人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)第一冊(必修1)：5. 1 . 2 弧度制

5.1.2弧度制

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解弧度制下，角的集合與實數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系2理解“1弧度的角”

的定義，掌握弧度與角度的換算、弧長公式和扇形面積公式，熟悉特殊角的弧度數(shù).

知識梳理梳理教材夯實基礎(chǔ)

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知識點一度量角的兩種制度

定義用度作為單位來度量角的單位制

角度制

1度的角等于周角的志

1度的角

定義以弧度作為單位來度量角的單位制

弧度制

1弧度的角長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角

知識點二弧度數(shù)的計算

思考比值;與所取的圓的半徑大小是否有關(guān)？

『答案』一定大小的圓心角?所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無

關(guān).

知識點三角度與弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

360。=勿ad2兀rad=360°

180o=ra*ad兀rad=180°

<18C?)°七57.30°

10—1801ad^0.01745radIrad七

詈）。=度數(shù)

度數(shù)弧度數(shù)弧度數(shù)xf

1oU

知識點四弧度制下的弧長與扇形面積公式

設(shè)扇形的半徑為R,弧長為/,a（0<a<2兀）為其圓心角，則

（1）弧長公式：l=aR.

(2)扇形面積公式：S=；/R=&R2.

思考扇形的面積公式與哪個平面圖形的面積公式類似？對應(yīng)的圖形是否也類似？

『答案』扇形的面積公式與三角形的面積公式類似.實際上，扇形可看作是一曲邊三角形,

弧是底，半徑是底上的高.

預(yù)習(xí)小測自我檢驗

1.18°=rad.

『答案』75

2-10=-------------

『答案』54°

3.若a=；,則a是第象限角.

『答案』一

4.圓心角環(huán)弧度，半徑為6的扇形的面積為.

『答案』6兀

1JT

『解析』扇形的面積為3X62X^=671.

題型探究----------探-究-重-點、-提-升-素-養(yǎng)

一、角度制與弧度制的互化

例1把下列角度化成弧度或弧度化成角度：

(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)-y.

解(1)720=72XTTT=~;

1oUJ

兀5兀

⑵一300。=-300義而=一9；

⑶2=2X(噌。=(攀)。；

⑷奇一管噌。=-40°.

反思感悟角度與弧度互化技巧

7T

在進行角度與弧度的換算時，抓住關(guān)系式兀rad=180。是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)義不彳=孤

1oU

度數(shù)，弧度數(shù)x(祟)。=度數(shù).

TT77r

跟蹤訓(xùn)練1已知Q=15。，夕=訶，尸1，夕=105。，8=五，試比較。，6,仇9的大小?

"Ji

解ot—15°—15Xgg="p7>6=105°=105XY^=J^,

'哈端<1喑，:.a<B<y<9=(p.

二、用弧度制表示有關(guān)的角

例2將一1125。寫成a+2E(ACZ)的形式，其中0Wa<2兀并判斷它是第幾象限角？

解一1125°=-1125X念

1OU

257r,7?t

=一丁=一版o+了

其中37學(xué)r7予7r2r,因為7牛7r是第四象限角，

所以一1125。是第四象限角.

延伸探究

若在本例的條件下，在『一4兀，4?！环秶鷥?nèi)找出與a終邊相同的角的集合.

解依題意與a終邊相同的角為g7兀+2E,Jtez,

7兀

由一4兀<彳+2攵兀忘4兀，kGZ,

知左=-2,—1,0,1,

所以所求角的集合為｛一號，一今午，號小

反思感悟用弧度制表示終邊相同角的兩個關(guān)注點

(1)用弧度制表示終邊相同的南2E+a(&WZ)時，其中2E是兀的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍.

(2)注意角度制與弧度制不能混用.

跟蹤訓(xùn)練2(1)用弧度制表示與150。角終邊相同的角的集合為()

A.｛夕夕=—?+2&兀，｝

B"/?=y+jt-360°,kRZ1

C”￡=爭+2版,kez)

D.jySQ="+2E,kRZ(

『答案』D

『解析』1500=150X3=浮故與150°角終邊相同的角的集合為

1oUO

看票+2E,kGZ).

(2)用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)的角0的集合.

解終邊落在射線OA上的角為。=135。+k360。，kWZ,

3兀

即。=丁+2%兀，%￡Z.

終邊落在射線上的角為6=—30。+2?360。,kRZ,

即。=-搭+2航，&GZ,

O

故終邊落在陰影部分的角e的集合為，卜5+2EWJW竽+2E,MZ

三、扇形的弧長、面積

例3(1)已知一扇形的圓心角是72。，半徑為20,求扇形的面積.

解設(shè)扇形弧長為/,

因為圓心角72°=72X[.c=.rad,

1oUJ

所以扇形弧長，=心|/=胃乂20=8兀，

于是，扇形的面積S=T/-r=3x87tX2O=8O兀

(2)已知扇形的周長為10cm,面積為4cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù).

解設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為。(0<*2兀)，弧長為/cm,半徑為Rem,

7+2/?=10,①

依題意有h?

泮=4.②

①代入②得R2-5R+4=0,解得Q=l,&=4.

當(dāng)R=1時，/=8,此時，9=8rad>27n*ad舍去.

21

當(dāng)H=4時，1=2,此時，8=w=2(rad).

綜上可知，扇形圓心角的弧度數(shù)為|rad.

延伸探究

已知一扇形的周長為4,當(dāng)它的半徑與圓心角取何值時，扇形的面積最大？最大值是多少？

解設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為伏0<*2兀)，孤長為/,半徑為r,面積為S,

則/+2r=4,所以/=4—2/[W<y2）,

所以S=2^r=2X（4—2r）Xr=

—r2+2r=—（r—1）2+1,

所以當(dāng)-=1時，S最大，且Smax=l,

,/4—2X1

因此，。=；=---[---=2（rad）.

（學(xué)生）

反思感悟扇形的弧長和面積的求解策略

⑴記公式：弧度制下扇形的面積公式是5=品=界2（其中/是扇形的弧長，R是扇形的半徑,

a是扇形圓心角的弧度數(shù)，0<a<2n）.

（2）找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題，關(guān)鍵是分析題目中

已知哪些量、求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程（組）求解.

跟蹤訓(xùn)練3若扇形的圓心角為216。，弧長為30兀，求扇形的半徑及面積.

解設(shè)扇形的半徑為r,孤長為/,面積為S,

216°-216,

1oUJ

.?./=a-r=￡r=30n,解得r=25,

S4TX30兀X25=375兀

隨堂演練-----------基-礎(chǔ)-鞏-固、學(xué)-以-致--用

1.下列說法中，錯誤的是（）

A.半圓所對的圓心角是itrad

B.周角的大小等于27t

C.1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑

D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度

『答案』D

『解析』根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算知A,B,C均正確，D錯誤.

2.若a=-2rad,則a的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

『答案』C

3.時針經(jīng)過一小時，轉(zhuǎn)過了（）

,兀.

A.^rad