2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例【含解析】

PAGE2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例【原卷版】(時(shí)間:45分鐘分值:65分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)在相距2km的A,B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為()A.6km B.2kmC.3km D.2km2.(5分)如圖,在200m高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°,60°,則塔高為()A.4003m B.400C.20033m D.3.(5分)位于燈塔A處正西方向相距(53-5)nmile的B處有一艘甲船需要海上救援,位于燈塔A處北偏東45°相距52nmile的C處的一艘乙船前往營(yíng)救,則乙船的目標(biāo)方向線(由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線)的方向是南偏西()A.30° B.60° C.75° D.45°4.(5分)(2023·鐵嶺模擬)如圖,某景區(qū)欲在兩山頂A,C之間建纜車(chē),需要測(cè)量?jī)缮巾旈g的距離.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E處測(cè)得山頂A的仰角為30°,山頂C的仰角為60°,∠AEC=150°,則兩山頂A,C間的距離為()A.27km B.33kmC.42km D.25km5.(5分)(多選題)八一廣場(chǎng)是南昌市的心臟地帶,江西省最大的城市中心廣場(chǎng),八一南昌起義紀(jì)念塔為八一廣場(chǎng)標(biāo)志性建筑,現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在八一廣場(chǎng)上對(duì)八一南昌起義紀(jì)念塔的高度進(jìn)行測(cè)量,并繪制出測(cè)量方案示意圖,A為紀(jì)念塔最頂端,B為紀(jì)念塔的基座(即B在A的正下方),在廣場(chǎng)內(nèi)(與B在同一水平面內(nèi))選取C,D兩點(diǎn),測(cè)得CD的長(zhǎng)為m.興趣小組成員利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù),能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB的是()A.m,∠ACB,∠BCD,∠BDCB.m,∠ACB,∠BCD,∠ACDC.m,∠ACB,∠ACD,∠ADCD.m,∠ACB,∠BCD,∠ADC【加練備選】在某次巡航中,軍艦B在海港A的正南方向,軍艦C在軍艦B的正西方向,軍艦D在軍艦B,C之間,且CD=100海里,若在軍艦C處測(cè)得海港A在東偏北45°的位置,在軍艦D處測(cè)得海港A在東偏北75°的位置,則軍艦B到海港A的距離為()A.503海里B.(506+502)海里C.(503+50)海里D.(253+25)海里6.(5分)泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一,被列為“世界文化遺產(chǎn)”.如圖所示,為了估算泰姬陵的高度,現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物AB,高約為50m,在它們之間的地面上的點(diǎn)Q(B,Q,D三點(diǎn)共線)處測(cè)得A處、泰姬陵頂端C處的仰角分別是45°和60°,在A處測(cè)得泰姬陵頂端C處的仰角為15°,則估算泰姬陵的高度CD為()A.75m B.502m C.256m D.80m7.(5分)如圖,某工程中要將一長(zhǎng)為100m,傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡,并保持坡高不變,則坡底需加長(zhǎng)m.

8.(5分)甲船在A處觀察到乙船在它北偏東60°的方向,兩船相距a海里,乙船正在向北行駛,若甲船的速度是乙船的3倍,則甲船應(yīng)取北偏東θ方向前進(jìn)才能盡快追上乙船,此時(shí)θ=.

9.(5分)(2023·無(wú)錫模擬)某校研究性學(xué)習(xí)小組想要測(cè)量某塔的高度,現(xiàn)選取與塔底D在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)A與B,現(xiàn)測(cè)得∠DAB=75°,∠ABD=60°,AB=48米,在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,則塔高CD為米.

10.(10分)(2023·重慶模擬)綦江區(qū)東溪中學(xué),始建于1944年,位于千年古鎮(zhèn)東溪鎮(zhèn),是一所有著悠久歷史和深厚文化底蘊(yùn)并能與時(shí)俱進(jìn)、持續(xù)創(chuàng)新的學(xué)校.東溪中學(xué)設(shè)施齊全,擁有200m標(biāo)準(zhǔn)環(huán)形跑道的塑膠球場(chǎng).學(xué)校的標(biāo)志性建筑是“飛機(jī)樓”.小華同學(xué)為了估算飛機(jī)樓的高度,他進(jìn)行了一番估測(cè):飛機(jī)樓底部中點(diǎn)近似處于球場(chǎng)的中心軸上,飛機(jī)樓正前方的塑膠球場(chǎng)可近似看作兩個(gè)等大半圓夾一個(gè)矩形的形狀,估測(cè)得圓的半徑為r=15.3m,站在兩個(gè)半圓圓心(記為點(diǎn)C,D)處分別測(cè)得對(duì)飛機(jī)樓頂點(diǎn)A的仰角為α=15°和β=45°.(1)估算距離CD;(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估算飛機(jī)樓高度AB.(結(jié)果保留兩位小數(shù).可能用到的數(shù)據(jù):π≈3.14,3≈1.732)【能力提升練】11.(5分)(2023·葫蘆島模擬)滕王閣,江南三大名樓之一,位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸,滕王閣分為上部主體建筑和下部象征古城墻的高臺(tái)座,始建于唐朝永徽四年.如圖,為了測(cè)量滕王閣的高度,選取了與該閣底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=111.2m,在C點(diǎn)測(cè)得滕王閣頂端A的仰角為45°,則滕王閣的高AB=()(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8)A.69.5m B.68.8mC.70.2m D.71.5m12.(5分)古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作,也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ),根據(jù)劉徽的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑的高度,已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)(切點(diǎn)),地面上B,C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上,且在點(diǎn)A的同側(cè),若在B,C處分別測(cè)量球體建筑物的最大仰角為60°和20°,且BC=100m,則該球體建筑物的高度約為()(cos10°≈0.985)A.45.25m B.50.76mC.56.74m D.58.60m2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例【解析版】(時(shí)間:45分鐘分值:65分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)在相距2km的A,B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為()A.6km B.2kmC.3km D.2km【解析】選A.如圖,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,所以ACsin60°=2sin45°,所以AC=22×32.(5分)如圖,在200m高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°,60°,則塔高為()A.4003m B.400C.20033m D.【解析】選A.設(shè)山頂為A,塔底為C,塔頂為D,過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B(圖略),則易得AB=BCtan60°,BD=AB·tan30°=BCtan60°·tan30°=2003所以CD=BC-BD=200-2003=40033.(5分)位于燈塔A處正西方向相距(53-5)nmile的B處有一艘甲船需要海上救援,位于燈塔A處北偏東45°相距52nmile的C處的一艘乙船前往營(yíng)救,則乙船的目標(biāo)方向線(由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線)的方向是南偏西()A.30° B.60° C.75° D.45°【解析】選B.依題意,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,如圖,則AB=53-5,AC=52,∠ACD=45°,在Rt△ADC中,AD=DC=5,在Rt△BDC中,BD=53,DC=5,所以tan∠BCD=BDDC=3,又∠BCD∈(0,π2),所以∠BCD=π4.(5分)(2023·鐵嶺模擬)如圖,某景區(qū)欲在兩山頂A,C之間建纜車(chē),需要測(cè)量?jī)缮巾旈g的距離.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E處測(cè)得山頂A的仰角為30°,山頂C的仰角為60°,∠AEC=150°,則兩山頂A,C間的距離為()A.27km B.33kmC.42km D.25km【解析】選A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,所以AE=2AB=2,CE=CDsin60°=在△ACE中,由余弦定理得,AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos∠AEC=4+12-2×2×23×(-32所以AC=27,即兩山頂A,C間的距離為27km.5.(5分)(多選題)八一廣場(chǎng)是南昌市的心臟地帶,江西省最大的城市中心廣場(chǎng),八一南昌起義紀(jì)念塔為八一廣場(chǎng)標(biāo)志性建筑,現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在八一廣場(chǎng)上對(duì)八一南昌起義紀(jì)念塔的高度進(jìn)行測(cè)量,并繪制出測(cè)量方案示意圖,A為紀(jì)念塔最頂端,B為紀(jì)念塔的基座(即B在A的正下方),在廣場(chǎng)內(nèi)(與B在同一水平面內(nèi))選取C,D兩點(diǎn),測(cè)得CD的長(zhǎng)為m.興趣小組成員利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù),能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB的是()A.m,∠ACB,∠BCD,∠BDCB.m,∠ACB,∠BCD,∠ACDC.m,∠ACB,∠ACD,∠ADCD.m,∠ACB,∠BCD,∠ADC【解析】選ACD.對(duì)于A:由m,∠BCD,∠BDC可以解△BCD,可求BC,又AB=BC·tan∠ACB,可求塔高AB;對(duì)于B:在△BCD中,由CD=m,∠BCD無(wú)法解三角形,在△ACD中,由CD=m,∠ACD無(wú)法解三角形,在△BCA中,已知兩角∠ACB,∠ABC無(wú)法解三角形,所以無(wú)法解出任意三角形,故不能求塔高AB;對(duì)于C:由CD=m,∠ACD,∠ADC可以解△ACD,可求AC,又AB=AC·sin∠ACB,可求塔高AB;對(duì)于D:過(guò)B作BE⊥CD于E,連接AE(圖略),由cos∠ACB=BCAC,cos∠BCD=ECcos∠ACE=ECAC知,cos∠ACE=cos∠ACB·cos∠故可知∠ACD的大小,由∠ACD,∠ADC,m可解△ACD,可求AC.又AB=ACsin∠ACB,可求塔高AB.【加練備選】在某次巡航中,軍艦B在海港A的正南方向,軍艦C在軍艦B的正西方向,軍艦D在軍艦B,C之間,且CD=100海里,若在軍艦C處測(cè)得海港A在東偏北45°的位置,在軍艦D處測(cè)得海港A在東偏北75°的位置,則軍艦B到海港A的距離為()A.503海里B.(506+502)海里C.(503+50)海里D.(253+25)海里【解析】選C.由題意知,CD=100,∠B=90°,∠ACD=45°,∠ADB=75°,所以∠ADC=105°,∠CAD=30°.在△ACD中,由正弦定理得ACsin∠ADC=所以AC=CD·sin∠ADC又因?yàn)閟in105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=32×22+12×2所以AC=100×2+641則軍艦B到海港A的距離為506+50226.(5分)泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一,被列為“世界文化遺產(chǎn)”.如圖所示,為了估算泰姬陵的高度,現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物AB,高約為50m,在它們之間的地面上的點(diǎn)Q(B,Q,D三點(diǎn)共線)處測(cè)得A處、泰姬陵頂端C處的仰角分別是45°和60°,在A處測(cè)得泰姬陵頂端C處的仰角為15°,則估算泰姬陵的高度CD為()A.75m B.502m C.256m D.80m【解析】選A.因?yàn)椤螦QB=45°,∠CQD=60°且AB=50,在A處測(cè)得泰姬陵頂端C處的仰角為15°,所以∠CAQ=60°,∠ACQ=45°,AQ=502,則CQsin60°=AQsin45°,所以CQ=50222×327.(5分)如圖,某工程中要將一長(zhǎng)為100m,傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡,并保持坡高不變,則坡底需加長(zhǎng)m.

【解析】設(shè)坡底需加長(zhǎng)xm,由正弦定理得100sin30°=xsin45°,解得答案:10028.(5分)甲船在A處觀察到乙船在它北偏東60°的方向,兩船相距a海里,乙船正在向北行駛,若甲船的速度是乙船的3倍,則甲船應(yīng)取北偏東θ方向前進(jìn)才能盡快追上乙船,此時(shí)θ=.

【解析】如圖所示,∠CAB=60°-θ,∠B=120°,設(shè)甲船追上乙船時(shí)乙船行駛的距離為x,則BC=x,AC=3x.在△ABC中,根據(jù)正弦定理BCsin∠CAB=ACsinB,即得sin(60°-θ)=12,又60°-θ為銳角,所以60°-θ=30°,得θ=30°答案:30°9.(5分)(2023·無(wú)錫模擬)某校研究性學(xué)習(xí)小組想要測(cè)量某塔的高度,現(xiàn)選取與塔底D在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)A與B,現(xiàn)測(cè)得∠DAB=75°,∠ABD=60°,AB=48米,在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,則塔高CD為米.

【解析】根據(jù)題意可知,在△ABD中,由∠DAB+∠ABD+∠ADB=180°,可得∠ADB=45°.利用正弦定理可得ABsin∠ADB=即AD=sin∠ABDsin∠ADB·AB=sin又在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,即∠CAD=30°,所以CD=AD·tan30°=246×33=242(米),即塔高CD為242米答案:24210.(10分)(2023·重慶模擬)綦江區(qū)東溪中學(xué),始建于1944年,位于千年古鎮(zhèn)東溪鎮(zhèn),是一所有著悠久歷史和深厚文化底蘊(yùn)并能與時(shí)俱進(jìn)、持續(xù)創(chuàng)新的學(xué)校.東溪中學(xué)設(shè)施齊全,擁有200m標(biāo)準(zhǔn)環(huán)形跑道的塑膠球場(chǎng).學(xué)校的標(biāo)志性建筑是“飛機(jī)樓”.小華同學(xué)為了估算飛機(jī)樓的高度,他進(jìn)行了一番估測(cè):飛機(jī)樓底部中點(diǎn)近似處于球場(chǎng)的中心軸上,飛機(jī)樓正前方的塑膠球場(chǎng)可近似看作兩個(gè)等大半圓夾一個(gè)矩形的形狀,估測(cè)得圓的半徑為r=15.3m,站在兩個(gè)半圓圓心(記為點(diǎn)C,D)處分別測(cè)得對(duì)飛機(jī)樓頂點(diǎn)A的仰角為α=15°和β=45°.(1)估算距離CD;(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估算飛機(jī)樓高度AB.(結(jié)果保留兩位小數(shù).可能用到的數(shù)據(jù):π≈3.14,3≈1.732)【解析】(1)根據(jù)題意塑膠球場(chǎng)可近似看作兩個(gè)等大半圓夾一個(gè)矩形的形狀,所以200m標(biāo)準(zhǔn)環(huán)形跑道的塑膠球場(chǎng)周長(zhǎng)為2πr+2CD=200m,將π≈3.14,r=15.3代入可求得CD=51.96m.(2)設(shè)飛機(jī)樓高度AB=h,由β=45°可得AB=DB=h,在Rt△ABC中,tanα=ABCB=?由α=15°可得tanα=tan(45°-30°)=1-33即?CD+?=2-3,所以h=2-33-1CD,代入數(shù)據(jù)可得h【能力提升練】11.(5分)(2023·葫蘆島模擬)滕王閣,江南三大名樓之一,位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸,滕王閣分