新教材人教b版必修第二冊 向量基本定理與向量的坐標

向量基本定理與向量的坐標

6.向量基本定理

【學習目標】1.了解共線向量基本定理和平面向量基本定理及其意義2能應用共線向量基本

定理和平面向量基本定理解決一些實際問題.

知識梳理梳理教材夯實基礎

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知識點一共線向量基本定理

1.定理：如果aWO且則存在唯一實數(shù)人使得》=觴.

2.說明：（1）8=癡時，通常稱為能用a表示.

（2）唯一性，當時，4唯一.

3.作用：如果48,C是三個不同的點，則它們共線的充要條件是:存在實數(shù)3使得贏=

7AC.

知識點二平面向量基本定理

如果平面內(nèi)兩個向量a與8不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量c,存在唯一的實數(shù)對（x,y）,

使得c=xa+皿.不共線的兩個向量a與b組成的集合｛a,刈稱為該平面上向量的一組基底.

■思考辨析判斷正誤

1.平面內(nèi)任意兩個向量都可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底.（X）

2.零向量可以作為基向量.（X）

3.平面向量基本定理中基底的選取是唯一的.（X）

4.若ei,02是同'一"平面內(nèi)兩個不共線向量，則九ei+22e2（7i,%2為實數(shù)）可以表示該平面內(nèi)所

有向量.（V）

題型探究探究重點提升素養(yǎng)

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一、共線向量基本定理的應用

例1（1）設ei，e2是兩個不共線的向量，AB=2ei+ke2,CB=ei+3e2，cb=2ei-e2,若A,

B,。三點共線，求實數(shù)4的值；

（2）設兩個不共線的向量ei,改，若a=2ei-3及,）=2d+3改，c=2e「9-問是否存在實數(shù)

人,使〃=瓶+曲與c共線？

解⑴若A,B,D三點共線，則贏與應）共線.設瀛=4由）（71GR）,VBb=CD-CB=2ei

2cl=Xc{,

一改一?+3?2)=ei—4c2,，2ei+既2=%ei—4M2.由句與出不共線可得'

履2=—4M2,

2,k=-8.

(2)rf—A(2^i—3改)+〃(2ei+3?2)=(24+2〃)ei+(3〃-34)62,

要使d與c共線，則存在實數(shù)鼠使得4=履，

即(2A+2〃必+(—32+3〃)《2=2ke\—9ke2.

12/l+2〃=2Z,

由J?7_QZ得力=_2〃.

故存在實數(shù)4和〃，使得d與c共線，此時a=—2〃.

反思感悟(1)本題充分利用了共線向量基本定理，即方與a(aWO)共線06=貓，因此用它既

可以證明點共線或線共點問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.

(2)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，從而判斷共線.

跟蹤訓練1已知A,B,尸三點共線，。為直線外任意一點，若蘇=x5^+y5h,求x+y的值.

解由于A,B,尸三點共線，所以向量還，力在同一直線上，由向量共線定理可知，必定

存在實數(shù)力使崩=城，

即存一應=〃而一而

所以。＞=(1-2)市+4協(xié)，

故％=1一九)=九即x+y=l.

二、用基底表示向量

例2如圖所示，在口A8CD中，E,b分別是3C,。。邊上的中點，若贏=〃，AD=b,試以

a,b為基底表示OE,BF.

DF

解：四邊形ABC。是平行四邊形，E,歹分別是8C,0c邊上的中點,

：.AD=BC^2.BE,函=歷=2樂

.,.BE—^AD=^b,CF—^BA——^AB——^a-

：.DE=DA+AB+BE=~AD+AB+BE

-A-A-?―?―?1

BF=BC+CF=AD+CF=b—2a.

延伸探究

若本例中其他條件不變，設加="，BF=b,試以a,》為基底表示還，AD.

解如圖，取CF的中點G,連接EG.

*；E,G分別為BC,CF的中點,

?*.EG=^BF=^b,

：.DG^ijE+EG^a+\b.

}L'.'DG—^DC—^AB,

.".AB=^DG=^a+^b^—^a+^b.

AAA>>1A>|A

又AD=BC^BF+FC^BF+^DC^BF+^AB,

反思感悟將不共線的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一l種是利用向量的線性運

算及法則對所求向量不斷轉化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基底

表示向量的唯一性求解.

跟蹤訓練2如圖，已知梯形A8CD中，AD//BC,E,尸分別是AD,8C邊上的中點，且8C

=3A。，函=a,病=4試以a,?為基底表示壽，DF,CD.

AED

BbFC

解"：AD//BC,且A￡>=gBC,：.AD^BC^b.

；E為AD的中點，.,.AE—ED=^AD=^b.

'：BF=^BC,：.BF=^b,

：.EF^EA+AB+BF

CD=&+FD=-(DF+FC)

三、平面基本定理的應用

例3如圖，在△A8C中，點M是8c的中點，點N在AC上，且AN=2NC,AM與8N相

交于點尸，求AP：與BP：PN.

BMC

解設說f=ei,CN^ei,

則病=啟+屈=-362—61,而=/+函=2ei+e2.

VA,P,M和8,P,N分別共線，

.??存在實數(shù)九〃使得存=匈/

=一浦1一32。2,

BP=idBN=2[ie\+〃e2.

故或=礪+或=第一崩=(2+2〃)ei+(32+〃)e2.

而BA=5C+CA=2ei+3e2,由平面向量基本定理，

3

〃一亍

：.AP=^AM,BP=^BN,

：.AP:PM=4：1,BP：PN=3:2.

延伸探究

在本例條件下，若南=卬3l=b,試用a,匕表示力.

解由本例解析知BP:PN=3:2,則福=5布，

-?-?-?->2-2-->

CP=CN+NP=CN+^NB=b+^CB~CN)

4243

=b+5a~5b=5a+5b-

反思感悟若直接利用基底表示向量比較困難，可設出目標向量并建立其與基底之間滿足的

二元關系式，然后利用已知條件及相關結論，從不同方向和角度表示出目標向量（一般需建立

兩個不同的向量表達式），再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組

即得.

跟蹤訓練3如圖，平行四邊形ABCZ）的對角線AC,BD交于0點、,線段。。上有點M滿足

D0—3DM,線段C。上有點N滿足。。=/1蘇30）,設施=a,AD—b,已知礪V=?”一*>,

試求實數(shù)九〃的值.

解依題意得a,AC=a+b,

即俞=6+=）（4+5）=弓+〃）”十全，

由平面向量基本定理，得

1,12

2十2/13)，=3,

解得《1

1,1_1,

.尹力=%+〃，〃=亍

隨堂演練基礎鞏固學以致用

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1.若ei，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（）

A.。1一62,改一eiB.2也一改，2^2

C.2々—3ci,6ei—4?2D.ei+e2,e\-e2

答案D

解析ei+e2與刈一e2不共線，可以作為平面向量的基底，另外三組向量都共線，不能作為

基底.

2.如圖，向量a—萬等于()

A.-4ei—2改B.12ei-4。2

C.0―3改D.3ei—C2

答案C

解析不妨令〃=之，b=CB,則〃一萬=8一無=或,

由平行四邊形法則可知A4=ei—3e2.

3.設C1,02是兩個不共線的向量，則向量。=2劣一《2，與向量)=S+/1?2(丸￡1<)共線，當且

僅當丸的值為()

A.0B.—1C.-2D.—2

答案D

解析因為向量。與辦共線，所以設方=楨，即的+初2=m(2d一C2),解得見=一；,故選D.

4.已知向量及不共線，實數(shù)x,y滿足(3x—5y)ei+(2x—3y)e2=8ei+4e2,則％=，

y=-

答案一4-4

解析???向量ei,。2不共線,

3x—5y=8,

2x—3y=4,

5.已知ei,。2不共線，。=d+2?2,萬=2d+&2,要使a,方能作為平面內(nèi)的一組基底，則

實數(shù)2的取值范圍為.

答案(一8,4)U(4,+°°)

解析若能作為平面內(nèi)的一組基底，則〃與力不共線.。=幻+2°2,b=2e\+Xe2,由aW比，

即得2W4.

■課堂小結

1.知識清單：

(1)共線向量基本定理.

(2)對平面向量基本定理的理解.

(3)用基底表示向量.

2.方法歸納：轉化與化歸.

3.常見誤區(qū)：基底的不唯一.

課時對點練注重雙基強化落實

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X基礎鞏固

1.（多選）如果ei，e2是平面a內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）

A.a=Mi+〃e2（/l,〃GR）可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對于平面a內(nèi)任一向量a,使a=hi+〃e2的實數(shù)對（九〃）有無窮多個

C.若向量入?+〃建2與癡+〃202共線，則名=￡

D.若實數(shù)3〃使得初1+〃02=0,則2=〃=0

答案BC

解析由平面向量基本定理可知，A,D正確；對于B,由平面向量基本定理可知，若一個

平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的；對于C,應為九〃2一%國

=0.

2.已知。是正方形A3CZ）的中心.^z5d=14B+//AC,其中4,〃GR,則△等于（）

A.l2B.—2C.—yf2D.y[2

答案A

解析,/DO=DA+AO=CB+AO=AB—AC+^AC=AB—^AC,.m,“=一；,因此（=-2.

3.點尸滿足向量5>=2位一協(xié)，則點尸與AB的位置關系是（）

A.點P在線段A8上

B.點尸在線段45的延長線上

C.點P在線段A8的反向延長線上

D.點P在直線A8外

答案C

解析'JOP^IOA-OB,.,.OP-OA^OA-OB,

...亦=函，，點P在線段48的反向延長線上，故選C.

4.如圖，已知是圓。的直徑，點C,。是半圓弧的兩個三等分點，AB^a,AC^b,若以

a,5為基底，則Q）等于（）

A.a-2B^a~b

C.a+^bD.^a+b

答案D

解析連接OBCD（圖略），顯然NBOQ=NCAO=60。，則AC〃O。，kAC=OD,即四邊

形CA。。為菱形，故公=%+A

5.如圖，若。點在△ABC的邊BC上，且歷=4加=7疝+s公，則3r+s的值為（)

16

AM

C.l

答案C

解析'：&)=^DB=rAB+sAC,

-?4->■4-?-?—?-?

CD^CB=~^AB-AC)=rAB+sAC,

,4_4.,,_124_8

?'=于$=_予..3/+5=5一弓=亍

6.設｛d，出｝是平面內(nèi)的一組基底，且a=ei+2c2，）=一2+生，貝!I。1+&=______。+

________b.

21

答案3-3

〃=3+2?2,

解析由解得，

b=—ei+?2.e2=|a+|&.

7.已知ei，e2是兩個不共線的向量，而”=研01+（1-|左｝2與》=2ei+3e2是兩個共線向量,

則實數(shù)k=.

答案一2

a1-1左1

解析由題設知缶=二一，所以3斤+5左一2=0,解得上=-2或點

8.如圖，在△ABC中，點。，E,尸依次是邊4B的四等分點，則和=.(以無=ei，

CA=e2為基底)

C

ADEFB

31

答案不1+不2

解析蕊=2一8=61—C2,

因為。，E,尸依次是邊的四等分點，

一，,3f3

所以4尸=a8=?>1—e2),

.———331

所以CF=CA+AF^?2+4(61—e2)=鄧1+不2.

9.如圖，在矩形0AC8中，E和尸分別是邊AC和8c上的點，滿足AC=3AE,BC=3BF,

若灰無+〃濟，其中九〃eR,求九〃的值.

解在矩形0AC8中，OC=OA+OB,

又詼=/1而

=A(OA+AE)+fi(OB+BF)

=4住+g財+從而+揚)

32+〃一,3/1+2一

=-^OA+-1^OB,

…3/l+〃3〃+2七2。3

所以一g-=1i,-g-=1,所以2=〃=不

_3_>1_?

10.若點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足：AM=^AB+^AC.

(1)求△ABM與△ABC的面積之比；

(2)若N為AB中點，AM與CN交于點。，設而=xl^+y血求x,y的值.

_O_1_

解(1)由病=不誦+聲可知M,B,C三點共線，

>>AA>A>A>>AA]

如圖，令BM="C=4AM=A8+BM=AB+"C=48+〃AC-AB)=(l-/l)A3+/L4C=7=a，

A

BMC

,SAABM1

所以c一4，

JAABC4

即面積之比為1：4.

（2）由月3=花應+y的今壽=工俞+9函，

[x+]=l,\X=T

BO^BC+yBN,由。，M,A三點共線及0,N,C三點共線><=>《,

工工一6

%綜合運用

11.已知向量油=幻一心2,CB=2e1-e2,cb=3eI-3e2,其，中｛d，&｝為基底向量，若A，B,

。三點共線，則左的值是（）

A.2B.-3C.-2D.3

答案A

解析根據(jù)題意得3￡>=C￡>—C5=3ei—3改-2ei+e2=ei-2《-2,

VA,B,。三點共線，：.AB=ABD,

即e\一婕2=丸（01—2氏），

f1=九

：.\:?k=2.

1—k=-2九

12.如圖，在△ABC中，設施=a,AC^b,AP的中點為。,5。的中點為R,CH的中點為

P.若AP=ma+汕，則m+〃等于（）

C

A.

A，2B.q

C.yD.1

答案C

解析由題意可得成=29，QB=2QR,

-A-A-A1_A-?__

'：AB=a^AQ+QB^^AP+2QR,①

-A-A-A-A-?-A-?-A-A1-A-AJ_A_A__

AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+^AP~QR=^AP-QR=b,②

一24

由①②解方程求得AP=3+?.

_246

再由AP=機〃+加可得力=亍，n=?m+n=j.

13.在平行四邊形A5CZ)中，AC與5。交于點O,E是線段。。的中點，AE的延長線與CD

交于點E若公=跖BD^b,則成等于()

1112

A]a+于B.^a+^b

1121

C?呼+aD.2a+^b

答案D

解析ADEFs&BEA,

,DFDE\,cl

―?—?―?―?I-?

：.AF=AD+DF=AD+^AB.

,

：^J=AB+AD=a9訪=病一贏=》,

聯(lián)立得矗=/4一方)，AD=^(a+b),

—1121

AF=2(a+b)+q(a—b)=,a+利

14.如圖，點A,3,C是圓。上三點，線段0C與線段A3交于圓內(nèi)一點P.若次=機a+2加班,

AP