上海市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題含解析

2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題一．填空1.不等式的解集為________【答案】【解析】【詳解】因?yàn)樗?，即不等式的解集?2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為.3.若復(fù)數(shù)滿意，其中i是虛數(shù)單位，則的實(shí)部為________．【答案】2【解析】【詳解】分析：先依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，再依據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部概念求結(jié)果.詳解：因?yàn)?，則，則的實(shí)部為.點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛復(fù)數(shù)為.4.在的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)為_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)綻開式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】在的綻開式的通項(xiàng)公式為，所以令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為故答案為：．5.等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)和為30，則________【答案】12【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到a1+a10=6．由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a10=a4+a7，進(jìn)而可得答案．【詳解】∵等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為30，∴，解得a1+a10=6．由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a10=a4+a7，∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12．∴a1+a4+a7+a10=12．故答案為12．【點(diǎn)睛】嫻熟駕馭等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.設(shè)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則的反函數(shù)________【答案】，【解析】【分析】由題意，函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求得，求得，進(jìn)而得到函數(shù)的反函數(shù)．【詳解】由題意，函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，即，解得，即，則，即，所以的反函數(shù)(x>1)【點(diǎn)睛】本題主要考查了反函數(shù)的計(jì)算以及函數(shù)解析式的求解，其中解答中正確函數(shù)的解析式，利用反函數(shù)的求解方法，精確求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于屬于基礎(chǔ)題．7.假如無窮等比數(shù)列全部奇數(shù)項(xiàng)的和等于全部項(xiàng)和的3倍，則公比______．【答案】【解析】【分析】由題意可知，全部項(xiàng)和，奇數(shù)項(xiàng)的和，結(jié)合已知即可求解.【詳解】解：由題意可知，全部項(xiàng)和，奇數(shù)項(xiàng)的和，，解可得，或(舍)故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了無窮等比數(shù)列的求和公式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．8.圓的圓心到直線的距離等于________．【答案】2【解析】【分析】先依據(jù)圓的一般方程確定圓的圓心，然后依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算圓心到直線的距離.【詳解】因?yàn)閳A的方程為即，所以圓心為，則圓心到直線的距離.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)圓的一般方程確定圓心以及點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，難度較易.由圓的一般方程確定圓心可考慮先將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程然后干脆得到圓心坐標(biāo)9.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，且，則______．【答案】0【解析】【分析】由三角形面積公式和余弦定理可將化為，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋嘞叶ɡ?，又，所以有，即，所以，因此或，所以或，因?yàn)镃三角形內(nèi)角，所以，故.故答案為0【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記余弦定理和三角形面積公式即可求出結(jié)果，屬于常考題型.10.在的二面角內(nèi)放置一個(gè)半徑為6的小球，它與二面角的兩個(gè)半平面相切于、兩點(diǎn)，則這兩個(gè)點(diǎn)在球面上的距離是________【答案】【解析】【分析】設(shè)球心為O，由二面角的面與球相切的性質(zhì)可得∠AOB＝60°，又半徑為6，由弧長(zhǎng)公式可求兩切點(diǎn)在球面上的距離．【詳解】設(shè)球心為O，由球的性質(zhì)知，OA，OB分別垂直于二面角的兩個(gè)面，又二面角的平面角為120°，故∠AOB＝60°，∵半徑為6的球切兩半平面于A，B兩點(diǎn)∴兩切點(diǎn)在球面上的距離是6×＝2π．故答案為2π．【點(diǎn)睛】本題考查球面距離及相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是依據(jù)二面角與球的位置關(guān)系得出過兩切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角以及球面上兩點(diǎn)距離的公式，考查空間想像實(shí)力，是中檔題．11.已知點(diǎn)，設(shè)B、C是圓O：上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且向量(其中t為實(shí)數(shù))，則______．【答案】3【解析】【分析】由向量(其中t為實(shí)數(shù))，可得：A，B，C三點(diǎn)共線，且，同向，設(shè)圓O與x軸正半軸交于點(diǎn)E，與x軸正半軸交于點(diǎn)F，由割線定理可得,由即可得解.【詳解】由向量(其中t為實(shí)數(shù))，可得：A，B，C三點(diǎn)共線，且，同向，設(shè)圓O與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)E，與x軸正半軸交于點(diǎn)F，由圓的割線定理可得，，，故答案為3【點(diǎn)睛】本題考查了向量中三點(diǎn)共線的推斷，及圓的割線定理，屬于中檔題.12.已知平面對(duì)量，，，滿意，，，.若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】用坐標(biāo)表示向量，設(shè)，，，由，知在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)，，則在線段上（含端點(diǎn)），問題轉(zhuǎn)化為求線段上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的范圍，由圓心到直線的距離公式和兩點(diǎn)間距離結(jié)合圓的性質(zhì)可得．【詳解】因?yàn)?，，所以設(shè)，，，又，則在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)，，則在線段上（含端點(diǎn)），易知到直線的距離為，線段上的點(diǎn)到的距離的最大值為，所以的最小值為，最大值為，所以的取值范圍是．故答案為：．二.選擇題13.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】推斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性：為增函數(shù)；和為偶函數(shù)；解除選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.，函數(shù)在單調(diào)遞增，解除；B.，函數(shù)為偶函數(shù)，解除；C.，函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，正確；D.，函數(shù)為偶函數(shù)，解除.故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的駕馭狀況.14.電視臺(tái)在電視劇開播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，利用插空法，可得答案.【詳解】先排4個(gè)商業(yè)廣告，則，即存5個(gè)空，再排2個(gè)公益廣告，則，故總排法：，故選：A.15.已知向量滿意，且，則、、中最小的值是（）A. B. C. D.不能確定的【答案】B【解析】【分析】可在的兩邊分別乘，，可得出，，，再依據(jù)，即可推斷.【詳解】解：∵，∴，，.∴，，.∵，∴，.∴，∴．故選：B．16.函數(shù)，若存在，，，，使得，則n的最大值是（）A.11 B.13 C.14 D.18【答案】C【解析】【分析】由已知得，又，，，，可求的最大值．【詳解】解：，，，當(dāng)，時(shí)，，，又，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)的最值，配方是關(guān)鍵，考查推理實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬中檔題三.解答題17.如圖，三棱柱中，底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，，三棱柱的體積是，求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題意，因?yàn)榈酌鍭BC，所以，又，D是BC的中點(diǎn)，，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解向量，利用向量所成角的公式，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BC，所以又，D是BC的中點(diǎn)，與交于所以平面（2）依據(jù)求得的面積等于4三棱柱的體積是如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，異面直線和所成的角為所成的角為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的直線與平面垂直的判定和異面直線所成的角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18.已知向量，.（1）若∥，求的值；（2）若，求函數(shù)的最小正周期及當(dāng)時(shí)的最大值.【答案】（1）（2）最小正周期為，最大值為【解析】【分析】（1）由得，再依據(jù)二倍角的正切公式干脆求解.（2）依據(jù)平面對(duì)量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的恒等變換，化簡(jiǎn)f（x）即可求出T，再依據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出x∈[0，]時(shí)f（x）的最大值以及對(duì)應(yīng)x的值．【詳解】解：（1）由得,，∴∴（2）∴函數(shù)的最小正周期為當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)，即時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面對(duì)量的數(shù)量積和三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．19.已知函數(shù)，其中．解關(guān)于x的不等式；求a的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】由題意可得，對(duì)a探討，可得所求解集；求得，由反比例函數(shù)的單調(diào)性，可得，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】的不等式，即為，即為，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為，；，由在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，可得，解得．即a的范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法，留意運(yùn)用分類探討思想方法，考查函數(shù)的單調(diào)性的推斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．20.已知橢圓：．（1）若拋物線的焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若的上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)及軸上一點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若為的中心，為上一點(diǎn)(非的頂點(diǎn))，過的左頂點(diǎn)，作，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：．【答案】（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為和．（2）或．（3）見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的方程和拋物線的性質(zhì)即可求出；（2）按哪個(gè)角為直角進(jìn)行分類，結(jié)合數(shù)量積為0，計(jì)算得到M的坐標(biāo).（3）由B（﹣3，0），BQ∥OP，設(shè)直線BQ的方程為x＝my﹣3，直線OP的方程為x＝my，分別于橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)Q，N，P的坐標(biāo)，再依據(jù)向量的運(yùn)算即可證明.【詳解】(1)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為和．(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，，由，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．(3)設(shè)直線的方程為()，直線的方程為．于是點(diǎn)，的坐標(biāo)，為方程組的實(shí)數(shù)解，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)，的坐標(biāo)，為方程組的實(shí)數(shù)解，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．又點(diǎn)坐標(biāo)為．于是，，，，，即，得證．【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，拋物線方程的求法，向量的運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）若數(shù)列滿意，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，摸索究當(dāng)正實(shí)數(shù)滿意什么條件時(shí)，數(shù)列具有如下性質(zhì)：對(duì)于隨意的，都存在使得，寫出你的探求過程，并求出滿意條件的正實(shí)數(shù)的集合.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）首先依據(jù)，，求出，再計(jì)算即可.（2）首先由得到，由且，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列.（3）有題意得：，然后對(duì)分類探討，可知當(dāng)，，時(shí)，數(shù)列不具有性質(zhì).當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意，，都有，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列具有性質(zhì).【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，則，所以.（2）因?yàn)?，所以，解得，因，，，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)偶數(shù)時(shí)，.所以對(duì)隨意，都有.當(dāng)時(shí)