2025-高考科學復習解決方案-數(shù)學-基礎版第1節(jié) 集合含答案

2025-高考科學復習解決方案-數(shù)學-基礎版第1節(jié)集合含答案第一節(jié)集合課標解讀考向預測1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、符號語言刻畫集合.2.理解集合之間的包含與相等關系，能識別給定集合的子集，了解全集與空集的含義.3.理解集合之間的交、并、補的含義，能求兩個集合的并集與交集，能求給定子集的補集.4.能使用Venn圖表達集合之間的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.集合是高考必考內(nèi)容，重點考查集合的基本運算，以小題形式出現(xiàn)，常聯(lián)系不等式的解集，試題難度較低.2025年備考仍以小題為主訓練，在注重集合概念的基礎上，牢固掌握集合的基本關系與運算，適當加強與函數(shù)、不等式等知識的聯(lián)系，借助數(shù)軸和Venn圖等工具解決相關問題.必備知識——強基礎1．元素與集合(1)集合中元素的三個特性：eq\x(\s\up1(01))確定性、eq\x(\s\up1(02))互異性、eq\x(\s\up1(03))無序性．(2)元素與集合的關系：若a屬于集合A，記作aeq\x(\s\up1(04))∈A；若b不屬于集合A，記作beq\x(\s\up1(05))?A.(3)集合的三種表示方法：eq\x(\s\up1(06))列舉法、eq\x(\s\up1(07))描述法、圖示法．(4)常用數(shù)集及記法名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法eq\x(\s\up1(08))Neq\x(\s\up1(09))N*或N＋eq\x(\s\up1(10))Zeq\x(\s\up1(11))Qeq\x(\s\up1(12))R(5)集合的分類：有限集和無限集．2．集合間的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中eq\x(\s\up1(13))任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集．記作Aeq\x(\s\up1(14))?B(或Beq\x(\s\up1(15))?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但eq\x(\s\up1(16))存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作Aeq\x(\s\up1(17))B(或Beq\x(\s\up1(18))A)．(3)相等：若A?B，且Beq\x(\s\up1(19))?A，則A＝B.3．集合的基本運算運算自然語言符號語言Venn圖并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B＝eq\x(\s\up1(20)){x|x∈A，或x∈B}交集由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合A∩B＝eq\x(\s\up1(21)){x|x∈A，且x∈B}補集對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合?UA＝eq\x(\s\up1(22)){x|x∈U，且x?A}4.集合的運算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.1．空集的性質(zhì)：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．2．若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．3．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.4．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．5．集合元素個數(shù)公式：若用card表示有限集中元素的個數(shù)，則card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)eq\f(1,3)∈Q.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)如果集合B?A，那么若元素a不屬于A，則必不屬于B.()答案(1)√(2)×(3)√2．小題熱身(1)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，則下列式子正確的是()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?答案C(2)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，則集合A的真子集的個數(shù)為()A．3 B．4C．8 D．7答案D(3)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，則圖中陰影部分表示的集合是()A．{－2，1，2} B．{－1，4，6}C．{3，5} D．{－2，－1，1，2，3，4，6}答案A解析由圖可知陰影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，2}，故陰影部分表示的集合是{－2，1，2}．故選A.(4)(人教A必修第一冊習題1.3T4改編)設全集為R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，則?R(A∪B)＝________，(?RA)∩B＝________．答案{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或7≤x＜10}考點探究——提素養(yǎng)考點一集合的基本概念例1(1)(2024·河南漯河高三摸底)下列四個命題正確的是()A．10以內(nèi)的素數(shù)集合是{1，3，5，7}B．0與{0}表示同一個集合C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}D．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}答案D解析10以內(nèi)的素數(shù)有2，3，5，7，A錯誤；0是集合{0}中的一個元素，B錯誤；由集合中元素的互異性可知，C錯誤；由集合中元素的無序性可知，D正確．故選D.(2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實數(shù)a＝________．答案0或1解析①當a－3＝－3時，a＝0，此時A＝{－3，－1，－4}；②當2a－1＝－3時，a＝－1，此時A＝{－4，－3，－3}，舍去；③當a2－4＝－3時，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，則當a＝1時，A＝{－2，1，－3}．綜上，a＝0或1.【通性通法】與集合中元素有關問題的三個關鍵點【鞏固遷移】1．已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2?A，則實數(shù)a的取值范圍是()A．{a|a≤4} B．{a|a≥4}C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4}答案C解析由題意可得22＋a≤0，解得a≤－4.故選C.2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4答案A解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9個元素．故選A.3．設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則a2024＋b2024＝________．答案2解析由題意知a≠0，因為{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，所以a＋b＝0，則eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b2024＝1＋1＝2.考點二集合間的基本關系例2(1)(2023·新課標Ⅱ卷)設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D．－1答案B解析因為A?B，所以a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝2或a＝1.若a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合題意；若a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合題意．綜上所述，a＝1.故選B.(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案(－∞，3]解析∵B?A，∴若B＝?，則2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠?，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.綜上，實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．【通性通法】1．判斷集合間關系的三種方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素列舉出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關系結(jié)構法從元素的結(jié)構特點入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構上找差異進行判斷數(shù)軸法在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關系，從而確定集合與集合之間的關系2.已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．求得參數(shù)后，可以把端點值代入進行驗證，以免增解或漏解．注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮是否存在空集的情況，否則易造成漏解．【鞏固遷移】4．設集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關系是()A．M＝P B．P∈MC．MP D．PM答案D解析因為P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以PM.5．(2024·湖南湘潭模擬)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案[－2，2)解析若B＝?，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合題意；若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時B＝{1}，符合題意；若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此時B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不符合題意．綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[－2，2)．考點三集合的基本運算(多考向探究)考向1集合間的交、并、補運算例3(1)(2023·新課標Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2答案C解析因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故選C.(2)(2024·山東濰坊高三上學期月考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|ex<1}，則A∪B＝()A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．(－2，0) D．(－1，2)答案B解析由題意，A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|ex<1}＝{x|x<0}，所以A∪B＝(－∞，2)．故選B.(3)(2023·全國乙卷)設集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，則{x|x≥2}＝()A．?U(M∪N) B．N∪?UMC．?U(M∩N) D．M∪?UN答案A解析由題意可得M∪N＝{x|x<2}，則?U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正確；?UM＝{x|x≥1}，則N∪?UM＝{x|x>－1}，B錯誤；M∩N＝{x|－1<x<1}，則?U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，C錯誤；?UN＝{x|x≤－1或x≥2}，則M∪?UN＝{x|x<1或x≥2}，D錯誤．故選A.【通性通法】解決集合運算問題的三個技巧看元素構成集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵對集合化簡有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決應用數(shù)形離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；連續(xù)型數(shù)集的運算，常借助數(shù)軸求解【鞏固遷移】6．(2022·全國甲卷)設全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，則?U(A∪B)＝()A．{1，3} B．{0，3}C．{－2，1} D．{－2，0}答案D解析由題意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以?U(A∪B)＝{－2，0}．故選D.7．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝()A．{x|0≤x<2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案D解析因為M＝{x|eq\r(x)＜4}＝{x|0≤x＜16}，N＝{x|3x≥1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3)))))，所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x＜16)))).故選D.8.用圖形直觀表示集合的運算關系，最早是由瑞士數(shù)學家歐拉所創(chuàng)，故將表示集合運算關系的圖形稱為“歐拉圖”．后來，英國邏輯學家約翰·韋恩在歐拉圖的基礎上創(chuàng)建了世人所熟知的“Venn圖”．則圖中的陰影部分表示的集合為()A．A∩B∩C B．(?UA)∩B∩CC．A∩(?UB)∩C D．A∩B∩(?UC)答案D解析由圖可知，陰影部分在集合A，B的公共部分，且不在集合C中，故圖中的陰影部分表示的集合為A∩B∩(?UC)．故選D.考向2利用集合的運算求參數(shù)例4(2024·江蘇無錫天一中學高三模擬)已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(?RB)＝{1，2}，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)答案C解析由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得?RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因為A∩(?RB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即實數(shù)a的取值范圍是(0，3]．故選C.【通性通法】利用集合的運算求參數(shù)的方法注意：確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“＝”，另外千萬不要忘記考慮空集．【鞏固遷移】9．(2023·河北衡水中學高三一模)已知集合M＝{x|x≤m}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(x2－3x－4)))))).若M∪N＝R，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[－1，＋∞) B．[4，＋∞)C．(－∞，－1] D．(－∞，4]答案B解析由x2－3x－4>0，得x<－1或x>4，即N＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，因為M∪N＝R，M＝(－∞，m]，所以m≥4，即實數(shù)m的取值范圍為[4，＋∞)．故選B.10．已知集合A＝{x|x2＋x－6>0}，B＝{x|2a－1<x<a＋2}，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案(－∞，－1)∪(0，3)解析由題意可得集合A＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，因為A∩B≠?，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1<－3，,2a－1<a＋2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2>2，,2a－1<a＋2，))解得a<－1或0<a<3，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，3)．考向3集合語言與思想的運用例5某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數(shù)學和化學小組的有________人．答案8解析設參加數(shù)學、物理、化學小組的人構成的集合分別為A，B，C，同時參加數(shù)學和化學小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖，由全班共36名同學可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同時參加數(shù)學和化學小組的有8人．【通性通法】(1)運用集合語言及思想解決實際問題時，注意Venn圖的應用，它是解決集合交、并、補運算的有力工具，先利用Venn圖表示交、并、補的區(qū)域，如果在集合外，那么與集合的補集運算有關，如果在公共部分，那么與集合的交集運算有關．(2)注意公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的合理運用．【鞏固遷移】11．某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該中學學生總數(shù)的比例是()A．62% B．56%C．46% D．42%答案C解析用Venn圖表示該中學喜歡足球和游泳的學生所占比例之間的關系如圖，設既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該中學學生總數(shù)的比例為x，則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故選C.課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2023·全國甲卷)設集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U為整數(shù)集，?U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．?答案A解析因為整數(shù)集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以eq\a\vs4\al(?)U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故選A.2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，則A∩B＝()A．{－1，2} B．{1，2}C．{1，4} D．{－1，4}答案B解析B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1，2}．故選B.3．設集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，則M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案A解析∵M＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝eq\r(x)}，則A∩B的真子集個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝\r(x)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴A∩B＝{(0，0)，(1，1)}，即A∩B有2個元素，∴A∩B的真子集個數(shù)為22－1＝3.故選C.5．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)答案A解析因為A＝{x|x2－2x>0}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝R，所以a<0.故選A.6．(2024·湖南益陽高三上學期月考)已知A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，M＝A∩B.則M中元素的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．4答案C解析因為A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，所以集合A是直線x＋y＝0上的點的集合，集合B是橢圓x2＋2y2＝1上的點的集合．因為M＝A∩B，所以若要求M中元素的個數(shù)，只需聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x2＋2y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)，,y＝－\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),3)，,y＝\f(\r(3),3)，))即橢圓和直線有兩個交點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以M中元素的個數(shù)是2.故選C.7．某班45名學生參加“3·12”植樹節(jié)活動，每位學生都參加除草、植樹兩項勞動．依據(jù)勞動表現(xiàn)，評定為“優(yōu)秀”“合格”2個等級，結(jié)果如下表：等級項目優(yōu)秀合格合計除草301545植樹202545若在兩個項目中都“合格”的學生最多有10人，則在兩個項目中都“優(yōu)秀”的人數(shù)最多為()A．5 B．10C．15 D．20答案C解析用集合A表示除草“優(yōu)秀”的學生，B表示植樹“優(yōu)秀”的學生，全班學生用全集U表示，則?UA表示除草“合格”的學生，?UB表示植樹“合格”的學生，作出Venn圖，如圖．設兩個項目都“優(yōu)秀”的人數(shù)為x，兩個項目都“合格”的人數(shù)為y，由圖可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，x＝y(tǒng)＋5，因為ymax＝10，所以xmax＝10＋5＝15.故選C.8．已知集合P∪(?RQ)＝(－2，＋∞)，P∩Q＝(－2，1)，則Q＝()A．(－2，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，－2] D．[1，＋∞)答案B解析根據(jù)右面的Venn圖，Ⅰ區(qū)表示P∩(?RQ)，Ⅱ區(qū)表示P∩Q，Ⅲ區(qū)表示Q∩(?RP)，Ⅳ區(qū)表示?R(P∪Q)，則集合P∪(?RQ)對應于Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)、Ⅳ區(qū)的并集，所以Ⅲ區(qū)對應(－∞，－2]，從而Q對應Ⅱ區(qū)、Ⅲ區(qū)的并集，故Q＝(－∞，1)．故選B.二、多項選擇題9．已知集合A，B均為R的子集，若A∩B＝?，則()A．A??RB B．?RA?BC．A∪B＝R D．(?RA)∪(?RB)＝R答案AD解析如圖，根據(jù)Venn圖可得A??RB，故A正確；由于B??RA，故B錯誤；A∪B?R，故C錯誤；(?RA)∪(?RB)＝?R(A∩B)＝R，故D正確．故選AD.10．(2024·河北保定部分高中高三上學期月考)已知Z(A)表示集合A的整數(shù)元素的個數(shù)，若集合M＝{x|x2－9x<10}，N＝{x|lg(x－1)<1}，則()A．Z(M)＝9B．M∪N＝{x|－1<x<11}C．Z(N)＝9D．(?RM)∩N＝{x|10<x<11}答案BC解析因為M＝{x|－1<x<10}，N＝{x|1<x<11}，所以Z(M)＝10，Z(N)＝9，M∪N＝{x|－1<x<11}，(?RM)∩N＝{x|10≤x<11}．故選BC.11．若集合A＝{x|sin2x＝1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))，則下列結(jié)論正確的是()A．A∪B＝B B．?RB??RAC．A∩B＝? D．?RA??RB答案AB解析因為A＝{x|sin2x＝1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，顯然集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，所以A?B，則A∪B＝B，所以A正確；?RB??RA，所以B正確，D錯誤；A∩B＝A，所以C錯誤．故選AB.三、填空題12．(2024·江蘇連云港海濱中學高三學情檢測)已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,x－1)∈N，x∈A))))，則集合B的子集的個數(shù)是__________．答案8解析由eq\f(6,x－1)∈N，得x－1＝6，x－1＝3，x－1＝2，x－1＝1，且x∈A，故B＝{2，3，4}，則集合B的子集的個數(shù)為23＝8.13．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，則A∪B＝________．答案{－5，－2，4}解析∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，則A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2，4}；若m－3＝－2，則m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)．綜上，A∪B＝{－5，－2，4}．14．(2024·九省聯(lián)考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，則m的最小值為________．答案5解析由A∩B＝A，得A?B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4≤m＋3，,－2≥－m＋3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥1，,m≥5，))即m≥5，故m的最小值為5.15．(2024·河南鄭州四中第二次調(diào)研考試)某年級先后舉辦了數(shù)學、歷史、音樂講座，其中有75人聽了數(shù)學講座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，記A＝{x|x是聽了數(shù)學講座的學生}，B＝{x|x是聽了歷史講座的學生}，C＝{x|x是聽了音樂講座的學生}．用card(M)來表示有限集合M中元素的個數(shù)，若card(A∩B)＝17，card(A∩C)＝12，card(B∩C)＝9，A∩B∩C＝?，則()A．card(A∪B)＝143B．card(A∪B∪C)＝166C．card(B∪C)＝129D．card(A∩B∩C)＝38答案B解析將已知條件用Venn圖表示出來如圖，對于A，card(A∪B)＝46＋42＋17＋12＋9＝126，故A錯誤；對于B，card(A∪B∪C)＝46＋42＋40＋17＋12＋9＝166，故B正確；對于C，card(B∪C)＝42＋40＋17＋12＋9＝120，故C錯誤；對于D，card(A∩B∩C)＝0，故D錯誤．故選B.16．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝{(x，y)||x|＋|y|≤a}，A?B，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．[1，＋∞)C．[eq\r(2)，＋∞) D．[2，＋∞)答案C解析集合A為圓x2＋y2＝1內(nèi)部和圓周上的點集，集合B為直線x＋y＝a，x－y＝a，－x＋y＝a，x＋y＝－a圍成的正方形內(nèi)部和邊上的點集，畫出圖象，如圖所示．當直線EF與圓O相切時，設切點為C，連接OC.∵△EOF為等腰直角三角形，OE＝OF，∠EOF＝90°，OC⊥EF，∴OC為Rt△EOF斜邊上的中線，∴OC＝eq\f(1,2)EF，即EF＝2OC＝2，∴OE＝OF＝eq\f(\r(2),2)EF＝eq\r(2)，此時a＝eq\r(2).∵A?B，即圓O在正方形內(nèi)，∴a≥eq\r(2).17．(多選)(2024·華南師范大學附屬中學高三月考)已知M是同時滿足下列條件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，則x－y∈M；③若x∈M且x≠0，則eq\f(1,x)∈M.下列結(jié)論中正確的是()A.eq\f(1,3)∈MB．－1?MC．若x，y∈M，則x＋y∈MD．若x，y∈M，則xy∈M答案ACD解析對于A，B，由①②，得0－1＝－1∈M，1－(－1)＝2∈M，2－(－1)＝3∈M，由③，得eq\f(1,3)∈M，故A正確，B錯誤；對于C，由①，知0∈M，∵y∈M，∴0－y＝－y∈M，∵x∈M，∴x－(－y)∈M，即x＋y∈M，故C正確；對于D，∵x，1∈M，則x－1∈M，由③，得eq\f(1,x)∈M，eq\f(1,x－1)∈M，∴eq\f(1,x)－eq\f(1,x－1)∈M，即eq\f(1,x(1－x))∈M，∴x(1－x)∈M，即x－x2∈M，∴x2∈M，同理y2∈M.由選項C可知，當x，y∈M時，x＋y∈M，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,x)＝eq\f(2,x)∈M，∴eq\f(x,2)∈M，∴eq\f(x2,2)∈M，同理eq\f(y2,2)∈M，∴當x，y∈M時，eq\f((x＋y)2,2)，eq\f(x2＋y2,2)∈M，∴eq\f((x＋y)2,2)－eq\f(x2＋y2,2)＝xy∈M，故D正確．故選ACD.18．(多選)(2024·浙江杭州第二中學高三月考)已知集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且僅有兩個子集，則下列四個結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)2－b2≤4B．a(chǎn)2＋eq\f(1,b)≥4C．若不等式x2＋ax－b<0的解集為(x1，x2)，則x1x2>0D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集為(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，則c＝4答案ABD解析因為集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且僅有兩個子集，所以Δ＝a2－4b＝0，a2＝4b，又a>0，所以b>0.對于A，因為a2－b2＝4b－b2＝－(b－2)2＋4≤4，當b＝2，a＝2eq\r(2)時等號成立，故A正確；對于B，a2＋eq\f(1,b)＝4b＋eq\f(1,b)≥2eq\r(4b·\f(1,b))＝4，當且僅當4b＝eq\f(1,b)，b＝eq\f(1,2)，a＝eq\r(2)時等號成立，故B正確；對于C，不等式x2＋ax－b<0的解集為(x1，x2)，則x1x2＝－b<0，故C錯誤；對于D，不等式x2＋ax＋b<c的解集為(x1，x2)，即不等式x2＋ax＋b－c<0的解集為(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，則x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c，則|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝4c＝16，則c＝4，故D正確．故選ABD.19．(2024·湖北高中名校聯(lián)合體高三診斷性考試)已知集合U＝{1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，對于集合U的兩個非空子集A，B，若A∩B＝?，則稱(A，B)為集合U的一組“互斥子集”．記集合U的所有“互斥子集”的組數(shù)為f(n)(視(A，B)與(B，A)為同一組“互斥子集”)，那么f(n)＝________．答案eq\f(1,2)(3n－2n＋1＋1)解析根據(jù)題意，任意一個元素只能在集合A，B，C＝?U(A∪B)之一中，則這n個元素在集合A，B，C中，共有3n種．其中A為空集的種數(shù)為2n，B為空集的種數(shù)為2n，故可得A，B均為非空子集的種數(shù)為3n－2n＋1＋1，又因為(A，B)與(B，A)為同一組“互斥子集”，故f(n)＝eq\f(1,2)(3n－2n＋1＋1)．第二節(jié)常用邏輯用語課標解讀考向預測1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學定義與充要條件的關系.2.理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確使用存在(或全稱)量詞對全稱(或存在)量詞命題進行否定.新高考對常用邏輯用語直接考查的頻率比較低，一般與其他知識交匯考查，難度為中等偏易.2025年備考仍以選擇題為主訓練，主要涉及與函數(shù)、數(shù)列、三角的有關性質(zhì)、不等式的解法及直線與平面位置關系的判定等相關知識結(jié)合考查.必備知識——強基礎1．充分條件、必要條件與充要條件的概念p與q的關系結(jié)論p?qp是q的eq\x(\s\up1(01))充分條件，q是p的eq\x(\s\up1(02))必要條件p?q且qpp是q的eq\x(\s\up1(03))充分不必要條件pq且q?pp是q的eq\x(\s\up1(04))必要不充分條件p?qp是q的eq\x(\s\up1(05))充要條件pq且qpp是q的eq\x(\s\up1(06))既不充分也不必要條件2.充分、必要條件與集合的子集之間的關系設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的eq\x(\s\up1(07))充分條件；(2)若A?B，則p是q的eq\x(\s\up1(08))必要條件；(3)若A＝B，則p是q的eq\x(\s\up1(09))充要條件；(4)若AB，則p是q的eq\x(\s\up1(10))充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的eq\x(\s\up1(11))必要不充分條件．3．全稱量詞命題與存在量詞命題及其否定名稱形式全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構對M中eq\x(\s\up1(12))任意一個x，p(x)成立eq\x(\s\up1(13))存在M中的元素x，p(x)成立簡記eq\x(\s\up1(14))?x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(15))?x∈M，p(x)否定eq\x(\s\up1(16))?x∈M，?p(x)eq\x(\s\up1(17))?x∈M，?p(x)1．在判斷充分、必要條件時，小范圍可以推大范圍，大范圍不可以推小范圍．2．含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．()(2)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.()(3)“?x∈M，p(x)”與“?x∈M，?p(x)”的真假性相反．()答案(1)√(2)√(3)√2．小題熱身(1)(2024·四川綿陽南山中學模擬)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________條件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)答案必要不充分解析若α＝eq\f(π,6)，β＝eq\f(5π,6)，則滿足sinα＝sinβ，而不滿足α＝β；當α＝β時，sinα＝sinβ一定成立，所以“sinα＝sinβ”是“α＝β”的必要不充分條件．(2)已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，2]解析由已知可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.(3)(人教A必修第一冊習題1.5T6改編)已知“若x＞1，則2x＋1＞λ”是假命題，則實數(shù)λ的取值范圍是________．答案(3，＋∞)解析因為“若x＞1，則2x＋1＞λ”是假命題，所以“?x＞1，使2x＋1≤λ”是真命題．因為當x＞1時，2x＋1＞3，所以實數(shù)λ的取值范圍是(3，＋∞)．(4)設命題p：?x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命題q：?x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，4))解析若命題p：?x∈R，x2－2x＋m－3＝0為真命題，則Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命題q：?x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0為真命題，則Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，＋∞)).又p，q均為真命題，所以實數(shù)m的取值范圍為{m|m≤4}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m>\f(3,5)))))＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，4)).考點探究——提素養(yǎng)考點一充分條件、必要條件的判斷例1(1)(2023·全國甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件答案B解析當sin2α＋sin2β＝1時，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；當sinα＋cosβ＝0時，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.綜上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要條件但不是充分條件．故選B.(2)(2023·河北石家莊模擬)已知a，b，c∈R，則“a＝b＝c”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析若a＝b＝c，則a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋bc＋ac＝3a2，即a＝b＝c?a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，滿足充分性；若a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，則2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac，所以a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，則a＝b＝c，滿足必要性．故選C.(3)(多選)下列四個條件中，能成為x>y的充分不必要條件的是()A．xc2>yc2 B.eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0C．|x|>|y| D．lnx>lny答案ABD解析對于A，若xc2>yc2，則c2≠0，則x>y，反之x>y，當c＝0時得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要條件，故A符合題意．對于B，由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0可得y<x<0，即能推出x>y，但x>y不能推出eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0(因為x，y的正負不確定)，所以“eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0”是“x>y”的充分不必要條件，故B符合題意．對于C，由|x|>|y|可得x2>y2，則(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故C不符合題意．對于D，若lnx>lny，則x>y>0，反之x>y得不出lnx>lny，所以“l(fā)nx>lny”是“x>y”的充分不必要條件，故D符合題意．【通性通法】充分、必要條件的兩種常用判斷方法【鞏固遷移】1．(2023·北京高考)若xy≠0，則“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析因為xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要條件．故選C.2．(多選)(2023·廣東廣州華南師大附中模擬)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ＋\f(π,6)))為偶函數(shù)的一個充分條件是()A．φ＝－eq\f(5π,6) B．φ＝－eq\f(2π,3)C．φ＝eq\f(π,6) D．φ＝eq\f(π,3)答案BD解析由題意得φ＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得φ＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，令k＝－1，則φ＝－eq\f(2π,3)；令k＝0，則φ＝eq\f(π,3).故選BD.考點二根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．(1)若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________；(2)若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案(1)(0，3](2)[9，＋∞)解析(1)因為p是q的必要不充分條件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3，又m>0，所以實數(shù)m的取值范圍為(0，3]．(2)因為p是q的充分不必要條件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，即實數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞)．【通性通法】由充分、必要條件求參數(shù)范圍的策略巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出有關參數(shù)的不等式(組)求解，注意條件的等價變形端點值慎取舍在求參數(shù)范圍時，要注意區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍注意：考慮空集的情況．【鞏固遷移】3．(2023·福建福州四校聯(lián)考)已知p：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,1－x)≤0))))，q：B＝{x|x－a<0}，若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]答案D解析由題意得A＝{x|(x－2)(x－1)≥0且x≠1}＝{x|x≥2或x<1}，B＝{x|x<a}，∵p是q的必要不充分條件，∴BA，∴a≤1.故選D.考點三含有量詞的命題的否定及真假判斷例3(1)設命題p：平行四邊形對角線相等，則?p為()A．平行四邊形對角線不相等B．有的平行四邊形對角線相等C．有的平行四邊形對角線不相等D．不是平行四邊形對角線就不相等答案C解析因為命題p為省略了全稱量詞“所有”的全稱量詞命題，所以?p：有的平行四邊形對角線不相等．故選C.(2)(2024·湖北百校高三聯(lián)考)設命題p：?x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)＝18；命題q：每個三角形都有內(nèi)切圓，則()A．命題p的否定：?x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)＝18B．命題p是真命題C．命題q的否定：存在一個三角形沒有內(nèi)切圓D．命題q是假命題答案C解析命題p的否定應為“?x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)≠18”，所以A錯誤；因為f(x)＝2x＋eq\r(x)在x∈(0，4)上單調(diào)遞增，所以f(x)<f(4)＝18，所以當x∈(0，4)時，2x＋eq\r(x)<18，所以命題p為假命題，所以B錯誤；命題q的否定為“存在一個三角形沒有內(nèi)切圓”，所以C正確；任何三角形都有內(nèi)切圓，所以命題q為真命題，所以D錯誤．故選C.【通性通法】1．含有量詞命題的否定與不含量詞命題的否定含有量詞命題的否定與不含量詞命題的否定有一定的區(qū)別，含有量詞命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞(或存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定；而不含量詞命題的否定需先將量詞加上再按照含有量詞命題的否定解答即可．2．含有量詞命題真假判斷的策略判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．【鞏固遷移】4．(多選)(2024·河北滄州部分學校高三聯(lián)考)命題p：?x∈(0，2)，x3>x6；命題q：每個大于2的素數(shù)都是奇數(shù)．關于這兩個命題，下列判斷正確的是()A．p是真命題B．?p：?x∈(0，2)，x3<x6C．q是真命題D．?q：存在一個大于2的素數(shù)不是奇數(shù)答案ACD解析若x＝eq\f(1,2)，則x3>x6，所以p是真命題，A正確；?p：?x∈(0，2)，x3≤x6，B錯誤；每個大于2的素數(shù)都是奇數(shù)，q是真命題，C正確；?q：存在一個大于2的素數(shù)不是奇數(shù)，D正確．故選ACD.5．(2024·湖北部分學校高三聯(lián)考)已知p：?m∈{m|－2<m<3}，使關于x的方程2x2－m＝0有解，則?p：________．答案?m∈{m|－2<m<3}，使關于x的方程2x2－m＝0無解解析根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，可得?p：?m∈{m|－2<m<3}，使關于x的方程2x2－m＝0無解．考點四根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍例4(1)已知p：?x∈[3，4)，x2－a≥0，則p成立的一個充分不必要條件可以是()A．a(chǎn)<9 B．a(chǎn)>9C．a(chǎn)<16 D．a(chǎn)>16答案A解析若p為真命題，則a≤x2在區(qū)間[3，4)上恒成立，所以a≤9，所以p成立的一個充分不必要條件可以是a<9.故選A.(2)(2024·山東聊城一中高三期中)若命題“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－2，1)解析因為命題“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命題，所以命題“?x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”是真命題，所以Δ＝4a2－4(2－a)<0，即a2＋a－2<0，所以－2<a<1.【通性通法】由命題真假求參數(shù)范圍的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍；二是利用等價命題，即p與?p的關系，轉(zhuǎn)化成?p的真假求參數(shù)的范圍．【鞏固遷移】6．若命題“?x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則m的取值范圍是()A．[－4，－3] B．(－∞，－4)C．[－4，＋∞) D．[－4，0]答案D解析若“?x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則“?x∈[1，4]，x2－4x－m＝0”是真命題，即m＝x2－4x，設y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因為y＝x2－4x在[1，2)上單調(diào)遞減，在(2，4]上單調(diào)遞增，所以當x＝2時，ymin＝－4；當x＝4時，ymax＝0，故當1≤x≤4時，－4≤y≤0，則－4≤m≤0.7．已知命題p：?x>0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則a的取值范圍是________．答案[1，＋∞)解析因為p為假命題，所以命題p的否定：?x>0，x＋a－1≠0是真命題，所以x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1.課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件答案B解析解法一：若a2＝b2，則當a＝－b≠0時，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，則有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，則有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab?a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B.解法二：因為a2＝b2?a＝－b或a＝b，a2＋b2＝2ab?a＝b，所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷a＝－b或a＝b與a＝b的關系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分條件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B.2．(2024·浙江名校協(xié)作體高三上學期開學考試)設命題p：?n∈N，n2<3n＋4，則p的否定為()A．?n∈N，n2>3n＋4B．?n∈N，n2≤3n＋4C．?n∈N，n2≥3n＋4D．?n∈N，n2>3n＋4答案C解析因為命題p：?n∈N，n2<3n＋4，所以p的否定為?n∈N，n2≥3n＋4.故選C.3．下列各項中是“四邊形是矩形”的充分條件的是()A．四邊形的對角線相等B．四邊形的兩組對邊分別相等C．四邊形有兩個內(nèi)角都為直角D．四邊形的兩組對邊分別平行且有一組對角互補答案D解析對于A，四邊形的對角線相等且平分才是矩形，故A不符合題意；對于B，四邊形的兩組對邊分別相等為平行四邊形，故B不符合題意；對于C，四邊形有三個內(nèi)角為直角才是矩形，故C不符合題意；對于D，四邊形的兩組對邊分別平行則為平行四邊形，則相鄰兩角互補，又有一組對角互補，故相鄰兩角相等，又相鄰兩角之和為180°，故相鄰兩角均為直角，故該平行四邊形是矩形，故D符合題意．故選D.4．(2024·福建百校高三上學期第一次聯(lián)考)命題“?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”的否定是()A．?x∈Q，eq\r(x2＋1)?QB．?x?Q，eq\r(x2＋1)∈QC．?x∈Q，eq\r(x2＋1)?QD．?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q答案A解析因為命題“?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”為存在量詞命題，所以命題“?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”的否定是“?x∈Q，eq\r(x2＋1)?Q”．故選A.5．(2023·湖南邵陽高三二模)已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則m的取值范圍是()A．(－∞，3] B．(2，3]C．? D．[2，3]答案B解析因為“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，所以BA，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1<5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1>－2，,2m－1≤5，))則2<m≤3，即m的取值范圍是(2，3]．故選B.6．(2024·湖南長郡中學高三月考)若命題p：“?x∈R，ax2＋2ax－4≥0”為假命題，則a的取值范圍是()A．(－4，0] B．[－4，0)C．[－3，0] D．[－4，0]答案A解析命題p：“?x∈R，ax2＋2ax－4≥0”為假命題，即命題?p：“?x∈R，ax2＋2ax－4<0”為真命題．當a＝0時，－4<0恒成立，符合題意；當a≠0時，則a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.綜上可知，－4<a≤0.故選A.7．命題“?1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命題的一個必要不充分條件是()A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥3C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≤4答案A解析因為命題“?1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命題，所以a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))eq\s\do7(max)＝2，則一個必要不充分條件是a≥1.故選A.8．(2023·山東濟南模擬)若“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則k的取值范圍為()A．(－∞，－2] B．(－∞，2]C．(－∞，－2) D．(－∞，2)答案A解析由題意，知“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”為真命題，所以2sinxcosx≥ksinx，則k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范圍為(－∞，－2]．故選A.二、多項選擇題9．(2024·安徽六安實驗中學高三上學期質(zhì)量檢測)下列命題正確的是()A．命題“?x∈R，y＞1”的否定是“?x∈R，y≤1”B．“至少有一個x，使x2＋2x＋1＝0成立”是全稱量詞命題C．“?x∈R，x－2>eq\r(x)”是真命題D．“?x∈R，x2>0”的否定是真命題答案ACD解析對于A，因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“?x∈R，y＞1”的否定是“?x∈R，y≤1”，故A正確；對于B，“至少有一個x，使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量詞命題，故B錯誤；對于C，當x＝9時，9－2＝7>eq\r(9)＝3，所以“?x∈R，x－2>eq\r(x)”是真命題，故C正確；對于D，因為當x＝0時，x2＝0，所以“?x∈R，x2>0”是假命題，其否定是真命題，故D正確．故選ACD.10．(2024·廣東東莞東華高級中學高三模擬)若“?x∈M，|x|>x”為真命題，“?x∈M，x>3”為假命題，則集合M可以是()A．{x|x<－5} B．{x|－3<x<－1}C．{x|x>3} D．{x|0≤x≤3}答案AB解析因為“?x∈M，x>3”為假命題，所以“?x∈M，x≤3”為真命題，可得M?{x|x≤3}，又“?x∈M，|x|>x”為真命題，可得M?{x|x<0}，所以M?{x|x<0}．故選AB.11．(2024·江蘇南京師范大學附屬中學高三模擬)設a，b，c都是實數(shù)，則下列說法正確的是()A．“ac2>bc2”是“a>b”的充要條件B．“l(fā)na>lnb”是“a2>b2”的充分不必要條件C．△ABC中，角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，則“sinA>sinB”是“a>b”的充要條件D．“tanθ＝eq\f(\r(3),3)”是“sin2θ＝eq\f(\r(3),2)”的必要不充分條件答案BC解析對于A，由ac2>bc2可得a>b，當c＝0時，由a>b，得ac2＝bc2，所以“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要條件，故A錯誤；對于B，因為lna>lnb，所以a>b>0，則a2>b2，由a2>b2，得|a|>|b|，若a>0>b，則lnb無意義，即推不出lna>lnb，所以“l(fā)na>lnb”是“a2>b2”的充分不必要條件，故B正確；對于C，根據(jù)正弦定理，得sinA>sinB?eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)?a>b，所以“sinA>sinB”是“a>b”的充要條件，故C正確；對于D，由tanθ＝eq\f(\r(3),3)，得θ＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)，故sin2θ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ))＝eq\f(\r(3),2)，由sin2θ＝eq\f(\r(3),2)，得2θ＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)或2θ＝eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，即θ＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)或θ＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，故tanθ＝eq\f(\r(3),3)或eq\r(3)，所以“tanθ＝eq\f(\r(3),3)”是“sin2θ＝eq\f(\r(3),2)”的充分不必要條件，故D錯誤．故選BC.三、填空題12．(2023·山東濰坊高三二模)若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，則α的一個可能值是________．答案eq\f(π,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(只需滿足α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)即可))解析由sinx＋cosx>1，得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>eq\f(\r(2),2)，所以2kπ＋eq\f(π,4)<x＋eq\f(π,4)<2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，解得2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，因為“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，所以α的一個可能值為eq\f(π,4).13．(2024·福建廈門第六中學高三檢測)已知命題“?x∈R，x2－2x＋m>0”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案(－∞，1]解析因為命題“?x∈R，x2－2x＋m>0”為假命題，所以命題“?x∈R，x2－2x＋m≤0”為真命題，所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1.故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，1]．14．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x1∈[－1，2]，?x2∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x2)，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析問題等價于函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)f(x)值域的子集．因為f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]，所以f(x)∈[－1，3]，即函數(shù)f(x)的值域是[－1，3]，因為a>0，所以函數(shù)g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，則2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq\f(1,2).故實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).15．(2024·江蘇揚州中學高三上學期開學考試)若“?x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命題，則實數(shù)λ的取值范圍是()A．(－∞，2eq\r(2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(9,2)))C．(－∞，3] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞))答案C解析若“?x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命題，則“?x∈[1，2]，使2x2－λx＋1≥0成立”是真命題，即?x∈[1，2]，λ≤2x＋eq\f(1,x)，令f(x)＝2x＋eq\f(1,x)，x∈[1，2]，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(1)＝3，則λ≤3.故選C.16．(2021·全國甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q