cos(2TT—x)|=|-sin+|cosx|=|sinx|+|cosx|=/(x),

???函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線工=〃對稱，c正確;

717171

D.由B知xe[0,工]時，/(x)=V2sinx+fI，當(dāng)xe[0,芻時，x+—e牛夕一⑺單調(diào)遞增，而

2I4；44

/(X)是周期為2的周期函數(shù)，因此"X)在孚］上的圖象可以看作是在上的圖象向右平移工單

2<24J4J2

位得到的，因此仍然遞增.DiE確.

故選：ACD.

三、填空題

X

15.(2020.山東高一期末)函數(shù)y=tan務(wù)的定義域為.

【答案】{x|xw2%乃+%,左eZ}

【解析】

Yjr

解不等式］。左乃+萬（左eZ）,可得x#2kr+%（左eZ）,

因此，函數(shù)y=tan］的定義域為{x|x#2k萬+萬，女eZ}.

故答案為：{x|xw2左〃+肛％eZ}.

16.（2020?河南林州一中高一月考）函數(shù)y=4sin2x+6cosx-61-■乃）的值域

【答案】-6,7

_4_

【解析】

y=4sin2x+6cosx-6=4（1-cos2x）+6cosx-6

=-4cos2x+6cosx-2=-4（cosx--）2+-，

44

兀,j2

,/----<X<—71，

33

1?

/.——<cosx<\,

2

3.11

故一6K-4（cosx——）2+—<—,

444

故答案為：一6,二

_4_

17.（2020?全國高考題）關(guān)于函數(shù)/（x）=sinx+」一有如下四個命題:

sinx

①f（x）的圖像關(guān)于），軸對稱.

②r（x）的圖像關(guān)于原點對稱.

（sy（X）的圖像關(guān)于直線對稱.

?（x）的最小值為2.

其中所有真命題的序號是.

【答案】②③

【解析】

」+

對于命題①,2=2

22

所以，函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱，命題①錯誤;

對于命題②，函數(shù)“X)的定義域為{X|XH上乃次GZ},定義域關(guān)于原點對稱,

/(-x)=sin(-x)+^=-Sinx--i-=-[sinx+-l-j=-/(x),

所以，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確;

所以，函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線X對稱，命題③正確；

對于命題④，當(dāng)一萬<x<0時，sinx<(),則/(x)=sinx+」一<0<2,

sinx

命題④錯誤.

故答案為：②③.

(4x71、

18.(2020?上海高一課時練習(xí))函數(shù)>+,當(dāng)》=時有最小值，最小值是

3JT

【答案】-k7T+-,keZ-3

22

【解析】

'」icos(5+/)=-l時，即與+。=2左萬+7，

371

可得x=-z7+一,%wz,此時y取得最小值；

22

此時，最小值為-3；

3JI

故答案為：-k1—,ksZ；-3.

22

31

19.(202。浙江高一課時練習(xí))設(shè)函數(shù)/(*)=4+84!1》，當(dāng)3<0時，/(X)的最大值是5,最小值是—5,

貝UA=,B=?

【答案】3-1

【解析】

3

A-B=-

21

根據(jù)題意，得《二，解得A=彳,3=-l.

2

A+B=-i

I2

故答案為：一,-1

2

cinr

20.(2020?上海高一課時練習(xí))函數(shù)1=.「的最大值是，最小值是.

2+smx

【答案】1-1

3

【解析】

sinx?2

,/y=-----------=1-------------,

2+sinxsinx+2

22

—1<sinx<11<sinx+2<3-2W-------------K—,

sinx+23

-1<1------------<-,

sinx+23

sinxI

.?.函數(shù)y=':的最大值是7；最小值是一L

2+sinx3

故答案為：

3

21.(2020.上海高一課時練習(xí))若函數(shù)/(x)=cos2x-asinx+伙a>0)的最大值為0,最小值為-4，則

實數(shù)a=,b=.

【答案】2—2

【解析】

,/f(x)=-sin2x-?sinx+/?+l,

令￡=sinx(-l1),則y=-/一加+8+1(一1<1),

函數(shù)的對稱軸為f=-0，

2

—l+〃+Z?+l=0,。=2,

當(dāng)一幺＜一1,即Q22時,

。+匕+［。二

2-1-1=—4,-2,

當(dāng)一1<—<0,用」0<〃<2時，一(—)~一〃?(—)+b+1=0目.-1—〃+/?+1=—4,

222

此時方程組無解；

a—2,

[b=-2,

故答案為：2,-2.

五、解答題

22.(2020?全國高一課時練習(xí))求下列函數(shù)的定義域.

(1)y=Vsinx；

,、sinx+cosx

(2)y=----------.

tanx

【答案】(1){x\2k7t<x<2k7r+7L,kE：Z}x(2){x|xHg■萬,A:ez)

【解析】

(1)要使函數(shù)有意義，必須使sinxNO.

由正弦的定義知，sinx20就是角8的終邊與單位圓的交點的縱坐標是非負數(shù).

二角x的終邊應(yīng)在8軸或其上方區(qū)域，

/.2k兀<x<2ATT+7r,k&Z,

函數(shù)y=Jsin尤的定義域為{x\2女萬<x<2hr+萬,左eZ}.

(2)要使函數(shù)有意義，必須使tanx有意義，且tanxkO.

X手kn■{——,

2/GZ)

X手Jut

k,r

x豐一兀、kGZ.

2

函數(shù)》=型上空I的定義域為肛％ez].

tanxI2J

23.(2020?渦陽縣第九中學(xué)高一月考)己知函數(shù),/■(x)=2sin(Q)x+0)(0>O,O<0(乃)最小正周期為1，

圖象過點但，、笈].

(1)求函數(shù)/(x)解析式

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

jr§4jr

【答案】⑴/(x)=2sin(2x+—)；(2)-z—+k7t,—+k7t(ZeZ).

488

【解析】

(1)由已知得兀=空，解得。=2.

3

將點(l，代入解析式，V2=2sin^2x—4-(p^,可知cos°=^^,

于是/(x)=2sin(2x+?

由Ov*v乃可知9

(2)令一■^■+2%乃<2工+5<]+2左乃(&EZ)

37r7T

解得-----\-k7i<x<--vk7i^kGZ),

88

3-jr-rr

于是函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一二-+后萬二+"(AeZ).

OO

IJI

24.(2020?全國高三(文))⑴利用“五點法”畫出函數(shù)/。)=>=5足(一工+一)在長度為一個周期的閉區(qū)

26

間的簡圖.

列表：

171

-x-\——

26

X

y

作圖:

*x

(2)并說明該函數(shù)圖象可由y=sinx(xeR)的圖象經(jīng)過怎么變換得到的.

(3)求函數(shù)/(幻圖象的對稱軸方程.

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）x=2k7r+—,keZ.

【解析】

（1）先列表，后描點并畫圖

%3萬

71

~22兀

245兀8萬1U

.TT亍

0-10

''

2-

-2

（2）把），=5皿犬的圖象上所有的點向左平移自個單位，再把所得圖象的點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱

6

坐標不變），得到y(tǒng)=sin（gx+*的圖象，即y=sin（gx+*的圖象；

.*.I1njnc,2n.r

（3）111―XH——KXH,X=z.K.71H---,ZWZ,

2623

2%

所以函數(shù)的對稱軸方程是x=2攵乃+《-,ZeZ.

jr

25.（2020?全國高一課時練習(xí)）求函數(shù)y=tan（3x-學(xué)的定義域、值域，并判斷它的奇偶性和單調(diào)性.

1n口k)5n

【答案】定義域為XXGR,目.X豐---1----,ZeZ上,值域為R,非奇非偶函數(shù)，遞增區(qū)間為

318

7ik7v5萬k元

----1---,---1---(ZrsZ)

183183

【解析】

y=tanf的定義域為工后乃+',ZeZ

f7t7t）

單調(diào)增區(qū)間為心萬一,,攵%+,卜攵€2.

又、=tan(3x-?J看成？=1211/1=3了一0的復(fù)合函數(shù),

由一〃+留心忙+青壯Z

,kn5兀1r

所以所求函數(shù)的定義域為x\x-----1-----,4wZ值域為R；

318

函數(shù)y=tanhx-yj的定義域不關(guān)于原點對稱，因此該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；

.7C_兀,7C,_k/7Lkl5TC.?

令我f萬<3x---〈&乃+—,解得--------<x<——+——,kwZ,

232318318

(兀、(k兀JIk157r?

即函數(shù)y=tan3%一7的單調(diào)遞增區(qū)間為—，丘Z.

TT

26.(2020?陜西省漢中中學(xué)(理))已知函數(shù)/(x)=2sin(5--)一1(G>0)的周期是".

6

(1)求了。)的單調(diào)遞增區(qū)間；

71

(2)求在［0,—］上的最值及其對應(yīng)的工的值.

2

【答案】⑴一.+版■,(+版■(ZeZ)；(2)當(dāng)x=0時,"吐而=—2；當(dāng)x=(時,/(02=1.

【解析】

T2411c

(i)解：：7=同=》，；.|d=2,

又丁0>0,.:69=2,/(x)=2sin[2x--j-1,

TTTTJT

-----F2k/r<2x----<——卜2kjv、kwZ、

262

n27r