2019-2020學年新人教A 版 必 修二6.1.1向量的實際背景與概念教案

2019-2020學年新人教A版必修二6.1.1向量的實際背景與概念

教案

本章教材分析

1.豐富多彩的背景,引人入勝的內(nèi)容.教材首先從力、位移等量講清向量的實際背景以及研究

向量的必要性,接著介紹了平面向量的有關(guān)知識.學生將了解向量豐富的實際背景,理解平面

向量及其運算的意義,能用向量語言與方法表述和解決數(shù)學、物理中的一些問題,發(fā)展運算能

力和解決實際問題的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎(chǔ),從學

生熟知的功的概念出發(fā)，引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義,接著介紹了向量數(shù)量

積的性質(zhì)、運算律及坐標表示.向量數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來,這樣為解決

有關(guān)的幾何問題提供了方便,特別能有效地解決線段的垂直問題.最后介紹了平面向量的應(yīng)

用.

2.教學的最佳契機,全新的思維視角.

向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，這一概念是由物理學和工程技術(shù)抽象出來的.

反過來，向量的理論和方法,又成為解決物理學和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)

鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算，這樣通

過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題.這一章的內(nèi)容雖然概念多，但

大都有其物理上的來源,雖然抽象,卻與圖形有著密切的聯(lián)系，向量應(yīng)用的優(yōu)越性也是非常明

顯的.全新的思維視角，恰當?shù)慕膛c學，使得向量不僅生動有趣,而且是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神與

能力的極佳契機.

3.本章充分體現(xiàn)出新教材特點.

以學生己有的物理知識和幾何內(nèi)容為背景,直觀介紹向量的內(nèi)容,注重向量運算與數(shù)的運算

的對比，特別注意知識的發(fā)生過程.對概念、法則、公式、定理等的處理主要通過觀察、比較、

分析、綜合、抽象、概括得出結(jié)論.這一章中的一些例題，教科書不是先給出解法，而是先進

行分析,探索出解題思路,再給出解法.解題后有的還總結(jié)出解決該題時運用的數(shù)學思想和數(shù)

學方法，有的還讓學生進一步考慮相關(guān)的問題.對知識的處理,都盡量設(shè)計成讓學生自己觀

察、比較、猜想、分析、歸納、類比、想象、抽象、概括的形式,從而培養(yǎng)學生的思維能力.

向量的坐標實際上是把點與數(shù)聯(lián)系起來,進而可把曲線與方程聯(lián)系起來,這樣就可用代數(shù)方

程研究幾何問題，同時也可以用幾何的觀點處理某些代數(shù)問題.

4.本章教學約需12課時,具體分配如下,僅供參考.

標題課時

2.1平面向量的實際背景及基本概念1課時

2.2向量的線性運算3課時

2.3平面向量的基本定理及坐標表示2課時

2.4平面向量的數(shù)量積2課時

2.5平面向量的應(yīng)用舉例2課時

本章復(fù)習2課時

2.1平面向量的實際背景及基本概念

整體設(shè)計

教學分析

本節(jié)是本章的入門課,概念較多,但難度不大.學生可根據(jù)原有的位移、力等物理概念來

學習向量的概念,結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.由于向量來源于

物理，并且兼具“數(shù)”和“形”的特點，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用，可通過幾個

具體的例子說明它的應(yīng)用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要對象.幾何中常

用點表示位置，研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.位移簡明地表示了點的位置之

間的相對關(guān)系，它是向量的重要的物理模型.力是常見的物理量.重力、浮力、彈力等都是既

有大小又有方向的量.物理中還有其他力,讓學生舉出物理學中力的其他一些實例，目的是要

建立物理課中學過的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯(lián)系，以此更加自然地引入向量概

念,并建立學習向量的認知基礎(chǔ).

三維目標

1.通過實例，利用平面向量的實際背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以

及確定平面向量的兩個要素,搞清數(shù)量與向量的區(qū)別.

2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判斷向量之間的關(guān)系，并會辨

認圖形中的相等向量或作出與某一已知向量相等的向量.

3.在教學過程中，應(yīng)充分根據(jù)平面向量的兩個要素加以研究向量的關(guān)系，揭示向量可以平移

這一特性.

重點難點

教學重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.

教學難點:平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.

課時安排

1課時

教學過程

導入新課

思路L（情境導入）如圖1,在同一時亥4老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓在B處向正

東方向的D處追去，貓能否追到老鼠呢？學生馬上得出結(jié)論:追不上，貓的速度再快也沒用，

因為方向錯了.教師適時設(shè)問：如何從數(shù)學的角度來揭示這個問題的本質(zhì)？由此展開新課.

C

BAD

圖1

思路2.兩列火車先后從同一站臺沿相反方向開出，各走了相同的路程,怎樣用數(shù)學式子

表示這兩列火車的位移？從中國象棋中規(guī)定“馬”走日，象走“田”，讓學生在圖上畫出馬、

象走過的路線引入也是一個不錯的選擇.

推進新課

新知探究

提出問題

①在物理課中，我們學過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同

樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學的數(shù)學中的知識抽象這些具有共同特

征的量呢？

②新的概念是對這些具有共同特征的量的描述，應(yīng)怎樣定義這樣的量呢？

③數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里？

活動:教師指導學生閱讀教材,思考討論并解決上述問題,學生討論列舉與位移一樣的一

些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質(zhì)量越大,它受到的重力越大；物體在液體中受

到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都

是既有大小，又有方向的量；物理中的動量與矢量都有方向，且有大小；物理學中存在著許多

既有大小，又有方向的量.

教師引導學生觀察思考這些量的共同特征,我們能否在數(shù)學學科中對這些量加以抽象，

形成一種新的量.至此時機成熟，引入向量,并把那些只有大小,沒有方向的量,如年齡、身高、

長度、面積、體積、質(zhì)量等稱為數(shù)量，物理學上稱為標量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向

問題.

討論結(jié)果：

①略.

②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.

③略.

提出問題

①如何表示向量？

②有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？

③長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？

④滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？

⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關(guān)系？怎樣定義平行向量？

⑥如果把一組平行向量的起點全部移到一點0,它們是不是平行向量？這時各向量的終點之

間有什么關(guān)系？

⑦數(shù)量與向量有什么區(qū)別？

⑧數(shù)學中的向量與物理中的力有什么區(qū)別？

活動：教師指導學生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.特別是有向線段,是學

習向量的關(guān)鍵.但不能說“向量就是有向線段，有向線段就是向量”，有向線段只是向量的一

種幾何表示,二者有本質(zhì)的區(qū)別.向量只由方向和大小決定,而與向量的起點的位置無關(guān)，但

有向線段不僅與方向、長度有關(guān),也與起點的位置有關(guān).如圖2,在線段AB的兩個端點中,規(guī)

定一個順序，假設(shè)A為起點、B為終點,我們就說線段AB具有方向,具有方向的線段叫做有向

線段,通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記

作靠.起點要寫在終點的前面.

已知AB,線段AB的長度也叫做有向線段贏的長度，記作|面|.有向線段包含三個

要素:起點、方向、長度.

8（終點）

A（起點）

圖2

知道了有向線段的起點、方向和長度，它的終點就唯一確定.

用有向線段表示向量的方法是：

10起點是A,終點是B的有向線段，對應(yīng)的向量記作：荏.

這里要提醒學生注意荏的方向是由點A指向點B,點A是向量的起點.

20用字母a,b,c,…表示.（一定要學生規(guī)范書寫：刷用黑體a,書寫用1）

30向量Q（或a）的大小，就是向量前（或a）的長度（或稱模），記作|（或|a|）.

教師要注意引導學生將數(shù)量與向量的模進行比較,數(shù)量有大小而沒有方向,其大小有正、負和

0之分，可進行運算，并可比較大小；向量的模是正數(shù)或0,也可以比較大小.由于方向不能比

較大小，像a>b就沒有意義,而|a|〉|b|有意義.

討論結(jié)果:①向量也可用字母a,b,c,…表示（印刷用粗黑體表示），手寫用a一來表示,或用表

示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如Q、CD.

注意:手寫體上面的箭頭一定不能漏寫.

②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段，其有三個要素:起點、方向、長度.

向量與有向線段的區(qū)別：向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，

則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小

和方向相同,也是不同的有向線段.

③長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單

位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向量叫做零向量，記作0,規(guī)定零向量的方向是

任意的.長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.

④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

⑤是平行向量.平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二，我

們規(guī)定0與任一向量平行即0〃a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平

行，記作a〃b〃c.如圖3.

b,..,

C0BA

圖4

又如圖4,a,b,c是一組平行向量，任作一條與a所在直線0平行的直線1,在1上任取一

點0,則可在1上分別作出6X=a,OB=b,OC=c.這就是說,任一組平行向量都可以移動到

同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.

說明:平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系.

⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向

量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩

平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

⑦數(shù)量只有大小,是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大?。幌蛄坑蟹较?、大小雙重性質(zhì)，

不能比較大小.

⑧力有大小、方向、作用點三個要素，而數(shù)學中的向量是由物理中的力抽象出來的，只有大小

與方向兩個要素,與起點的位置無關(guān).

應(yīng)用示例

例1如圖5,試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示A地至B、C

兩地的位移.（精確到1km）

分析:本例是一個簡單的實際問題，要求畫出有向線段表示位移，目的在于鞏固向量概念及其

幾何表示.

解：麗表示A地至B地的位移，且|瓦|仁232km;（AB長度義80000004-100000）

於表示A地至C地的位移，且|衣|仁296km.（AC長度義80000004-100000）

點評:位置是幾何學研究的重要內(nèi)容之一,幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位

置確定另外一點的位置.如圖5,由A點確定B點、C點的位置.

變式訓練

一個人從A點出發(fā)沿東北方向走了100m到達B點,然后改變方向，沿南偏東15。方向又

走了100m到達C點,求此人從C點走回A點的位移.

解:根據(jù)題意畫出示意圖,如圖6所示.

AB|=100m,|BC|=100m,ZABC=45°+15°=60°,

.'.△ABC為正三角形.

AICA|=100m,即此人從C點返回A點所走的路程為100m.

ZBAC=60°,

AZCAD=ZBAC-ZBAD=15°,即此人行走的方向為西偏北15°

例2判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.

⑴口ABCD中，與CO是共線向量；

（2）單位向量都相等.

活動:教師引導學生畫出平行四邊形,如圖7.

因為AB〃CD,所以AB〃CD.由于上面已經(jīng)明確，單位向量只限制了大小,方向不確定,

所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.

解：⑴正確；

（2）不正確.

點評:本題考查基本概念,對于單位向量、平行向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好.

例3如圖8,設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中所示向量與OAOBQC、相等的

量.

活動:本例是結(jié)合正六邊形的一些幾何性質(zhì)，讓學生鞏固相等向量和平行向量的概念,正

六邊形是邊長等于半徑并且對邊互相平行的正多邊形,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖

形,具有豐富的幾何性質(zhì).教科書中要求判斷6N與赤，而與標是否相等,是要通過長

度相等方向相反的兩個向量的不等,讓學生從反面認識向量相等的概念.

解:市=連=55；OB=DC=EO；0C=AB=ED=F6.

點評：向量相等是一個重要的概念,今后經(jīng)常用到.讓學生在訓練中明確，向量相等不僅

大小相等,還要方向相同.

變式訓練

本例變式一:與向量而長度相等的向量有多少個？（11個）

本例變式二:是否存在與向量總長度相等、方向相反的向量？（存在）

例4下列命題正確的是（）

A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點

C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

活動：由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確.由于數(shù)學中研究的向量是自由向量,

所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個平

行四邊形的四個頂點,所以B不正確.向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點是否相同

無關(guān),所以D不正確.對于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來入手考慮，假若a

與b不都是非零向量,即a與b至少有一個是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有a

與b共線,不符合已知條件,所以有a與b都是非零向量,即只有C正確.

答案:C

點評:對于有關(guān)向量基本概念的考查,可以從概念特征入手，也可以從反面進行考慮.即

要判斷一個結(jié)論不正確，只需舉一個反例即可.要啟發(fā)學生注意這兩方面的結(jié)合.

變式訓練

1.判斷:

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

⑷與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）兩個非零向量相等當且僅當什么？（長度相等且方向相同）

（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）

2.把一切單位平面向量歸結(jié)到共同的始點，那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是（）

A.一條線段B.一段圓弧C.兩個點D.一個圓

答案:D

3.將平行于一直線的所有單位向量的起點平移到同一始點，則這些向量的終點所構(gòu)成的圖形

是（）

A.一個點