第二講 實數(shù)（一）-2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)北師大版上冊

PAGEPAGE5第二講實數(shù)一、知識梳理（一）平方根:如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方根），就是說，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根.這里，a是x的平方數(shù)，它是一個非負(fù)數(shù)，即a≥0。1．平方根的表示方法: (1)當(dāng)a>0時，a的平方根記為±；(2)當(dāng)a＝0時，a的平方根是，即＝0；(3)當(dāng)a<0時，a沒有平方根.2．平方根的性質(zhì):一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，它就是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根.3．算術(shù)平方根:正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作，0的算術(shù)平方根是0.4．算術(shù)平方根的性質(zhì):非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即當(dāng)a≥0時，≥0.5．開平方:開平方是一種運算方法，與加、減、乘、除、乘方一樣，都是一種運算。求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，其中a叫被開方數(shù)。平方與開平方互為逆運算.6．(1)()2＝a，(a≥0)(2)（二）立方根：若，則x叫做a的立方根；每個實數(shù)都有一個立方根，記作1．立方根的性質(zhì)：(1)正數(shù)有一個立方根，仍為正數(shù)；(2)零的立方根是零；(3)負(fù)數(shù)有一個立方根，仍為負(fù)數(shù)。2．開立方：正如開平方是平方的逆運算一樣，開立方運算也是立方運算的逆運算.求一個數(shù)a的立方根的運算，叫做開立方，其中a叫被開方數(shù)。3．(1)(a>0),(2)(3)（三）實數(shù)：1．有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)；反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。2．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。無理數(shù)必須滿足三個條件：①小數(shù)；②是無限小數(shù)；③不循環(huán)，三者缺一不可。3．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).4．實數(shù)的分類：二、重難點突破1、重點：（1）平方根和立方根的概念。（2）開平方、開立方的書寫步驟。2、難點：（1）算術(shù)平方根；（2）解方程中解的個數(shù)；（3）根式是否有意義。三、典例剖析專題一：無理數(shù)的產(chǎn)生例1：（無理數(shù)）將下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：0；π；；3.14；；；；；整數(shù)集合{}；分?jǐn)?shù)集合{}；負(fù)數(shù)集合{}；無理數(shù)集合{}；【變式】在數(shù)0.222；－；2.110110110…；π-3；－；1.1351335…；3.1416；；(－1)2；－1.424224222…其中無理數(shù)的個數(shù)為（）。 A．1個 B.2個 C.3個 D.4個專題二：平方根、算術(shù)平方根、立方根求解例2：求下列各題。(1)的平方根是_________； (2)(－)2的算術(shù)平方根是_________； (3)－512的立方根是_______；(4)的算術(shù)平方根為_________；例3：求下列各式的平方根和算術(shù)平方根。 （1）36； （2）2； （3）10－4； （4）|－|；例4：求下列各式的立方根。（1）216；（2）－0.729；（3）；(4)0【變式】(1)a的平方根是,則a=________； (2)a的算術(shù)平方根的平方根是，則a=__________；(3)一個數(shù)的立方根的算術(shù)平方根為2，則這個數(shù)為__________；(4)一個數(shù)的算術(shù)平方根的立方根為，則這個數(shù)為__________；

專題三：根式的化簡例5：計算下列各題（1）=_____；（2）=____；（3）=______；（4）=____；（5）=_____；（6）=____；（7）=_______;（8）=_____；（9）()2＝_____;(a≥0)（10）=_____；(11)=______;(12)=_____.【變式】化簡下列根式：（1）=（2）=（3）=(4)=(5)=(6)=專題四：根式的意義例6：若有意義，則x的取值范圍是____________..例7：若有意義，則的值是_____.【變式1】.（1）任何數(shù)都有算術(shù)平方根；（2）一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；（3）的算術(shù)平方根是a，（4）的算術(shù)平方根是，（5）算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù)，正確的個數(shù)有____________個。【變式2】若｜x－4｜+=0,那么x=________,y=_________.【變式3】（2011成都中考）在函數(shù)自變量的取值范圍是(A)(B) (C)(D)專題五：根式在解方程中的運用例8：求下列各式中的x:（1）2(x2-1)＝30；（2）（x+1）2＝49（3）=－2 （4）27(x+1)3+64=0專題六：根式拓展運用例9：6．若m<0，則m的立方根是（）A. B.－ C.± D.◆變式拓展訓(xùn)練◆【變式1】求的值為【變式2】一個正數(shù)x的兩個平方根分別是a+1和a-3,則這個數(shù)為多少？【變式3】已知y＝2003－2004，求的值.四、創(chuàng)新探究（名校、名書、名題、中考、培優(yōu)、競賽）1．（成都）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是。2.（培優(yōu)）已知3x+1的平方根為，則9x+19的立方根為。3.（西川）若和互為相反數(shù)，求的平方根。4.（七中嘉祥）已知2a－1的平方根為±3，3a＋b－1的算術(shù)平方根為4，求a＋2b的平方根。5．（培優(yōu)）已知是m的立方根，而是x的相反數(shù)，且m=3a-7，求x與y的平方和的立方根。6.（培優(yōu)）已知的值。第一部分：1．下列數(shù)中是無理數(shù)的是（）A.0.12 B. C.0 D.2．一個正偶數(shù)的算術(shù)平方根是m，則這個正偶數(shù)相鄰的下一個正偶數(shù)的算術(shù)平方根是（）A.m+2 B.m+C. D.3．下列說法中，正確的是（）A.一個有理數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)B.一個有理數(shù)的立方根，不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)C.負(fù)數(shù)沒有立方根D.如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是－1，0，14．判斷下列各題的正誤。（1）有理數(shù)包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)和零。（）（2）無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)（）（3）不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)（）（4）帶根號的數(shù)都是無理數(shù)（）（5）無理數(shù)都是無限小數(shù) （）（6）無限小數(shù)都是無理數(shù)（）第二部分：5．若，則6．若x<0，則=,=_.7.★若有意義，則x范圍是;8.★當(dāng)x=____