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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若滿足,且目標(biāo)函數(shù)的最大值為2,則的最小值為()A.8 B.4 C. D.62.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.3.已知角的終邊經(jīng)過點,則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或4.已知雙曲線的右焦點為,若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且點到該漸近線的距離為,則雙曲線的實軸的長為A. B.C. D.5.已知集合,,則()A. B.C. D.6.運行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為99,則判斷框中可以填()A. B. C. D.7.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.8.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,9.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.10.函數(shù)的圖象大致為A. B. C. D.11.已知函數(shù),其中,,其圖象關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.12.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個元素,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為橢圓的左、右焦點,點在橢圓上移動時,的內(nèi)心的軌跡方程為__________.14.已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的焦距為2c,過C外一點P(c,2c)作線段PF1,PF2分別交橢圓C于點A、B,若|PA|=|AF1|,則_____.15.已知向量,且,則___________.16.為了了解一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進行檢測,如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn),單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的一等品,在區(qū)間和的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列,,數(shù)列滿足,n.(1)若,,求數(shù)列的前2n項和;(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,且對任意n,恒成立.①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時,求證:數(shù)列,的公差相等;②數(shù)列能否為等比數(shù)列?若能,請寫出所有滿足條件的數(shù)列;若不能,請說明理由.18.(12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1(1)求數(shù)列{an}(2)設(shè)cn=bnan,求數(shù)列19.(12分)設(shè)等差數(shù)列的首項為0,公差為a,;等差數(shù)列的首項為0,公差為b,.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表;記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為,其中,(i,j=1,2,3,…).記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為,其中(,,).如:,.(1)設(shè),,請計算,,;(2)設(shè),,試求,的表達式(用i,j表示),并證明:對于整數(shù)t,若t不屬于數(shù)表M,則t屬于數(shù)表;(3)設(shè),,對于整數(shù)t,t不屬于數(shù)表M,求t的最大值.20.(12分)某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分(滿分:分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)(1)已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表),請利用正態(tài)分布的知識求;(2)在(1)的條件下,環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案.(ⅰ)得分不低于的可以獲贈次隨機話費,得分低于的可以獲贈次隨機話費;(ⅱ)每次贈送的隨機話費和相應(yīng)的概率如下表.贈送的隨機話費/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查,記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,若,則,,.21.(12分)已知數(shù)列的各項均為正數(shù),且滿足.(1)求,及的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.22.(10分)[選修4-5:不等式選講]設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關(guān)于的不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
作出可行域,由,可得.當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點時,最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域,如圖所示由,可得.平移直線,當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點時,最大,即最大,最大值為2.解方程組,得..,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.的最小值為8.故選:.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查基本不等式,屬于中檔題.2、C【解析】
利用對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點睛】本題考查對數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.3、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點與原點間的距離.①當(dāng)時,,∴,∴.②當(dāng)時,,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點睛】利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點到原點的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.4、B【解析】
雙曲線的漸近線方程為,由題可知.設(shè)點,則點到直線的距離為,解得,所以,解得,所以雙曲線的實軸的長為,故選B.5、C【解析】
求出集合,計算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,即可容易求得結(jié)果.【詳解】運行該程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此時要輸出的值為99.此時.故選:C.【點睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,涉及判斷條件的選擇,屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】
由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運算.8、C【解析】
根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時,故選:C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎(chǔ)題10、D【解析】
由題可得函數(shù)的定義域為,因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),排除選項B;又,,所以排除選項A、C,故選D.11、B【解析】
根據(jù)已知得到函數(shù)兩個對稱軸的距離也即是半周期,由此求得的值,結(jié)合其對稱軸,求得的值,進而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識求得的解析式,再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法,求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:已知函數(shù),其中,,其圖像關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對稱,可得,.∴,∴.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像.令,求得,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,故選B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式,考查三角函數(shù)圖像變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,屬于中檔題.12、B【解析】
由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
考查更為一般的問題:設(shè)P為橢圓C:上的動點,為橢圓的兩個焦點,為△PF1F2的內(nèi)心,求點I的軌跡方程.解法一:如圖,設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點為H,半徑為r,且F1H=y,F(xiàn)2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,則.直線IF1與IF2的斜率之積:,而根據(jù)海倫公式,有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義,可得I點的軌跡是以F1F2為長軸,離心率e滿足的橢圓,其標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二:令,則.三角形PF1F2的面積:,其中r為內(nèi)切圓的半徑,解得.另一方面,由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得:從而有.消去θ得到點I的軌跡方程為:.本題中:,代入上式可得軌跡方程為:.14、【解析】
根據(jù)條件可得判斷OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,從而得到點A為橢圓上頂點,則有b=c,解出B的坐標(biāo)即可得到比值.【詳解】因為|PA|=|AF1|,所以點A是線段PF1的中點,又因為點O為線段F1F2的中點,所以O(shè)A∥PF2,且|PF2|=2|OA|,因為點P(c,2c),所以PF2⊥x軸,則|PF2|=2c,所以O(shè)A⊥x軸,則點A為橢圓上頂點,所以|OA|=b,則2b=2c,所以b=c,ac,設(shè)B(c,m)(m>0),則,解得mc,所以|BF2|c,則.故答案為:2.【點睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),考查直線位置關(guān)系的判斷,方程思想,屬于中檔題.15、【解析】
由向量平行的坐標(biāo)表示得出,求解即可得出答案.【詳解】因為,所以,解得.故答案為:【點睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16、100.【解析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率,然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解:由題意得,三等品的長度在區(qū)間,和內(nèi),根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為,∴樣本中三等品的件數(shù)為.點睛:頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為,因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率,把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列,見解析【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點,奇數(shù)項為等差數(shù)列,偶數(shù)項為等比數(shù)列,選用分組求和的方法進行求解;(2)①設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當(dāng)n為奇數(shù)時,得出;當(dāng)n為偶數(shù)時,得出,從而可證數(shù)列,的公差相等;②利用反證法,先假設(shè)可以為等比數(shù)列,結(jié)合題意得出矛盾,進而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列.【詳解】(1)因為,,所以,且,由題意可知,數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是首項和公比均為4的等比數(shù)列,所以;(2)①證明:設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當(dāng)n為奇數(shù)時,,若,則當(dāng)時,,即,與題意不符,所以,當(dāng)n為偶數(shù)時,,,若,則當(dāng)時,,即,與題意不符,所以,綜上,,原命題得證;②假設(shè)可以為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,因為,所以,所以,,因為當(dāng)時,,所以當(dāng)n為偶數(shù),且時,,即當(dāng)n為偶數(shù),且時,不成立,與題意矛盾,所以數(shù)列不能為等比數(shù)列.【點睛】本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合,數(shù)列求和時一般是結(jié)合通項公式的特征選取合適的求和方法,數(shù)列綜合題要回歸基本量,充分挖掘題目已知信息,細思細算,本題綜合性較強,難度較大,側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).18、(1)an=(2)Tn【解析】
(1)利用an與Sn的遞推關(guān)系可以an的通項公式;P點代入直線方程得b【詳解】(1)由an+1=2S兩式相減得an+1-a又a2=2S1+1=3,所以a由點P(bn,bn+1則數(shù)列{bn(2)因為cn=b則13兩式相減得:23所以Tn【點睛】用遞推關(guān)系an=Sn-19、(1)(2)詳見解析(3)29【解析】
(1)將,代入,可求出,,可代入求,,可求結(jié)果.(2)可求,,通過反證法證明,(3)可推出,,的最大值,就是集合中元素的最大值,求出.【詳解】(1)由題意知等差數(shù)列的通項公式為:;等差數(shù)列的通項公式為:,得,則,,得,故.(2)證明:已知.,由題意知等差數(shù)列的通項公式為:;等差數(shù)列的通項公式為:,得,,.得,,,.所以若,則存在,,使,若,則存在,,,使,因此,對于正整數(shù),考慮集合,,,即,,,,,,.下面證明:集合中至少有一元素是7的倍數(shù).反證法:假設(shè)集合中任何一個元素,都不是7的倍數(shù),則集合中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1,2,3,4,5,6,又因為集合中共有7個元素,所以集合中至少存在兩個元素關(guān)于7的余數(shù)相同,不妨設(shè)為,,其中,,.則這兩個元素的差為7的倍數(shù),即,所以,與矛盾,所以假設(shè)不成立,即原命題成立.即集合中至少有一元素是7的倍數(shù),不妨設(shè)該元素為,,,則存在,使,,,即,,,由已證可知,若,則存在,,使,而,所以為負整數(shù),設(shè),則,且,,,,所以,當(dāng),時,對于整數(shù),若,則成立.(3)下面用反證法證明:若對于整數(shù),,則,假設(shè)命題不成立,即,且.則對于整數(shù),存在,,,,,使成立,整理,得,又因為,,所以且是7的倍數(shù),因為,,所以,所以矛盾,即假設(shè)不成立.所以對于整數(shù),若,則,又由第二問,對于整數(shù),則,所以的最大值,就是集合中元素的最大值,又因為,,,,所以.【點睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,以及反證法,求最值,屬于難題.20、(1);(2)見解析.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表,利用公式計算出平均數(shù)的值,再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為,,利用題中所給數(shù)據(jù),以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性,求出對應(yīng)的概率;(2)根據(jù)題意,高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為,再結(jié)合得元、元的概率,分析得出話費的可能數(shù)據(jù)都有哪些,再利用公式
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