2025版新教材高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1向量的數(shù)量積8.1.1向量數(shù)量積的概念課時作業(yè)新人教B版必修第三冊

8.1.1向量數(shù)量積的概念必備學(xué)問基礎(chǔ)練進階訓(xùn)練第一層1．已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b的夾角θ＝120°，則a·b＝()A．－6B．6C．－6eq\r(3)D．6eq\r(3)2．在△ABC中，a＝5，b＝4，∠C＝45°，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝()A．10eq\r(2)B．20eq\r(2)C．－10eq\r(2)D．－20eq\r(2)3．已知e1，e2是兩個相互平行的單位向量，則下列推斷中正確的是()A．e1·e2＝1B．e1·e2＝－1C．e1·e2＝±1D．|e1·e2|<14．在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝8，則△ABC的形態(tài)為()A．直角三角形B．鈍角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形5．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3eq\r(3)，則a與b的夾角為________．6．已知|a|＝2，b2＝3，若(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為150°，分別求a·b.關(guān)鍵實力綜合練進階訓(xùn)練其次層7.如圖，AB是圓C的一條弦，僅由下列一個條件就可以得出eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2的是()A．圓C半徑為2B．圓C半徑為1C．圓C的弦AB長為2D．圓C的弦AB長為18．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，a與b的夾角為90°，b與c的夾角為45°，則a·(b·c)＝()A．0B．a(chǎn)C．bD．c9．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且S△ABC＝1，則下列結(jié)論錯誤的是()A．eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0B．eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2C．eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|10．(多選)下列結(jié)論錯誤的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0B．0·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0C．若a與b共線，則a·b＝|a||b|D．(a·b)·c＝a·(b·c)11．(多選)關(guān)于菱形ABCD的說法中，正確的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))B．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))⊥(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))C．(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝0D．eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))12．如圖，△ABC的三邊長均為1，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，求a·b＋b·c＋c·a的值．13．已知正方形ABCD的邊長為1，E是邊AB上的動點，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為________，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值為________．14．(數(shù)學(xué)運算命題)在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影的數(shù)量；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影的數(shù)量．核心素養(yǎng)升級練進階訓(xùn)練第三層15.如圖，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4，E為腰BC上的動點．求eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍．8．1.1向量數(shù)量積的概念必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：A解析：因為|a|＝3，|b|＝4，且a與b的夾角θ＝120°，所以a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6.故選A.2．答案：C解析：∵||＝a＝5，||＝b＝4，C＝45°，∴·＝－||||cos45°＝－5×4×eq\f(\r(2),2)＝－10eq\r(2)﹒故選C.3．答案：C解析：∵e1∥e2，|e1|＝1，|e2|＝1，∴〈e1，e2〉＝0或π，∴e1·e2＝±1，故選C.4．答案：D解析：由題意，得4×4×cosA＝8，即cosA＝eq\f(1,2).又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).又||＝||，∴△ABC為等邊三角形，故選D.5．答案：eq\f(π,6)解析：設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3\r(3),2×3)＝eq\f(\r(3),2)，又因為θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).6．解析：因為|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝eq\r(3).(1)當(dāng)a∥b時，a·b＝|a||b|cos0°＝2×eq\r(3)×1＝2eq\r(3)或a·b＝|a||b|cos180°＝2×eq\r(3)×(－1)＝－2eq\r(3).(2)當(dāng)a⊥b時，a·b＝|a||b|cos90°＝2×eq\r(3)×0＝0.(3)當(dāng)a與b的夾角為150°時，a·b＝|a||b|cos150°＝2×eq\r(3)×(－eq\f(\r(3),2))＝－3.關(guān)鍵實力綜合練7．答案：C解析：如圖所示，過點C作OC⊥AB于點O，則O是AB的中點，所以·＝(＋)·＝·＝eq\f(1,2)2＝2，所以||＝2.故選C.8．答案：B解析：∵b·c＝|b||c|cos〈b，c〉＝1×eq\r(2)×cos45°＝1，∴a·(b·c)＝a，故選B.9．答案：C解析：在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，S△ABC＝1，則eq\f(1,2)AC2＝1，得AC＝eq\r(2)，得AB＝2，所以·＝0，選項A正確．·＝||||cos45°＝2，選項B正確．·＝||||cos135°＝－2，選項C不正確．向量在上投影的數(shù)量為||，即||cosB＝||，選項D正確，故選C.10．答案：BCD解析：∵＝－，∴＋＝－＋＝0，∴A正確；∵數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，∴B錯誤；∵a與b共線，當(dāng)方向相反時，a·b＝－|a||b|，∴C錯誤；當(dāng)c與a不共線，且a·b≠0，b·c≠0時，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴D錯誤．故選BCD.11．答案：ABC解析：因為四邊形ABCD為菱形，所以AB∥CD，所以∥，A正確；因為對角線AC與BD相互垂直，且＋＝，＋＝，所以⊥，即(＋)⊥(＋)，B正確；因為－＝，－＝，又因為⊥，即·＝0，所以(－)·(－)＝0，C正確；易知〈，〉＝180°－〈，〉，且||＝||＝||＝||，所以·＝－·，D錯誤．12．解析：延長BC至C′，使＝a，如圖，易得〈a，b〉＝〈，〉＝120°，則a·b＝|a|·|b|cos120°＝－eq\f(1,2)，同理，b·c＝c·a＝－eq\f(1,2).故a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(3,2).13．答案：11解析：如圖所示，依據(jù)平面對量的數(shù)量積的定義可得·＝·＝||||·cosθ.由圖可知，||cosθ＝||，因此·＝||2＝1.·＝||||cosα＝||cosα，而||cosα就是向量在上的投影的數(shù)量，故當(dāng)在上的投影的數(shù)量最大，即投影的數(shù)量為||時，·取得最大值，所以·的最大值為1.14．解析：∵||＝5，||＝4，||＝3，∴||2＝||2＋||2，∴△ABC為直角三角形，且C＝90°.∴cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5).(1)·＝－·＝－5×4×eq\f(4,5)＝－16.(2)在方向上的投影的數(shù)量為||·cos〈，〉＝3×eq\f(3,5)＝eq\f(9,5).(3)在方向上的投影