北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？碱}專練專題13尋找及構(gòu)造全等三角形(原卷版+解析)

專題13尋找及構(gòu)造全等三角形題型一尋找全等三角形1．如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍然不能判定的是A． B． C． D．2．如圖，已知，，下列條件中不能判定的是A． B． C． D．3．已知，如圖，，，要說明（1）若以“”為依據(jù)，還須添加的一個(gè)條件為；（2）若以“”為依據(jù)，還須添加的一個(gè)條件為；（3）若以“”為依據(jù)，還須添加的一個(gè)條件為．4．如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形與直角三角板如圖放置，延長(zhǎng)與三角板的直角邊相交于點(diǎn)，則四邊形的面積為．5．有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形，將一塊足夠大的直角三角板如圖放置，延長(zhǎng)線與直角邊交于點(diǎn)．則四邊形的面積是．6．如圖，中，，的角平分線，相交于點(diǎn)，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤，其中正確的結(jié)論是．（填正確結(jié)論的番號(hào)）

7．如圖，中，，的角平分線，相交于點(diǎn)，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確的結(jié)論是．（填正確結(jié)論的番號(hào)）8．如圖所示，在中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，相交于．求證：（1）；（2）平分．9．已知：如圖，，交于點(diǎn)，，、是線段上兩點(diǎn)，且．求證：．10．如圖，四邊形是矩形，和都是等邊三角形，且點(diǎn)在矩形上方，點(diǎn)在矩形內(nèi)．求證：（1）；（2）．11．如圖①，、、、在一條直線上，，過、分別作，，若．（1）圖①中有對(duì)全等三角形，并把它們寫出來；（2）求證：，；（3）若將的邊沿方向移動(dòng)變?yōu)閳D②時(shí)，其余條件不變，第（2）題中的結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)予證明．

12．如圖1，在中，于點(diǎn)，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）連接，求證：；（3）如圖2，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交線段延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的值是否發(fā)生改變，如改變，求出該值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．題型二構(gòu)造全等三角形13．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為1，在邊上有一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．14．如圖，在中，，點(diǎn)、是邊上兩點(diǎn)，連接，以為腰作等腰直角，，作于點(diǎn)，，若，，則．15．如圖，中，為常數(shù)），，是的中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形的面積為（用含的代數(shù)式表示）

16．已知中，，，為邊的中點(diǎn)，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于、．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖，易證；（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和不垂直時(shí)，在圖2的情況下，求證：；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和不垂直時(shí)，在圖2的情況下，是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明；（3）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的情況下，（2）中的結(jié)論是否成立：若成立，請(qǐng)你證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．17．（1）如圖1，在等腰中，，在底邊上任取一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到△，與相交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖2，中，，過點(diǎn)作直線平行于，在點(diǎn)的右側(cè)取一點(diǎn)，作，射線交邊于點(diǎn)，請(qǐng)證明；（3）如圖3，中，，過點(diǎn)作直線平行于，在點(diǎn)的左側(cè)任取一點(diǎn)，作，射線交射線于點(diǎn)，請(qǐng)證明．18．在中，，是上一點(diǎn)，且．（1）如圖1，延長(zhǎng)至，使，連接．求證：；（2）如圖2，在邊上取一點(diǎn)，使，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，若，猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明．19．如圖1，在中，延長(zhǎng)到，使，是上方一點(diǎn)，且，連接．（1）若，則；（2）如圖2，若，將沿直線翻折得到，連接交于，若，求證：是的中點(diǎn)；（3）在如圖3，若，，將沿直線翻折得到，連接交于，交于，若，求線段的長(zhǎng)度．

20．在中，，．（1）如圖1，是的角平分線，于，與相交于點(diǎn)，則；（2）在（1）的條件下，試猜測(cè)與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖2，若點(diǎn)在線段上，，于，與相交于點(diǎn)，與是否存在與（2）中相同的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

21．（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，點(diǎn)在邊上，與的面積分別記為與，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）閱讀分析：小鵬遇到這樣一個(gè)問題：如圖2，在中，，，射線交于點(diǎn)，點(diǎn)、在上，且，試判斷、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小鵬利用一對(duì)全等三角形，經(jīng)過推理使問題得以解決．圖2中的、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為，并說明理由．（3）類比探究：如圖3，在四邊形中，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)、在射線上，且．①全等的兩個(gè)三角形為；②若，的面積為2，直接寫出的面積．專題13尋找及構(gòu)造全等三角形題型一尋找全等三角形1．如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍然不能判定的是A． B． C． D．【解答】解：、添加，根據(jù)，能判定，故選項(xiàng)不符合題意；、添加，根據(jù)，能判定，故選項(xiàng)不符合題意；、添加，根據(jù)，能判定，故選項(xiàng)不符合題意；、添加時(shí)，不能判定，故選項(xiàng)符合題意；故選：．2．如圖，已知，，下列條件中不能判定的是A． B． C． D．【解答】解：，，當(dāng)或，依據(jù)即可得到；當(dāng)時(shí)，依據(jù)即可得到；當(dāng)時(shí)，不能判定．故選：．3．已知，如圖，，，要說明（1）若以“”為依據(jù)，還須添加的一個(gè)條件為；（2）若以“”為依據(jù)，還須添加的一個(gè)條件為；（3）若以“”為依據(jù)，還須添加的一個(gè)條件為．【解答】解：（1）或；（2）；或；或；（3），或．4．如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形與直角三角板如圖放置，延長(zhǎng)與三角板的直角邊相交于點(diǎn)，則四邊形的面積為25．【解答】解：正方形與直角三角板如圖，，即，，，，在和中，，，四邊形的面積正方形的面積．故答案為：25．5．有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形，將一塊足夠大的直角三角板如圖放置，延長(zhǎng)線與直角邊交于點(diǎn)．則四邊形的面積是16．【解答】解：四邊形是正方形，，，且，，故答案為：166．如圖，中，，的角平分線，相交于點(diǎn)，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤，其中正確的結(jié)論是①②⑤．（填正確結(jié)論的番號(hào)）【解答】解：在中，、分別平分、，，，又、分別平分、，，，故①正確．，又，，，又，，，，，，在和中，，，，．故②正確．，，，，，，，，，，故⑤正確，，故④不正確．若平分，則，，，，，這個(gè)顯然與條件矛盾，故③錯(cuò)誤，故答案為①②⑤．7．如圖，中，，的角平分線，相交于點(diǎn)，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確的結(jié)論是①②③．（填正確結(jié)論的番號(hào)）【解答】解：在中，、分別平分、，，，又、分別平分、，，，故①正確．，又，，，又，，，，，，在和中，，，，故②正確，．故③正確．若平分，則，，，，，這個(gè)顯然與條件矛盾，故④錯(cuò)誤；故答案為：①②③．8．如圖所示，在中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，相交于．求證：（1）；（2）平分．【解答】證明：（1），，所以．在與中，，，．；（2）在與中，，，平分．9．已知：如圖，，交于點(diǎn)，，、是線段上兩點(diǎn)，且．求證：．【解答】證明：，，在和中，，，，，，在和中，，，，．10．如圖，四邊形是矩形，和都是等邊三角形，且點(diǎn)在矩形上方，點(diǎn)在矩形內(nèi)．求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1）四邊形是矩形．．（1分）和是等邊三角形．．（1分），（1分）．．．（1分）（2），，．（1分）．（2分）．（1分）11．如圖①，、、、在一條直線上，，過、分別作，，若．（1）圖①中有3對(duì)全等三角形，并把它們寫出來；（2）求證：，；（3）若將的邊沿方向移動(dòng)變?yōu)閳D②時(shí)，其余條件不變，第（2）題中的結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)予證明．【解答】解：（1），，即，在和中，，，，，，又，，，同理，，故答案為：3；，，；（2），，，，；（3）在和中，，，，在和中，，，，則，即．12．如圖1，在中，于點(diǎn)，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）連接，求證：；（3）如圖2，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交線段延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的值是否發(fā)生改變，如改變，求出該值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．【解答】（1）解：，，，，，在和中，，，；（2）過分別作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，如圖1所示：在四邊形中，，．在與中，，，．，，平分，；（3）的值不發(fā)生改變，等于．理由如下：連接，如圖2所示：，，為的中點(diǎn)，，，，，．，即，．在和中，，，，．題型二構(gòu)造全等三角形13．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為1，在邊上有一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．【解答】解：過做的平行線至于，，等邊，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，于，是等邊三角形，，，，，．故答案為．14．如圖，在中，，點(diǎn)、是邊上兩點(diǎn)，連接，以為腰作等腰直角，，作于點(diǎn)，，若，，則30．【解答】解：過點(diǎn)作于，，，，是等腰直角，，，，，在和中，，，，，（三線合一），．故答案為：30．15．如圖，中，為常數(shù)），，是的中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形的面積為（用含的代數(shù)式表示）【解答】解：連接，中，為常數(shù)），，是的中點(diǎn)，，，，，，，在與中，，，四邊形的面積三角形的面積三角形的面積三角形的面積三角形的面積三角形的面積三角形的面積．故答案為：．16．已知中，，，為邊的中點(diǎn)，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于、．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖，易證；（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和不垂直時(shí)，在圖2的情況下，求證：；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和不垂直時(shí)，在圖2的情況下，是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明；（3）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的情況下，（2）中的結(jié)論是否成立：若成立，請(qǐng)你證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）連接；如圖②所示：，，為中點(diǎn)，，，，，，，，，，在和中，，，．（2）由（1）知，，．；（3）不成立；；理由如下：連接，如圖③所示：同（1）得：，，，，，．、、的關(guān)系是：．17．（1）如圖1，在等腰中，，在底邊上任取一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到△，與相交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖2，中，，過點(diǎn)作直線平行于，在點(diǎn)的右側(cè)取一點(diǎn)，作，射線交邊于點(diǎn)，請(qǐng)證明；（3）如圖3，中，，過點(diǎn)作直線平行于，在點(diǎn)的左側(cè)任取一點(diǎn)，作，射線交射線于點(diǎn)，請(qǐng)證明．【解答】證明：（1），，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖2所示：則，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，；（3）在上取一點(diǎn)，使，如圖3所示：則，同（1）得：，，，，，，，，在和中，，，．18．在中，，是上一點(diǎn)，且．（1）如圖1，延長(zhǎng)至，使，連接．求證：；（2）如圖2，在邊上取一點(diǎn)，使，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，若，猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明．【解答】（1）證明：，，，即，在和中，，，；（2）延長(zhǎng)到，使，由（1）知，，，，是等邊三角形，同理，是等邊三角形，．，，即；（3）猜想：，理由如下：在上取點(diǎn)，使，連接，由（1）可知：，，，，，，，又，，，，，在和中，，，，又，，又，．19．如圖1，在中，延長(zhǎng)到，使，是上方一點(diǎn)，且，連接．（1）若，則；（2）如圖2，若，將沿直線翻折得到，連接交于，若，求證：是的中點(diǎn)；（3）在如圖3，若，，將沿直線翻折得到，連接交于，交于，若，求線段的長(zhǎng)度．【解答】解：（1），，，，在與中，，，，，，，，故答案為：；（2）證明：，，，，在與中，，，，，如圖，連接，將沿直線翻折得到，，，，即由三線合一，得：是的中點(diǎn)；（3）如圖，連，延長(zhǎng)、交于，折疊的性質(zhì)，，，，，在與中，，，，由（2）知，，，，，，，，，，，，，，，，在與中，，，，，．20．在中，，．（1）如圖1，是的角平分線，于，與相交于點(diǎn)，則22.5；（2）在（1）的條件下，試猜測(cè)與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖2，若點(diǎn)在線段上，，于，與相交于點(diǎn)，與是否存在與（2）中相同的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【解答】解：（1），，，平分，，，，，．故答案為：22.5．（2）結(jié)論：．理由：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．，，，在和中，，，，，，，，，，，．（3）存在相同的關(guān)系．理由：如圖2中，作，交于，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，，，，，，是等腰直角三角形，同法可證．，．21．（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，點(diǎn)在邊上，與的面積分別記為與，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）閱讀分析：小鵬遇到這樣一個(gè)問題：如圖2，在