中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練(河南專用)【填空題】必考重點10解三角形(原卷版+解析)

【填空題】必考重點10解三角形解三角形是指已知三角形的部分邊和角，求出三角形中其他未知的邊和角。通常利用勾股定理、相似三角形的性質(zhì)或者銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系進(jìn)行求解，是江蘇省各地市中考的必考點，考查形式多樣，既有選擇題、填空題，也會考查解答題，選擇和填空考查時，難度中等或者偏難，綜合題考查時難度中等。接此類題目時，要善于運用勾股定理、相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求三角形的邊長，能夠運用銳角三角函數(shù)的基本知識進(jìn)行邊角互化，從而解出三角形。【2022·江蘇南通·中考母題】如圖，B為地面上一點，測得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測角儀，測得樹頂A的仰角為，則樹高為___________m（結(jié)果保留根號）．【考點分析】本題考查了解直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．【思路分析】在中，利用，求出，再加上1m即為AC的長．【2022·江蘇常州·中考母題】如圖，在四邊形中，，平分．若，，則______．【考點分析】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．【思路分析】過點作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．【2022·江蘇南通·中考母題】如圖，點O是正方形的中心，．中，過點D，分別交于點G，M，連接．若，則的周長為___________．【考點分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，綜合性較強(qiáng)，能夠作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【思路分析】連接BD，則BD過正方形的中心點O，作FH⊥CD于點H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后證明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，進(jìn)而可證△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出DF＝FM，則BG＝DF＝FM＝BM＝，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出OM、EM和OE即可解決問題．【2022·江蘇無錫·中考母題】△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．【考點分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【思路分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個點在同一個圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時，即當(dāng)CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．1．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊，，若不改變矩形的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點在軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點始終在軸的正半軸上隨之上下移動，當(dāng)點移動到某一位置時，點到點的距離有最大值，則此時點的橫坐標(biāo)為______．2．（2022·江蘇·陽山中學(xué)一模）在中，，有一個銳角為60°，AB＝4，若點P在線段AB上（不與點A、B重合），且，則CP的長為______．3．（2022·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校三模）如圖，平面內(nèi)幾條線段滿足．AB、CD的交點為E，現(xiàn)測得，，，則CD的長度為___________．4．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖，在中，，，．將繞點A旋轉(zhuǎn)得，連接，B′B，則面積的最大值為________．5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，在等腰直角△ABC中，，點D在△ABC內(nèi)部，連接BD、CD，將△BDC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEC，點M在邊AE上，若，，則線段BM的最小值為______．6．（2022·江蘇蘇州·一模）如圖，在中，，，，點是邊上的一動點．，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點是邊的中點，則長度的最小值為______．7．（2022·江蘇·宜興市實驗中學(xué)二模）如圖，在中，，．矩形DEFG的頂點D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若，則當(dāng)EC＝______時，矩形DEFG面積的最大值＝______．8．（2022·江蘇南通·二模）某校航模小組打算制作模型飛機(jī)，設(shè)計了如圖所示的模型飛機(jī)機(jī)翼圖紙，圖紙中，均與水平方向垂直．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，機(jī)翼外緣CD的長為______cm．（結(jié)果取整數(shù)，參考，，）9．（2022·江蘇·靖江市教師發(fā)展中心二模）如圖，，，點、分別是線段、射線上的動點，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為______．10．（2022·江蘇泰州·二模）如圖，在等邊外側(cè)作直線AD，點C關(guān)于直線AD的對稱點為M，連接CM，BM．其中BM交直線AD于點E．若，當(dāng)，時，則等邊的邊長為______．11．（2022·江蘇·無錫市河埒中學(xué)二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是CD邊上的一點，連接BP，以BP為一邊在正方形內(nèi)部作，過點A作，交BQ的延長線于點E，則______．12．（2022·江蘇宿遷·二模）如圖，在中，，則的面積為_______．13．（2022·江蘇常州·二模）如圖，在中，，．D是邊BC的中點，點E在AB邊上，將沿直線DE翻折，使點B落在同一平面內(nèi)點F處，線段FD交邊AB于點G，若時，則______．14．（2022·江蘇南京·一模）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為_____．15．（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長是3．，連接、交于點，并分別與邊、交于點、，連接，下列到結(jié)論：①；②；③；④；⑤當(dāng)時，，其中正確結(jié)論是：__．16．（2022·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校二模）如圖，將兩塊三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角頂點O重合，點A、D在EF邊上，AB=6．（1）若點O到BC的距離為，則點O到EF的距離為_________；（2）若BC=3AD，則△OCD外接圓的半徑為_________．17．（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)一模）如圖，將繞斜邊的中點旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，已知，，則________．18．（2022·江蘇徐州·二模）如圖，在等邊三角形中，，點，，分別是邊，，邊上的動點，則周長的最小值是______．19．（2022·江蘇南通·一模）如圖，△ABC中，，，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)，得△DCE，點D，點E分別與點A，點B對應(yīng)，邊CE，DE與邊AB相交，交點分別為點F，點G，若，則的值為_________．20．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，點E在對角線BD上運動，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時，⊙O的半徑為__________；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時，其半徑為__________．21．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是BC的中點，連接AD，過點C作CF⊥AD交AB于F，則△ABD的面積為______，BF＝______．22．（2022·江蘇無錫·一模）一個含30度角的三角板和一個含45度角的三角板按如圖所示的方式拼接在一起，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，AC=CE=2，取AB中點O，連接OF.∠FCE在∠ACB內(nèi)部繞點C任意轉(zhuǎn)動(包括邊界)，則CE在運動過程中掃過的面積為____；在旋轉(zhuǎn)過程中，線段OF的長度最小時，兩塊三角板重疊部分的周長為____．23．（2022·江蘇·靖江市實驗學(xué)校一模）在△ABC中，∠BAC＝120°，D為BC的中點，AE＝6，把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到AF，若CF＝7，∠ACF＝∠AEC，則AC＝________．24．（2022·江蘇連云港·一模）如圖，在矩形和中，，將繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，連接，當(dāng)最大時，的面積為___________．25．（2022·江蘇·常州市武進(jìn)區(qū)前黃實驗學(xué)校一模）如圖，矩形中，，，點是矩形對角線上的動點，連接，過點作交所在直線與點，以、為邊作矩形，當(dāng)時，則長為______．【填空題】必考重點10解三角形解三角形是指已知三角形的部分邊和角，求出三角形中其他未知的邊和角。通常利用勾股定理、相似三角形的性質(zhì)或者銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系進(jìn)行求解，是江蘇省各地市中考的必考點，考查形式多樣，既有選擇題、填空題，也會考查解答題，選擇和填空考查時，難度中等或者偏難，綜合題考查時難度中等。接此類題目時，要善于運用勾股定理、相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求三角形的邊長，能夠運用銳角三角函數(shù)的基本知識進(jìn)行邊角互化，從而解出三角形?！?022·江蘇南通·中考母題】如圖，B為地面上一點，測得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測角儀，測得樹頂A的仰角為，則樹高為___________m（結(jié)果保留根號）．【考點分析】本題考查了解直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．【思路分析】在中，利用，求出，再加上1m即為AC的長．【答案】【詳解】解：過點D作交于點E，如圖：則四邊形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由題意可知：，，在中，，∴，∴，故答案為：【2022·江蘇常州·中考母題】如圖，在四邊形中，，平分．若，，則______．【考點分析】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．【思路分析】過點作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．【答案】【詳解】解：過點作的垂線交于，，四邊形為矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案為：．【2022·江蘇南通·中考母題】如圖，點O是正方形的中心，．中，過點D，分別交于點G，M，連接．若，則的周長為___________．【考點分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，綜合性較強(qiáng)，能夠作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【思路分析】連接BD，則BD過正方形的中心點O，作FH⊥CD于點H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后證明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，進(jìn)而可證△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出DF＝FM，則BG＝DF＝FM＝BM＝，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出OM、EM和OE即可解決問題．【答案】【詳解】解：如圖，連接BD，則BD過正方形的中心點O，作FH⊥CD于點H，∵，，∴∴AG＝AB＝，∴BG＝，∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，∴∠EGD＝∠HDF∵∠AGB＝∠EGD，∴∠AGB＝∠HDF，在△ABG和△HFD中，，∴△ABG≌△HFD（AAS），∴AG＝DH，AB＝HF，∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，在△BCM和△FHM中，，∴△BCM≌△FHM（AAS），∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，∴DH＝MH，∵FH⊥CD，∴DF＝FM，∴BG＝DF＝FM＝BM＝，∴BF＝，∵M(jìn)是BF中點，O是BD中點，△BEF是直角三角形，∴OM＝，EM＝，∵BD＝，△BED是直角三角形，∴EO＝，∴的周長＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，故答案為：．【2022·江蘇無錫·中考母題】△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．【考點分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【思路分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個點在同一個圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時，即當(dāng)CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．【答案】80

【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個點在同一個圓上，∵點D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時，即當(dāng)CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時線段AF長度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，過點F作FG⊥DE于點G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AE-FE=4-，故答案為：80；4-．1．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊，，若不改變矩形的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點在軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點始終在軸的正半軸上隨之上下移動，當(dāng)點移動到某一位置時，點到點的距離有最大值，則此時點的橫坐標(biāo)為______．【答案】【思路分析】取AD的中點M，，連接OM，CM，利用垂線段最短，再利用三角函數(shù)建立等式即可求解．【詳解】解：如圖1，取AD中點M，連接OM，CM，∴，∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，∴DC=AB=4，AD=BC=6，∠CDM=90°，∴，，∴，∴點C到點O的距離最大時，O、M、C三點共線，此時，如圖2，過O點作ON⊥AD于N，∴，∴即，即∴，，∴，Rt△ONA中，，∴A點橫坐標(biāo)為，故答案為：．2．（2022·江蘇·陽山中學(xué)一模）在中，，有一個銳角為60°，AB＝4，若點P在線段AB上（不與點A、B重合），且，則CP的長為______．【答案】或2【思路分析】分∠ABC=60°、∠ABC=30°兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可．【詳解】解：①當(dāng)∠ABC=60°時，則BC=AB=2，當(dāng)點P在線段AB上時，∵∠PCB=30°，∴CP⊥AB，則PC=BCcos30°=2×=；②當(dāng)∠ABC=30°時，如圖，∵∠PCB=30°，∠ACB=90°，∴∠ACP=60°，∵∠BAC=60°，∴△PAC為等邊三角形．∴PC=AC，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=2．∴PC=2．綜上，PC的長為：2或．故答案為：2或．3．（2022·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校三模）如圖，平面內(nèi)幾條線段滿足．AB、CD的交點為E，現(xiàn)測得，，，則CD的長度為___________．【答案】【思路分析】延長交于，過作交于，根據(jù)“字形”可知，得到相似比，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理得，結(jié)合條件得出，再利用相似比即可求出的長度．【詳解】解：延長交于，過作交于，如圖所示：，，，，，,,,,,,設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得,，解得，，解得，故答案為：．4．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖，在中，，，．將繞點A旋轉(zhuǎn)得，連接，B′B，則面積的最大值為________．【答案】16【思路分析】根據(jù)B′點軌跡求得B′到直線BC的最大距離為B′A+AC，再由勾股定理求得AC即可解答；【詳解】解：如圖，B′的軌跡在以A為圓心，AB為半徑的圓上，點D、A、C三點共線，∠ACB=90°，則DC⊥BC，當(dāng)B′與點A、C不共線時，B′C＜B′A+AC，∵B′C與BC不垂直，由垂線段的性質(zhì)可得：B′到直線BC的距離小于B′C，∴B到直線BC的距離小于B′A+AC，當(dāng)B′與點D重合時，B′到直線BC的距離=B′A+AC，∴B′到直線BC的最大距離為B′A+AC，∴當(dāng)B′與點D重合時，△B′CB的面積最大，Rt△ABC中，AC=，∴△B′CB面積最大值為DC?BC=（5+3）×4=16，故答案為：16；5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，在等腰直角△ABC中，，點D在△ABC內(nèi)部，連接BD、CD，將△BDC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEC，點M在邊AE上，若，，則線段BM的最小值為______．【答案】【思路分析】點D在以BC為直徑的圓O上，根據(jù)垂線段最短，延長BD交AE于點F，證明BF⊥AE，四邊形DCEF是正方形，用勾股定理計算BD，BF=BD+DF計算即可．【詳解】∵，∴點D在以BC為直徑的圓O上，延長BD交AE于點F，∴∠EDF=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠AEC=∠ACB=90°，∠ECD=90°，CD=CE，∴∠DFE=90°，∴BF⊥AE，∴BF最短，∴當(dāng)M與點F重合時，BM最小，∵AC=2CD=BC=4，∴DF=CD=2，BD=，∴BF=BD+DF=，故答案為：．6．（2022·江蘇蘇州·一模）如圖，在中，，，，點是邊上的一動點．，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點是邊的中點，則長度的最小值為______．【答案】【思路分析】過C作CD⊥AB于D，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)求出AB，利用勾股定理求BC，然后利用面積橋求出CD，根據(jù)點E為A′C中點求出CE，當(dāng)點P運動到點D時，C、E、D三點共線時EP最短即可求解．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，∵，，，∴AB=2AC=4，BC=，∴，∴，∵點E是A′C的中點，A′C=AC=2，∴CE=，當(dāng)點P運動到點D時，C、E、D三點共線時EP最短，EP最短=CD-CE=．故答案為：．7．（2022·江蘇·宜興市實驗中學(xué)二模）如圖，在中，，．矩形DEFG的頂點D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若，則當(dāng)EC＝______時，矩形DEFG面積的最大值＝______．【答案】

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【思路分析】設(shè)ED=x，EF=y，過F作FH⊥AC于H，根據(jù)求出，HE，勾股定理求出FH，根據(jù)AC=AH+HE+EC得到，進(jìn)而得到關(guān)于矩形DEFG面積的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到面積的最大值．【詳解】解：設(shè)ED=x，EF=y，過F作FH⊥AC于H，在Rt△ECD中，∵，∴，∴，∵∠FEH+∠CED=90°，∴∠EFH=∠DEC，∴，∴FH=，∵△AHF是等腰直角三角形，∴AH=FH=，∵AC=AH+HE+EC=，∴=4，∴，∴矩形DEFG面積=xy==，∴當(dāng)時，矩形EDGF面積有最大值，最大值為，∴=2，故答案為：2，．8．（2022·江蘇南通·二模）某校航模小組打算制作模型飛機(jī)，設(shè)計了如圖所示的模型飛機(jī)機(jī)翼圖紙，圖紙中，均與水平方向垂直．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，機(jī)翼外緣CD的長為______cm．（結(jié)果取整數(shù)，參考，，）【答案】5【思路分析】過點A作DC的垂線，交DC的延長線于點E．過點D作AB的垂線，交AB的延長線于點F．易證四邊形AFDE是矩形，那么AE=FD=30cm，DE=AF．解Rt△AEC，求出EC=AE=30cm．再解Rt△BFD，根據(jù)正切函數(shù)定義可得BF=FD?tan27°≈15.3cm．最后根據(jù)CD=DE-CE=AF-CE=AB+BF-CE，代入數(shù)據(jù)即可求得CD的長．【詳解】解：過點A作DC的垂線，交DC的延長線于點E．過點D作AB的垂線，交AB的延長線于點F．在四邊形AFDE中，∵AB∥CD，∠AED=90°，∴∠FAE=90°．又∠AFD=90°，∴四邊形AFDE是矩形，∴AE=FD=30cm，DE=AF．在Rt△AEC中，∵∠AEC=90°，∠CAE=45°，AE=30cm，∴EC=AE=30cm．在Rt△BFD中，∵∠BFD=90°，∠BDF=27°，F(xiàn)D=30cm，∴tan27°=，∴BF=FD?tan27°≈15.3cm．∴CD=DE-CE=AF-CE=AB+BF-CE≈5cm．故機(jī)翼外緣CD的長度約為5cm．故答案為：59．（2022·江蘇·靖江市教師發(fā)展中心二模）如圖，，，點、分別是線段、射線上的動點，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為______．【答案】【思路分析】作射線BD，根據(jù)△DEF為等腰直角三角形，得出DE=DF，再判斷四點D、E、B、F共圓，得出∠DEF=∠DFE=45°，得出BD平分∠ABC，可得當(dāng)AD⊥BD時，AD最短，然后利用AD=ABsin∠ABD=即可．【詳解】解：作射線BD，∵△DEF為等腰直角三角形，∴DE=DF，∵∠EDF=∠EBF=90°，∴四點D、E、B、F共圓，∴∠DEF=∠DFE=45°，∴BD平分∠ABC，∴當(dāng)AD⊥BD時，AD最短，∵AB=5∴AD=ABsin∠ABD=．故答案為．10．（2022·江蘇泰州·二模）如圖，在等邊外側(cè)作直線AD，點C關(guān)于直線AD的對稱點為M，連接CM，BM．其中BM交直線AD于點E．若，當(dāng)，時，則等邊的邊長為______．【答案】【思路分析】設(shè)DE交CM于點F，連接AM，CE，過點B作于N，由對稱的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可證，再由三角形外角的知識點求得，通過解直角三角形可得BN、CN的長，再利用勾股定理計算即可．【詳解】設(shè)DE交CM于點F，連接AM，CE，過點B作于N，點C關(guān)于直線AD的對稱點為M，，，，，，為等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，故答案為：．11．（2022·江蘇·無錫市河埒中學(xué)二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是CD邊上的一點，連接BP，以BP為一邊在正方形內(nèi)部作，過點A作，交BQ的延長線于點E，則______．【答案】【思路分析】連接AP，作EM⊥.PB于M，根據(jù)S△PBE=S△ABP=S正方形ABCD=8即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AP，作EM⊥PB于M，AE//PB，S△PBE=S△ABP=S正方形ABCD=，，∠EBM=45°，∠EMB=90°.EM=BE，，，故答案為．12．（2022·江蘇宿遷·二模）如圖，在中，，則的面積為_______．【答案】【思路分析】過B點作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，過C點作CN⊥AB于N點，在AN上取一點M，使得MN=NB，設(shè)CN=a，先求出∠DCB=45°，即在Rt△DCB中，DC=DB=BC，再解含有特殊角的直角三角形即可得到BC=CM=AM=2a，MN=NB=a，根據(jù)三角形的面積即可求出a的值，則問題得解．【詳解】過B點作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，過C點作CN⊥AB于N點，在AN上取一點M，使得MN=NB，設(shè)CN=a，如圖，∵BD⊥AC，CN⊥AB，∴∠D=90°=∠CNM=∠CNB，∵∠A=15°，∠ABC=30°，∴∠DCB=45°，∴在Rt△DCB中，DC=DB=BC，∵∠ABC=30°，∴在Rt△CNB中，2CN=BC=2a，BN=CN=a，∴DC=DB=×2a=a，∵CN⊥AB，MN=NB=a，∴有△CMB是等腰三角形，CM=CB=2a，∴∠CMB=∠CBM=30°，∵∠A=15°，∴∠ACM=∠A=15°，∴AM=CM=BC=2a，∴AB=AM+MN+BN=2a+2a，∴△ABC的面積為：，∴，解得，∴△ABC的面積為：，故答案為：．13．（2022·江蘇常州·二模）如圖，在中，，．D是邊BC的中點，點E在AB邊上，將沿直線DE翻折，使點B落在同一平面內(nèi)點F處，線段FD交邊AB于點G，若時，則______．【答案】4【思路分析】如圖，過點作交的延長線于，如圖，利用正弦的定義得到，則設(shè)，，所以，再根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，所以，接著根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，則，然后證明，利用相似比得到，最后計算的值．【詳解】解：如圖，過點作交的延長線于，如圖，，，，設(shè)，，，沿直線翻折得到，，，，，，，，，，，，，，即，，，．故答案為：4．14．（2022·江蘇南京·一模）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為_____．【答案】【思路分析】設(shè)PQ與AC交點為O，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過O作BC的垂線，然后根據(jù)和△ABC相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出，得到PQ的最小值．【詳解】解：設(shè)PQ與AC交點為O，∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝2，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線，∵，，∴△CAB∽△，∴，∴，∴＝，∴則PQ的最小值為2＝，故答案為：．15．（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長是3．，連接、交于點，并分別與邊、交于點、，連接，下列到結(jié)論：①；②；③；④；⑤當(dāng)時，，其中正確結(jié)論是：__．【答案】①③⑤【思路分析】由正方形的性質(zhì)得出條件，先判定△DAP≌△ABQ（SAS），再判定△CQF≌△BPE（ASA）及△ADF≌△DCE（SAS），則可判斷①②③是否正確；由勾股定理可判斷④是否正確；分別判定△PBE∽△PAD，△PAD∽△QOE，從而可得比例式，求得OE和OA的值，則可判斷⑤是否正確．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP和△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ（SAS），∴∠P＝∠Q，∵∠Q+∠QAB＝90°，∴∠P+∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝∠ADO+∠FDO＝90°，∴∠DAO＝∠FDO，∴△DAO∽△FDO，∴，∴OD2＝OA?OF，∵OD不一定等于OQ，故②不正確；在△CQF和△BPE中，，∴△CQF≌△BPE（ASA），∴CF＝BE，∴DF＝CE，故①正確；在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴S△ADF﹣S△DOF＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四邊形OECF，故③正確；∵AQ⊥DP，∴AO2+OE2＝AE2，∵AE＞AB＝BC，∴AO2+OE2＞BC2，故④錯誤；∵BP＝1，AB＝3，∴AP＝4，∵正方形ABCD中，BC∥AD，∴△PBE∽△PAD，∴，∴BE，∴QE，∵∠P＝∠Q，∠PAD＝∠QOE＝90°，∴△PAD∽△QOE，∴，∴OQ，OE，∴AO＝5﹣OQ，∴tan∠OAE，故⑤正確．綜上，正確的有①③⑤．故答案為：①③⑤．16．（2022·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校二模）如圖，將兩塊三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角頂點O重合，點A、D在EF邊上，AB=6．（1）若點O到BC的距離為，則點O到EF的距離為_________；（2）若BC=3AD，則△OCD外接圓的半徑為_________．【答案】

6【思路分析】（1）根據(jù)題意可得∠AOB=∠DOC=90°，AO=BO，CD=2DO，過點O作OG⊥BC于點G，延長GO交EF于點H，證明△OAH≌△BOG（AAS），可得OH=BG，AH=OG=，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題；（2）根據(jù)題意證明△HOD∽△GCO，可得，由tan∠OCD=tan30°=，設(shè)BG=OH=x，可得CG=x，設(shè)HD=k，可得OG=k，根據(jù)BC=3AD可得，k=x，然后利用勾股定理可得DO=6，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】解：（1）∵兩塊三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，∴∠AOB=∠DOC=90°，AO=BO，CD=2DO，如圖，過點O作OG⊥BC于點G，延長GO交EF于點H，∵四邊形BCEF是矩形，∴BC∥EF，∴OH⊥EF，∴∠OHA=∠AOB=90°，∴∠AOH+∠OAH=∠AOH+∠BOG=90°，∴∠OAH=∠BOG，在△OAH和△BOG中，，∴△OAH≌△BOG（AAS），∴OH=BG，AH=OG=，∵AB=6．∴AO=BO=AB=3，∴BG=2，∴OH=2，則點O到EF的距離為2，故答案為：2；（2）∵∠OGC=∠DHO=∠DOC=90°，∴∠HOD+∠COG=∠GCO+∠COG=90°，∴∠HOD=∠GCO，∴△HOD∽△GCO，∴，∵∠OCD=30°，∴tan∠OCD=tan30°=，∴，由（1）知：OH=BG，AH=OG，設(shè)BG=OH=x，∴CG=x，設(shè)HD=k，∴OG=k，∴AH=OG=k，∴AD=AH+DH=（+1）k，∵BC=3AD，BC=BG+CG=OH+CG=（+1）x，∴（+1）x=3（+1）k，∴k=x，∴AH=OG=k=x，在Rt△AHO中，根據(jù)勾股定理得：OH2+AH2=AO2，∴x2+（x）2=（3）2，解得x=3，∴HD=k=x=，BG=OH=x=3，在Rt△DHO中，根據(jù)勾股定理得：DH2+OH2=DO2，∴（）2+（3）2=DO2，∴DO=6，∴△OCD外接圓的半徑為6．故答案為：6．17．（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)一模）如圖，將繞斜邊的中點旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，已知，，則________．【答案】【思路分析】如圖，連接，，作于，于．先證，根據(jù)勾股定理求出AB，利用旋轉(zhuǎn)求出EF，然后證明四邊形OMCH為矩形，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，作于，于．由題意：，，，，，共圓，，，，，，∵，，，，，，∵△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)到△FEH，∴AE=CB，F(xiàn)E=AB=，∴，∴∠BAC=∠ACE，∴，∴于，于．∴∠DMC=∠DHC=∠HCM=90°，∴四邊形是矩形，，∵OE=,，故答案為．18．（2022·江蘇徐州·二模）如圖，在等邊三角形中，，點，，分別是邊，，邊上的動點，則周長的最小值是______．【答案】3【思路分析】作點D關(guān)于AB的對稱點G，作點D關(guān)于AC的對稱點H，連接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，過點A作AI⊥BC于I，過點A作AJ⊥GH于J．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，兩點之間，線段最短確定△DEF周長的最小值是GH，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系確定，再根據(jù)垂線段最短確定當(dāng)AD⊥BC時，△DEF周長取得最小值為，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可求解．【詳解】解：如下圖所示，作點D關(guān)于AB的對稱點G，作點D關(guān)于AC的對稱點H，連接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，過點A作AI⊥BC于I，過點A作AJ⊥GH于J．∴GE=DE，HF=DF，AG=AD，AH=AD，∠GAB=∠DAB，∠HAC=∠DAC．∴AG=AH，．∴，△DEF周長的最小值是GH．∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°．∴∠DAB+∠DAC=60°．∴∠GAB+∠HAC=60°．∴∠GAH=∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC=120°．∴．∴，．∴．∴當(dāng)AD取得最小值時，GH取得最小值，即△DEF周長取得最小值．∴當(dāng)AD⊥BC時，即點D與點I重合時，△DEF周長取得最小值為．∵AB=2，

∴．∴．∴△DEF周長的最小值是3．故答案為：3．19．（2022·江蘇南通·一模）如圖，△ABC中，，，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)，得△DCE，點D，點E分別與點A，點B對應(yīng)，邊CE，DE與邊AB相交，交點分別為點F，點G，若，則的值為_________．【答案】【思路分析】過F作FH⊥BC于H，設(shè)AB=5k則AF=3k，BF=2k，解Rt△ABC，Rt△BFH和Rt△CHF求得CF的長，再由△GFE∽△CFB即可解答；【詳解】解：如圖，過F作FH⊥BC于H，設(shè)AB=5k，則AF=3k，BF=2k，，則Rt△ABC中，AC=3k，BC==4k，Rt△BFH中，F(xiàn)H=k，BH==k，∴CH=BC-BH=4k-k=k，Rt△CHF中，CF==k，∵CE=CB，∴EF=CE-CF=4k-k，∴EF∶BF=（4k-k）∶2k=，∵∠E=∠B，∠GFE=∠CFB，∴△GFE∽△CFB，∴=，故答案為：；20．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，點E在對角線BD上運動，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時，⊙O的半徑為__________；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時，其半徑為__________．【答案】

2

或【思路分析】由題意易得，則有，．連接OD，過點O作OM⊥CD于點M，由與⊙O相切，則有OD⊥AD，即∠ADO=90°，，即有∠ODM=∠ADC-∠ADO=30°，則可求出，問題得解；②可分為⊙O與四邊形的邊相切和⊙O與四邊形的邊相切兩種情況，進(jìn)而根據(jù)切線的性質(zhì)可進(jìn)行求解．當(dāng)⊙O與四邊形的邊相切于點G時，作OF⊥CD于點F，并延長，交AD的延長線于點P，交AB于點N，利用，，即可求出和其度數(shù)，即可求出和其度數(shù)，即可求出、，進(jìn)而求出、、NF，設(shè)，則可表示出、，在Rt△DFO中，利用勾股定理得可得到關(guān)于r的方程，解方程即可求出r；當(dāng)⊙O與四邊形的邊相切時，則切點即為點C，為⊙O的直徑，⊙O的半徑為．【詳解】解：∵在四邊形中，，，，∴，∴，，連接OD，過點O作OM⊥CD于點M，如圖所示：∵與⊙O相切，∴OD⊥AD，即∠ADO=90°，，∴∠ODM=∠ADC-∠ADO=30°，∴，即⊙O的半徑為2；②分兩種情況討論第一種情況：當(dāng)⊙O與四邊形的邊相切于點G時，作OF⊥CD于點F，并延長，交AD的延長線于點P，交AB于點N，如圖所示：∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴NF=5，設(shè)，則有，∴，在Rt△DFO中，由勾股定理得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）；第二種情況：當(dāng)⊙O與四邊形的邊相切時，則切點即為點C，∴為⊙O的直徑，∴⊙O的半徑為；綜上所述：當(dāng)⊙O與四邊形的一邊相切時，其半徑為2或或；故答案：2；或．21．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是BC的中點，連接AD，過點C作CF⊥AD交AB于F，則△ABD的面積為______，BF＝______．【答案】

3

【思路分析】過D作DG⊥AB于G，利用勾股定理和三角函數(shù)解Rt△ABC，Rt△DBG，Rt△ACD，Rt△ACE，Rt△ADG，Rt△AEF，求得AF即可解答；【詳解】解：過D作DG⊥AB于G，∵DB=DC，AC⊥BC，∴S△BDA=S△CDA=S△ABC=；Rt△ABC中由勾股定理得：AB=，∴cos∠B==，sin∠B==，Rt△DBG中，BD=2，則BG=2×cos∠B=，DG=2×sin∠B=，Rt△ACD中，AC=3，CD=