中考數(shù)學大題高分秘籍【江蘇專用】專題09銳角三角函數(shù)的應用(江蘇真題15道模擬30道)(原卷版+解析)

2023年中考數(shù)學大題高分秘籍（江蘇專用）專題09銳角三角函數(shù)的應用（江蘇真題15道模擬30道）【方法揭秘】揭示思想方法，提升解題效率1.銳角三角函數(shù)的定義正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形.2.特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°3.解直角三角形（1）在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．（2）解直角三角形的常用關系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：1）三邊關系：a2+b2=c2；2）兩銳角關系：∠A+∠B=90°；3）邊與角關系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1．（3）科學選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關系要記牢；已知銳角求銳角，互余關系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.4.解直角三角形及應用（1）仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．（2）坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．（3）方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．（4）解直角三角形的應用通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問．如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案．（5）解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實戰(zhàn)培優(yōu)提升1．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，湖邊A、B兩點由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連.為了計算A、B兩點之間的距離，經測量得：∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80米，求A、B兩點之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，2．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為1803．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖，OA是垂直于工作臺的移動基座，AB、BC為機械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．機械臂端點C到工作臺的距離CD=6m．(1)求A、C兩點之間的距離；(2)求OD長．（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.754．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）小強在物理課上學過平面鏡成像知識后，在老師的帶領下到某廠房做驗證實驗.如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強在點M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠處D到他的距離CD是多少?（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）5．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形AB=22，BC=4，點E在BC上，CE=AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．6．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，某學習小組在教學樓AB的頂部觀測信號塔CD底部的俯角為30°，信號塔頂部的仰角為45°．已知教學樓AB的高度為20m，求信號塔的高度（計算結果保冒根號）．7．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點A處測得阿育王塔最高點C的仰角∠CAE=45°，再沿正對阿育王塔方向前進至B處測得最高點C的仰角∠CBE=53°，AB=10m；小亮在點G處豎立標桿FG，小亮的所在位置點D、標桿頂F、最高點C在一條直線上，F(xiàn)G=1.5m，GD=2m．（注：結果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.799(1)求阿育王塔的高度CE；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離ED．8．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測得鐵塔頂部C的仰角為28°、鐵塔底部D的俯角為40°，求鐵塔CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）9．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B處，乘直立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長為180m的索道CD至山頂D處，此時觀測C處的俯角為19°30′，索道CD看作在一條直線上．求山頂D的高度．（精確到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）10．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，計劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點A，過其另一端D安裝支架DE，DE所在的直線垂直于水平線AC，垂足為點F,E為DF與AB的交點．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°（1）求AE的長（結果取整數(shù)）；（2）冬至日正午，經過點D的太陽光線與AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此時，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少（結果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：2三角函數(shù)銳角A13°28°32°sin0.220.470.53cos0.970.880.85tan0.230.530.6211．（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）某種落地燈如圖1所示，AB為立桿，其高為84cm；BC為支桿，它可繞點B旋轉，其中BC長為54cm；DE為懸桿，滑動懸桿可調節(jié)CD的長度．支桿BC與懸桿DE之間的夾角∠BCD為（1）如圖2，當支桿BC與地面垂直，且CD的長為50cm時，求燈泡懸掛點D（2）在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點B順時針旋轉20°，同時調節(jié)CD的長（如圖3），此時測得燈泡懸掛點D到地面的距離為90cm，求CD的長．（結果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin12．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）一架無人機沿水平直線飛行進行測繪工作，在點P處測得正前方水平地面上某建筑物AB的頂端A的俯角為30°，面向AB方向繼續(xù)飛行5米，測得該建筑物底端B的俯角為45°，已知建筑物AB的高為3米，求無人機飛行的高度(結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，313．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿AB擺成如圖1所示．已知AB=4.8m，魚竿尾端A離岸邊0.4m，即AD=0.4m．海面與地面AD平行且相距1.2（1）如圖1，在無魚上鉤時，海面上方的魚線BC與海面HC的夾角∠BCH=37°，海面下方的魚線CO與海面HC垂直，魚竿AB與地面AD的夾角∠BAD=22°．求點O到岸邊DH的距離；（2）如圖2，在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角∠BAD=53°，此時魚線被拉直，魚線BO=5.46m，點O恰好位于海面．求點O到岸邊DH的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°=cos53°≈35，cos37°=sin53°≈14．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，為了測量河對岸兩點A，B之間的距離，在河岸這邊取點C，D．測得CD=80m，∠ACD=90°，∠BCD=45°，∠ADC=19°17'，∠BDC=56°19'，設A，B，C，D在同一平面內，求A15．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E與樹AB的根部點A、建筑物CD的底部點C在一條直線上，AC＝10m．小明站在點E處觀測樹頂B的仰角為30°，他從點E出發(fā)沿EC方向前進6m到點G時，觀測樹頂B的仰角為45°，此時恰好看不到建筑物CD的頂部D（H、B、D三點在一條直線上）．已知小明的眼睛離地面1.6m，求建筑物CD的高度（結果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73．）【專項突破】深挖考點考向，揭示內涵實質1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）在某張航海圖上，標明了三個觀測點的坐標，如圖，O0,0，B6,0，(1)求圓形區(qū)域的面積；(2)某時刻海面上出現(xiàn)漁船A，在觀測點O測得A位于北偏東45°，同時在觀測點B測得A位于北偏東29°，求觀測點B到A船的距離（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，2．（2022·江蘇淮安·淮陰中學新城校區(qū)校聯(lián)考二模）我市里運河風光帶的國師塔，高大挺拔，古樸雄渾，別具一格．小明想知道國師塔的高度，在附近一高層小區(qū)頂樓A處，測得國師塔塔頂D處的俯角∠EAD=9.7°，塔底C處俯角∠EAC=26.6°，小明所在位置高度AB=95m．(1)求兩棟建筑物之間的水平距離BC；(2)求國師塔高度CD．（結果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin9.7°≈0.173．（2022·江蘇泰州·模擬預測）如圖，小明在大樓45m高（即PH=45m，且PH⊥HC）的窗口P處進行觀測，測得山坡上A處的俯角為15°，山腳B處的俯角為60°，已知該山坡的坡度i（即tan∠ABC）為1:3（點P，H，B，C，A在同一個平面上，點H，(1)∠PBA的度數(shù)等于________度（直接填空）(2)求A，B兩點間的距離（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）本學期小明經過一段時間的學習，想利用所學的數(shù)學知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進行測量．如圖，先測得居民樓AB與CD之間的距離BD為31m，后站在F點處測得居民樓CD的頂端C的仰角為45°．居民樓AB的頂端A的仰角為55°．已知居民樓CD的高度為16.7m，小瑩的觀測點E距地面1.7m．求居民樓AB的高度（精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82,5．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D①，將“歡迎光臨”門掛傾斜放置時，測得掛繩的一段AC=30cm．另一段BC=20cm．已知兩個固定扣之間的距離AB=30cm．（參考數(shù)據(jù)：sin49°≈0.75，cos41°≈0.75，tan(1)求點C到AB的距離；(2)如圖②，將該門掛扶“正”即AC=BC，求∠CAB的度數(shù)．6．（2022·江蘇連云港·?？既＃┙坶浪追Q“吊桿”“稱桿”（如圖1），是我國古代農用工具，始見于《墨子?備城門》，是一種利用杠桿原理的取水機械．如圖2所示的是桔槔示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，OM=3米，AB是杠桿，且AB=6米，OA:OB=2:1．當點A位于最高點時，∠AOM=127°．(1)求點A位于最高點時到地面的距離；(2)當點A從最高點逆時針旋轉54.5°到達最低點A1時，求此時水桶B上升的高度．（考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.67．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學校?？级＃┬′客瑢W在學習了“平面鏡反射原理”后，用一個小平面鏡PQ做實驗．他先將平面鏡放在平面上，如圖，用一束與平面成30°角的光線照射平面鏡上的A處，使光影正好落在對面墻面上一幅畫的底邊C點．他不改變光線的角度，原地將平面鏡轉動了7.5°角，即∠PAP'＝7.5°，使光影落在C點正上方的D點，測得CD=10cm．求平面鏡放置點與墻面的距離AB．（參考數(shù)據(jù)：8．（2019·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，在坡頂A處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡信號塔BC，數(shù)學興趣小組的同學在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為1:2.4的斜坡AP攀行了26米到達坡頂，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°．求：(1)坡頂A到地面PO的距離；(2)網(wǎng)絡信號塔BC的高度（結果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，9．（2021·江蘇宿遷·一模）如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構成，手機放置在托板上，如圖2是其側面結構示意圖．量得托板長AB=120mm，支撐板長CD=80mm，底座長DE=90mm．托板AB固定在支撐板頂端點C處，且CB=40mm，托板AB可繞點C轉動，支撐板CD可繞點D轉動．(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求點A到直線DE的距離；(2)為了觀看舒適，在（1）的條件下，把AB繞點C逆時針旋轉10°后，再將CD繞點D順時針旋轉，使點B落在直線DE上．畫出圖形，并求CD旋轉的角度；（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈1.732．計算結果均精確到0.1）10．（2022·江蘇泰州·模擬預測）如圖是小朋友玩的“滾鐵環(huán)”游戲的示意圖，⊙O向前滾動時，鐵棒DE保持與OE垂直．⊙O與地面接觸點為A，若⊙O的半徑為25cm，∠AOE=53°．(1)求點E離地面AC的距離BE的長；(2)設人站立點C與點A的距離AC=53cm，DC⊥AC，求鐵棒DE的長．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）11．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）我國第一艘國產航母“山東艦”于2019年12月17日在海南三亞交付海軍．如圖，“山東艦”在一次測試中，由西向東航行到達A處時；“山東艦”再向東勻速航行1.5小時后到達B處，此時測得小島C位于距離航母30海里的北偏東37°方向．(1)∠ACB＝°；(2)求航母的速度．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）12．（2021·江蘇泰州·?？家荒＃┤鐖D，落地鏡CD直立在地面上，小明在地面上的A處時，眼睛B看到地面上的物體P的俯角為30°，看到該物體P在落地鏡CD中像Q的俯角為15°，小明的眼睛B離地面的高度為1.6m，點A，P，C在同一水平直線上，若物體高度不計，問(1)小明離物體P有多遠？(2)小明離落地鏡有多遠？（tan15°＝2﹣3）13．（2023·江蘇徐州·徐州市第十三中學校考一模）某校開展藝術節(jié)，小明利用無人機對會場進行高空拍攝．如圖，小明站在A處，操控無人機懸停在前上方高度為60m的B處，測得其仰角為60°；繼續(xù)操控無人機沿水平方向向前飛行7s懸停在C處，測得其仰角為22°．求無人機的飛行速度．（結果精確到1m/s．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）14．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖在臨街高18m的居民樓AB的點A處俯視兩垂直于地面的圍墻，從A看C俯角為45°，從A看D俯角為30°，圍墻CF、DE高2m，圍墻之間EF是馬路(1)求馬路EF的寬度；(2)小麗高1.6m，離圍墻CF距離0.38m，問：小明從A處能否看到小麗？試說明理由．（3≈1.73215．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）如圖，圖1是一盞臺燈，圖2是其側面示意圖（臺燈底座高度忽略不計），其中燈臂AC=40cm，燈罩CD=30cm，燈臂與底座構成的∠CAB=60°．CD可以繞點C上下調節(jié)一定的角度．使用發(fā)現(xiàn)：當CD與水平線所成的角為30°時，臺燈光線最佳，求此時點D與桌面的距離．（結果精確到1cm16．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、高效等特點，已成為世界各國重點發(fā)展的新能源產業(yè)．圖①是太陽能電板的實物圖，其截面示意圖如圖②，AB為太陽能電板，其一端A固定在水平面上且夾角∠DAB＝22°，另一端B與支撐鋼架BC相連，鋼架底座CD和水平面垂直，且∠BCD＝135°．若AD＝3m，CD＝0.5m，求AB的長．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，17．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對學生測溫時的實景圖，圖2是其側面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直，量得胳膊MN=30cm，MB=44cm，肘關節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度26.1cm為（即MP(1)求槍身BA的長度；(2)測溫時規(guī)定槍身端點A與額頭距離范圍為3cm~5cm．在圖2中，若測得∠BMN=68.6°，學生與測溫員之間距離為50cm．問此時槍身端點A與學生額頭的距離是否在規(guī)定范圍內？并說明理由．（結果保留小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)sin66.4°≈0.92，cos18．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）某無人機興趣小組在操場上開展活動．當無人機P與操控者A的距離為50米且俯角為37°時（如圖），無人機P測得教學樓樓頂?shù)狞cC處的俯角為45°，又經過人工測量得操控者A和教學樓BC距離為57米．（注：點A，B，C，P都在同一平面上）(1)求此時無人機P到地面AB的距離；(2)求教學樓BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，19．（2022·江蘇蘇州·星海實驗中學?？级＃﹫D1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的實景圖，圖2是其側面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直．量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，槍身BA=8.5cm(1)求肘關節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度（即MP的長度，結果保留小數(shù)點后一位）；(2)測溫時規(guī)定槍身端點A與額頭距離范圍為3~5cm．在圖2中，若測得∠BMN=68.6°，小紅與測溫員之間距離為50cm．問此時槍身端點A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內？并說明理由．（結果保留小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.4020．（2022·江蘇鹽城·濱海縣第一初級中學?？既＃┤鐖D①是一種折疊式晾衣架．晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖②所示，已知晾衣臂OA=OB=120cm，支撐腳OC=OD=120cm，展開角∠COD=60°，晾衣臂支架PQ=MN=80cm(1)當晾衣臂OA與支撐腳OD垂直時，求點A距離地面的高度；(2)當晾衣臂OB從水平狀態(tài)繞點O旋轉到OB'（D、O、B'在同一條直線上）時，點N也隨之旋轉到OB'上的點N21．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，山頂?shù)恼戏接幸凰嗀B，為了測量塔AB的高度，在距山腳M一定距離的C處測得塔尖頂部A的仰角∠ACM=37°，測得塔底部B的仰角∠BCM=31°，然后沿CM方向前進30m到達D處，此時測得塔尖仰角∠ADM=45°(C，D，M三點在同一直線上)，求塔AB的高度．(參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，22．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，一條寬為0.5km的河的兩岸PQ，MN互相平行，河上有兩座垂直于河岸的橋CD，EF．測得公路AC的長為6km，公路AC，AE與河岸PQ的夾角分別為45°，71.6°，公路BD，BF與河岸MN的夾角分別為60°，(1)求兩座橋CD，EF之間的距離（精確到0.1km(2)比較路徑①：A?C?D?B和路徑②：A?E?F?B的長短，則較短路徑為________（填序號），兩路徑相差________km（精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：tan71.6°≈3.0，2≈1.41，323．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）某廣播電視塔由塔下、塔房、塔身、上塔樓和天線段4部分組成．某校數(shù)學社團的同學們借助無人機、卷尺等工具測量電視塔的高度．如圖所示，小航在M處用無人機在距地面120米的B處測得電視塔最高點A的仰角為22°，然后沿MN方向前進30米到達N處，用無人機在距地面80米的C處測得點A的仰角為45°，求ON的距離和電視塔OA的高度，（結果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4024．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，平面內直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，鈍角三角形ABC的三個頂點分別在l1、l2、l4(1)用不含刻度的直尺與圓規(guī)作出△ABC的中位線DE，使得DE=12AB(2)在（1）的條件下僅用不含刻度的直尺作出四邊形ABEF，使得其面積與△ABC的面積相等．25．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）圖①是某車站的一組智能通道閘機，當行人通過時智能閘機會自動識別行人身份，識別成功后，兩側的圓弧翼閘會收回到兩側閘機箱內，這時行人即可通過．圖②是兩圓弧冀展開時的截面圖，扇形BAC和EDF是閘機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，BC和EF均垂直于地面，閘機通道的寬度（即BC與EF之間的距離）是66.4cm，半徑BA=ED=60cm，點A與點D在同一水平線上，且它們之間的距離為(1)求閘機的“兩圓弧扇形”展開最大時的圓心角的度數(shù)（即∠ABC或∠DEF的度數(shù)）；參考效據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin33°≈0.55(2)經實踐調查，一個智能閘機的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍，300人的團隊通過一個智能閘機口比通過一個人工檢票口可節(jié)約5分鐘，求一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)和一個人工檢票口平均每分鐘檢票人數(shù)．26．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，一位同學從建筑物底端B出發(fā)，沿水平方向向左行走11.6米到達點D，再經過一段坡路DC，DC=2.6米，坡面DC的坡度i=1:2.4（即tan∠CDF=512），然后再沿水平方向向左行走4米到達點E，在(1)求點E到建筑物AB的水平距離；(2)求建筑物AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，A，B，C，D，E27．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）某校航模小組打算制作模型飛機，設計了如圖所示的模型飛機機翼圖紙．圖紙中AB∥CD，均與水平方向垂直，機翼前緣AC、機翼后緣BD與水平方向形成的夾角度數(shù)分別為45°、27°，CD=7cm，點D到直線AB的距離為30cm．求機翼外緣AB的長度（參考數(shù)據(jù)：sin28．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）如圖，輪船從島M向島N行駛，島M位于碼頭A的正南方向60海里處，在M處測得碼頭B在M的北偏西45°方向上，輪船行駛40海里到達島N，此時測得島M在島N的北偏東63°方向上，碼頭C在N的北偏西30°方向上，已知碼頭B、C都在碼頭A的正西方向．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求碼頭B與碼頭C之間的距離．（結果精確到0.1海里）（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.9629．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）2022年2月20日，舉世矚目的北京冬奧會圓滿落下帷幕．本次冬奧會的成功舉辦掀起了全民冰雪運動的熱潮．圖1、圖2分別是一名滑雪運動員在滑雪過程中某一時刻的實物圖與示意圖，已知運動員的小腿ED與斜坡AB垂直，大腿EF與斜坡AB平行，G為頭部，假設G，E，D三點共線且頭部到斜坡的距離GD為1.04m，上身與大腿夾角∠GFE=53°，膝蓋與滑雪板后端的距離EM長為0.8m，∠EMD=30°．(1)求此滑雪運動員的小腿ED的長度；(2)求此運動員的身高．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos30．（2022·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實驗初級中學校考一模）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置．木條BC上的點P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點為D，從A點發(fā)出的光束經平面鏡P反射后，在MN上形成一個光點E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．(1)求ED的長．(2)將木條BC繞點B在平行于紙面的平面內順時針方向旋轉一定角度得到BC'（如圖2），點P的對應點為P'，BC'與MN的交點為D'，從A點發(fā)出的光束經平面鏡P'反射后，在MN2023年中考數(shù)學大題高分秘籍（江蘇專用）專題09銳角三角函數(shù)的應用（江蘇真題15道模擬30道）【方法揭秘】揭示思想方法，提升解題效率1.銳角三角函數(shù)的定義正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形.2.特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°3.解直角三角形（1）在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．（2）解直角三角形的常用關系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：1）三邊關系：a2+b2=c2；2）兩銳角關系：∠A+∠B=90°；3）邊與角關系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1．（3）科學選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關系要記牢；已知銳角求銳角，互余關系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.4.解直角三角形及應用（1）仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．（2）坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．（3）方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．（4）解直角三角形的應用通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問．如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案．（5）解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實戰(zhàn)培優(yōu)提升1．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，湖邊A、B兩點由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連.為了計算A、B兩點之間的距離，經測量得：∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80米，求A、B兩點之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，【答案】A、B兩點之間的距離約為94米【分析】過點C作CD⊥AB，垂足為點D，分別解Rt△ACD，Rt△BCD，求得AD,BD的長，進而根據(jù)【詳解】如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，在Rt△ACD∵∠DAC=37°，AC=80米，∴sin∠DAC=CDAC∴CD=AC?sinAD=AC?cos在Rt△BCD∵∠CBD=58°，CD=48米，∴tan∠CBD=∴BD=CD∴AB=AD+BD=64+30=94（米）.答：A、B兩點之間的距離約為94米.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形是解題的關鍵．2．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180【答案】(170+603)cm【分析】延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，根據(jù)直角三角形的性質求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計算即可．【詳解】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=12CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×32=90由題意得：DFEF=6090，即90EF解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，則AB255+903=解得：AB=170+603，答：立柱AB的高度為(170+603)cm．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題、平行投影的應用，解題的關鍵是數(shù)形結合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算．3．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖，OA是垂直于工作臺的移動基座，AB、BC為機械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．機械臂端點C到工作臺的距離CD=6m．(1)求A、C兩點之間的距離；(2)求OD長．（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）連接AC，過點A作AH⊥BC，交CB的延長線于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．（2）過點A作AG⊥DC，垂足為G，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖2，連接AC，過點A作AH⊥BC，交CB的延長線于H．在Rt△ABH中，∠ABH=180°?∠ABC=37°，sin37°=AHABcos37°=BHAB在Rt△ACH中，AH=3m，CH=BC+BH=6m，根據(jù)勾股定理得AC=C答：A、C兩點之間的距離約6.7m．（2）如圖2，過點A作AG⊥DC，垂足為G，則四邊形AGDO為矩形，GD=AO=1m，AG=OD，所以CG=CD?GD=5m，在Rt△ACG中，AG=35m，CG=5根據(jù)勾股定理得AG=A∴OD=AG=4.5m．答：OD的長為4.5m．【點睛】求角的三角畫數(shù)值或者求線段的長時，我們經常通過觀察圖形將所求的角成者線段轉化到直角三角形中（如果沒有直角三角形，設法構造直角三角形），再利用銳角三角畫數(shù)求解4．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）小強在物理課上學過平面鏡成像知識后，在老師的帶領下到某廠房做驗證實驗.如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強在點M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠處D到他的距離CD是多少?（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8【分析】過M點作ME⊥MN交CD于E點，證明四邊形ABCM為矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理學入射光線與反射光線之間的關系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，進而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【詳解】解：過M點作ME⊥MN交CD于E點，如下圖所示：∵C點在M點正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房頂AM與水平地面平行，AB為墻面，∴四邊形AMCB為矩形，∴MC=AB=8m，AB∥CM，∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，∵地面上的點D經過平面鏡MN反射后落在點C，結合物理學知識可知：∴∠NME=90°，∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，∴∠CMD=56°，在Rt△CMD中，tan∠CMD=CDCM∴CD=11.84≈11.8m即水平地面上最遠處D到小強的距離CD是11.8m【點睛】本題借助平面鏡入射光線與反射光線相關的物理學知識考查了解直角三角形，解題的關鍵是讀懂題意，利用數(shù)形結合的思想解答．5．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形AB=22，BC=4，點E在BC上，CE=AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．【答案】(1)17(2)8【分析】(1)先由RtΔABE可求得AE的長度，再由角度關系可得∠FAE=90(2)過F作FM⊥CE于M，利用勾股定理列方程，即可求出EM的長度，同時求出FM的長度，得出答案.【詳解】（1）設BE=x，則EC=4?x，∴AE=EC=4?x，在RtΔABE中，∴(22∴x=1，∴BE=1，AE=CE=3，∵AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠ABC=90∴∠CAB=90∴∠CAB=90由折疊可知ΔFAC?∴∠FAC=∠CAB=90°?∠1∴∠FAC+∠1=90∴∠FAE=90在RtΔFAE中，（2）過F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°，設EM=a,則EC=3-a，在Rt△FME中，F(xiàn)M在Rt△FMC中，F(xiàn)M∴FE∴(17∴a=5∴EM=5∴FM=(∴sin∠CEF=【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，矩形的性質，通過添加輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．6．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，某學習小組在教學樓AB的頂部觀測信號塔CD底部的俯角為30°，信號塔頂部的仰角為45°．已知教學樓AB的高度為20m，求信號塔的高度（計算結果保冒根號）．【答案】（203＋20）m．【分析】過點A作AE⊥CD于點E，則四邊形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的長，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的長，即可得到CD的長，得到信號塔的高度．【詳解】解：過點A作AE⊥CD于點E，由題意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∴四邊形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，∵tan∠DAE＝DEAE∴AE=DE在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AE=∴CD＝CE＋DE＝（203＋20）m，∴信號塔的高度為（203＋20）m．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題、矩形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、特殊角的銳角三角函數(shù)等知識，借助仰角俯角構造直角三角形與矩形是解題的關鍵．7．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點A處測得阿育王塔最高點C的仰角∠CAE=45°，再沿正對阿育王塔方向前進至B處測得最高點C的仰角∠CBE=53°，AB=10m；小亮在點G處豎立標桿FG，小亮的所在位置點D、標桿頂F、最高點C在一條直線上，F(xiàn)G=1.5m，GD=2m．（注：結果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.799(1)求阿育王塔的高度CE；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離ED．【答案】(1)40.58(2)54.11【分析】（1）在Rt△CEB中，由tan53°=（2）證明Rt△FGD∽Rt△CED，根據(jù)相似三角形的性質即可求解．【詳解】（1）在Rt△CAE中，∵∠CAE=45°，∴CE=AE．∵AB=10，∴BE=AE?10=CE?10．在Rt△CEB中，由tan53°=得tan53°解得CE≈40.58．經檢驗CE≈40.58是方程的解答：阿育王塔的高度約為40.58m（2）由題意知Rt△FGD∽Rt△CED，∴FGCE即1.540.58∴ED≈54.11．經檢驗ED≈54.11是方程的解答：小亮與阿育王塔之間的距離約為54.11m【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．8．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測得鐵塔頂部C的仰角為28°、鐵塔底部D的俯角為40°，求鐵塔CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【答案】68.5m【分析】過A作AE⊥CD，垂足為E．分別在Rt△AEC和Rt△AED中，由銳角三角函數(shù)定義求出CE和DE的長，然后相加即可．【詳解】解：如圖，過A作AE⊥CD，垂足為E．則AE＝50m，在Rt△AEC中，CE＝AE?tan28°≈50×0.53＝26.5（m），在Rt△AED中，DE＝AE?tan40°≈50×0.84＝42（m），∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．答：鐵塔CD的高度約為68.5m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用--仰角俯角問題，求出CE、DE的長是解題的關鍵．9．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B處，乘直立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長為180m的索道CD至山頂D處，此時觀測C處的俯角為19°30′，索道CD看作在一條直線上．求山頂D的高度．（精確到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【答案】114m【分析】過點C作CE⊥DG于E，CB的延長線交AG于F，在Rt△BAF中可求得BF的長，從而可得CF的長；在Rt△DCE中，利用銳角三角函數(shù)可求得DE的長，從而由DG=DE+CF即可求得山頂D的高度．【詳解】過點C作CE⊥DG于E，CB的延長線交AG于F，設山頂?shù)乃诰€段為DG，如圖所示在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m則BF=AB·sin∴CF=BC+BF=30+25=55(m)在Rt△DCE中，∠DCE=19°30'，∴DE=CD·sin∵四邊形CFGE是矩形∴EG=CF∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)即山頂D的高度為114m．【點睛】本題考查了解直角三角形在實際測量中的應用，題目較簡單，但這里出現(xiàn)了坡角、俯角等概念，要理解其含義，另外通過作適當?shù)妮o助線，把問題轉化為在直角三角形中解決．10．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，計劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點A，過其另一端D安裝支架DE，DE所在的直線垂直于水平線AC，垂足為點F,E為DF與AB的交點．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°（1）求AE的長（結果取整數(shù)）；（2）冬至日正午，經過點D的太陽光線與AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此時，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少（結果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：2三角函數(shù)銳角A13°28°32°sin0.220.470.53cos0.970.880.85tan0.230.530.62【答案】（1）91cm；（2）【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；（2）設DG交AB一直在點M，作AN⊥GD延長線于點N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根據(jù)AM-AE可求出結論．【詳解】解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF∴AF=ADcos=100×cos=100×0.88=88cm在Rt△AEF中，cos∴AE=（2）設DG交AB一直在點M，作AN⊥GD延長線于點N，如圖，則∠AMN=∠MAC+∠MGA∴∠AMN=13°+32°=45°在Rt△ADF中，DF=AD·sin在Rt△DFG中，DFFG∴FG=DF∴AG=AF+FG=88+75.8=163.8cm∵AN⊥GD∴∠ANG=90°∴AN=AG×在Rt△ANM中，sin45°=∴AM=86.8∴EM=AM?AE=123.1?91=32.1∴EH的最小值為32【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是構造直角三角形．11．（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）某種落地燈如圖1所示，AB為立桿，其高為84cm；BC為支桿，它可繞點B旋轉，其中BC長為54cm；DE為懸桿，滑動懸桿可調節(jié)CD的長度．支桿BC與懸桿DE之間的夾角∠BCD為（1）如圖2，當支桿BC與地面垂直，且CD的長為50cm時，求燈泡懸掛點D（2）在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點B順時針旋轉20°，同時調節(jié)CD的長（如圖3），此時測得燈泡懸掛點D到地面的距離為90cm，求CD的長．（結果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin【答案】（1）點D距離地面113厘米；（2）CD長為58厘米【分析】（1）過點D作DF⊥BC交BC于F，利用60°三角函數(shù)可求FC，根據(jù)線段和差FA=AB+BC?CF求即可；（2）過點C作CG垂直于地面于點G，過點B作BN⊥CG交CG于點N，過點D作DM⊥CG交CG于點M，可證四邊形ABGN為矩形，利用三角函數(shù)先求CN=BC×cos20°≈50.76(cm)，利用MG與CN的重疊部分求MN=6(cm【詳解】解：（1）過點D作DF⊥BC交BC于F，∵∠FCD=60°，∠CFD=90°∴FC=CD×cos=50×1=25(cm∴FA=AB+BC?CF=84+54?25=113(cm答：點D距離地面113厘米；（2）過點C作CG垂直于地面于點G，過點B作BN⊥CG交CG于點N，過點D作DM⊥CG交CG于點M，∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，∴四邊形ABGN為矩形，∴AB=GN=84(cm)，∵BC=54(cm)，將支桿BC繞點B順時針旋轉∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，∴CN=BC×cos=54×0.94，=50.76(cm∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，∴MN=CN+MG?CG=50.76+90?134.76=6(cm∵MN=6(cm∴CM=CN?MN=44.76(cm∵CM=44.76(cm∴CD=CM÷cos=44.76÷0.77，≈58(cm答：CD長為58厘米．【點睛】本題考查解直角三角形應用，矩形的判定與性質，掌握銳角三角函數(shù)的定義，矩形判定與性質是解題關鍵．12．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）一架無人機沿水平直線飛行進行測繪工作，在點P處測得正前方水平地面上某建筑物AB的頂端A的俯角為30°，面向AB方向繼續(xù)飛行5米，測得該建筑物底端B的俯角為45°，已知建筑物AB的高為3米，求無人機飛行的高度(結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【答案】無人機飛行的高度約為14米．【分析】延長PQ，BA，相交于點E，根據(jù)∠BQE＝45°可設BE＝QE＝x，進而可分別表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根據(jù)sin∠APE＝AEPE，∠APE＝30°即可列出方程x?3【詳解】解：如圖，延長PQ，BA，相交于點E，由題意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，又∵∠BQE＝45°，∴BE＝QE，設BE＝QE＝x，∵PQ＝5，AB＝3，∴PE＝x＋5，AE＝x－3，∵∠E＝90°，∴sin∠APE＝AEPE∵∠APE＝30°，∴sin30°＝x?3x+5解得：x＝43答：無人機飛行的高度約為14米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用-俯角仰角問題，難度適中，要求學生能借助其關系構造直角三角形并解直角三角形．13．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿AB擺成如圖1所示．已知AB=4.8m，魚竿尾端A離岸邊0.4m，即AD=0.4m．海面與地面AD平行且相距1.2（1）如圖1，在無魚上鉤時，海面上方的魚線BC與海面HC的夾角∠BCH=37°，海面下方的魚線CO與海面HC垂直，魚竿AB與地面AD的夾角∠BAD=22°．求點O到岸邊DH的距離；（2）如圖2，在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角∠BAD=53°，此時魚線被拉直，魚線BO=5.46m，點O恰好位于海面．求點O到岸邊DH的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°=cos53°≈35，cos37°=sin53°≈【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【分析】（1）過點B作BF⊥CH，垂足為F，延長AD交BF于點E，構建Rt△ABE和Rt△BFC，在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出BE,AE;再用BE+EF求出BF，在Rt△BFC中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出FC，用CF+AE?AD=CH;（2）過點B作BN⊥OH，垂足為N，延長AD交BN于點M，構建Rt△ABM和Rt△BNO，在Rt△ABM中，根據(jù)53°和AB的長求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在Rt△BNO中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．【詳解】（1）過點B作BF⊥CH，垂足為F，延長AD交BF于點E，則AE⊥BF，垂足為E．由cos∠BAE=AEAB∴1516=AE∴DE=AE?AD=4.5?0.4=4.1，由sin∠BAE=BEAB∴38=BE∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3．又tan∠BCF=BFCF∴34=3∴CH=CF+HF=CF+DE=4+4.1=8.1，即C到岸邊的距離為8.1m．（2）過點B作BN⊥OH，垂足為N，延長AD交BN于點M，則AM⊥BN，垂足為M．由cos∠BAM=AMAB，∴cos即AM=2.88，∴DM=AM?AD=2.88?0.4=2.48．由sin∠BAM=BMAB，∴sin即BM=3.84，∴BN=BM+MN=3.84+1.2=5.04．∴ON=O∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58，即點O到岸邊的距離為4.58m．【點睛】本題以釣魚為背景，考查了學生運用三角函數(shù)知識解決實際問題的能力，解題關鍵在于構造合適的直角三角形，運用三角函數(shù)的運算，根據(jù)一邊和一角的已知量，求其他邊；再根據(jù)特殊的幾何位置關系求線段長度．14．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，為了測量河對岸兩點A，B之間的距離，在河岸這邊取點C，D．測得CD=80m，∠ACD=90°，∠BCD=45°，∠ADC=19°17'，∠BDC=56°19'，設A，B，C，D在同一平面內，求A【答案】52m【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延長線于F．先證明四邊形CEBF是正方形，設CE=BE=xm，根據(jù)三角函數(shù)表示出DE，根據(jù)CD=80m列方程求出CE=BE=48m，進而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根據(jù)勾股定理即可求出AB【詳解】解：如圖，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延長線于F．∵∠FCD=90°，∴四邊形CEBF是矩形，∵BE⊥CD，∠BCD=45°，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴CE=BE，∴矩形CEBF是正方形．設CE=BE=xm，在Rt△BDE中，DE=BE∵CD=80m∴x+2解得x=48，∴CE=BE=48m，∵四邊形CEBF是正方形，∴CF=BF=48m，∵在Rt△ACD中，AC=CD·tan∴AF=CF-AC=20m，∴在Rt△ABF中，AB=A∴A，B兩點之間的距離是52m．【點睛】本題考查了解直角三角形應用，理解題意，添加輔助線構造正方形和直角三角形是解題關鍵．15．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E與樹AB的根部點A、建筑物CD的底部點C在一條直線上，AC＝10m．小明站在點E處觀測樹頂B的仰角為30°，他從點E出發(fā)沿EC方向前進6m到點G時，觀測樹頂B的仰角為45°，此時恰好看不到建筑物CD的頂部D（H、B、D三點在一條直線上）．已知小明的眼睛離地面1.6m，求建筑物CD的高度（結果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73．）【答案】19.8m．【分析】延長FH，交CD于點M，交AB于點N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，設BN＝NH＝x，則根據(jù)tan∠BFN＝BNNF就可以求出x的值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質和線段的和可求得CD【詳解】解：如圖，延長FH，交CD于點M，交AB于點N，∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，則BN＝NH，設BN＝NH＝x，∵HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝BNNF＝BN∴tan30°＝xx+6解得x≈8.22，根據(jù)題意可知：DM＝MH＝MN+NH，∵MN＝AC＝10，則DM＝10+8.22＝18.22，∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．答：建筑物CD的高度約為19.8m．【點睛】本題考查解直角三角形應用-仰角俯角問題，理解仰角俯角的概念，根據(jù)題意構造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解答的關鍵．【專項突破】深挖考點考向，揭示內涵實質1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）在某張航海圖上，標明了三個觀測點的坐標，如圖，O0,0，B6,0，(1)求圓形區(qū)域的面積；(2)某時刻海面上出現(xiàn)漁船A，在觀測點O測得A位于北偏東45°，同時在觀測點B測得A位于北偏東29°，求觀測點B到A船的距離（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，【答案】(1)25π(2)15.5【分析】（1）根據(jù)題意可以求得圓心的坐標和圓的半徑，從而可以求得圓形區(qū)域的面積；（2）過點A作AD⊥x軸于點D，依題意，得∠ABD=61°，在Rt△ABD中，設AD=x，則BD=xtan61°，由AD=OD=x，根據(jù)圖形得到則x?【詳解】（1）連接CB，CO，則∴∠CBO=90°，設O'為由O、B、C則OC為的直徑，由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得∴半徑OO∴S⊙（2）過點A作AD⊥x軸于點D，依題意，得∠ABD=61°，在Rt△ABD中，設AD=x則tan∠ABD=∴tan61°=∴BD=x由題意得：∠AOD=45°，則x?x解得：x=13.5，在Rt△ABD中，有sin∠ABD=AD∴AB≈15.5【點睛】本題考查了勾股定理的應用、解直角三角形以及圓的面積計算等知識．熟練掌握圓由半徑和圓心確定是解答本題的關鍵．2．（2022·江蘇淮安·淮陰中學新城校區(qū)校聯(lián)考二模）我市里運河風光帶的國師塔，高大挺拔，古樸雄渾，別具一格．小明想知道國師塔的高度，在附近一高層小區(qū)頂樓A處，測得國師塔塔頂D處的俯角∠EAD=9.7°，塔底C處俯角∠EAC=26.6°，小明所在位置高度AB=95m．(1)求兩棟建筑物之間的水平距離BC；(2)求國師塔高度CD．（結果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin9.7°≈0.17【答案】(1)190m(2)63m【分析】（1）延長CD交AE于點F，根據(jù)題意得：CF=AB，CF⊥AE，從而在Rt△ACF中，利用（2）在Rt△AFD中利用∠FAD=9.7°，求得DF，然后即可求得CD的長．【詳解】（1）解：延長CD交AE于點F，根據(jù)題意得：CF=AB，在Rt△ACF中，tan∠CAF=∴tan∴AF≈190，∴BC=AF=190m，答：兩建筑物底部之間水平距離BD的長度為190m；（2）解：在Rt△AFD中，∠FAD=9.7°，∴DF=AF·tan∠FAD=190×0.17≈32.3，∵FC=95m，∴CD=95-答：國師塔高度為63m．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，正確標注仰角和俯角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．3．（2022·江蘇泰州·模擬預測）如圖，小明在大樓45m高（即PH=45m，且PH⊥HC）的窗口P處進行觀測，測得山坡上A處的俯角為15°，山腳B處的俯角為60°，已知該山坡的坡度i（即tan∠ABC）為1:3（點P，H，B，C，A在同一個平面上，點H，(1)∠PBA的度數(shù)等于________度（直接填空）(2)求A，B兩點間的距離（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，【答案】(1)90(2)A、B兩點間的距離約為52.0米【分析】（1）根據(jù)坡度求得∠ABF=30°，結合題意，得出∠HBP=60°，進而得出∠PBA=90°,∠BAP=45°（2）根據(jù)∠PBA=90°,∠BAP=45°，得出PB=AB，解△PHB即可求解．【詳解】（1）如解圖所示；過點A作AF⊥BC于點F，∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）為1:∴tan∠ABF=∴∠ABF=30°，∵在窗口P處進行觀測，測得山坡上A處的俯角為15°，山腳B處的俯角為60°，∴∠HPB=30°,∠APB=45°，∴∠HBP=60°，∴∠PBA=90°,∠BAP=45°，故答案為：90；（2）∵∠PBA=90°,∠BAP=45°∴PB=AB，∵PH=45米，sin60°=解得：PB=303故AB=303答：A、B兩點間的距離約為52.0米．【點睛】本題考查了解直角三角形的性質應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）本學期小明經過一段時間的學習，想利用所學的數(shù)學知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進行測量．如圖，先測得居民樓AB與CD之間的距離BD為31m，后站在F點處測得居民樓CD的頂端C的仰角為45°．居民樓AB的頂端A的仰角為55°．已知居民樓CD的高度為16.7m，小瑩的觀測點E距地面1.7m．求居民樓AB的高度（精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82,【答案】25【分析】過點E分別作EG⊥CD,EH⊥AB，分別解Rt△EGC和Rt△EHA，求出AG的高度，再利用【詳解】解：如圖，點E分別作EG⊥CD,EH⊥AB，垂足分別為點G,H，則：∠CEG=45°,∠AEH=55°，BH=DG=EF=1.7，GH=BD=31，∴CG=CD?DG=16.7?1.7=15，在Rt△EGC中，∠CEG=45°,CG=15∴EG=CG=15，∴EH=HG?EG=31?15=16，在Rt△EHA中，AH=EH×∴AB=22.88+1.7=24.58≈25m∴居民樓AB的高度約為25m【點睛】本題考查解直角三角形的應用．正確的添加輔助線，構造直角三角形，是解題的關鍵．5．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D①，將“歡迎光臨”門掛傾斜放置時，測得掛繩的一段AC=30cm．另一段BC=20cm．已知兩個固定扣之間的距離AB=30cm．（參考數(shù)據(jù)：sin49°≈0.75，cos41°≈0.75，tan(1)求點C到AB的距離；(2)如圖②，將該門掛扶“正”即AC=BC，求∠CAB的度數(shù)．【答案】(1)40(2)∠CAB≈【分析】（1）根據(jù)題意，過點C作CH⊥AB，交AB于點H，設BH=x，則AH=30?x，根據(jù)勾股定理列式可計算得x的值，即可得到CH的值（2）根據(jù)等腰三角形的性質可得的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可求得的度數(shù)【詳解】（1）過點C作CH⊥AB，交AB于點H，設BH=x，則AH=30?x，∵CH⊥AB，AC=30，BC=20∴CH即302?解得：x=∴CH∴C到AB的距離為40（2）由已知可得：AC+BC=30+20=50，且AC=BC=25，過點C作CH⊥AB，交AB于點H，∵AC=BC=25，CH⊥AB，∴AH=∴cos由參考數(shù)據(jù)可知：cos∴∠CAB≈【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，等腰三角形的性質，解決本題的關鍵是掌握解直角三角形的方法6．（2022·江蘇連云港·?？既＃┙坶浪追Q“吊桿”“稱桿”（如圖1），是我國古代農用工具，始見于《墨子?備城門》，是一種利用杠桿原理的取水機械．如圖2所示的是桔槔示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，OM=3米，AB是杠桿，且AB=6米，OA:OB=2:1．當點A位于最高點時，∠AOM=127°．(1)求點A位于最高點時到地面的距離；(2)當點A從最高點逆時針旋轉54.5°到達最低點A1時，求此時水桶B上升的高度．（考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6【答案】(1)點A位于最高點時到地面的距離為5.4米；(2)水桶B上升的高度為1.8米．【分析】（1）作出如圖的輔助線，在Rt△AOG（2）作出如圖的輔助線，在Rt△OBC中和在Rt△OB1D【詳解】（1）解：過O作EF⊥OM，過A作AG⊥EF于G，∵AB=6米，OA:OB=2:1，∴OA=4米，OB=2米，∵∠AOM=127°，∠EOM=90°，∴∠AOE=127°?90°=37°，在Rt△AOG中，AG=AO×點A位于最高點時到地面的距離為2.4+3=5.4（米），答：點A位于最高點時到地面的距離為5.4米；（2）解：過O作EF⊥OM，過B作BC⊥EF于C，過B1作B1D⊥EF∵∠AOE=37°，∴∠BOC=∠AOE=37°，∠B∵OB在Rt△OBC中，BC=在Rt△OB1∴BC+B∴此時水桶B上升的高度為1.6米．．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，讀懂題意，構造直角三角形是解題的關鍵．7．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學校校考二模）小淇同學在學習了“平面鏡反射原理”后，用一個小平面鏡PQ做實驗．他先將平面鏡放在平面上，如圖，用一束與平面成30°角的光線照射平面鏡上的A處，使光影正好落在對面墻面上一幅畫的底邊C點．他不改變光線的角度，原地將平面鏡轉動了7.5°角，即∠PAP'＝7.5°，使光影落在C點正上方的D點，測得CD=10cm．求平面鏡放置點與墻面的距離AB．（參考數(shù)據(jù)：【答案】23.65cm【分析】先求出∠DAB的度數(shù)，設AB=x，分別解Rt△ABC,Rt△ABD，用x表示出BD,BC【詳解】解：由題意得：∠QAQ'=∠PAP'=7.5°，∠DAB=37.5°＋7.5°=45°設AB=xcm，則DB=xcm．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°∵tan∠CAB=∴BC=AB?tan∠CAB=∵CD=BD?BC，∴x?33解得：x≈23.65．因此，平面鏡放置點與墻面的距離AB是23.65cm．【點睛】本題考查解直角三角形的應用．熟練掌握銳角三角函數(shù)，以及平面鏡與兩條光線形成的夾角相等，是解題的關鍵．8．（2019·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，在坡頂A處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡信號塔BC，數(shù)學興趣小組的同學在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為1:2.4的斜坡AP攀行了26米到達坡頂，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°．求：(1)坡頂A到地面PO的距離；(2)網(wǎng)絡信號塔BC的高度（結果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，【答案】(1)坡頂A到地面PO的距離為10米(2)網(wǎng)絡信號塔BC的高度約為18.7米【分析】（1）過點A作AH⊥PO，根據(jù)斜坡AP的坡度為1：2.4，即可設AH=5k米，則PH=12k米．再根據(jù)勾股定理可求出AP=13k米，即13k=26，解出k的值，即可求出AH的值，即坡頂A到地面PO的距離；（2）先延長BC交PO于點D，根據(jù)BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四邊形AHDC是矩形，再根據(jù)∠BPD=45°，得出PD=BD，然后設BC=x，得出AC=DH=x-14，最后根據(jù)在Rt△ABC中，tan76°=BCAC【詳解】（1）如圖，過點A作AH⊥PO，垂足為點H，∵斜坡AP的坡度為1:2.4，∴AHPH設AH=5k米，則PH=12k米，由勾股定理，得：AP=13k米，∴13k=26，解得k=2，∴AH=10米，答：坡頂A到地面PO的距離為10米；（2）延長BC交PO于點D，∵BC⊥AC，AC∥∴BD⊥PO，∴四邊形AHDC是矩形，CD=AH=10米，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．設BC=x米，由（1）可求出PH=12×2=24米，∴BC+CD=PH+DH，即x+10=24+DH，∴AC=DH=(x?14)米，在Rt△ABC中，tan76°=BC解得x≈18.7．答：網(wǎng)絡信號塔BC的高度約為18.7米．【點睛】此題考查了解直角三角形，用到的知識點是勾股定理、銳角三角函數(shù)，關鍵是作出輔助線，構造直角三角形．9．（2021·江蘇宿遷·一模）如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構成，手機放置在托板上，如圖2是其側面結構示意圖．量得托板長AB=120mm，支撐板長CD=80mm，底座長DE=90mm．托板AB固定在支撐板頂端點C處，且CB=40mm，托板AB可繞點C轉動，支撐板CD可繞點D轉動．(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求點A到直線DE的距離；(2)為了觀看舒適，在（1）的條件下，把AB繞點C逆時針旋轉10°后，再將CD繞點D順時針旋轉，使點B落在直線DE上．畫出圖形，并求CD旋轉的角度；（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈1.732．計算結果均精確到0.1）【答案】(1)點A到直線DE的距離約為120.7mm(2)畫圖見解析，CD旋轉的角度約為33.4°【分析】（1）過A作AM⊥DE，交ED的延長線于點M，過點C作CF⊥AM，垂足為F，過點C作CN⊥DE，垂足為N，構造出直角三角形后，利用直角三角形邊和角的關系即可求出CN、AF，最后即可求出點A到DE的距離；（2）畫出圖形后，根據(jù)圖形，明確圖中的已知邊和已知角，再利用直角三角形邊和角之間的關系求出相應的角度即可．【詳解】（1）如圖2，過A作AM⊥DE，交ED的延長線于點M，過點C作CF⊥AM，垂足為F，過點C作CN⊥DE，垂足為N．在Rt△CDN中，CN=FM=CD?sin∠CDE=80×32=403（mm∠DCN=90°﹣60°=30°．又∵∠DCB=80°，∴∠BCN=80°﹣30°=50°．∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN．∴∠A=∠BCN=50°．∴∠ACF=90°﹣50°=40°．在Rt△AFC中，AF=AC?sin40°=80×0．643≈51．44．∴AM=AF+FM=51．44+403≈120．7（mm）．答：點A到直線DE的距離約為120．7mm．（2）旋轉后，如圖3所示．根據(jù)題意可知∠DCB=80°+10°=90°．在Rt△BCD中，CD=80，BC=40．∴tan∠D=BCCD∴∠D=26．6°．因此旋轉的角度為：60°﹣26．6°=33．4°．答：CD旋轉的角度約為33．4°．【點睛】本題主要考查了直角三角形邊和角的關系以及銳角三角函數(shù)，正確地作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．10．（2022·江蘇泰州·模擬預測）如圖是小朋友玩的“滾鐵環(huán)”游戲的示意圖，⊙O向前滾動時，鐵棒DE保持與OE垂直．⊙O與地面接觸點為A，若⊙O的半徑為25cm，∠AOE=53°．(1)求點E離地面AC的距離BE的長；(2)設人站立點C與點A的距離AC=53cm，DC⊥AC，求鐵棒DE的長．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【答案】(1)BE的長為10cm(2)鐵棒DE的長為55cm【分析】(1)過E作與AC平行的直線，與OA、DC分別相交于H、N．那么求BE的長就轉化為求HA的長，而要求出HA，必須先求出OH，在直角△OHE中，可求得HE的值，從而求得HA的值；(2)因為∠EOH+∠OEH=∠OEH+∠DEN=90°，∠DEN=∠EOH，又因為cos∠AOE=0.6，所以可得出DN和DM之間的數(shù)量關系，由此即可解決問題．【詳解】（1）過E作與AC平行的直線，與OA，DC分別相交于H、N．在Rt?OHE中，∠OHE=90°，OE=25cm，∠AOE=53°，∴HO=OE×cos53°=15cm，EH=20cm，EB=HA=25-15=10(cm)，所以鐵棒離地面的高度BE為10cm；（2）∵鐵棒與鐵環(huán)相切，∴∠EOH+∠OEH=∠OEH+∠DEN=90°，∠DEN=∠EOH，∴DE=ENCOS∠EOA在Rt△DEN中，∠DNE=90°，EN=BC=AC-AB=53-20=33(cm)DE=ENCOS53∴鐵棒的長度DE為55c