2023-2024學(xué)年北京市房山區(qū)高二下學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年北京市房山區(qū)高二下學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列{an}滿足an+1=?2anA.14 B.4 C.?3 D.2.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則(

)

A.f′(1)>f′(3) B.f′(1)=f′(3) C.f′1<f′33.如圖①、②、③、④分別為不同樣本數(shù)據(jù)的散點圖，其對應(yīng)的線性相關(guān)系數(shù)分別為r1,r2,r3,A.r1 B.r2 C.r34.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，使SA.4 B.5 C.6 D.4或55.要安排5位同學(xué)表演文藝節(jié)目的順序，要求甲同學(xué)既不能第一個出場，也不能最后一個出場，則不同的安排方法共有(

)A.72種 B.120種 C.96種 D.60種6.在x+2x6的展開式中，x2A.15 B.60 C.6 D.127.某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，夏季里，每天下雨的概率是415，刮風(fēng)的概率為215，既刮風(fēng)又下雨的概率為110.A.8225 B.110 C.388.為了研究兒子身高與父親身高的關(guān)系，某機構(gòu)調(diào)查了某所高校14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高(單位：cm)，得到的數(shù)據(jù)如表所示．編號1234567891011121314父親身高x174170173169182172180172168166182173164180兒子身高y176176170170185176178174170168178172165182父親身高的平均數(shù)記為x，兒子身高的平均數(shù)記為y，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，得到兒子身高關(guān)于父親身高的回歸直線方程為y=0.839x+28.957.則下列結(jié)論中正確的是(

)A.y與x正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為0.839

B.點(x,y)不在回歸直線上

C.x每增大一個單位，y增大0.839個單位

D.當(dāng)x=176時，y9.設(shè)隨機變量X的分布列如下表所示，則下列說法中錯誤的是(

)X123456PppppppA.P(X≥4)=1?P(X≤3)

B.隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX可以等于3.5

C.當(dāng)pn=12nn=1,2,3,4,5時，10.已知數(shù)列A：1,?1,?2,?1,?2,?4,?1,?2,?4,?8,?1,?2,?4,?8,?16,???，其中第一項是20，接下來的兩項是20,?21，再接下來的三項是20,21,?22，依此類推．SA.16 B.95 C.189 D.330二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.若f(x)=x，則f′4=12.若x?14=a0+a1x+a2x13.為了提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，某市定期舉辦中學(xué)生科技知識競賽．某次科技知識競賽中，需回答20個問題，記分規(guī)則是：每答對一題得5分，答錯一題扣3分．從參加這次科技知識競賽的學(xué)生中任意抽取1名，設(shè)其答對的問題數(shù)量為X，最后得分為Y分．當(dāng)X=10時，Y的值為

；若P(Y≥60)=0.7，則P(X<15)=

．14.設(shè)無窮數(shù)列{an}的通項公式為an=?n2+λn+3?(λ>2).若15.已知函數(shù)fx=①當(dāng)a=0時，f(x)在定義域上單調(diào)遞增；②對任意a>0，f(x)存在極值；③對任意a>2，f(x)存在最值；④設(shè)f(x)有n個零點，則n的取值構(gòu)成的集合是{1,2,3,4}．其中所有正確結(jié)論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.（12分）已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且a2=3，a3=5(1)求an和b(2)設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列17.（12分）已知函數(shù)f(x)=?x(1)求函數(shù)f(x)的極值點；(2)若f(x)的極小值為?10，求函數(shù)f(x)在[?2,2]上的最大值．18.（12分）袋子中有5個大小和質(zhì)地相同的小球，其中3個白球，2個黑球.從袋中隨機摸出一個小球，觀察顏色后放回，同時放入一個與其顏色大小相同的小球，然后再從袋中隨機摸出一個小球．(1)求第一次摸到白球的概率；(2)求第二次摸到白球的概率；(3)求兩次摸到的小球顏色不同的概率．19.（13分）人工智能(簡稱AI)的相關(guān)技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開始應(yīng)用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的AI軟件主要有四項功能：“視頻創(chuàng)作”、“圖像修復(fù)”、“語言翻譯”、“智繪設(shè)計”.為了解某地區(qū)大學(xué)生對這款A(yù)I軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機抽取了120名大學(xué)生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的AI軟件功能(每人只能選一項)，統(tǒng)計結(jié)果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復(fù)語言翻譯智繪設(shè)計大學(xué)生人數(shù)40204020假設(shè)大學(xué)生對AI軟件的喜愛傾向互不影響．(1)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機抽取1人，試估計此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從120名大學(xué)生中隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機抽取2人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為Y，Y的方差記作D(Y)，(2)中X的方差記作D(X)，比較D(X)與D(Y)的大小．(結(jié)論不要求證明)20.（13分）已知函數(shù)fx=(1)當(dāng)a=0時，求曲線y=fx在x=0(2)當(dāng)a>0時，求函數(shù)fx(3)若對于任意的x∈2,+∞，有fx≥0，求21.（13分）若數(shù)列{an}滿足：對任意n∈N?，都有an+1(1)若an=2n?1，bn=2n?1，判斷(2)已知{an}是等差數(shù)列，a1=2，其前n項和記為Sn，若{a(3)已知{an}是各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列，a1=1，記bn=an3,cn=an+1n答案解析1.B

【解析】由an+1=?2a又a1=1，所以{an}∴a故選：B2.C

【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)的切線斜率，在1處的切線斜率小于在3處的切線斜率，所以f′1<f′3，A又因為f′1<f′3<0，所以故選：C．3.A

【解析】因③圖形比較分散，則r3≈0；因①②④相較③接近于一條直線附近，則又②為下降趨勢，則r2<0，①比④更接近一條直線，且呈上升趨勢，則綜上，r1故選：A4.D

【解析】設(shè)公差為d，由a2=?3，所以a1+d=?35a1令an≥0，解得n≥5，則數(shù)列an所以當(dāng)n=4或n=5時Sn故選：D5.A

【解析】第一步：先將甲同學(xué)排列除第一個、最后一個之外得3個位置，共有C3第二步：將剩余得4個節(jié)目全排列，共有A4所以共有C3故選：A6.B

【解析】由已知可得x+2x6令6?2r=2，解得r=2，所以T3=C故選：B．7.D

【解析】設(shè)事件A為當(dāng)天下雨，事件B為當(dāng)天刮風(fēng)，則PB=2則已知刮風(fēng)的條件下，也下雨的概率PA故選：D．8.C

【解析】A選項，因0.839>0，則y與x正相關(guān)，但相關(guān)系數(shù)不是0.839，故A錯誤；B選項，回歸方程過定點(x,yC選項，由回歸方程可知x每增大一個單位，y增大0.839個單位，故C正確；D選項，回歸方程得到的y為預(yù)測值，不一定滿足實際情況，故D錯誤．故選：C9.D

【解析】A選項：由已知p1+p2+B選項：當(dāng)p1=p2=C選項：由pn=12nD選項：由pn=1n(n+1)=1n故選：D．10.B

【解析】將數(shù)列分組，使每組第一項均為1，即：第一組：2第二組：2第三組：2……第k組：2根據(jù)等比例數(shù)列前n項公式，得每組和分別為：21每組含有的項數(shù)分別為N=1+2+3+?+k+k所以S若Sn=2將選項A代入，若n=16，則k=5，即S16為前5組與第6組的第1此時S16=2同理若n=95，則k=13，此時S95=2同理若n=189，則k=18，此時S189=S同理若n=330，則k=25，此時S330=2綜上可知，n=95，故選：B11.14【解析】由f(x)=x可得∴f′(4)=1故答案為：112.1；?8

【解析】由題意知，令x=0可得0?14=a由二項展開式的通項可得，C43xC41x即a1故答案為：1,?813.20；0.3/3【解析】由題意知，說明答對10道題，答錯10道題，又答對得5分，答錯得?3分，所以最后得分Y=5X?320?X即當(dāng)X=10時，Y=20;若Y≥60，即8X?60≥60，可得X≥15，∴P(Y≥60)=P(X≥15)=1?P(X<15)=0.7，∴P(X<15)=0.3，故答案為：20；0.314.λ=52(答案不唯一，λ∈(2,3)【解析】由an=?n又{an}即?n+1整理得?2n?1+λ<0恒成立，即λ<2n+1∴λ<3，又因為λ>2，所以2<λ<3，即λ取值范圍為λ∈(2,3)，故答案為：λ=52(答案不唯一，15.②③④

【解析】對于①，當(dāng)a=0時，fx對于②，當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)=?x2?ax?1,x≤0在(?∞,?函數(shù)f(x)在x=?a2處取得極大值，因此對任意a>0，f(x)存在極值，對于③，當(dāng)a>2時，?x∈(?∞,0],?當(dāng)x>0時，f′(x)=1x?(a?2)，由f′(x)>0，得0<x<1a?2即函數(shù)f(x)在(0,1a?2)上單調(diào)遞增，在(因此x∈R，f(x)max=對于④，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(?∞,0]上單調(diào)遞增，f(x)≤f(0)=?1，在?∞,0上無零點，f(x)=lnx?(a?2)x+1在(0,+∞)上單調(diào)遞增，f(ea?3)=a?3+(2?a)ea?3當(dāng)0<a<2時，f(?a2)=a24?1<0當(dāng)a=2時，f(?a2)=a24?1=0，f(x)=當(dāng)2<a<3時，f(?a2)=a2當(dāng)x>0時，f(1a?2)=當(dāng)x趨近于正無窮大時，f(x)趨近于負(fù)無窮大，即f(x)在(0,+∞)上有兩個零點，n=4；當(dāng)a=3時，f(?a2)=a24?1>0，f(x)當(dāng)a>3時，f(?a2)=a24?1>0，f(x)因此n的取值構(gòu)成的集合是{1,2,3,4}，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號是②③④．故答案為：②③④【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù)．16.(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a2所以a因為a1=所以q3=27，即等比數(shù)列bn所以b1=b所以bn(2)由(Ⅰ)知，an=2n?1，因此c從而數(shù)列cn的前nS=n【解析】(1)由an是等差數(shù)列求出an=2n?1(2)找出cn17.(1)f′(x)=?3x2令f′x=0，得x=?1或f′x，f(x)x(?∞,?1)?1(?1,3)3(3,+∞)f′?0+0?f遞減a遞增27+a遞減所以x=?1是函數(shù)f(x)的極小值點；x=3是函數(shù)f(x)的極大值點．(2)因為f(x)的極小值為?10，即f(?1)=1+3?9+a=?10解得a=?5，又f(?2)=?3，

f(2)=17．所以當(dāng)x=2時，f(x)取得最大值17．【解析】(1)先求導(dǎo)函數(shù)再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出函數(shù)的極值；(2)先根據(jù)極小值求出a，再根據(jù)極值及邊界值求最大值即可．18.(1)設(shè)第一次摸到白球的事件為A，則P(A)=35，即第一次摸到白球的概率為(2)設(shè)第二次摸到白球的事件為B，則P(B)=P(BA+B=35×(3)設(shè)兩次摸到的小球顏色不同的事件為C，則C=AP(C)=P(A=35×【解析】(1)由古典概型計算可得結(jié)果；(2)由全概率公式計算可得；(3)根據(jù)條件概率公式計算可得．19.(1)設(shè)從該地區(qū)的大學(xué)生隨機抽取1人，此人選擇“視頻創(chuàng)作”的事件為A，則P(A)=(2)因為抽取的6人中喜歡“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為6×40所以X的所有可能取值為0,1,2，PX=0=C所以X的分布列為：X012P28115EX(或X～B(N,n,M),則E(3)由(2)可得D(X)=0?由頻率估計概率可得地區(qū)的大學(xué)生中最喜歡“視頻創(chuàng)作”的概率為13，因此Y～B可得D(Y)=2×1因此D(Y)>D(X)．【解析】(1)有古典概型計算可得結(jié)果；(2)利用抽樣比可確定6人中有2人最喜歡“視頻創(chuàng)作”，求得X的所有可能取值及其對應(yīng)概率可得分布列和期望值(或利用超幾何分布計算可得結(jié)果)；(3)由(2)可得D(X)，由頻率估計概率可得地區(qū)的大學(xué)生中最喜歡“視頻創(chuàng)作”的概率為13，因此Y～B2,120.(1)由fx=x?2所以當(dāng)a=0時，有f0=0?2故曲線y=fx在x=0處的切線經(jīng)過0,?2，且斜率為?1，所以其方程為y=?x?2，即x+y+2=0(2)當(dāng)0<a<e時，對x∈?∞,lna∪1,+∞有f′x=x?1ex?a>0，對當(dāng)a=e時，對x∈?∞,1∪1,+∞有f′x=當(dāng)a>e時，對x∈?∞,1∪lna,+∞有f′x=x?1ex?a>0，對x∈綜上，當(dāng)0<a<e時，fx在?∞,lna和1,+∞當(dāng)a=e時，fx在?∞,+∞當(dāng)a>e時，fx在?∞,1和lna,+∞上遞減，在(3)我們有fx當(dāng)a≤e2時，由于lna≤2，1<2，故根據(jù)(2)的結(jié)果知f故對任意的x∈2,+∞，都有f當(dāng)a>e2時，由于lna>2所以原結(jié)論對x=ln綜上，a的取值范圍是?∞,e【解析】(1)直接計算導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)的定義即可；(2)對a分情況判斷f′x的正負(fù)，即可得到f