高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (三)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（3）

一、單項選擇題（本大題共12小題，共60.（）分）

如圖所示，在正三棱臺4BC-aB1C1中，4B=344=|公&=3,

記側(cè)面488遇］與底面A8C,側(cè)面與側(cè)面BCC/i，以及側(cè)面

ABB14與截面&BC所成的銳二面角的平面角分別為a,0,y,貝k）

A.y<p=a

B.p=a<y

C.p<a<y

D.a<p<y

2.已知點(diǎn)在半徑為2的球面上，滿足AB=AC=1,BC=遮，若S是球面上任意一點(diǎn)，則

三棱錐S-ABC體積的最大值為（）

A3+26B3+2V3Q2+3遍D.皿

?12?6.1212

3.如圖，表面積為127r的球。內(nèi)切于正方體48co-則平面AC%截球。的截面面積為

()

4.如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為6,該紙片上的正方形ABCQ的中

心為0.E,F,G,，為圓。上的點(diǎn)，AABE,△BCF,4CDG,&ADH分

別是以AB,BC,CD,￡>A為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以

AB,BC,CD,D4為折痕折起AABE,△BCF,△CDG,dADH,使得

E,F,G,，重合得到一個四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2

倍時，該四棱錐的外接球的表面積為（）

A167rB257rp647r口lOOrr

?3333

5,已知三棱錐P—ABC三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，且P4=PB=PC=2,M,N分別

為該三棱錐內(nèi)切球和外接球上的動點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)間的距離最大值為

A.2+yB.2+V3C.V3+1D.2+竽

6.下圖所示的幾何體是由一個圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐

而得到，現(xiàn)用一個垂直于底面的平面去截該幾何體，則截面圖形可能是

MM口

⑵(3)(4)

C.⑶(4)D.⑴(4)

7.在三棱錐P-4BC中，二面角P-A8-C、2一4。一8和「一8。一4的大小均等于全

AB-.AC-.BC=3:4:5,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為。，直線P0與平面A8C交于點(diǎn)Q,則

—=()

0QI,

A.-B.2C.3D.4

4

8.在三棱錐E-4BD中，已知48==遮，三角形雙加是邊長為2的正三角形，則三棱錐E-

48。的外接球的最小表面積為()

A2后B8后Q32鬲rD坨

*33273

9.已知尸，A,B,C是半徑為3的球面上四點(diǎn)，其中PA過球心，AB=BC=2,AC=2y[3,則三

棱錐P-ABC的體積是

A.V3B.2A/2C.辿D.泊

33

10.已知正三棱柱ABC-4B1G的側(cè)棱長為4,底面邊長為2,用一個平面截此棱柱，與側(cè)棱44,

BBi，CG分別交于點(diǎn)M,N,Q,若^MNQ為直角三角形，則4MNQ面積的最大值為()

A.3B.V10C.V17D.3V2

11.日常生活中，有各式各樣精美的糖果包裝禮盒.某個鐵皮包裝禮盒

的平面展開圖是由兩個全等的矩形，兩個全等的三角形和一個正方

形所拼成的多邊形（如圖），矩形的長為12CM,矩形的寬和正方形

的邊長均為8cm.若該包裝盒內(nèi)有一顆球形硬糖的體積為Ucm3,則

丫的最大值為（）

A64^2口32\/2on—.r>256

A.-----7TD.-----71C.3Z7TU.7T

333

12.在邊長為2的菱形A8CQ中，BD=2b，將菱形A8CC沿對角線AC折起，使得平面ABC1平

面ACD,則所得三棱錐4-BCD的外接球表面積為（）

二、多項選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

13.正方體力BCD-4B1GD1的棱長為3,點(diǎn)E,尸分別在棱CCi，DiG上，且GE=2ECRF=2FC、,

下列命題：

A.異面直線BE,CF所成角的余弦值為。；

10

A過點(diǎn)8,E,尸的平面截正方體，截面為等腰梯形；

C.三棱錐當(dāng)-BE尸的體積為|；

D過當(dāng)作平面a,使得4E1a,則平面a截正方體所得截面面積為2.

2

其中所有真命題為（）

A.AB.BC.CD.D

14.正方體ABCD-A/iCiDi的棱長為1,M,N分別為線段BC,CC1上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M,N的

平面截該正方體的截面記為S,則下列命題正確的是

A.當(dāng)BM=0.1.0<CN<1時，S為等腰梯形

B.當(dāng)M,N分別為BC,CG的中點(diǎn)時，幾何體&D1MN的體積為2

C.當(dāng)M為BC的中點(diǎn)且0WCNW1時，S為五邊形

D.當(dāng)例為BC的中點(diǎn)且CN=；時，S與CD】的交點(diǎn)為R,則GR=]

三、填空題（本大題共16小題，共80.0分）

15.在三棱錐P—ABC中，已知P4_LBC,PB1AC,PA=PB=PC=2AB=4,則三棱錐P—ABC

外接球的表面積為.

16.《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸墻體4

鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”大意為：有個圓柱形木頭，埋/

在墻壁中（如圖所示），不知道其大小，用鋸沿著面A8鋸掉裸露在外面的木照1

頭，鋸口8深1寸，鋸道長度為1尺，間這塊圓柱形木料的直徑是

.（注：1尺=10寸）

17.四面體A-BCD中，AB1BC,CD1BC,BC=2,且異面直線A8和CO所成的角為60°,若

四面體ABCQ的外接球半徑為近，則四面體4-BCO的體積的最大值為.

18.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,AD=1,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，尸為線段CE（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)

.現(xiàn)將回ZMF沿A尸折起，使得平面「13。，平面4BC.設(shè)直線尸。與平面ABC尸所成角為0,則sin。

的最大值為.

19.在邊長為26的菱形ABC。中，^BAD=60。，將448。沿8。折起，構(gòu)成二面角4一8。一C為

90°的四面體ABCD,則該四面體的外接球的表面積為.

20.已知各棱長都相等的直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）所有頂點(diǎn)都在球。的表面

上.若球。的表面積為28兀，則該三棱柱的側(cè)面積為.

21.在棱長都相等的三棱錐中，已知相對兩樓中點(diǎn)的連線長為式,則這個三棱錐的棱長等于

22.如圖，已知菱形ABC。邊長為3,NBA。=60。，點(diǎn)E為對角線AC上一點(diǎn)，4c=6AE.將△力BD

沿翻折到△ABD的位置，E記為E',且二面角力'-BC-C的大小為120。，則三棱錐4一BCD

的外接球的半徑為;過口作平面a與該處接球相交，所得截面面積的最小值為.

23.我國古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，如圖的芻童ABCD-EFGH

有外接球，且AB=4V5,AD=4,EH=2遍,EF=6近，點(diǎn)E到平面ABC。的距離為4,則該芻

童外接球的表面積為.

24.已知直四棱柱4BCD-4當(dāng)口久的所有棱長均為4,且Z4BC=120。，點(diǎn)E是棱8c的中點(diǎn)，則

過點(diǎn)E且與8劣垂直的平面截該四棱柱所得截面的面積為.

25.在三棱錐4-BCD中，AB=BC=BD=2,AC=AD=2V2.CD=2痘,則三棱錐4—BCD的

外接球的半徑為.

26.在三棱錐P-4BC中，平面PA8垂直平面ABC,PA=PB=AB=AC=2NB4c=120。，

則三棱錐P-ABC外接球的表面積為.

27.在直三棱柱4BC—4&G中，底面45c是等腰直角三角形，AB=BC=1,。為側(cè)棱上的

動點(diǎn)，若A/WG的周長的最小值為百+居,則三棱錐G—ABC的外接球的體積為

28.如圖1,四邊形A8C。是邊長為10的菱形，其對角線4c=12,現(xiàn)將△ABC沿

對角線AC折起，連接形成如圖2的四面體ABC￡>,則異面直線AC與

8。所成角的大小為；在圖2中，設(shè)棱4c的中點(diǎn)為M,8。的中點(diǎn)

為N,若四面體ABCD的外接球的球心在四面體的內(nèi)部，則線段MN長度的

取值范圍為.

圖1

29.如圖，四棱錐P—48CD中，2P=1,矩形ABC。的周長為8,當(dāng)三棱錐力—PCD的體積最大時,

三棱錐A-PCD的體積為,該三棱錐的外接球半徑與內(nèi)切球半徑分別為R和r,則R+3

的值為________

30.蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成，中

空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構(gòu)成，菱形的一個角度是109。28',這樣的設(shè)計含有深刻

的數(shù)學(xué)原理、我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾專門研究蜂巢的結(jié)構(gòu)著有《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)

問題九用數(shù)學(xué)的眼光去看蜂巢的結(jié)構(gòu)，如圖，在六棱柱ABCDEF-AB'C'D'E'的三個頂點(diǎn)A,C,

E處分別用平面BFM,平面BDO,平面力FN截掉三個相等的三棱錐M-ABF,0-BCD,N-DEF,

平面平面BQO,平面DFN交于點(diǎn)P,就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu).

如圖，設(shè)平面尸80。與正六邊形底面所成的二面角的大小為。，則cos。=,（用含

tan54°44'的代數(shù)式表示）

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結(jié)構(gòu)特征，二面角的計算，考查空間想象能力和邏輯

推理能力，屬于中檔題.

由題意，延長441，BBi，CCi交于一點(diǎn)P,由4B=3A&=|4%=3可得三棱錐P-4BC是正四面

體，可得0=a,計算tana=2近，再作出側(cè)面48當(dāng)4與截面4/C所成的銳二面角的平面角y,計

算tany,可得結(jié)論.

解：由題意，延長A4,BB],CCi交于一點(diǎn)P,

由AB=3441="祖=3,

可得48=3,AAr=1,4/1=2,

則P&=PB1=PC1=2,即P4=PB=PC=3,

???可得三棱錐P-ABC是正四面體，棱長為3,

側(cè)面ABBMi與底面ABC,側(cè)面ABB14與側(cè)面BCGBi所成的銳二面角的平面角分別為a,。，

則￡=a,

取A8的中點(diǎn)M,點(diǎn)尸在面ABC上的射影為N,則N為正三角形ABC的中心，連接PM,NM,

則PMMB,NM1AB,

???乙PMN=a,

3>/3.,..V3

vPnM=——,NM=——，

22

???PN=7PM2-NM2=布

:、tana=*=2\/2,

~2

由題意，點(diǎn)C在面PAB上的射影是4/1的中點(diǎn)。，過。作為B的垂線交于￡>,連接CQ,

???CO_L平面PAB,在平面PAB內(nèi)，

C01&B,又。D_LAiB,CO、0。為平面CO。內(nèi)兩條相交直線，

AAXB1平面COD,

又CD在平面COD內(nèi)，：.CD1ArB

易知，NODC是側(cè)面與截面&BC所成的銳二面角的平面角，貝!UOOC=y,

在△公48中，與余弦定理可得為8=Jl+32-2x3xlx|=V7,

在△力1當(dāng)8中，設(shè)點(diǎn)名到直線的距離為/?,貝lJOD=：/i,

而SAA/B=5aiB,h=-AyBy,BBiSinZ-A-iByB,

即白夕％=2x2x1x—,

222

解得無=*

OD=浮

2夕

???OC=VCM2-OM2=Jy-|=V6,

???tany=—=4=2-\/14

rOD，

2^7

???tany=2-/14>tana=2V2，

?■Y>a,

故，=a<y.

故選B.

2.答案：A

解析：

【試題解析】

本題考查了三棱錐的幾何特征以及體積的運(yùn)算，考查了運(yùn)算能力以及空間想象能力，解題的關(guān)鍵是

確定體積最大時S點(diǎn)的位置，屬于較難題.

由三棱錐的幾何特征可知：三棱錐底面ABC的面積為定值，當(dāng)體積最大時，只要S到平面ABC距離

最大，即當(dāng)S為。'0的延長線與球面的交點(diǎn)時，轉(zhuǎn)化為0'0與半徑之和，利用球的截面圓的性質(zhì)可

求出。，。即可.

解：設(shè)AABC外接圓圓心為0三棱錐S-4BC外接球的球心為。，AB=AC=1,

設(shè)。為BC中點(diǎn)，連AD,如圖,

則ADJ.BC,且。'在AO上，AD=JAB2-(y)2=i,

設(shè)△ABC外接圓半徑為r,

r2=(手￥+(a。_「)2=|+(|-r)2,解得r=1,

100'\=V22-r2=V3

要使S-ABC體積的最大，需S到平面ABC距離最大，

即S為。'。的延長線與球面的交點(diǎn)，最大值為6+2,

所以三棱錐S-ABC體積的最大值為gx(V3+2)S-BC=1x(A/3+2)x|x|xV3=交等.

故選A.

3.答案：C

解析：

本題考查了正方體和它的內(nèi)切球的幾何結(jié)構(gòu)特征，關(guān)鍵是想象出截面圖的形狀，考查了空間想象能

力，是中檔題.

根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征，判斷出平面ACDi是正三角形，求出它的邊長，再通過圖求出它的內(nèi)切

圓的半徑，最后求出內(nèi)切圓的面積.

解：設(shè)球的半徑為r,

由球。得表面積為12兀，得471T2—12兀，

則r=V31即正方體棱長為2百，

根據(jù)題意知，平面AC%是邊長為2遍的正三角形，

且球與以點(diǎn)。為公共點(diǎn)的三個面的切點(diǎn)恰為三角形ACD1三邊的中點(diǎn),

故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，

則由圖得，△2CD1內(nèi)切圓的半徑是否xtan30。=魚,

則所求的截面圓的面積是兀x(V2)2=2n.

故選C.

4.答案：D

解析：

本題考查空間幾何體外接球的表面積，屬于中檔題.

連接0E交A3于點(diǎn)I,設(shè)E,F,G,"重合于點(diǎn)P,正方形ABC。的邊長為x(x>0),則0/=；,/E=6-

根據(jù)四棱錐P-4BCD的側(cè)面積是底面積的2倍，可求得久=4,進(jìn)而可求得外接球的半徑R=越，

3

即可求得外接球的表面積.

解：如圖，連接OE交AB于點(diǎn)/,設(shè)E,F,G,，重合于點(diǎn)P,

正方形A8CD的邊長為x(x>0),則。/=會/=6-a

因為四棱錐P—4BCD的側(cè)面積是底面積的2倍，所以4X：(6—》=2久2,解得刀=4.

設(shè)四棱錐P-的外接球的球心為Q,半徑為R,連接尸O,OC,CQ,

則有0C=2vL因為PC=EA=V42+22=2遮，所以。P=V20-8=2百，

則R2=(2M-R)2+(202,解得R=*=竽

所以四棱錐P-4BCD外接球的表面積S=4兀x(延產(chǎn)=%，故選D.

k373

EP

解析：

本題考查了空間距離的最值的求法，由已知可將該三棱錐補(bǔ)成正方體，再設(shè)內(nèi)切球半徑為r,外接球

半徑為R,由體積公式求得r的值，故可求得答案.

解：由已知可將該三棱錐補(bǔ)成如圖所示正方體.

則三棱錐內(nèi)切球球心。1，外接球球心。2，以及內(nèi)切球與面ABC的切點(diǎn)G三點(diǎn)均在PDi

上，且GO?=-PD1=—■

設(shè)內(nèi)切球半徑為一，外接球半徑為R,則R=遮.

由,SMBP*PC，解得r=1-g

?1?53

故M、N兩點(diǎn)間距離的最大值為R+GO?+2r=2+誓.

故選。.

6.答案：D

解析:

根據(jù)圓錐曲線的定義和圓錐的幾何特征，分截面過旋轉(zhuǎn)軸時和截面不過旋轉(zhuǎn)軸時兩種情況，分析截

面圖形的形狀，最后綜合討論結(jié)果，可得答案.

本題考查的知識點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，圓錐曲線的定義，熟練掌握圓錐曲線的定義是解答的關(guān)鍵.

解：當(dāng)截面過旋轉(zhuǎn)軸時，

圓錐的軸截面為等腰三角形，此時(1)符合條件；

當(dāng)截面不過旋轉(zhuǎn)軸時，

圓錐的軸截面為雙曲線的一支，此時(4)符合條件；

故截面圖形可能是(1)(4),

故選。.

7.答案：D

解析：

本題主要考查了三棱錐的外接球，考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出。點(diǎn)及Q點(diǎn)的位置.

解：如圖，

過P作PD1平面ABC,。為垂足，取線段BC的中點(diǎn)E,則OE_L平面ABC,

由已知可得。為直角三角形ABC的內(nèi)心，

做。M垂直于AC與則。M14C,

因為PD1平面ABC,ACU平面所以PD1AC,

又POnDM=D,AC_L平面POM,

又PA/U平面PDM，所以4clp”,

所以NPMD即是平面PAC和平面ABC的二面角，

設(shè)。E=x.因為力B:力C:BC=3:4:5,不妨設(shè)4B=3,AC=4,BC=5,

由幾何關(guān)系可得DM=3+：s=i,￡P(guān)MD；,

得PO=>/3.DE=J12+(|_2)2=/,AE=I，

由勾股定理得。聯(lián)=OE2+AE2,OP2=DE2+(PD+0E)2,

又因為。力=OP,所以/+交=9+(M+X)2,

44

解得“立，故界=券=3，

3OEQO

即絲=4,

故選。.

8.答案：D

解析：

本題考查多面體外接球表面積最值的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

由題意畫出圖形，可得4O14B,取8。中點(diǎn)G,則G為△480的外心，設(shè)正三角形8OE得外心為

0,可知當(dāng)平面ZBD，平面BCE時，三棱錐E-ABD的外接球的半徑有最小值，由此求得答案.

解：如圖，

由AB=1,D力=8，BD=2,得40148,

取8。中點(diǎn)G,則G為AABD的外心，

設(shè)正三角形BCE得外心為。，可知當(dāng)平面4BD1平面8QE時,

三棱錐E-ABD的外接球的半徑有最小值為0E=瑟.

3

???三棱錐E-ABD的外接球的最小表面積為4兀x(2)2=

、3，3

故選D.

9.答案：D

解析：

本題考查了棱錐與其外接球關(guān)系以及棱錐體積求解，屬于中檔題.

利用三角形ABC三邊求解其外接圓半徑，根據(jù)外接球半徑求球心。到平面4BC距離，結(jié)合PA為外

接球直徑即可求P到平面A8C距離，從而求解.

解：因為AP為三棱錐外球的直徑，故球心。為PA中點(diǎn)，設(shè)。到平面A8C的距離為人，

vAB=BC=2,AC=2V3>貝！IcosB=^2x2~

則sinB——,

2

設(shè)△ABC外接圓半徑r,2「=等=4,即「=2,

~2

因為外接球半徑為3,則九=V32-22=V5，

故P到平面ABC的距離為2九=2z，

???三棱錐P—/8C的體積：

1

V=,2九

11V5廣

=-x-x2x2x—X2V5

=_-2V-1-5,

3

故選D

10.答案:C

解析：

本題考查了空間線面位置關(guān)系，函數(shù)y=x+：的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，考查了轉(zhuǎn)化思想，

屬于較難題.

2222

不妨設(shè)N在B處，AM=h,CQ=m,則有M82=/I2+4,BQ=m+4,MQ=(h—m)+4,

由M8?=BQ2+MQ2,得m2—九血+2=0,即九=771+^，

2

再計算S〃MNQ=91MQ|?|NQ|=1J(m2+4)[(h_加)2+旬=1](而+4)(*+4)=Js+m+^，

由/i=m+2w4可得2—+6-4y/2<m2<6+4>/2.由函數(shù)的單調(diào)性可得.

771

解：如圖，不妨設(shè)N在8處，AM=h,CQ=m,

貝ij有MB2=九2+4,2MQ2=(/i—m)2+4,

BQ2=m+4；

由MB?=BQ2+MQ2=>m2—hm+2=0,即九=m4--,

??.S4MNQ=g|MQ|,|NQ|

=|V(m2+4)[(/i-m)24-4]

1-4

=_J(m2+4)(—+4)

=Js+m2+￡,

又???正三棱柱ABC-&&口的側(cè)棱長為4,

h=tn4可得2—V2WmW2+V2>

即6-W6+4位,

由對勾函數(shù)可得Tn?=6+4a時，

△MNQ面積取最大值為：

J5+6+4a+品=皿

故選C.

11.答案：A

解析：

本題考查平面圖形的翻折，三棱柱和球體的結(jié)構(gòu)特征，特別是空間想象能力，屬較難題.

第一，原來圖形翻折后成為一個三棱柱；第二，認(rèn)清何時它的內(nèi)切求體積最大是解題關(guān)鍵，重在空

間想象力.

解：由已知，該包裝禮盒是一個直三棱柱型幾何體.

其中底面AXBCWA4181cl為等腰三角形，AC=BC=12,BC=8,側(cè)棱8當(dāng)=12.

當(dāng)球形糖果與三棱柱的一個底面和三個側(cè)面都相切時體積最大.這時糖果半徑等于底面△力BC

的內(nèi)切圓半徑.

設(shè)^ABC內(nèi)切圓半徑為r,則由工48c=|x8xV122-42=32企，

又S*BC=\<AB+BC+CA)=16r,得r=2a.

因此，球形糖果體積V的最大值為：27n'3=絲立兀.

33

故選：A.

12.答案：C

解析:

本題考查三棱錐的外接球的表面積的求法，屬于中檔題.

根據(jù)題意可知三角形AC。為正三角形，取AC的中點(diǎn)G,連接BG,DG,貝_L平面ACD,記三

棱錐4一BCD的外接球的球心為0,半徑為R,過點(diǎn)0作。0J/BG,與平面AC。交于點(diǎn)0］，則0。］，

平面AC。，。1為三角形4c。的重心，過。作OH垂直于BG,設(shè)GH=x,根據(jù)勾股定理列方程求解

即可.

解：由題意，菱形ABC。中，AB=AD=2,BD=273.

由余弦定理得cosNBAD=四"士=-1,

所以4BAC=120°,AADC=60°,

所以三角形ACD為正三角形，

取AC的中點(diǎn)G,連接BG,DG,

因為平面ABC?1平面ACD,

又BG14C,nABCn￥ffi/lCD=AC,BGu平面ABC,

所以BG_L平面ACO,

記三棱錐A-BCD的外接球的球心為。，半徑為R,

過點(diǎn)。作00J/8G,與平面AC。交于點(diǎn)0「則0011平面ACD,3為三角形AC。的重心,

過。作?！贝怪庇贐G,設(shè)GH=x,

由題意知，。m*X2X9凈。H=GO1=導(dǎo)

在RSBOH和RtAOOiP中,

有R2=(V3—%)2+[=/+￡解得％=手

所以R2=|+|=|,

所以S球竽.

故選C.

13.答案：ACD

解析：解:對于4取4當(dāng)?shù)娜确贮c(diǎn)為&,使

41吊=2&%，又%F=2FC],

Fi&〃FG且工當(dāng)=FG，.?.四邊形FGB1&為平行四邊形，

FF1//B1C1//BCS.FF1=當(dāng)?shù)?BC,.?.四邊形F/CB為平行四邊形，

BFJ/CF,貝吐&BE為異面直線BE,CF所成的角，

連接Ea,由題意得：BF「710，BE=V10,EFi=V14.

所以cos"BE=*續(xù)普=盤=總，故A正確；

對于B.取的三等分點(diǎn)為%,使&E1=2E/,又GE=2EC,

??.BE"/CE且BE】=CE,.?.四邊形BEiEC為平行四邊形，則E]E〃BC且E】E=BC,

又由A得，F(xiàn)&〃BC且FFi=BC,于是FFJ/EE]且F&=EEr,

二四邊形EE1F/為平行四邊形，???EEJ/F.F,

取的中點(diǎn)為G,連接BG,

又等=普=.?.E】Fi〃BG〃EF,則四邊形8E尸G即為所求截面，

由題意知：BE手FG,故B不正確；

19

對于C.SAJHE=yX3x3=3，又GFJ■面BiBE,CrF=1,

所以，Bi-BEF=4-BBiE=-----X~X1=故C正確；

對于。.取CD的三等分點(diǎn)為名,使CHi=2DH「取8c的三等分點(diǎn)為H,使CH=2BH,

??.”"1〃8?！?也，則面當(dāng)。出”即為所求的截面*建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，

則4(3,0,0),E(0,3,1),8式3,3,3),5(0,0,3),%(01,0),

AE=(-3,3>1)，=(-3,-3,0).瓦可=(-3,-2,-3)，

???荏?瓦瓦=0，荏?瓦瓦=0,所以4E1平面

由已知條件得，B1D1=3V2,H%=|/。1=2vLB1H=D1H1=V10，

等腰梯形/5%H的高為％=J(同)2一(亞守昌2=寫，

所以截面面積為5=空出返x^=皿至，故。正確.

222

故選：ACD.

對于A取4B1的三等分點(diǎn)為居，使&居=2居81，利用已知條件找到異面直線BE,C尸所成的角，即

可得出結(jié)果；

對于8.取當(dāng)8的三等分點(diǎn)為%,使當(dāng)當(dāng)=2E中,利用已知條件得到四邊形BEFG即為所求截面，即

可得出結(jié)論；

對于C.利用等體積法求解即可；

對于④：取CC的三等分點(diǎn)為名,使C"1=2D%,取BC的三等分點(diǎn)為“，使CH=2B”,猜想出

面當(dāng)以片”即為所求的截面a,建立空間坐標(biāo)證明推測，代入數(shù)值即可求出結(jié)論.

本題主要考查命題真假的判斷，異面直線所成角以及線線平行問題，四棱錐的體積以及線面垂直間

題，截面面積問題，屬于難題.

14.答案：AB

解析：

本題考查正方體中的線線關(guān)系及線面關(guān)系.難度較大.

根據(jù)條件逐項判斷即可.

解：對于A,如圖所示，當(dāng)BM=O且O<CN<1時，由面面平行的性質(zhì)定理可得,

交線A\B〃QN,且HQN,&Q=BN,

所以截面S為等腰梯形，A正確；

vBC〃力也,BC,面4D1N,

???BC〃面4也;7,

故幾何體&D1MN的體積等于幾何體為D1CN的體積，

又幾何體Ai/CN的體積等于3,4山1,S^DiNC=：xlx]xlxT=9

所以幾何體的體積為專正確，B正確；

對于C,如圖所示，當(dāng)CN=0,即點(diǎn)C,N重合時，此時截面S為四邊形45CB,不是五邊形，C錯

誤：

對于。，如圖所示，當(dāng)CN=:時，延長MN,BiQ交與點(diǎn)P,連結(jié)&P交DiG于點(diǎn)R,

?A^J/B^/ZBC,A\B[“C[D”

CiR_CjPgP_1

=麗=B&+QP=BC,

肝十

1111

2MC=2WC=6+1=7

*+iCJV+1

???CXR-^A1B1=￡＞錯誤;

故選A8.

解析：

本題考查三棱錐與球的組合體的計算問題，屬于較難題.

解：作PHJ■平面4BC,垂足為H,連接HA,HB,HC,

8c在平面A8C內(nèi)，所以PH_LBC,

<>

因為P4J.BC,P4PH為平面PAH內(nèi)兩條相交直線,

所以BCJ"平面AP",因為AH在平面PAH內(nèi)，

故8CJ.4H,

同理得4C_LBH,故H為三角形A8C的垂心，

又因為RtAAHP=RtACHP=Rt^BHP,

故AH=BH=CH,故7/為三角形ABC的外心，

所以三角形ABC為正三角形，

因此"日=盛’何=*'PH=^|=J

設(shè)三棱錐P—4BC外接球的球心為。，半徑為R，

則(PH-R)2+a”2=R2,

解得辟=弟所以外接球的表面積為47Tx詈=等.

故答案為等.

16.答案：26寸

解析：

本題主要考查圓方程的應(yīng)用，熟悉圓的標(biāo)準(zhǔn)性方程是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

解：由題意得，.??設(shè)圓柱形木料的半徑是〃則產(chǎn)=52+0-1)2,得2r=26,所以圓柱形木料的直

徑是26寸.

故答案為26寸.

17.答案:2^/3

解析:

本題考查空間幾何體的體積問題，考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查余弦定理，三角形面積公式，是難題.

過8作807/C。，由題設(shè)知四邊形BO'OE為矩形且8c，面力B。',根據(jù)團(tuán)4BD'外接圓圓心與四面體4-

BCD外接球球心以及BC的關(guān)系即可求回ABD'外接圓半徑，求4。，并得到a?+^-ab=12(8。=

a,AB=b),而四面體A-BCD的體積了=朝，結(jié)合基本不等式即可求體積最大值.

6

解：四面體A-BCD中，ABIBC,CDLBC,異面直線AB和CO所成的角為60。，可得如下示意

圖：過B點(diǎn)作BD7/CO且BD'=CD，連接OD'，

貝IJ有N4BD'=60。且BCl^ABD',

如下圖，若O'為團(tuán)外接圓圓心,則可找到外接球圓心O,E為BC的中點(diǎn)，即OE，BC,BE=EC=1,

外接球半徑為OC=V5?

四邊形BO'OE為矩形，0E=O'B=VOC2-FC2=2,

二在平面4BD'中有O'B=。'4=O'D'=2,乙4。'。'=120°,可得力。=2g,

B

令BD'="B=b,則四面體4-88的體積八*加6。。、**。=等,

而由余弦定理知：小+爐_2abeos60°=AD，2=12,即abW12當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，所以

V=2^<2V3,

6

故答案為：2g.

18.答案：1

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)果特征，考查線面角的求法，屬中檔題.

在矩形ABCD中，過點(diǎn)。作AF的垂線交A尸于點(diǎn)0,交AB于點(diǎn)M,則在翻折后的兒何體中，有NMF。

是直線FQ與平面ABCF所成角，利用解三角形的方法可求其正弦值的最大值.

解：矩形ABCZ）中，過點(diǎn)。作AF的垂線交AF于點(diǎn)。，

交AB于點(diǎn)M.設(shè)CF=x(0<x<1),AM=t.

由△ZMM?△?!￡>「，得瞿=若，即有t==~,

ADDF2-X

由0cx<1,得3<t<1.

在翻折后的兒何體中,

???AF1OD,AF1OM,ODdOM=O,OD,OMuODM,

：.AFJL平面ODM,AFu面ABC,

從而平面ODM，平面ABC,又平面4BD-L平面ABC,貝ijDM，平面ABC.

連接MF,則NMFD是直線FD與平面ABC尸所成角，即Z_MFD=0.

而。M=V1-t2>DF=2—x=-,則sin。=怨=tVl-t2=V—t4+t2.

tDF

由于則當(dāng)/=1時，sin。取到最大值，其最大值為也

故答案為

19.答案：207T

解析：

本題主要考查了多面體外接球的表面積，屬于較難題目.

作圖，設(shè)外接球的球心為O,過0分別作平面ABO、平面58的垂線，垂足分別為H,G,則“為

△ABD的中心，取8。的中點(diǎn)連接4M,CM,根據(jù)已知條件求出球的半徑即可求解.

解：如圖，設(shè)外接球的球心為。，則。到4,B,C,。的距離相等，即。4=OB=OC=0D.

過。分別作平面AB。、平面BCD的垂線，垂足分別為從G,則“為△48D的中心.

取8。的中點(diǎn)M,連接AM,CM,則乙4MG=90。，AHOG=90°,

連接OM,則NMOH=45°.

在RtAMOH中，MH=^AM=1,OM=V2.

又MB=V3.所以O(shè)B=>JOM2+MB2=圾

即外接球的半徑為夕，表面積為47rx(V5)2=20兀，

故答案為207r.

20.答案：36

解析：

本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，球的表面積以及三棱柱的側(cè)面積，考查計算能力，是中檔題.

通過球的內(nèi)接體，說明幾何體的中心是球的球心，由球的表面積求出球的半徑，設(shè)出三棱柱的底面

邊長，通過解直角三角形求得m然后得三棱柱的側(cè)面積.

解：如圖,

???三棱柱ABC-4B1G的所有棱長都相等，6個頂點(diǎn)都在球O的球面上,

???三棱柱為正三棱柱，則其中心為球的球心，設(shè)為。，

再設(shè)球的半徑為r,由球。的表面積為28兀，得47n'2=28",

r=V7-

設(shè)三棱柱的底面邊長為a，

則上底面所在圓的半徑為漁axa=^a，

233

且球心。到上底面中心H的距離OH=p

設(shè)直三棱柱高為/?,底面周長為L,

*產(chǎn)=?)2+(9a)2,BPr==V7.

a—2V3=h>L=3xa=6V5

則三棱柱的側(cè)面積為S=Lx/i=6V3x2V3=36.

故答案為：36.

21.答案：2

解析：

本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)出棱長為2x,通過勾股定理，建立x的方程，解得x的值，即可得到答案.

解：設(shè)三棱錐的棱長為2x,則BE=x,BF=

在直角三角形BE/中，x2+2=3x2,解得：x=1,

所以三棱錐的棱長為2.

故答案為2.

解析:

【試題解析】

本題考查了幾何體中的截面問題，二面角，球的相關(guān)知識，屬于較難題.

根據(jù)圖形確定球心位置，根據(jù)二面角，三角形知識和勾股定理計算球的半徑，由條件可知過E'且與0E'

垂直的截面圓面積最小，求出截面圓的半徑，即可得解.

解：如圖：

取8。的中點(diǎn)H,連接AH,CH,

則BD1CH,

???NA'HC為二面角A-BD-C的平面角，

故4rHe=120°,

由題意可知△48￡＞和^BCD都是邊長為3的等邊三角形，

設(shè)M,N分別是△4'B。和△BCO的中心，過M,N分別作兩平面的垂線,

則垂線的交點(diǎn)就是三棱錐外接球的球心，

vA'H=CH=卜一(I?=吟

MH=NH=―，CN=圾,

2

由^OMH公ONH可得NOHM=乙OHN=60°,

3

??.ON=

2

:.OC=V0N2+NC?=的丫+(⑹2=亨,即外接球的半徑為亨?

由條件可知過E'且與OE'垂直的截面圓面積最小，

又AC=6AE=3V5,

所以AE=在，即E為A4的三等分點(diǎn)，靠近A端，

2

所以￡M=立，

2

由圖可知。E'=VOM2+E'M2=V3)

則。E',與。E'垂直的截面圓半徑，外接球的半徑構(gòu)成直角三角形,

所以盾二面二|，

故答案為李;阿

23.答案：lOO/r

解析：

本題考查多面體的外接球問題，找球心，求半徑是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于較難題.

由已知得，球心在上下底面中心連線上，該連線與上下底面垂直，球心必在該垂線上，然后根據(jù)。B=

0G,利用兩個直角三角形00]G與直角三角形OB。?，即可列出外接圓半徑的方程，求解半徑R,則

可得該芻童外接球的表面積.

解：假設(shè)。為芻童外接球的球心，連接“尸、EG交于點(diǎn)內(nèi),連接AC、力8交于點(diǎn)。2，

由球的幾何性質(zhì)可知。，。1，。2在同一條直線上，

由題意可知，0。2■1平面ABCD,0011平面EFGHGOi=4.

設(shè)。2。=心在Rt/kOGOi中，0G2=00取+0道2,在矩形EFGH中,

2222

EG=yjEF+FG=J(6V2)+(2V6)=4A/6-0任=^EG=2遍,

：.0G2=00l+OjG2=(4-dp+(2V6)2.

+22

在RtAOBO?中，。/=OO：+02B2,在矩形48CD中，OB=l-—=I4+(4>/3)=8-02B=

捌=4.

22

OB+00l+O2B=d?+42.

設(shè)外接球的半徑0G=0B=R,

(4-d)2+(2V6)=d2+42,解得d=3.

則08=432+42=5,即R=5,則該芻童外接球的半徑為5,

故該芻童外接球的表面積為4兀/?2=IOOTT.

故答案為100兀.

24.答案：V6

解析：

本題主要考查簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結(jié)構(gòu)特征，幾何體中的截面問題以及利用空間向

量判定線面的垂直、平行關(guān)系，屬于中檔題.

由題意，可知該四棱柱底面四邊形A8CD為菱形，得到以4c中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直

角坐標(biāo)系，取AB中點(diǎn)F,BB1靠近8的四等分點(diǎn)G,可證得過點(diǎn)E且與B/\垂直的平面截該四棱柱

所得的截面是AEFG,進(jìn)而求得AEF。中各邊的長，于是可求△EFG的面積.

解：由題意，因為四邊形A8C。為菱形，即得力C1BD,令力CDBD=。，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

取AB中點(diǎn)為凡881靠近B的四等分點(diǎn)為G,即

連接EF、EG和FG,可得過點(diǎn)E且與BO】垂直的平面截該四棱柱所得的截面是AEFG,

在等腰△ABC^,/.ABC=120°,即得N4CB=30°,于是|OC|=4cos30°=273.\OB\=4sin300=2,

故2(0,—2,0),C(2V3,0,0).F(V3,-l,0),2(0,2,4),

zl(-273,0,0),F(-V3,-l,0),&(0,-2,4),G(0,-2,l),

于是西=(0,4,4)，F(xiàn)F=(-273,0,0),=(-V3,

則/西-FF=0X(-2V3)+4x04-4x0=0

'［西-EG=0x(-V3)+4x(-1)+4x1=0'

即得1EF,BDr1EG,又EFCEG=E,

故BO1，平面EFG,因此△EFG是過點(diǎn)E且與B5垂直的平面截該四棱柱所得的截面,

在AEFG中，|EF|=2k，\EG\=J(-V3)2+l2+l2=V5>|FG|=J(V3)2+l2+l2=V5'

于是△EFG中EF上高為九=J|EG|2-G|EF|)2=府二^=企，

即得△EFG面積為S=||￡T|-/i=|X2A/3XV2=A/6.

故答案為班.

25.答案：

解析:

本題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征和其外接球，以及余弦定理等，屬于基礎(chǔ)題.

先利用勾股定理和余弦定理求出NCBD,然后利用4BCD的半徑求出外接球的半徑即可.

解：如下圖，

A

由勾股定理得4B1BC,ABJ.BD,

由余弦定理得eosNCB。