高中數(shù)學(xué)講義微40 利用函數(shù)性質(zhì)與圖像解不等式

微專題40利用函數(shù)性質(zhì)與圖像解不等式

高中階段解不等式大體上分為兩類，一類是利用不等式性質(zhì)直接解出解集(如二次不等

式，分式不等式，指對數(shù)不等式等)；一類是利用函數(shù)的性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行運算。

相比而言后者往往需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解，考驗學(xué)生的觀察能力和運用條件能

力，難度較大。本章節(jié)以一些典型例題來說明處理這類問題的常規(guī)思路。

一、基礎(chǔ)知識：

(-)構(gòu)造函數(shù)解不等式

1、函數(shù)單調(diào)性的作用：/(X)在可單調(diào)遞增，則

VX,,X2G[a,句,2<龍2。/(%)</>在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性是自變量大小關(guān)系與函數(shù)

值大小關(guān)系的橋梁)

2、假設(shè)“X)在[a,目上連續(xù)且單調(diào)遞增，叫)€(。力),〃玉))=°，則xe(a,Xo)時，

/(x)<0;x€(%,力)時，/(x)>0(單調(diào)性與零點配合可確定零點左右點的函數(shù)值的符號)

3、導(dǎo)數(shù)運算法則：

⑴(/(x)g(x))=/(x)g(x)+/(x)g'(x)

(2)J(x)g(2--(x)g<x)

4、構(gòu)造函數(shù)解不等式的技巧：

(1)此類問題往往條件比較零散，不易尋找入手點。所以處理這類問題要將條件與結(jié)論結(jié)合

著分析。在草稿紙上列出條件能夠提供什么，也列出要得出結(jié)論需要什么。兩者對接通常可

以確定入手點

(2)在構(gòu)造函數(shù)時要根據(jù)條件的特點進(jìn)行猜想，例如出現(xiàn)輪流求導(dǎo)便猜有可能是具備乘除關(guān)

系的函數(shù)。在構(gòu)造時多進(jìn)行試驗與項的調(diào)整

(3)此類問題處理的核心要素是單調(diào)性與零點，對稱性與圖像只是輔助手段。所以如果能夠

確定構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，猜出函數(shù)的零點。那么問題便易于解決了。

(-)利用函數(shù)性質(zhì)與圖像解不等式：

1、軸對稱與單調(diào)性：此類問題的實質(zhì)就是自變量與軸距離大小與其函數(shù)值大小的等價關(guān)系。

通常可作草圖幫助觀察。例如：/(x)的對稱軸為x=l,且在但增。則可以作出草圖

(不比關(guān)心單調(diào)增的情況是否符合/(X),不會影響結(jié)論)，得到：距離X=1越近，點的函數(shù)

值越小。從而得到函數(shù)值與自變量的等價關(guān)系

2、圖像與不等式：如果所解不等式不便于用傳統(tǒng)方法解決，通常的處理手段有兩種，一類是

如前文所說可構(gòu)造一個函數(shù)，利用單調(diào)性與零點解不等式；另一類就是將不等式變形為兩個

函數(shù)的大小關(guān)系如〃x)<g(x),其中〃x),g(x)的圖像均可作出。再由〃x)<g(x)可

知/(X)的圖像在g(x)圖像的下方。按圖像找到符合條件的范圍即可。

二、典型例題：

例1：定義在(0,+0。)上的可導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足：xf'(x)<f(x),/(1)=0,則"。<0的

解集為()

A.(0,1)B.(O,l)U(l,+°°)C.(l,+oo)D.0

思路：本題并沒有了(X)的解析式，所以只能考慮利用函數(shù)的單調(diào)性來解不等式。由條件

xf'(x)</(x)可得4(x)-/(%)<0,進(jìn)而聯(lián)想到有可能是通過導(dǎo)數(shù)的乘除運算法則所得,

f(x]\t(A)-./(A)剛好與條件聯(lián)系起來，故設(shè)

再結(jié)合所解不等式,發(fā)現(xiàn)

X

/⑴="6,則F(%)

=療<on在(0,+8)上單調(diào)遞減。

x

尸(1)=邛1=0,所以叢D<o的解集為(L+OO)

答案：C

小煉有話說：

(1)在解題過程中目標(biāo)要明確：既然不能用傳統(tǒng)方法解不等式，則要靠函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而目

標(biāo)為構(gòu)造函數(shù)并求單調(diào)性，要確定單調(diào)性則要分析所構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號

(2)此題構(gòu)造的關(guān)鍵點有二：一是/(x)</(x)輪流求導(dǎo)的特點，進(jìn)而聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)乘除法

運算，二是所求不等式所給予的“暗示”。所以解此類題目一定要讓條件與結(jié)論“對上話”

(3)體會條件/(1)=0的作用：提供零點以便配合單調(diào)性求解

例2：函數(shù)/(x)的定義域為R,/(-I)=2,對任意的xeR,有了'(x)>2,貝U/(x)>2x+4

的解集是:

思路：所解不等式化為/(x)—2x+4〉0,令g(x)=/(x)—2x+4,則g(x)=/'(x)—2

由尸(x)>2可得g'(x)>0(這也是為何構(gòu)造g(x)的原因)，g(x)在R上單調(diào)遞增?？紤]

g(l)=/(1)—2x1+4=0,g(x)>0=>XG(1,+OO)

答案：(1,M)

例3：設(shè)定義在(―1,1)上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)=5+cosx,且/(0)=0,則不等

式/(%-1)+/(1-》2)<0的解集為

思路：由f(x)=5+cosx可得原函數(shù)/(x)=5x+sinx+C(注意由導(dǎo)函數(shù)反求原函數(shù)時

要帶個常數(shù)C),再由〃0)=0可得C=0,.?./(x)=5x+sinx(看到函數(shù)解析式的反應(yīng)：

定義域？奇偶性？)顯然/(x)是奇函數(shù)，且在(一1,1)單調(diào)遞增。進(jìn)而不等式可利用單調(diào)性解

出X的范圍。/(x-l)+/(l-x2)<0=>/(x-l)<-/(l-x2)=/(x2-l),所以

<-l<x2-l<l=>xe(l,V2)

X—1<x~—1

答案：xe(l,V2)

小煉有話說：(1)本題盡管求出的/(x)的解析式，但由于靠解析式所解得不等式過于復(fù)雜，

所以依然選擇利用單調(diào)性

(2)要掌握一些能直接判斷了(x)單調(diào)性與奇偶性的方法，常見的判斷方法如下：

奇偶性：①奇+奇T奇②偶+偶T偶③奇X奇T偶④奇X偶T奇⑤偶火偶T偶

單調(diào)性：①增+增T增②減+減T減③增X(T)T減

④1/增T減(僅在函數(shù)值恒正或恒負(fù)時成立)

(3)本題求解有一個重要細(xì)節(jié)：由于/(x)定義在(一1,1)上，所以/(x-1),/(1一/)要保

證X—1,1—廠均在(-1,1)上

(4)要培恭一個習(xí)慣：拿到函數(shù)，首先看定義域，其次看函數(shù)的三個性質(zhì)是否有能直接判斷

的(尤其奇偶性)，再根據(jù)條件分析。

例4：函數(shù)/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，/(2)=0,當(dāng)x>0時，有/‘(x)：/(x)<0成立,

x

則不等式x-7(x)>0的解集是()

A.(-2,0)U(2,+s)B.(-2,0)11(0,2)

C.(-00,-2)U(0,2)D.(-w,-2)U(2,+oo)

思路：;/⑺<0=(<o,令則尸(%)在(0,物)單調(diào)遞增,

因為/(幻是奇函數(shù)，所以可判斷尸(x)為偶函數(shù)。另一方面，心/(幻〉0的解集與」工。的

解集相同，進(jìn)而只需求出廠(力>0的解集。F(2)=/^=0,由增函數(shù)可得xw(2,4w)時,

F(x)>0,由對稱性可知xe(-oo,-2)時，F(xiàn)(x)>0

答案：D

例5：若函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+8)上是單調(diào)增函數(shù).如果實數(shù)行滿

足/(lnf)+/[n；)<2/(l)時，那么f的取值范圍是.

思路：根據(jù)函數(shù)J'(x)為偶函數(shù)，而Inr與Ini互為相反數(shù)的特點可化簡所求不等式：

/(ln/)+/^ln^<2/(l)^/(lnr)</(l),由偶函數(shù)與

單調(diào)性作草圖可得：距離y軸約近，函數(shù)值越小，所以可得

|lnr|<l,解出/的范圍即可

解：所解不等式等價于：/(lnr)+/(-lnr)<2/(l)

?."(X)為偶函數(shù)/(lnf)=/(-Inf)

.-./(ln/)</(l):/(x)為偶函數(shù)，且[0,+8)上單增

/.|lnr|<1=^>-1<Inr<1.1./€[

答案：.re(一,ej

小煉有話說：遇到單調(diào)性與對稱軸已知的函數(shù)，可以作草圖并得到距離對稱軸遠(yuǎn)近與函數(shù)值

的大小的等價關(guān)系。

例6：己知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),滿足f(x)</(x),且

y=/(x+l)為偶函數(shù)，/(2)=1,則不等式/(%)<，的解集為

思路：考慮條件能夠提供什么，y=/(x+l)為偶函數(shù)n/(x+l)的圖像關(guān)于x=0軸對稱

n/(x)的圖像關(guān)于x=l軸對稱；/(%)</(%)=>/(x)-/(%)<0,由輪流求導(dǎo)的特點

聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的乘除運算法則(極有可能是除法，則要猜想分母)，觀察所求不等式與條件的聯(lián)

系小)<,=烏<1,而(陰=進(jìn)而找到

聯(lián)系。構(gòu)造函數(shù)尸(x)=」^,則F(尤)==f(x)；“X)<0,得到/(力在

(fO,+8)單調(diào)遞增，所解不等式也變?yōu)榍笫?X)<1的解?？紤]/(x)=l時X的值，再利用

單調(diào)性求解。/(2)=1,而尸(2)=/身=/聲1,考慮F(0)=/興=/(0),?.?/(%)

圖像關(guān)于x=l軸對稱，故〃0)=/(2)=1,.?.尸(0)=1

由尸(x)在(-oo,4W)單調(diào)遞增可得F(x)<1的解集為(YO,0)

答案：(一8,0)

小煉有話說：

(1)本題所給條件比較零散。而解題思路則是像一根線把各個條件與求解聯(lián)系起來。此類題

目在不知如何入手時不妨先將條件進(jìn)行簡單轉(zhuǎn)化，看條件能提供什么，再與所求部分(或者

是選擇題中的選項)進(jìn)行對照。從對照中往往就能夠得知如何構(gòu)造函數(shù)。

(2)本題對條件/(2)=1的利用，以及猜想尸(x)=l的解是一個難點。對于指對數(shù)運算，

結(jié)果比較整齊時(尤其是0,1),要想到一些特殊結(jié)果，比如?！?1』08“1=0等。

例7：設(shè)函數(shù)/(x)是定義在(-0,0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/(X),且有

2f(x)+xf\x)>x2,則不等式(X+2014)2/(X+2014)—4/(—2)>0的解集為()

A.(—oo,—2012)B.(—2012,0)C.(-oo,—2016)D.(—2016,0)

思路：此題一入手便發(fā)現(xiàn)需用函數(shù)單調(diào)性解不等式，觀察條件：4(x)+獷''(￡)>%2出現(xiàn)輪

流求導(dǎo)，所解不等式中(X+2014)2/(x+2014),4/(—2)=(—2)2/(-2)均具備“/〃司”

的形式，進(jìn)而找到連結(jié)條件與所求的橋梁。下面對條件進(jìn)行變形：

If(x)+xf(x)>x2=^>2xf(x)+x2/(x)<x3=>^x2f(x))</(注意x<0,不等式變

號)，令E(X)=X2/(X),則尸故Rx)在(ro,0)上單調(diào)遞減。所解不等式

變?yōu)?(x+2014)>R(—2).-.x+2014<-2=>x<-2016

答案：C

小煉有話說：此題在處理條件(//(x))’<尤3時也有另一個選擇，即

卜2/(力)一(；/)〈。0(//(同一；/)<0,但是這與所求不等式之間沒有聯(lián)系(不

1.2

等式中沒有出現(xiàn)一公的形式)，所以此套方案舍棄，將V僅僅用于判斷符號。在數(shù)學(xué)題目中，

4

條件就像樹狀圖一樣，一個條件可以引出很多種思路與想法。但是如何進(jìn)行選取要借助其他

條件與所求帶來的暗示

x+W

例8：(2015紅橋一模)已知函數(shù)〃x)=,若/(x)vg(x),則實

1Pg⑴…2

數(shù)X的取值范圍是()

(、

-1-⑹JT+石

A.-00,,+8

2}27

—1+y[51+A/5

C.

丁'〒

思路：本題如果按照傳統(tǒng)不等式解法，則要通過零點分段

法去掉絕對值，再解不等式，過程較為復(fù)雜。分析

,1+1---,X>1,r.

,/Xx-\/\l+x,xNO拄

/W=.1/g(>l,x<。

-1+---,X<1I'

一1一x

段均可作出圖像，而所解不等式〃x)<g(x)在圖像上是

/(X)位于g(x)下方的部分。所以作出圖像找到邊界值：

g(x)=x+l]

A：41=>-1+---=X+1解得X與

/(x)=-l+----1-X

I1-x

g(x)=x+l

1=>1+----=X+1,解得:所以滿足/(x)<g(x)的X

/(x)=l+--X-1

Ix-1

—1+V5..1+y/i

的范圍是—8,,+oo

7

答案：B

例9：已知/(x)=m(x-2w)(x+m+3),g(x)=2l-2,若同時滿足條件：①

VxwR/(x)<0或g(x)<0；②3x€(-oo,-4),/(x)g(x)<0,則m的取值范圍是

思路：本題如果用代數(shù)方法求解，則由于/(X)本身含參，在解含參不等式時涉及分類討論較

為復(fù)雜，同時對于條件①②，均可翻譯為圖像上的特點，①表示/(x),g(x)的圖像在每一點

處至少有一個在x軸下方，②表示在(一8,一4)中至少存在一個位置，/(x),g(x)分居x軸兩

側(cè)：再考慮到/(x),g(x)圖像便于作出，所以可用數(shù)形結(jié)合求出機的范圍

解：因為g(x)為常系數(shù)函數(shù)，先做出g(x)圖像

由圖像可得：X>1時，g(x)>0,故/(X)圖像必為開口向下的拋物線(否則不滿足條件①),

可得〃2<0,/(x)與X軸有兩個交點玉=2根,與=一(加+3),結(jié)合條件①②可得，較小的根

應(yīng)小于-4,較大的根應(yīng)小于1。故對機進(jìn)行分類討論:

27n>-(m+3)2m<-(m+3)

<2m<1或42m<-4

-(m+3)<-4一(m+3)<1

解得：-4<m<-2

答案：me(T—2)

例10：定義在H上的可導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足：/(—x)+/(x)=d,當(dāng)x<0時，

則不等式/(力+；2/(1-月+工的解集為

思路：不易入手時可先梳理條件與結(jié)論能提供什么：

①所解不等式/(x)+g2"1—x)+x=>/(x)—41—x)+g—xN0,令

F(x)=/(x)-/(l-x)+l-x,可猜出尸(；)=0,進(jìn)而目標(biāo)轉(zhuǎn)向求下(力的單調(diào)性。

②尸(x)=/‘(x)+.r(i-x)-i(注：〃i—x)是復(fù)合函數(shù)，求導(dǎo)時要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

(7(1-%)),=/(1_%)X(1-X)=-/(1-X)),想辦法確定其符號

③/(—%)+.f(x)=%2：兩邊求導(dǎo)可得/(%)—/(―X)=2x

④當(dāng)x<0時/(x)v%：此為f(x)用x表示的一個條件，進(jìn)而有可能將F(%)中抽象的

/(X)，/(1—X)表示出來

由此發(fā)現(xiàn)，只要能確定當(dāng)x>0時/'(X)與X的關(guān)系，即可處理尸(X)的符號，聯(lián)系條件③

當(dāng)X>0時，f(x)=2x+/(―X)<2x4-(—X))=x,.*./(x)<x

F(x)=/(%)—/(1-x)-1<x+(1—x)—1=0,進(jìn)而E(%)單調(diào)遞減

二.XW1—8,g時，尸(光)《尸(；)=0

答案：

小煉有話說：

(1)在解決此類條件零碎的問題時，除了將所給條件和結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的分析外，還要在做

得過程中明確下一步需要做什么，需要得到什么。

（2）在考試中本題也可利用特殊函數(shù)得到答案。由/（一￡）+/（》）=%2可構(gòu)造一個符合條件

的函數(shù)如“；/+奇函數(shù)”的形式。在根據(jù).r（X）＜x進(jìn)行調(diào)整。例如/（力=；12,然

后求解不等式即可。（因為從題目上看可發(fā)現(xiàn)只要滿足條件的函數(shù)/（X）均可使不等式的解集

相同）

三、歷年好題精選

1、已知定義域為火的函數(shù)/（x）在（2,+8）上單調(diào)遞減，且y=/（x+2）為偶函數(shù)，則關(guān)于x

的不等式/（2彳-1）一/（了+1）＞0的解集為（）

A.f-00,——U(2,+oo)B.f——,2^C.(―oo,§)U(2,+oo)D.f—,2

2、若關(guān)于x的不等式同一卜+1|＞歸一2|有解，則實數(shù)a的取值范圍是

'2ex'',x＜2

3、（2014,慶安高三期中）設(shè)/（x）=《，，則不等式/（x）＞2的解集為（）

2

log3（x-l）,x＞2

5、設(shè)不等式2辦+。+2?0的解集為A,若Aq[l,3],則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.D.(-1,3]

6、設(shè)函數(shù)/（x）=ln（l+|x|）—■）：/，則使得/（%）＞/（2%-1）成立的x的取值范圍是

()

7、(2015新課標(biāo)ID設(shè)函數(shù)/'(x)是奇函數(shù)/(x)(xwR)的導(dǎo)函數(shù)，/(一1)=0,當(dāng)x>0

時，V'(x)-/(x)<0,貝!J使得/(x)>0成立的x的范圍是()

A.U(0,1)B.(-l,0)U(l,4w)

C.y,-I)U(-LO)D.(O,1)U(1,M)

8、(2014,新課標(biāo)全國卷II)已知偶函數(shù)/(x)在[0,+oo)單調(diào)遞減，/(2)=0,若

/(%-1)>0,則x的取值范圍是

9、(2014,浙江)設(shè)函數(shù)/(x)={2'，若/卜(。)]<2,則實數(shù)。的取值范圍是

10、(2016,重慶萬州二中)已知定義在實數(shù)集R的函數(shù)“X)滿足/(1)=4,且“X)導(dǎo)函

數(shù)〃力<3,則不等式/(lnx)>31nx+l的解集為()

A.(l,+oo)B.(e,+oo)C.(0,1)D.(0,e)

11、設(shè)偶函數(shù)/(x)滿足/(x)=2x—4(x20),貝懷等式/(x—2)>0的解集為()

A.(-co,-2)U(4,+oo)B.(-OO,0)U(4,-K?)

C.(-oo,0)IJ(6,+oo)D.(^?,-2)U(2,+oo)

12、已知函數(shù)/(x)=lnL?+sinx,則關(guān)于a的不等式/(a—2)+/(/-4)<0的解集是

1-X

3若/(x)>9,貝U的取值范圍是()

13、設(shè)函數(shù)/(九)=<

x\x>l

A.(r,-2)U(3,+oo)B.(-2,3)

C.(-w,-3)U(2,+oo)D.(F,-2]U[3,+QO)

14、設(shè)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，在(-oo,0)上有2V'(2x)+/(2x)<0且/(2)=0,

則不等式必1(2x)<0的解集為

15、設(shè)函數(shù)/(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f(x),對任意的xeR,有/(-x)+/(x)=f,且

xe(0,xo)時，f'(x)>x,若/(2—a)—/(。)22-2”，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[l,4-oo)B.(-00,1]C.(-00,2]D.[2,+oo)

16、定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：/(%)+/'(》)>1,/(0)=4,則不等式//0)>婷+3(其

中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為()

A.(0,4-oo)B.(no,0)U(3,+℃>)C.(―oo,0)U(0,+oo)D.(3,+co)

2,x>1

17、已知函數(shù)/"(均二1,，則不等式/(I一/)9>/(2x)的解集是()

(X-1)2+2,X<1

A.UI-1<X<-1+A/2}B.{x[%<-1->yfi-1}

C.{xI-1-<x<1}D.{xIx<->-14~5/2}

18、定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：/(1)=1,且對于任意的xeR,都有尸(x)<；,則不

等式/(log2x)>腿；+1的解集為.

習(xí)題答案：

1、答案：C

解析：由y=/(x+2)為偶函數(shù)可知"X)關(guān)于x=2軸對稱，因為/(x)在(2,+00)上單調(diào)遞

減，所以結(jié)合對稱性與單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合可知距離尤=2越近的點，函數(shù)值越大。則

/(2x-l)>/(x+l)^?|2x-l-2|<|x+l-2|,即|2x-3|<|-V-1|，可解得：

xef-oo,-|j|J(2,+oo)

2,答案：tZG(-oo,-l)U(l,4oo)

2x-3,x>2

解析:不等式變形為：同>歸一2|+歸+1|,設(shè)y(x)=|x-2|+k—1|=<1,1<尤<2

3—2x,x<—1

結(jié)合圖像可知：若不等式同>|x—2|+|x+l|有解，則〃x)的圖像有位于y=|《下方的部分,

所以同>1,解得aG(-8,-1)U(1,+8)

3、答案：C

解析：若x<2,則2/T>2=x—l>0=x>l,所以有(1,2)

若xN2時，可得：log3(d-l)>2nf-i>9解得：xe(J15,+oo)U(-°o，—Ji可，所

以X€(A/I5,+00)

綜上所述：不等式的解集為(1,2)U(、麗,+8)

4、答案：1

解析：由圖像可知：當(dāng)x+r的范圍應(yīng)該在(0,3),即不等式的解集為：(T,3—依題意可

得：t=1

5、答案：A

解析：分兩種情況，若A=0,則Av0=4/—4(a+2)v0解得一1VQV2,當(dāng)Aw0設(shè)

方程幺一2以+。+2=0的兩根為4馬，則問題轉(zhuǎn)化為不々￡0,3),從而用根分布進(jìn)行求

/⑴2。3-a>0

/（3"。一ll-5a>0

解，設(shè)=f-26+4+2,則：<2解得：Xe2,—,

A>0'4a-4（a+2）>0'

1<。<3l<a<3

綜上所述，可得：xe^-l,y

6、答案：A

解析：由/(x)=ln(l+|x|)―」可知"X)為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，可判斷出“X)單調(diào)

遞增，由對稱性和單調(diào)性通過作圖可知：距離y軸越近，則函數(shù)值越小。所以

/(x)>/(2x-l)<=>|x|>|2x-l|,解得：<尤<1

7、答案：A

解析:設(shè)g(x)=/iD,所以g(x)為偶函數(shù)，且g(力=總工當(dāng)由已知可得：x>0

XX

時，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減。由“X)為奇函數(shù)可知/⑴=一/(一1)=0,

所以g⑴=0,所以可得X€(0,l)時，g(%)="D>0,從而"x)>0,同理X€(1,4W)

時，/(%)<0,再由“X)奇函數(shù)的特點可得X€(—。。,—1)時，/(x)>0o綜上所述:

xe(-<?,-l)U(O,1)B'J',/(x)>0

8、答案：(—1,3)

解析：令，=x-l,則先解/(。>0,?."(X)在［0,一)單調(diào)遞減，/(2)=0

.?.問0,2)時,/(f)>0

?."(X)是偶函數(shù)

.?./?)>0的解集為fe(—2,2)

了.一2<x—1<2—1vxv3

9、答案：oo,5/2J

解析：通過數(shù)形結(jié)合處理，/(x)的圖像如圖所示，令.=/(a),

則先解/(r)W2,由圖可得：2即/(a)N—2,再由圖可

知aW0

10、答案：D

解析：由/(x)<3可得：/'(x)-3=[/(x)-3x],<0,設(shè)g(x)=/(%)_3x,可得g(x)

為減函數(shù)，g(l)=/(l)—3=1。所解不等式中令r=lnx,則/(。―3f>1,即解g(r)>l,

由g(x)為減函數(shù)及g(l)=1可知/<1。蘇喲喲lnx<l=xc(O,e)

11、答案：B

思路：“X)是偶函數(shù)，在(0,+8)中可得xe(2,+8)時，f(x)>0,由對稱性可得：

xe(2,4w)U(F,-2)時，f(x)>0,所以對于不等式〃尤一2)>0,只需

X-2G(2,+OO)|J(-OO,-2),解得：XG(4,+oo)U(-^o,0)

12、答案：ae(V3,2)

思路:雖然/(另有具體解析式，但/(。-2),/("一4)若代入解析式，則形式過于復(fù)雜，

所以考慮利用函數(shù)性質(zhì)求解。分析/(x)可得以下性質(zhì)：①定義域②

“x)=ln[—l+匕)+sinx可判定/(力單調(diào)遞增；③/(—x)+/(x)=0可判定〃x)

為奇函數(shù)，從而f(a-2)+f(a2-4)<0=>/(?-2)<-/(?2-4)=/(4-a2)

-1<tz-2<1

進(jìn)而可得：J-1<4Z2-4<1,解得：ae(百,2)

a—2>4—a~

注：本題解題時要注意。-2,/-4應(yīng)在定義域之中，也是本題的易錯點

13、答案：A

解析：方法一：當(dāng)X<1時，/(x)=3-x>9,解得：x<—2,當(dāng)XN1時，〃x)=f>9,

解得：x>3,綜上可得：XG(-OO,-2)U(3,4W)

方法二：本題分段函數(shù)易于作圖，可以考慮