高等工科數(shù)學(xué)試卷等素材（主編金桂堂） 第3章參考解答

第3章參考答案

習(xí)題3.1

A組

1.填空

(1)若函數(shù)y=/(x)在點X。可導(dǎo)，則/(x)在(X。，y0)處的切線方程為.

(2)曲線y在關(guān)=0處的切線方程為.

(3)設(shè)y=e3,貝|y'=.

(4)_y=sinx,貝;/'(?)=.

(5)設(shè)y=lnx,則/"(x)=;f"(V)=-

2.選擇

(1)函數(shù)y=|x|在點x=0處().

A.可導(dǎo).B.無極限.C.連續(xù).D.無定義.

(2)若函數(shù)y=/(x)在點的切線存在，則函數(shù)函數(shù)y=/(x)在％()點的導(dǎo)數(shù)()

A.一定存在.B.不一定都存在C.一定不存在.D.以上都不對

3.計算

(1)設(shè)函數(shù)y=cosx,求y"K

x=—

2

⑵求y=log3X在n二會處的切線、法線方程.

4.一物體作直線運動，其運動方程為S=/-2f(時間單位：，長度單位：比).

(1)求物體在2(s)末的位置；

⑵求物體在2(s)到2+&(s)的平均速度；

(3)求物體在2(s)末的瞬時速度.

解答：

1.填空

1

z

(1).y-yG=/(x0)(^-x0);(2).y=0;(3).0;(4).cosx,-;(5)._____j

2x2,

2.選擇

(1).C(2).B

3.計算

(1).先求一階導(dǎo)函數(shù)、二階導(dǎo)函數(shù)

，?"

y=-sinx,y=-cosx

從而

(2).先求斜率

13

y=——，所以左=」一

xln3乃ln3

切點為：(§/Og3§)從而切線方程為：

3,711

y=-------x+logo------------

-7iln3J3ln3

法線方程：y=-X+log3jIn3?

4.(1)S(0)=0;

(2)根據(jù)平均速度的概念

_S(2+Af)-S⑵(2+AZ)2-2(2+Af)-0,?

v=-------------------=-----------------------------=+2，

AzAr

(3)由瞬時速度的概念

S(2+Ar)-S(2)

v=limvlim=lim(A/+2)=2

Az->04-0Nt4-0

B組

1.填空

(1)設(shè)尸(演)存在，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，lim"演—―/(殉)

-Ax

⑵設(shè)/'⑵=1,則lim〃？一/⑵=

%->2X—4

打2

2.設(shè)函數(shù)y求y.

X

3.設(shè)一根細棒從端點A到距點x(單位:c機)的一段的質(zhì)量可以用函數(shù)根(%)=，+%(單

位:kg)表示,對x給定增量Ax,計算：

(1)從x到％+Ax這段細棒的質(zhì)量Am；

⑵在［無，x+Ax］上的平均密度p=A依；

Ax

Am

(3)當Ax-0,極限p=lim——稱為此棒在x處的線密度，試計算細棒在x處的線密度.

Ax->0Ax

Axx+Ax

(第3題圖)

解答：

i.(i)尸(殉)“2)--

4

2.先將函數(shù)變形有

3￡721

7X-

y=----=xi3-x-1=x33

x

因此有

4

，

V二——1X~3J

3

2

3.(1)Am=m(x+Ax)—m(x)=Ax+2xAx+Ax

Am4--

(2)p---=Ax+2x+l

，Ax

AM7

(3)p-lim---=lim(Ax+2x+l)=2x+l

Arf0八丫Arf0

習(xí)題3.2參考答案

A組

1.填空

(1)(sin3x)'=,(cosy[x)'=,(cot—)z=.

x

(2)(e2x)'=,(23")'=.

(3)(ln(2-3尤))'=,(lg/)'=Jxlnx)'=.

(4)設(shè)y=2sinx一爐，則y，=.

(5)設(shè)y=爐，貝|y"=,y'\x=l=.

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

7

(1)y=x1+-e1(2)y=5x-y[x-3arcsinx(3)y=Inxy[x

//、2/—f5%—1x+1

y=x2-ex

(4)y=----------------(5)(6)y=1

x-1

_COS%+1

(8)y=(arcsinx-2)(q)y—.

sinx

3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)y=(3x—2產(chǎn)(2)y=y/4-x2(3)y=ln(l-x3)

(4)j=23X-5(5)y=ecosx(6)y=ln(l+x2)

(7)y=arctan—

x

4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

、01.1

(1)y=sin5x+cosx5(2)y-x~-41n—(3)y=xsin—

xx

(4)y=e~xsin3x(5)y=xarctan2x

5.設(shè)曲線＞=/+2x-5在點M處的切線斜率為5,求點M的坐標.

解答：

1.填空

-sinVx1

(1),3cos3x,

2G'X2sin21

x

(2).2e2x,3(23'In2)；

-3

(3).—,1+lnx.

2-3xxlnlO

(4).2cosx-5x4；

(5).20x3,20.

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3

(1)/=7x6+7-vln7(2)y

,3y=4%-i+-^-

(3)y=一(4)

2xX

y'="2

(5)V=(2x+x2)ex(6)

'(x-1)2

]

y'=3A/X

(7)+2A/7(8)y'=/(arcsinx+.)

VI-x2

,(cosx+1)

3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)y'=5(3x—2)4.3=15(3%—2)4

—x

A/4-X2

i-3x2

(3)y=(-3x2)

l-x31-x3

(4)/=23j:-5ln2-3=3-23x-5ln2

(5)=ecosx?(-sinx)=-sinx-ecosx

)2x

(6)jx=

x2+l

4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)yr=5sin4x-cosx+sinx5-5x4=5(sin4x-cosx-x4sinx5)；

4

(2)變形有y=/+41口%,所以y'=2%+—；

x

「、，?111.111

(3)y=sm—+xcos—z(——-A)=sin------cos—；

XXXXXX

(4)y'="無(一1)sin3x+e~xcos3%?3=e~x(3cos3x-sin3%)；

]2x

(5)y'=arctan2x+x------------2=arctan2x-\----------.

l+(2x)2l+4x2

5.設(shè)M點坐標為(x,y),則

3d+2=5,即1=±1

因此，所求坐標為

(1,-2),(-1,-8)

B組

1.填空

(1)(/')"=,(/*)(")=.

(2)(Jsin3x-cot2xy=.

3X

(3)(―+ln3)f=.

X

2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)y=ln[ln(lnx)](2)y=sin32x(3)y=ln7x2+9

3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)值

O0v-

(1)y=xesecx(2)y=x-xtan3x+arccot2%-1

⑶2①2(4)(5)y=/(lnx)(設(shè)/(x)可導(dǎo))

4

4.設(shè)曲線>=/+1在點M處的切線L平行于直線y=3x-l,求切線L的方程.

5.以飛上拋的物體，其上升高度s與時間/的關(guān)系是s=2/-5產(chǎn).求：

(1)該物體的速度v(f)

(2)該物體達到最高點的時刻.

6.設(shè)某物質(zhì)在化學(xué)分解中經(jīng)過時間/后，所剩物質(zhì)機與時間f的關(guān)系為加=3e-n(%>0,k

是常數(shù))，求物質(zhì)的分解速度.

7.在電容為C的電容器兩端，加上正弦交流電壓U=U”sin3/時，電容極板上的電量為:

。⑺=CU=CUmsincor(C,Um,a為常數(shù)).求任意時刻t流過電容器的電流強度i.

8.將一金屬塊從室溫20°C狀態(tài)下投入到一個恒溫為80°C的熱水池中.已知其溫度下

的變化規(guī)律為7=80-60e43r(。0,其中f為時間變量，單位為s.求該金屬塊在2(s)時

金屬塊的溫度及溫度上升速率(精確到o.rc).

解答：

1.填空

(1)25e5x5ne5x(2)3cos3x+2csc(2x)「仃)3"'?3.ln3

42

2J-cot2x+sin3xxx

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

八、，1111

(1)y=------------二------------

InInxInxxxlnx(lnInx)

(2)y=3sin22xcos2%?2=6cos2xsin22x

1

(3)先化簡函數(shù)表達式得丁=萬111(912+9),因此

,_12x_x

Y~29+X2~9+X2

3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)值

(1)yf=2xe2xsecx+x2e2x-2-secx+x2e2xsecxtanx=xe2xsecx(2+2x+xtanx)

(2)y'=3x2-tan3x-xsec23x-3-----------?2=3x2-------3xsec(3x)2-tan3x

l+(2x)2l+4x2

(3)(Incos23*50}'=—-2cose?(-sine)=-2tan。，所以

cos0

(Ineos26>)f

4

[l+x、，11—X1+Xr11—X1—%+(1+x)1

(4)(In----)=-------(----)=-------,所以

1-x21+x1-X21+X(If1-X

(5)y=/,(lnx)--=^1^

XX

4.設(shè)切點為(%,%),由題意,

3%Q=3,從而x0=±1,

因此切點為(1,2),(-1,0)，切線方程分別對應(yīng)為

y=3x-l,y=3x+3

5.(1)v(t)=s=2-10t,

(2)最演]點時v?)=s'=2—10看=0,從而1=0.2°

6.分解速度即m'=—=-3ke-kt

dt

7.流過電容器的電流強度為Q'?)=也迫=oCG“cos而

dt

8.T(2)=47.1,又由于T'(t)=—60—3r.(_0.3)=18e%3,所以

r(2)=9.8

習(xí)題3.3參考答案

A組

1.填空

(1)dcosx=(ydx,t/(—)=()dx.

X

(2)d()=3dx,d()=2xdx.

(3)d()=—dx,de3x=()dx.

x

(4)磯ln(2x+l)]=()d(2x+l)=()dx.

(5)d(cos5x)=()d(5x)=()dx.

2.選擇

(1)函數(shù)y=/(%)在點％=與處可微是函數(shù)在該點可導(dǎo)的()條件.

A.必要不充分B,充分必要C.充分不必要D.無關(guān)條件

(2)函數(shù)/(無)在點/點連續(xù)，則它在該點()

A.必可導(dǎo).B.不一定可導(dǎo).C.不可導(dǎo).D.以上都不對

⑶設(shè)y=arcsineX,則辦=().

Bx

A，TSe—^-dx

C..dxD.

\+e2x

3.求下列函數(shù)的微分

、，。tanx

(1)y=5x7+4x4-1(2)y=J3x-4(3)y=2

x

(4)y=arcsin(%2)(5)y=sinA:-e~(6)y=

x-1

4.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)x1+2xy-1=0(2)y3=x-]ny(3)y=siny-x

(4)y=2x-exy+1(5)x+y=e，r,求y'x=o

y=i

5.求下列參數(shù)方程所表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

、fx=sin^、x=2t2

(1)\(2)\

['=2/y=

6.求下列曲線在給定點處的切線、法線方程

x=t-sintTT

(1)(0<r<2K)在r=/相應(yīng)點處

y=1—cost

x=1—2t

(2)在7=4相應(yīng)點處

y=T

(3)橢圓L+2-=1,在A(2行,士行)處

1692

(4)拋物線y2+10x-2y-18=0,在B(1,4)處

7.設(shè)某經(jīng)濟模型為y=10+0.4%+0.01V^,當x=100變化到x=100.05時，函數(shù)Ay大

約是多少？

解答：

1.填空

。1

(1).—sinx?----；(2).3%,x2；

2

(3).]n\x\,3e3x(4).

2x+l2x+l

(5)-sin5x,-5sin5%.

2.選擇

(1)B(2)B(3)C

3.求下列函數(shù)的微分

(1)由于？=35/+16%3,所以

dy-(35x6+16x3)dx；

由于；/=—/3,

(2)所以

-2j3x—4

3

dy=dx；

2j3x—4

2

(3)y'=2tm(tan%),=2Gsecx,從而

dy=sec2xdx；

f12x

(4)y=.(2x)=從而

dv=2xdx；

(5)y'=cosx-e~x+sin%?e~x-(-1)=-e-x(sin%-cos%),所以

dy=-e7(sinx-cosx)dx；

,l(x-l)-x-l1

2所以

(6)y(x-i)-(x-1)2,

dy=——^dx；

?(If

4.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)方程兩邊對x求導(dǎo)有

2x+2y+2xyf=0

解出y可得

y=-i-2

X

(2)方程兩邊對x求導(dǎo)有

3y2y'=l--y'

y

解出y可得

-3/+1

(3)方程兩邊對x求導(dǎo)有

/=cosy-/-l

解出V可得

cosy-1

(4)方程兩邊對x求導(dǎo)有

y'=2-exy(y+xy,)

解出y可得

xev+l

(5)方程兩邊對x求導(dǎo)有

l+y'=e^(l-yr)

解出y可得

,l-ex-y

y=-----------

因此

八l-e~l1-e

y%=o=-~：—

y=i1+e1+e

5.求下列參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

(1)包=X=2secr

dxx；

(2)-二』=3”，(-1)=生

dxx\4t4，

⑶包=工=!!3=_.+1),另一方面，X=1時，有/=0,所以

dxX；-1

dy

一⑵+兒。=—1

dx7

6.求下列曲線在給定點處的切線、法線方程

(1)求導(dǎo)有

sin%

f

dxxt1-cost

切線的斜率為

.71

sin—

k型=^=1

7C唯71

dx1—COS—

2

注意到切點為所以切線、法線方程分別為

y=x+2----;y=-x+—

22

(2)求導(dǎo)有

dy_y't_t_t

dxx't-22

切線的斜率為

人包=-2

dx—

2

注意到切點為(-7,8),所以切線、法線方程分別為

y=-2x-6-,y=-x+-

(3)方程兩端求導(dǎo)有

切線的斜率為

k=y'\x=2^2=--=一告

y=3五/2yX=2A/23

y=3&/2

注意到所給切點，可得切線、法線方程分別為

y=--x+3V2;y=—X-—V2

436

(4)方程兩端求導(dǎo)有

2yy'+10-2y'=0,y'=-^—

i-y

切線的斜率為

_5

k=yl=---

"1,4)]_y—3

(1,4)J

注意到所給切點，可得切線、法線方程分別為

517317

y=——XH-----;y=-XH--

■3355

7.先求導(dǎo)

了=0.4+^1,從而.=0.4+-^2L=0.4005

-2Gk=I0°2^/100

由微分的定義可知

創(chuàng)Aioo=y'Loo改=04005X(100.05-100)?0.02。

B組

1.討論/(x)=Fm"'">°在尤=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.

[2元，%<0

X2V<1

2.設(shè)函數(shù)/(x)='.

ax+b,x>l

為了使函數(shù)在x=l處連續(xù)且可導(dǎo)，a,6應(yīng)取什么值？

3.畫出函數(shù)y=binx|在(-四,二)內(nèi)的圖像，并指出在此區(qū)間內(nèi)哪一點是連續(xù)的但不可導(dǎo).

1122

4.球殼外直徑為20cm,厚度為2mm,求球殼體積的近似值.

5.邊長為。的金屬立方體受熱膨脹，當邊長增加h,求立方體所增加的體積的近似值.

6.求下列函數(shù)的微分

(1)j=[ln(l-x)]3(2)y=arcsin(\/l-x2)(3)y=cos4x-e~x

7.設(shè)函數(shù)y=x3x,求y.

8.設(shè)曲線y=ln2x+x2上一點(x0,y0)處的切線平行于直線y=-3x+4,

①求切點(尤0，%)

②求切線方程

9.以vo為水平速度飛行的飛機，在離地面距離為h的空中執(zhí)行空投任務(wù)時，所投物體在空中

的運動軌跡的參數(shù)方程為

x=vot

1

vy=hA--gt2

-乙

求物體著地時的速度大小.

X

解答：

1.顯然/'(0)=0,求函數(shù)在x=0處的左右極限得

lim/(%)=lim2x=0,lim/(x)=limsinx=0,

%—>0-0-x—>0+x->0+

因此有

lim/(%)=0=/(0)

x—>0

函數(shù)在x=0處連續(xù)。

進一步求左右導(dǎo)數(shù)有

/(/z)-/(0)rcc/(/z)-/(0)sinh1

rlim~=lim2=2,lim~=lim------=1

人一°一h工.0-h—>o+h%.0一h

可見，函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).

Y2Y<1

2.函數(shù)/(x)=廣'-在龍=1處連續(xù)且可導(dǎo)，貝!J△1)=1,a+b=l,且有

ax+b,x>l

(+。)+一￡⑴=1皿(1+”=2

九m⑴=hrm-4--1--------8----1=a，

20+h力->。h

因此，由可導(dǎo)得知。=2,最終得到

a=2;b=-l

3.畫圖可見函數(shù)在(0.0)點連續(xù)，但有一個尖點。事實上，由于

|sin(o+/7)l+|sinO||sin(o+/,)l+|sinO|

no)=iim=i,r(o)=iim=-i

+/zfo+h/z->o_h

因此，函數(shù)在這一點不可導(dǎo)。

4.先給出球體的體積可得

V=-TTR39V'=44R2

3

由微分的定義可知，所求的球殼體積為

AVs亞島=而=4乃x202x.=80萬(cm')

5.邊長為x的立方體的體積及其導(dǎo)數(shù)分別為

丫=V，口=3/

利用微分得立方體所增加的體積為

AVxdV\=V'\dx=3a1h

\x=a\x=a

6.(1)求導(dǎo)得

/=3[ln(l-x)]2??(-1)=-3[ln(l-x)]2-^―

1—x1—x

因此所求微分為

1

dy=-3[ln(l-x)]92-----dx

1-x

(2)y=；?—2——_?(-2x)=--------；__e，從而

小1_訴丁)22，1-犬\x\yll-x2

dy---------:dx

\x\yj\-x1

(3)求導(dǎo)y'=-sin4x?4?ef+cos4x?eT?(-1)=-4sin4xeT-cos4%e—“，從而

dy=(-4sin4xe~x-cos4xe~x)dx

7.用對數(shù)求導(dǎo)法。取對數(shù)有：Iny=cosx-lnx,兩端對x求導(dǎo)可知

一V二-sinx-Inx+cosx?—

丁九

因此

y=x"s%-sinxlnx+吧^)

8.求導(dǎo)有y'=，+2%，由題意

x

111

一+2%0=-3,從而1=-----,x=—l

xo2

注意到函數(shù)的定義域，可見滿足條件的切點不存在。從而相應(yīng)切線也不存在。

9.首先，各時刻的速度為

糕2+亨=于記=不再

由于著地時刻為f,從而著地時速度為

"+g2?=尿+2gh

習(xí)題3.4參考答案

A組

1.填空

(1)在區(qū)間［0,1］上，f(x)=x3+2x滿足拉格朗日中值定理條件的&=.

(2)在區(qū)間［l,e］上，/(x)=Inx滿足拉格朗日中值定理的條件.

(3)設(shè)/(x)=(x-l)2在［0,2］上滿足羅爾定理的條件，當鄉(xiāng)=,/隹)=0.

(4)函數(shù)的極值點可能是點和點，函數(shù)的拐點可能是點

和點.

(5)函數(shù)y=J?+2的駐點是.

(6)>=/%在其定義域內(nèi)是單調(diào)(增減)，在其定義域內(nèi)的凹向是.

(7)曲線y='—的鉛垂?jié)u近線,水平漸近線.

x-1

2.選擇

(1)函數(shù)/'。)>0,彳€(4力)是函數(shù)丁=/(%)在區(qū)間3,3內(nèi)單調(diào)遞增的().

A.必要條件B.充分條件C.充要條件D.無關(guān)條件

(2)函數(shù)y=/+23X—15在定義域內(nèi)().

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.圖形上凹.D.圖形下凹

(3)若函數(shù)y=/(X)在(a,?內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且()，則/(x)在(。*)內(nèi)單調(diào)遞減且上

凹.

A./'。)>0,>。%)<0B.nx)>0,f"(x)>0

C.fXx)<0,f(x)>0D./,(%)<o,r(x)<o

⑷y=/一3尤2一7元的拐點是(

A.x=lB.(1,/(1))C.(0,/(0))D.

3.利用洛必達法則計算下列極限

.2x~—5x+3Inxmrl—cos2x

(1)I1rni-----------------⑵lim------------(3)lim------；—

a14x--5x+1io+ln(sinx)x2

，八In-V「J%+7-3小rMxT)

(4)hm——⑸lim--------------(6)lim----------

+00X」xf2X-2sinx

/r、rln(l-2x)arcsin2x,八、In%

(7)lim——；--------;(8).hm------------(9).hvm----------

1o+sinxx->o%%-i(%—1)

(10)limxln2x(11).limsinx-lnx(12).lim(secx-tanx)

+71

%―()+x^0x->—

2

求下列函數(shù)的增減區(qū)間

(1)y=2x3-x2+5(2)y=x-ln(l-x)(3)y=x4+2x2-9

X

(4)y=ex-x(5)

1-X

求下列函數(shù)的極值點和極值

4

(1)y=3+2x-x2(2)y=——(3)y=x3-3x2-5

X

X(6)y=2-yj(x-l)2

(4)y=x—ln(l+x))1+r

(7)y=—x4-—x3(8)y=xe~x

43

求下列函數(shù)在所給區(qū)間上的最大值和最小值

X—1

(1)y==,[0,4](2)y=x---,[0,8]

X+12

求下列函數(shù)的凹向和拐點

3

(1)y=x2-x3(2)y——3x?+3x-1(3)y=x+x7

(4)j=(l+x2)2(5)y=xex(6)y=y[x^-1

8.求下列曲線的漸近線

i2x

(1)y=-----------(2)y=----------(3)y=ln(x-l)

x2-x-2(x+1)2

9.利用導(dǎo)數(shù)作函數(shù)的圖形

(1)y=--(2)y=x4-2x3+1

X+1

10.要生產(chǎn)一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個鐵桶的容積為定值V,怎樣設(shè)計桶的底面半徑

才能使材料最省？

11.某單位要靠墻蓋一間長方形小屋，現(xiàn)有的存磚只夠砌20(m)長的墻壁，問應(yīng)圍成怎樣的

長方形才能使小屋占面積最大？

12.欲用長為12米的木料加工一日字形窗框，問它的長和寬分別為多少米時，才能使窗框

的面積最大，最大面積是多少？

13.欲做一個底為正方形、容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣的做法使用材料

最??？

解答：

1.填空

V3?

(1)——(2)e-1(3)1

3

(4)駐點,廣(幻不存在；f\x=Q\f\x)不存在

(5)(0,2)(6)單減，凹形(7)x=l,x=-l;y=o

2.選擇

(1)B(2)A(3)C(4)B

3.利用洛必達法則計算下列極限

「2%2—5%+3「4-x—54-5

(1).lim——------------lim---------

4x—5x+18x—58^53

1

「Inx「y-sinx.

(2).lim-----------=lim—------=lim---------=1

%-o+ln(sinx)%—0+1%-o+xcosx

')------cosx

sinx

「l-cos2x「sin2x-2八

(3).lim------------=lim------------=2

一。x%一。2x

1

「Inx「x「1c

(4).lim——=lim=lim——-二0

X—>-KOJQx—>4-002xX—>4-002x

I-------=------1

(<、r?+7-32：x+71

(5).lim-----------=lim------------=—；

12X—216

「x(x-l)「2x-l、

(6)lim---------=lim--------=-1;

sinxcosx

ln(l-2x)[_2x")

(7)lim--------二lim-—---------=-2；

sinxCOSX

arcsin2xJl-(2%了

(8).lim-----------=lim-----------------二2

%—010]

￡

.「Inx「丫

(9).lim--------=hm——-——=oo；

3(%—1)232(