高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)

數(shù)列

一、數(shù)列定義：

根據(jù)肯定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)

列的項(xiàng)。

數(shù)列的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)序號(hào)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)序號(hào)也都對(duì)應(yīng)數(shù)列中的一

個(gè)數(shù)，所以

數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成，???〃〃，?一

簡(jiǎn)記為｛aj

留意：｛，八｝與〃〃是不同的概念，｛"〃｝表示數(shù)列%，〃2，…，

而表示的是數(shù)列的第〃項(xiàng)；

數(shù)列的特性：(1)有序性；(2)可重復(fù)性

二、數(shù)列的分類(lèi)：

項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列為“有窮數(shù)列”，項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列為“無(wú)窮數(shù)列”

從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；

(4+1)如：1,2,3,4,5,6,7；

從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；

("〃+1N)如：8,7,6,5,4,3,2,1；

從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫

做搖擺數(shù)列;

各項(xiàng)相等的數(shù)列叫做常數(shù)列(“〃+1~an).如：2,2,2,2,2,

2,2

三、數(shù)列是特別的函數(shù)

數(shù)列是定義在正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,???,〃｝

)上的函

數(shù)了(〃)，當(dāng)自變量從1起先由小到大依次取正整數(shù)時(shí)，相對(duì)應(yīng)的一列函

數(shù)值為/⑴"⑵,…；通常用〃〃代替了(〃)，于是數(shù)列的一

般形式常記為，“2，或簡(jiǎn)記為｛〃〃｝.

四、數(shù)列的通項(xiàng)公式

數(shù)列的第n項(xiàng)4與項(xiàng)的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式a.=f(n)來(lái)表

示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.如：

an~JI)+1(注：①數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一

②可以由通項(xiàng)公式求出數(shù)列中的隨意一項(xiàng))

相關(guān)練習(xí)：P153

遞推公式：假如數(shù)列｛a,J的第n項(xiàng)與它前一項(xiàng)或幾項(xiàng)的關(guān)系可以用一個(gè)

式子來(lái)表示，則這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，如

%=1,an=2an_1+l,(n>1)

(1)Sn=%+“2+...+an-l+an

[S](〃=l)

<2)一場(chǎng)和3〃之間的關(guān)系:"〃=[s〃一S〃i(〃22)

練：已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S?=n2-48n,

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求出的最大或最小值.

二、等差數(shù)列、等比數(shù)列：

等差數(shù)列等比數(shù)列

假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)

定義項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常

常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列

wN*,〃22)

式子表示au—an_x=聞(〃eN*,〃22)

an-Q]+(〃-l)d

通項(xiàng)公式

?！?+(〃-m)dan-amlqn~m

S，1-4?夕_可(1-1")

SR-("1+?！?

An1-

求和公式\-qq

n(n-l)

S?=na+a&WO,q羊1)

n1]2

等差（比）若a,b,c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,若a,G.b成等比數(shù)列,則G叫做a,b

中項(xiàng)則b叫a,c的等差中項(xiàng)，a,b,的等比中項(xiàng)（

c滿意b-a=c-b￡_2

a~G,即G?=岫，

a,b,c成等差數(shù)列的充分必要

ab>0)

條件是b=(a+c)/2.

等差數(shù)列等比數(shù)列

若m+n=p+q,若m+n=p+q

aa

則Q機(jī)+Qq；則M氏=Pq;

在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽在等比數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出

出來(lái)的項(xiàng)根據(jù)原來(lái)依次排列，構(gòu)來(lái)的項(xiàng)根據(jù)原來(lái)的依次排列，構(gòu)成

成的新數(shù)列仍舊是等差數(shù)列的新數(shù)列仍舊是等比數(shù)列

⑴若數(shù)列｛%｝與僅｝均

等差(比)

數(shù)列的性為等差數(shù)列，則⑴若數(shù)列｛%｝與仍“｝均為等比

質(zhì)數(shù)列，則｛加％仇｝仍為等比數(shù)列

｛man+kbn｝仍為等差數(shù)

｛叫

列1

b,仍為等比數(shù)列

(2)設(shè)等差數(shù)列｛〃"｝的前項(xiàng)的

(2)設(shè)等比數(shù)列｛〃"｝的前項(xiàng)的和

和為

S,meN*,則

S〃,meN*,則n

CCC…為Sm，^2m-m，^3m-2m，

“根，02m-m903m-2m，

仍是等比數(shù)列

仍是等差數(shù)列

(1)等差數(shù)列的判定方法：

①定義法：“〃+i=d或?！ㄒ弧ā═=d｛n22)(d為常數(shù))

O｛。〃｝是等差數(shù)列

②中項(xiàng)公式法：2a〃+i=+a*?<=>｛"〃｝是等差數(shù)列

③通項(xiàng)公式法：an=P"4（P，4為常數(shù)）O｛"“｝是等差數(shù)列

④前n項(xiàng)和公式法：S“=A〃2+3〃（A,8為常數(shù)）=｛〃〃｝是

等差數(shù)列

（2）等比數(shù)列的判定方法：

%+L=q_d（n>2）a

①定義法：a或〃<J4是不為零的常數(shù)）

=｛〃〃｝是等比數(shù)列

②中項(xiàng)公式法：

為+1=a〃，冊(cè)+2（。/+4+2W0）O｛凡｝是等比

數(shù)列

③通項(xiàng)公式法：an=cq〃（C,4是不為零常數(shù)）=｛，〃｝是等比

數(shù)列

④前〃項(xiàng)和公式法：S"—kq—k（”=消■是常數(shù)）

o｛〃〃｝是等比數(shù)列

練習(xí):

i.設(shè)為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若S3=3,S6=24,則

lim(l+1+11)=

…3323〃

%_5Sg_

3.設(shè)S〃是等差數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和，若〃39，則S$().0

A.2B.2C.-1D.1

5、在數(shù)列｛?！ǎ校眎=3,且對(duì)隨意大于i的正整數(shù)〃，點(diǎn)

(向，苑；)在直線北一,一,3二°上，則

lim冊(cè)二

s(n+1)-3

6、已知數(shù)列｛“〃｝是首項(xiàng)"1>1,公比9的等比數(shù)列，設(shè)

2=log2氏(〃￡N*)

且4+2+a=64/3/5=。

⑴求數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛2｝的前n項(xiàng)和為，當(dāng)；+：+…+7；最大時(shí)，求n的

值.

詳解：

(1)據(jù)題設(shè)q=a-',又a=log?。”=log?。?"'=log?4+("-1)唾2<7

\也｝為等差數(shù)列，b、=log,a,>0(4>1)

由4+4+々=6?3b36?b,2由〃鬟2=0?b50\a=4

置=4版…|，=16?卜=:』6等一'2-

黑=2妙4+2隰髓〃=一1.產(chǎn)；航

(2)b“=log2an=logz2""=5-n

S=〃(?+")="(4+5-〃)="(9-〃)則\=9-_n

"222-'~n2-

〃落生士

記7"+邑+哈匕1+3+量二>2：=」“2+乙

”I2n222244

17

若4最大，當(dāng)且僅當(dāng)"=-端1=8.5"矍"\"=8,或9

2冷

7、在數(shù)歹I」｛〃〃｝中,

a｝=3,an=2Q“_I+n-2(〃>2,且〃￡N*)

(1)求2'3的值；

(2)證明：數(shù)列｛"〃+”｝是等比數(shù)列，并求｛"〃｝的通.項(xiàng)公式;

(3)求數(shù)列｛%｝的刖〃項(xiàng)和S”。

四.(1)解：,?,〃]=3,〃〃=2%_[+〃-2(〃之2,且〃￡M)

/.a2—2q+2—2=6.a3=2a2+3—2=13.

(2)證明:

an+n(2Q〃T+〃-2)+〃2anI+2/1-2

%+(〃-1)+〃一1

，數(shù)列｛%+〃｝是首項(xiàng)為4+1=4,公比為2的等比數(shù)歹U。

a?+n=4-2"-'=2"+',即勺=27-〃，:.｛a?｝的通項(xiàng)公式為

a?=2向—〃(〃eN*)

(3)解：?.?｛〃“｝的通項(xiàng)公式為a“=-eN")

S?=(22+23+24+---2,,+1)-(1+2+3+---+/7)

22x(1-2")nx(n+l),/?2+??+8

=-----------------=2+2--------.

1-222F

真題演練:

(2013)4、設(shè)S〃是等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，

S=3(%+私)，則失"

5的值為(

四、成等