江蘇高考數(shù)學一輪復習講義第5章第4節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

第四節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入[最新考綱]1.理解復數(shù)的概念，理解復數(shù)相等的充要條件.2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解兩個具體復數(shù)相加、減的幾何意義．1．復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．復數(shù)的幾何意義復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z(a，b)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→))＝(a，b)．3．復數(shù)的運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復數(shù)加法的運算定律復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．eq\O([常用結(jié)論])1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a∈C，則a2≥0. ()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數(shù)z為純虛數(shù)．()(3)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部為bi. ()(4)方程x2＋x＋1＝0沒有解． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1．若復數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A[∵z為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))∴x＝－1.]2．在復平面內(nèi)，向量eq\o(AB,\s\up7(→))對應的復數(shù)是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up7(→))對應的復數(shù)是－1－3i，則向量eq\o(CA,\s\up7(→))對應的復數(shù)是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD[∵eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故選D.]3．設復數(shù)z滿足eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2A[eq\f(1＋z,1－z)＝i，則z＝eq\f(i－1,1＋i)＝i，∴|z|＝1.]4．已知(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，則z＝.2＋i[由(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i得eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,5)＝2－i.∴z＝2＋i.]考點1復數(shù)的概念復數(shù)的分類、復數(shù)相等、復數(shù)的模、共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部和虛部有關，所以解答與復數(shù)相關概念有關的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解．1.若復數(shù)(m2－m)＋mi為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()A．－1B．0C．1D．2C[由純虛數(shù)的概念得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m＝0，,m≠0，))得m＝1，故選C.]2．(2019·長沙模擬)已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數(shù)，則a＝()A．－5 B．－1C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(5,3)D[z＝eq\f(a,1－2i)＋i＝eq\f(a1＋2i,1－2i1＋2i)＋i＝eq\f(a,5)＋eq\f(2a＋5,5)i，因為復數(shù)z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數(shù)，所以－eq\f(a,5)＝eq\f(2a＋5,5)，解得a＝－eq\f(5,3).故選D.]3．(2019·唐山模擬)已知eq\f(z,1－i)＝2＋i，則eq\x\to(z)(z的共軛復數(shù))為()A．－3－i B．－3＋iC．3＋i D．3－iC[由題意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以eq\x\to(z)＝3＋i，故選C.]4．(2018·全國卷Ⅰ)設z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\r(2)C[法一：因為z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C.法二：因為z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i＋2i1＋i,1＋i)＝eq\f(－1＋i,1＋i)，所以|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋i,1＋i)))＝eq\f(|－1＋i|,|1＋i|)＝eq\f(\r(2),\r(2))＝1，故選C.]解決此類時，一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．考點2復數(shù)的運算復數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略(1)復數(shù)的加、減、乘法：復數(shù)的加、減、乘法類似于多項式的運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．(2)復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，使分母實數(shù)化解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．(1)(2019·全國卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i(2)計算：eq\f(2＋i1－i2,1－2i)＝()A．2 B．－2C．2i D．－2i(3)(2019·惠州模擬)已知復數(shù)z的共軛復數(shù)為eq\x\to(z)，若eq\x\to(z)(1－i)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則z＝()A．i B．i－1C．－i－1 D．－i(4)(2019·武漢調(diào)研)已知復數(shù)z滿足z＋|z|＝1＋i，則z＝()A．－i B．iC．1－i D．1＋i(1)D(2)A(3)C(4)B[(1)由題意得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i，故選D.(2)eq\f(2＋i1－i2,1－2i)＝eq\f(－2＋i2i,1－2i)＝eq\f(2－4i,1－2i)＝2，故選A.(3)由已知可得eq\x\to(z)＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i，則z＝－1－i，故選C.(4)法一：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＋|z|＝(a＋eq\r(a2＋b2))＋bi＝1＋i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝1，,b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))所以z＝i，故選B.法二：把各選項代入驗證，知選項B滿足題意．](1)在只含有z的方程中，z類似于代數(shù)方程中的x，可直接求解；(2)在含有z，eq\x\to(z)，|z|中至少兩個的復數(shù)方程中，可設z＝a＋bi，a，b∈R，變換方程，利用兩復數(shù)相等的充要條件得出關于a，b的方程組，求出a，b，從而得出復數(shù)z.1.(2018·全國卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋iD[(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.]2．對于兩個復數(shù)α＝1－i，β＝1＋i，有下列四個結(jié)論：①αβ＝1；②eq\f(α,β)＝－i；③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(α,β)))＝1；④α2＋β2＝0，其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4C[αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正確；eq\f(α,β)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝－i，②正確；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(α,β)))＝|－i|＝1，③正確；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正確．]3．(2019·貴陽模擬)設i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足i(z＋1)＝1，則復數(shù)z＝()A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋iC[由題意，得z＝eq\f(1,i)－1＝－1－i，故選C.]4．已知a為實數(shù)，若復數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則eq\f(a＋i2020,1＋i)＝()A．1 B．0C．1＋i D．1－iD[z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，則有eq\f(1＋i2020,1＋i)＝eq\f(1＋1,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝1－i.]考點3復數(shù)的幾何意義與復數(shù)幾何意義相關的問題的一般解法第一步，進行簡單的復數(shù)運算，將復數(shù)化為標準的代數(shù)形式；第二步，把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復平面的點之間的關系，依據(jù)是復數(shù)a＋bi與復平面上的點(a，b)一一對應．(1)(2019·全國卷Ⅰ)設復數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2019·全國卷Ⅱ)設z＝－3＋2i，則在復平面內(nèi)eq\x\to(z)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)(1)C(2)C(3)A[(1)設復數(shù)z與i分別表示復平面內(nèi)的點Z與點P，則P(0,1)，且|z－i|表示復平面內(nèi)點Z與點P之間的距離，所以點Z(x，y)到點P(0,1)的距離為定值1，所以Z的軌跡是以(0,1)為圓心，1為半徑的圓，故選C.(2)∵z＝－3＋2i，∴eq\x\to(z)＝－3－2i，∴在復平面內(nèi)，eq\x\to(z)對應的點為(－3，－2)，此點在第三象限．(3)由已知可得復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(m＋3，m－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0，,m－1＜0，))解得－3＜m＜1，故選A.]復平面內(nèi)的點、向量及向量對應的復數(shù)是一一對應的，要求某個復數(shù)對應的點，只需確定復數(shù)的實部和虛部即可．1.如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)z1，z2對應的向量分別是eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，則復數(shù)z1·z2對應的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限D(zhuǎn)[由已知eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2，－1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所對應的點為(1，－2)，在第四象限．]2．若復數(shù)z滿足|z－i|≤eq\r(2)(i為虛數(shù)單位)，則z在復平面內(nèi)所對應的圖形的面積為．2π[設z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤eq\r(2)得|x＋(y－1)i|≤eq\r(2)，所以eq\r(x2＋y－12)≤eq\r(2)，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在復平面內(nèi)所對應的圖形是以點(0,1)為圓心，以eq\r(2)為半徑的圓及其內(nèi)部，它的面積為2π.]3．已知復數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，C，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是