安徽省阜陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省阜陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得，則，而，所以.故選：B.2.已知，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故選：D.3.若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，則，因?yàn)?，所以，所?故選：A.4.中國古典數(shù)學(xué)先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時(shí)期、魏晉南北朝時(shí)期和宋元時(shí)期，并在宋元時(shí)期達(dá)到頂峰，而南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶正是其中的代表人物．作為秦九韶的集大成之作，《數(shù)書九章》一書所承載的數(shù)學(xué)成就非同一般．可以說，但凡是實(shí)際生活中需要運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識的地方，《數(shù)書九章》一書皆有所涉及，例如“驗(yàn)米夾谷”問題：今有谷3318石，抽樣取谷一把，數(shù)得168粒內(nèi)有秕谷22粒，則糧倉內(nèi)的秕谷約為（）A.321石 B.166石 C.434石 D.623石〖答案〗C〖解析〗設(shè)糧倉內(nèi)的秕谷有石，依題意，，解得，所以糧倉內(nèi)的秕谷約為434石.故選：C.5.在中，角所對的邊分別為.已知，：是等腰三角形.則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗在中，若，由正弦定理，得，所以，所以，所以為等邊三角形，若命題成立，則是等腰三角形，即命題成立；反之，為等腰三角形，不一定為等邊三角形，如在中，，，則不成立，所以是：是等腰三角形的充分不必要條件.故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.BC.不等式的解集為D.將的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)圖象可知，最小正周期為，所以，將點(diǎn)代入，得，又，所以，故，故A錯(cuò)誤；所以，故B錯(cuò)誤；令，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的圖象，令，，解得，，令得，因?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.故選：C.7.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知得，，，由此可知且，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.8.已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)是偶函數(shù)，且對任意，都有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∵對任意，都有，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，∴，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.下面命題正確的是（）A.任意兩個(gè)單位向量都相等B.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線C.若，且與的夾角為銳角，則D.若非零向量滿足，則的夾角為〖答案〗BD〖解析〗對于A，任意兩個(gè)單位向量的模相等，其方向未必相同，故A錯(cuò)誤；對于B，根據(jù)向量共線的概念知，方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B正確；對于C，，且與的夾角為銳角，則，解得且，故C錯(cuò)誤；對于D，把兩邊平方整理得，，即，而為非零向量，故有，即的夾角為，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A.的最小值為 B.在上單調(diào)遞增C.在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn) D.的圖象關(guān)于直線對稱〖答案〗AB〖解析〗函數(shù)，作出函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知當(dāng)時(shí)，的最小值為，選項(xiàng)A正確；由圖象可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；由圖象可知在上零點(diǎn)為共3個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由圖象可知的圖象不關(guān)于直線對稱，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.11.在棱長為2的正方體中，為棱上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.對于任意點(diǎn)，都有平面平面C.異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是D.若平面，則平面截該正方體的截面圖形的周長最大值為〖答案〗AB〖解析〗在棱長為2的正方體中，為棱上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），對于A，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，由，得，有，而平面，平面，因此平面，即平面，A正確；對于B，由平面，平面，得，又，平面，則平面，而平面，因此平面平面，B正確；對于C，由平面，平面，得，因?yàn)?，顯然是銳角，則是異面直線與所成的角，而，，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，與選項(xiàng)B同理得平面，當(dāng)平面為平面時(shí)，平面截正方體所得截面圖形為矩形，其周長為，D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知函數(shù)（），則（）A.對任意的，函數(shù)都只有1個(gè)零點(diǎn)B當(dāng)時(shí)，對，都有成立C.當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根D.當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根〖答案〗BCD〖解析〗對于選項(xiàng)A，作出和的圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)都有2個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對，都有成立，故B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，令，則，解得，，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)解，所以方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故C正確；對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，方程的根為的根，令，作出，的函數(shù)圖象，可知函數(shù)，有三個(gè)交點(diǎn)，其中包括，即方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故D正確.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡的相應(yīng)位置.13.已知與單位向量的夾角為，且，則_________．〖答案〗3〖解析〗由與單位向量的夾角為，得，由，得，則，而，解得，所以.故〖答案〗為：3.14.已知一個(gè)樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)在樣本中加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，則此時(shí)方差是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)這個(gè)樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以，當(dāng)加入新數(shù)據(jù)5后，平均數(shù)，方差.故〖答案〗為：.15.已知四點(diǎn)共圓，且，則外接圓的面積為______.〖答案〗〖解析〗由題意，四邊形的外接圓與外接圓相同，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，所以，所以，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，所以外接圓的面積.故〖答案〗為：.16.四棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，現(xiàn)已知其平面展開圖如圖所示，四邊形是矩形，，且，則球的表面積為_________．〖答案〗〖解析〗由平面展開圖還原成四棱錐，底面為矩形，則，展開圖中，四棱錐中，因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，由已知得球心在底面的射影為點(diǎn)，因?yàn)椤鳛榈妊切危瑒t為的中點(diǎn)，由余弦定理可知，則為銳角，且為最長邊，所以△為銳角三角形，球心在平面的射影在處，所以四邊形為矩形，因?yàn)?，所以△外接圓半徑為，所以，連接即為四棱錐外接球半徑，因?yàn)?，所以，所?故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，第17題10分，其余每小題12分，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角所對的邊分別為，已知_________．①；②；③向量，向量，且．在這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在橫線中，并解答．（注：若選擇多個(gè)不同條件分別作答，則按照第一個(gè)解答計(jì)分）（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最小值．解：（1）選①，在中，由正弦定理得，又，因此，而，所以.選②，在中，由，得，而，，解得，所以.選③，向量，向量，且，則，在中，由正弦定理得，而，即，因此，又，所以.（2）由（1）知，，則，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為.18.如圖，在四棱錐中，兩兩相互垂直，為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．解：（1）依題意，平面，則平面，而平面，則有，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）由，得四邊形為平行四邊形，而，四邊形為矩形，由（1）知，平面，而平面，則，，令，則，，解得，四邊形的面積，所以四棱錐的體積.19.為分析某次數(shù)學(xué)考試成績，現(xiàn)從參與本次考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）試估計(jì)本次數(shù)學(xué)考試成績的平均數(shù)和第50百分位數(shù)；（3）從樣本分?jǐn)?shù)在，的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的2名學(xué)生中恰有1人成績在中的概率．解：（1）由頻率分布表知，成績在內(nèi)的頻率依次為，由，解得，所以.（2）由（1）知，，第50百分位數(shù)，則有，解得，所以本次數(shù)學(xué)考試成績的平均數(shù)為107.4，第50百分位數(shù)105.7.（3）分?jǐn)?shù)在，的兩組學(xué)生的人數(shù)比為，因此用分層抽樣的方法抽取的5名學(xué)生中，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有4人，記為，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有1人，記為，從5名學(xué)生中隨機(jī)選取2人的結(jié)果有，共10個(gè)，選出的2名學(xué)生中恰有1人成績在內(nèi)的結(jié)果有，共4個(gè)，所以選出的2名學(xué)生中恰有1人成績在中的概率為.20.已知，函數(shù)．（1）求圖象的對稱中心坐標(biāo)及其在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)，計(jì)算的值．解：（1）由已知得，令Z，解得Z，所以圖象的對稱中心坐標(biāo)為，Z，令Z，解得，Z，所以在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），該函數(shù)周期為，所以，，，，，因?yàn)楹瘮?shù)周期為，且，所以，而，所以.21.為打造美好生態(tài)校園，緩解學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，培養(yǎng)學(xué)生的責(zé)任和擔(dān)當(dāng)意識，某校北校區(qū)擬開設(shè)飼養(yǎng)動物的課程.校園內(nèi)有一塊空地（如圖所示），其中，.學(xué)校擬在空地中間規(guī)劃動物休息區(qū)域，活動區(qū)域，且，現(xiàn)需要在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).（1）當(dāng)時(shí)，求防護(hù)網(wǎng)的總長度；（2）為了節(jié)約成本投入，要求動物休息區(qū)域盡可能小，問如何規(guī)劃，能讓的面積最??？最小面積是多少？解：（1）在中，，，所以，在中，，，由余弦定理得，，所以，即，所以，又，即，所以為正三角形，所以的周長為，即防護(hù)網(wǎng)的總長度為.（2）設(shè)，則，，，又在中，由，得，又在中，由，得，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最小值.22.若函數(shù)滿足在