2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題小練習(xí)專練4基本不等式

專練4基本不等式[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．函數(shù)y＝2x＋eq\f(2,2x)的最小值為()A．1B．2C．2eq\r(2)D．4答案：C解析：因?yàn)?x>0，所以y＝2x＋eq\f(2,2x)≥2eq\r(2x·\f(2,2x))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(2,2x)，即x＝eq\f(1,2)時(shí)取“＝”．故選C.2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，則eq\f(1,ab)的最小值為()A．2B．eq\f(1,2)C．4D．eq\f(1,4)答案：B解析：∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2eq\r(2ab)(當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b，即：a＝1，b＝2時(shí)等號(hào)成立)，∴0<ab≤2，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2)，∴eq\f(1,ab)的最小值為eq\f(1,2).3．下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值為4C．當(dāng)x>0時(shí)，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2D．當(dāng)0<x≤2時(shí)，x－eq\f(1,x)無(wú)最大值答案：C解析：當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，lgx<0，故A不成立，對(duì)于B中sinx＋eq\f(4,sinx)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)sinx＝2時(shí)等號(hào)成立，等號(hào)成立的條件不具備，故B不正確；D中y＝x－eq\f(1,x)在(0，2]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值，故D不正確；又eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2eq\r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＝2(當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(1,\r(x))即x＝1時(shí)等號(hào)成立).故C正確．4．下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2≤2abB．a(chǎn)2＋b2≥－2abC．a(chǎn)＋b≥2eq\r(|ab|)D．a(chǎn)＋b≥－2eq\r(|ab|)答案：B解析：對(duì)于A，C，D，當(dāng)a＝0，b＝－1時(shí)，a2＋b2＞2ab，a＋b＜2eq\r(ab)，a＋b＜－2eq\r(|ab|)，故A，C，D錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閍2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|＝2|ab|≥－2ab，所以B正確．故選B.5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，則eq\f(xy,2x＋y)的最大值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,9)D．eq\f(1,12)答案：C解析：x＋2y＝1?y＝eq\f(1－x,2)，則eq\f(xy,2x＋y)＝eq\f(x－x2,3x＋1).∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴0<x<1.設(shè)3x＋1＝t(1<t<4)，則x＝eq\f(t－1,3)，原式＝eq\f(－t2＋5t－4,9t)＝eq\f(5,9)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,9)＋\f(4,9t)))≤eq\f(5,9)－2eq\r(\f(4,81))＝eq\f(1,9)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(t,9)＝eq\f(4,9t)，即t＝2，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)時(shí)，取等號(hào)，則eq\f(xy,2x＋y)的最大值為eq\f(1,9)，故選C.6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，則ab＋bc＋ac的最大值為()A．8B．4C．2D．1答案：B解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2＝4.7．若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(1，1)，則a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5答案：C解析：因?yàn)橹本€eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(1，1)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)即a＝b＝2時(shí)取“＝”，故選C.8．若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)，a與b相互垂直，則9x＋3y的最小值為()A．12B．2C．3D．6答案：D解析：∵a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x＋y)＝2eq\r(32)＝6，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào)，∴9x＋3y的最小值為6.9．用一段長(zhǎng)8cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形模型，則這個(gè)模型面積的最大值為()A．9cm2B．16cm2C．4cm2D．5cm2答案：C解析：設(shè)矩形模型的長(zhǎng)和寬分別為xcm，ycm，則x＞0，y＞0，由題意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面積S＝xy≤eq\f(（x＋y）2,4)＝eq\f(42,4)＝4(cm2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)矩形模型的長(zhǎng)和寬都為2cm時(shí)，面積最大，為4cm2.故選C.二、填空題10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋eq\f(1,8b)的最小值為________.答案：eq\f(1,4)解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋eq\f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2eq\r(2a·2－3b)＝2eq\r(2a－3b)＝2eq\r(2－6)＝eq\f(1,4).當(dāng)且僅當(dāng)2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1時(shí)，2a＋eq\f(1,8b)取得最小值為eq\f(1,4).11．已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________．答案：36解析：∵x>0，a>0，∴4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝eq\f(a,x)，即：x＝eq\f(\r(a),2)時(shí)等號(hào)成立，由eq\f(\r(a),2)＝3，a＝36.12．[2024·山東聊城一中高三測(cè)試]已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為________．答案：2＋eq\r(3)解析：由3a＋b＝2ab，得eq\f(3,2b)＋eq\f(1,2a)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))＝2＋eq\f(b,2a)＋eq\f(3a,2b)≥2＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(3a,2b))＝2＋eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,2a)＝eq\f(3a,2b)即b＝eq\r(3)a時(shí)等號(hào)成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三測(cè)試]若a，b都是正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值為()A．7B．8C．9D．10答案：C解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)即b＝2a時(shí)等號(hào)成立).14.(多選)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，則()A．a(chǎn)2＋b2≥eq\f(1,2)B．2a－b＞eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2D．eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)答案：ABD解析：對(duì)于選項(xiàng)A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥eq\f(1,2)，正確；對(duì)于選項(xiàng)B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝eq\f(1,2)，正確；對(duì)于選項(xiàng)C，令a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)，則log2eq\f(1,4)＋log2eq\f(3,4)＝－2＋log2eq\f(3,4)＜－2，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，∵eq\r(2)＝eq\r(2（a＋b）)，∴[eq\r(2（a＋b）)]2－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，正確．故選ABD.15．(多選)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，則()A．若a＞b，則eq\f(a,b)＜eq\f(a＋c,b＋c)B．若a＋b＝1，則eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)的最小值為1C．若a＞b＞c，則eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)D．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2的最小值為3答案：BCD解析：因?yàn)閍>b，所以eq\f(a,b)－eq\f(a＋c,b＋c)＝eq\f(c（a－b）,b（b＋c）)＞0，所以eq\f(a,b)＞eq\f(a＋c,b＋c)，選項(xiàng)A不正確；因?yàn)閍＋b＝1，所以eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋b))－(a＋b)≥2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)，所以eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)的最小值為1，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)閍＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（a－b）＋（b－c）))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2＋2eq\r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b－c＝a－b時(shí)取等號(hào)，所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)閍2＋b2＋c2＝eq\f(1,3)[(a2＋b2＋c2)＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)]≥eq\f(1,3)(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝eq\f(1,3)[(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2]＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)等號(hào)成立，所以a2＋b2＋c2的最小值為3，故選項(xiàng)D正確．16．某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元．要使一年的總