滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)考試滿分全攻略重難點(diǎn)01相似三角形(5種模型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)01相似三角形（5種模型）技巧方法技巧方法一、“8”字模型8字_平行型條件：CD∥AB,結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;四邊形ABCD為一般梯形.條件：CD∥AB,PD=PC.結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)ΔPAD?ΔPBC左右全等；四邊形ABCD為等腰梯形；8字_不平行型條件：∠CDP=∠BAP.結(jié)論：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);ΔAPD～ΔBPC(左右相似);二、“A”字模型三、“母子”型“子母型”相似的圖形特點(diǎn)：有一個(gè)公共角，

一對(duì)完全重合的邊，

一對(duì)半重合的邊，

一對(duì)完全不重合的邊。子母型的結(jié)論：AB2=AD·AB

(重合邊的平方等半重合邊的乘積)

特殊的子母型（雙垂直型）四、“一線三等角”模型一線三等角指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。或叫“K字模型”。三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見(jiàn)的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過(guò)添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。一般類型：基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”能力拓展能力拓展題型一：“8”字模型1．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．（1）求證：AB2＝AC?AE；（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長(zhǎng)AD交BE于F，若ABAC=32．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．3．（2021·上海·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長(zhǎng)；（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）4．（2020·上海奉賢·二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，AC⊥BC，垂足為點(diǎn)C，且BC2＝CE?CA．（1）求證：AD＝DE；（2）過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)F，求證：CE2＝AE?AF．題型二：“A”字模型1．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）一把梯子如圖所示，其中四邊形AKLB是梯形．已知AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，AB＝0.5m，GH＝0.74m，求CD、EF的長(zhǎng)．2．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是邊AB上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），DE平分∠CDB，交邊BC于點(diǎn)E，EF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．（1）當(dāng)DE⊥BC時(shí)，求DE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△CEF與△ABC相似時(shí)，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面積是△DEF面積的2倍，求這時(shí)AD的長(zhǎng)．3．（2021·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．4．（2020·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且滿足AE＝2EC，點(diǎn)F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．（1）當(dāng)CF＝2時(shí)，求線段BN的長(zhǎng)；（2）若設(shè)CF＝x，△BNE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請(qǐng)直接寫出x的值．5．（2021·上海嘉定·二模）已知點(diǎn)P為線段AB上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC；再將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段BD；點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM、CM．（1）如圖1，如果點(diǎn)P在線段CM上，求證：；（2）如圖1，如果點(diǎn)P在線段CM上，求證：；（3）如果點(diǎn)P不在線段CM上（如圖12），當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的正切值是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，簡(jiǎn)述理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出的正切值．6．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交邊于點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）取線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，交線段于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交邊于點(diǎn)，求的值．題型三：“母子”型1．（2021·上海黃浦·九年級(jí)期中）直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，7），過(guò)點(diǎn)G和B作直線BG，連接AG，求∠AGB的正切值；（3）在（2）的條件下，在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2021·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．3．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．4.（2022徐匯一模25題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，射線DE交邊AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作射線DE的垂線，垂足為點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AC中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）求證：；（3）當(dāng)時(shí)，求．

5.（2022虹口一模25題）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，點(diǎn)D是邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，在射線AB上取一點(diǎn)E，使得∠ADE＝∠ABC．過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：＝；（2）在（1）題的條件下，設(shè)CD＝x，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）記DE交射線AC于點(diǎn)G，當(dāng)△AEF∽△AGF時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

6.（2022長(zhǎng)寧一模25題）已知,在△ABC中,,點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且,射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1,如果,求的值；（2）聯(lián)結(jié),如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),聯(lián)結(jié),求線段的長(zhǎng)．7.【2021松江二模】如圖，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過(guò)點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．題型四：“一線三等角”模型1．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形中，，，，平分．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果點(diǎn)在對(duì)角線上，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（點(diǎn)可與點(diǎn)重合），，設(shè)長(zhǎng)度是是常數(shù)，且，，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）在第（2）小題的條件下，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)（計(jì)算結(jié)果用含的代數(shù)式表示）2.（2018浦東新區(qū)二模）已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，點(diǎn)F在DE上CF＝CD，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥FC交AD于點(diǎn)G．（1）求證：GF＝GD；（2）聯(lián)結(jié)AF，求證：AF⊥DE．3．（2019·上海市育才初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，BM交對(duì)角線AC于點(diǎn)G、交CD于點(diǎn)M．（1）如圖1，聯(lián)結(jié)BD，求證：△DEB～△CGB（2）聯(lián)結(jié)EG，如圖2，若設(shè)，求y關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)M為邊DC的三等分點(diǎn)時(shí)，求的面積．4．（2020·上海寶山·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E．（1）求證：AB·AF＝CB·CD；（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)DP＝xcm（），四邊形BCDP的面積為ycm2．①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x為何值時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)y的值．5．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，如圖1，請(qǐng)直接猜想并寫出與之間的數(shù)量關(guān)系：________；（2）如圖2，將（1）中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，矩形和有公共頂點(diǎn)，且，，則________．題型五：旋轉(zhuǎn)型相似1．（2021秋?靜安區(qū)期末）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB?AD，且DC∥AE．（1）求證：DE2＝AE?DC；（2）如果BE＝9，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖2，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，設(shè)BE＝x，EF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．2．（2018·上海民辦浦東交中初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊分別在軸、軸的正半軸上，.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段的中點(diǎn)繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得點(diǎn)，點(diǎn)隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接.(1)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)的坐標(biāo).(2)求為何值時(shí)，的面積最大，最大為多少?(3)在點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，能否成為直角三角形?若能，求的值:若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.(4)請(qǐng)直接寫出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度.重難點(diǎn)01相似三角形（5種模型）技巧方法技巧方法一、“8”字模型8字_平行型條件：CD∥AB,結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;四邊形ABCD為一般梯形.條件：CD∥AB,PD=PC.結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)ΔPAD?ΔPBC左右全等；四邊形ABCD為等腰梯形；8字_不平行型條件：∠CDP=∠BAP.結(jié)論：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);ΔAPD～ΔBPC(左右相似);二、“A”字模型三、“母子”型“子母型”相似的圖形特點(diǎn)：有一個(gè)公共角，

一對(duì)完全重合的邊，

一對(duì)半重合的邊，

一對(duì)完全不重合的邊。子母型的結(jié)論：AB2=AD·AB

(重合邊的平方等半重合邊的乘積)

特殊的子母型（雙垂直型）四、“一線三等角”模型一線三等角指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角?；蚪小癒字模型”。三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見(jiàn)的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過(guò)添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。一般類型：基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”能力拓展能力拓展題型一：“8”字模型1．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．（1）求證：AB2＝AC?AE；（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長(zhǎng)AD交BE于F，若ABAC=3【分析】（1）利用兩角相等的兩個(gè)三角形相似，證明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH∥CB，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，利用（1）的結(jié)論可得ABAE=ACAB=BCEB=23，先AC＝2a，AB＝3a，從而求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出ACAE的值，再根據(jù)已知設(shè)CD＝m，BD＝3m，從而求出BC，BE的長(zhǎng)，然后證明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性質(zhì)可得EH【解答】（1）證明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AEB，∴ABAE∴AB2＝AC?AE；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EH∥CB，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵△ABC∽△AEB，∴ABAE∴設(shè)AC＝2a，AB＝3a，∴3aAE∴AE=92∴ACAE∵BD＝3CD，∴設(shè)CD＝m，則BD＝3m，∴BC＝CD+BD＝4m，∴4mEB∴EB＝6m，∵EH∥CD，∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE，∴△ACD∽△AEH，∴ACAE∴EH=94∵EH∥BD，∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH，∴△BDF∽△EHF，∴BFEF∴EF=37BE=∴CDEF∴CDEF的值為7【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．3．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長(zhǎng)；（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）2；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由BE=EF可得與的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得與的值，-即可得四邊形AEFH的面積．【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，∴，=8，∴，，∴，，∵BE=EF=FD，∴，，∴BG=AD=4，HD=BG，∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴=a，∴，∵，，，，∴，，∴四邊形AEFH的面積=-=．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020·上海奉賢·二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，AC⊥BC，垂足為點(diǎn)C，且BC2＝CE?CA．（1）求證：AD＝DE；（2）過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)F，求證：CE2＝AE?AF．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CBE＝∠CAB，根據(jù)等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，，得到，整理得到CE2＝AE?EF，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AF＝EF，證明結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵BC2＝CE?CA，∴，又∠ECB＝∠BCA，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE＝∠CAB，∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，∴∠BEC＝∠DAE，∵∠BEC＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE；（2）過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)F，如圖，∵DF⊥AC，AC⊥BC，∴∠DFE＝∠BCA＝90°，∴DF∥BC，∴，∵DC∥AB，∴，∴，∴CE2＝AE?EF，∵AD＝DE，DF⊥AC，∴AF＝EF，∴CE2＝AE?AF．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型二：“A”字模型1．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）一把梯子如圖所示，其中四邊形AKLB是梯形．已知AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，AB＝0.5m，GH＝0.74m，求CD、EF的長(zhǎng)．【分析】先證明△ACD'∽△AGH'，找到CD'，再利用梯形CGHD的中位線等于兩底和的一半，找到EF的值．【解答】解：延長(zhǎng)KA、LB交于點(diǎn)P，過(guò)A作AL'∥BL交CD、EF、GH、KL于點(diǎn)D'、F'、H'、L'，∵AB∥KL，∴PAAK又∵AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，∴PA4AC∴PAAC∴AB∥CD．同理得AB∥CD∥EF∥GH∥KL．∴四邊形AD'DB，D'F'FD，F(xiàn)'H'HF都為平行四邊形邊；即AB＝D'D＝F'F＝H'H＝0.5m；GH＝0.74m，∴GH'＝0.24m，∵CD∥AH，∴△ACD'∽△AGH'，∴ACAG=CD'GH'，∴CD'=13GH'＝0.24×1CD＝0.08+0.5＝0.58．∵EF為梯形CGHD的中位線，∴EF=12（CDtGH）＝0.66【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形CGHD的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半，解題的關(guān)鍵是掌握相似的判定．2．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是邊AB上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），DE平分∠CDB，交邊BC于點(diǎn)E，EF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．（1）當(dāng)DE⊥BC時(shí)，求DE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△CEF與△ABC相似時(shí)，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面積是△DEF面積的2倍，求這時(shí)AD的長(zhǎng)．【分析】（1）證明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根據(jù)DEBE=tan∠B（2）分兩種情況：①當(dāng)△CEF∽△ABC時(shí)，可證得∠CDB＝90°，再根據(jù)DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函數(shù)值即可求得答案；②當(dāng)△CEF∽△BAC時(shí)，則∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函數(shù)定義即可求得答案；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面積是△DEF面積的2倍，可得出BD＝2DF，進(jìn)而推出DE＝BE，設(shè)BE＝x，則DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE?cosB=23x，BD＝2BG=43x，DG＝DF＝BG=23x，AD＝AB﹣BD＝6?43【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，∴AC=AB2∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在△DCE和△DBE中，∠CDE=∠BDEDE=DE∴△DCE≌△DBE（ASA），∴CE＝BE，∵CE+BE＝BC＝4，∴CE＝BE＝2，∵DEBE=tan∠B∴DE2∴DE=5（2）∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF與△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①當(dāng)△CEF∽△ABC時(shí)，則∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE=12∠CDB∴tan∠CDE＝tan45°＝1；②當(dāng)△CEF∽△BAC時(shí)，則∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CDE＝∠BAC，∴tan∠CDE＝tan∠BAC=BC綜上所述，∠CDE的正切值為1或25（3）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∵△BDE的面積是△DEF面積的2倍，∴BD＝2DF，∴DG＝BG，∵EG⊥BD，∴DE＝BE，設(shè)BE＝x，則DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE?cosB=23∴BD＝2BG=43x，DG＝DF＝BG=∴AD＝AB﹣BD＝6?43∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠DCE＝∠BCD，∴△CDE∽CBD，∴CDCB=CE解得：CD＝3，x=7∴AD＝6?43x＝6故這時(shí)AD的長(zhǎng)為113【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，三角形面積，三角函數(shù)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想和方程思想解決問(wèn)題．3．（2021·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問(wèn)題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2020·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且滿足AE＝2EC，點(diǎn)F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．（1）當(dāng)CF＝2時(shí)，求線段BN的長(zhǎng)；（2）若設(shè)CF＝x，△BNE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請(qǐng)直接寫出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，進(jìn)而求得；（2）分為0＜x＜3和3＜x＜4.5兩種情形，作EG⊥BC于G，根據(jù)三角形相似求出EG和BN；（3）分為BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三種，可根據(jù)BM＝9﹣2CF求得．【詳解】解：（1）如圖1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴，∴BN＝10；（2）當(dāng)CF＝BM時(shí)，，此時(shí)△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，當(dāng)點(diǎn)M和B點(diǎn)重合時(shí)，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分為0＜x＜3和3＜x＜4.5，如圖2，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由得，，∴，∴y＝＝＝；如圖3，當(dāng)3＜x＜4.5時(shí)，由得，∴CN＝，∴y＝＝；（3）如圖4，∵，∴，∴CG＝CB＝2，∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，當(dāng)BM＝BE＝5時(shí)，9﹣2x＝5，∴x＝2，如圖5，當(dāng)EM＝EB＝5時(shí)，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x=，如圖6，當(dāng)EM＝BM時(shí)，作MH⊥BE于H，在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝，∴BM＝，∴9﹣2x＝，∴x＝，綜上所述：x＝2或或．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理解直角三角形，矩形的性質(zhì)，正確引出輔助線及掌握分類思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．5．（2021·上海嘉定·二模）已知點(diǎn)P為線段AB上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC；再將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段BD；點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM、CM．（1）如圖1，如果點(diǎn)P在線段CM上，求證：；（2）如圖1，如果點(diǎn)P在線段CM上，求證：；（3）如果點(diǎn)P不在線段CM上（如圖12），當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的正切值是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，簡(jiǎn)述理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出的正切值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，△APC是等邊三角形，∠PBD=120°，則∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．（2）利用三角形的中位線定理解決問(wèn)題即可．（3）延長(zhǎng)BM至點(diǎn)G，使得MG=MB，連接AG，BC，GC，PC，可證△CBG是等邊三角形且點(diǎn)M是BG的中點(diǎn)，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1中，由題意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，∴△APC是等邊三角形，∴∠APC=60°，∴∠BPM=60°，又∵∠PBD=120°，∴∠BPM+∠PBD=180°，∴PM∥BD；（2）如圖1中，∵AM=MD，PM∥BD，∴AP=PB，∴PM=BD，∵PA=PC=PB=BD，∴PC=2PM；（3）結(jié)論：tan∠BCM=．理由如下：如圖2，延長(zhǎng)BM至點(diǎn)G，使得MG=MB，連接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM=MD，GM=BM，∴四邊形AGDB是平行四邊形，∴AG=BD，AG∥BD，∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，∴∠CAG=120°，∵△APC是等邊三角形，∴AC=CP，∠CPB=120°，∵PB=DB=AG，∴△CAG≌△CPB（SAS），∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，∴∠GCB=60°，∴△CBG是等邊三角形，∵GM=BM，∴∠BCM=∠BCG=30°，∴tan∠BCM=．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．6．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交邊于點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）取線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，交線段于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交邊于點(diǎn)，求的值．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）分別求出CD，BC，BD，證明，根據(jù)相似性質(zhì)即可求解；（2）先證明，再證明，根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）∵平分，，∴．在中，，，，∴．在中，，，，∴．∴．∵，∴∴．∴．（2）∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴．∵，∴∴．∴．∵，∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形性質(zhì)，相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意確定相似三角形，并根據(jù)相似性質(zhì)解題．題型三：“母子”型1．（2021·上海黃浦·九年級(jí)期中）直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，7），過(guò)點(diǎn)G和B作直線BG，連接AG，求∠AGB的正切值；（3）在（2）的條件下，在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，，，，【分析】（1）對(duì)于，令x＝0，則y＝1，令y＝0，即＝0，解得x＝3，即可求解；（2）證明AG2＝AB2＋BG2，則△ABG為直角三角形，即可求解；（3）分△ABQ∽△AOB、△ABQ∽△BOA兩種情況，利用三角形相似邊的比例關(guān)系，即可求解．【詳解】解：（1）對(duì)于，令x＝0，則y＝1，令y＝0，即＝0，解得x＝3，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別（3，0）、（0，1）；（2）由A、B、G的坐標(biāo)知，BG2＝22＋（7?1）2＝40，同理AB2＝10，AG2＝50，故AG2＝AB2＋BG2，故△ABG為直角三角形，則tan∠AGB＝；（3）設(shè)直線BG的表達(dá)式為y＝kx＋b，則，解得故直線BG的表達(dá)式為y＝3x＋1，設(shè)點(diǎn)Q（m，3m＋1），①當(dāng)△ABQ∽△AOB時(shí)，則，即，解得m＝±，∴，②當(dāng)△ABQ∽△BOA時(shí)，，即解得：m＝±3，∴，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）或（?，0）或（3，10）或（?3，?8）．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、三角形相似等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．2．（2021·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問(wèn)題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．4.（2022徐匯一模25題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，射線DE交邊AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作射線DE的垂線，垂足為點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AC中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）求證：；（3）當(dāng)時(shí)，求．

【小問(wèn)1詳解】解：過(guò)D作DH⊥AB于H，在△ABC中，，，設(shè)，，∴，∵D為AC中點(diǎn)，∴AD=AC=，∴S△ADB=12∴DH=AD在Rt△AHD中，，∴BH=AB－AH=－=，在Rt△BHD中，；【小問(wèn)2詳解】證明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，∴△DEB∽△ADB，∴，∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，∴△DFB∽△ACB，∴，∴即；【小問(wèn)3詳解】解：由可設(shè)，，則DF=4k，∵，∴cot∠BDE=cot∠A=，∴，∴，又∠F=90°，∴，，∵△DEB∽△ADB，∴即，∴AB=8k，∴AE=AB－EB=5k，∴AE：EB=5k：3k=5：3．5.（2022虹口一模25題）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，點(diǎn)D是邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，在射線AB上取一點(diǎn)E，使得∠ADE＝∠ABC．過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：＝；（2）在（1）題的條件下，設(shè)CD＝x，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）記DE交射線AC于點(diǎn)G，當(dāng)△AEF∽△AGF時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∴△ADF∽△ABC，∴，∴；（2）解：∵∠ACB＝90°，tanB＝，∴tanB＝＝，設(shè)AC＝3a，BC＝4a，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3a）2+（4a）2＝102，∴a＝2，∴AC＝6，BC＝8，∴AD＝＝，由（1）得，∴，∴y＝，當(dāng)x＝0時(shí)，此時(shí)DE⊥AB，由S△ABC＝得，10?DE＝6×8，∴DE＝，∴x＞；（3）解：如圖1，當(dāng)G在線段AC上時(shí)，延長(zhǎng)AF交BC于M，作MN⊥AB于N，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∴AF＝AG，∴∠EAF＝∠GAF＝，∵∠DAF＝∠BAC，∴∠DAC＝∠GAF，∵AC⊥BD，∴∠AMC＝∠ACD，∴AM＝AD，∴CM＝CD，∵AM平分∠BAC，∴MN＝CM，由S△ABC＝S△ABM+S△ACM得，，∴16?CM＝48，∴CM＝3，∴CD＝3．如圖2，當(dāng)G點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∵∠AGF是∠AEF的外角，∴∠AGF＞∠AEF，∴這種情形不存在，∴CD＝3．6.（2022長(zhǎng)寧一模25題）已知,在△ABC中,,點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且,射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1,如果,求的值；（2）聯(lián)結(jié),如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),聯(lián)結(jié),求線段的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C，∴∠B＝∠OEC，∴△ABC∽△OEC，∴，∴，∴CE＝3.2，∴AE＝1.8；∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，∴△OBD∽△AED，∴，∴S△ADES（2）∵是以為腰的等腰三角形，∴AE＝OE，∵OC＝OE，∴設(shè)AE＝OE＝OC=x，由（1）得，△ABC∽△OEC，∴，∴，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；則的長(zhǎng)是為．（3）由（1）得，∠B＝∠OEC，∵∠OEC+∠OEA＝180°，∴∠B+∠OEA＝180°，∴A、B、O、E四點(diǎn)共圓，∴∠DBE＝∠AOD，∵，∴，∴AO∥DC，∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，∴，，∴，設(shè)OC=x，OB=8-x，∵△ABC∽△OEC，∴，∴，解得，，∴∴，解得，，（舍去），則的長(zhǎng)是為．7.【2021松江二?！咳鐖D，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過(guò)點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．【分析】（1）由題目條件可證得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），進(jìn)而可推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四邊形AFED是菱形．（2）根據(jù)條件可證得△ABG∽△CBA，即可證明結(jié)論．（3）由條件可得△DAE∽△ABC，由相似比可得，由BE2＝EC?BC，得到點(diǎn)E是BC的黃金分割點(diǎn)，可得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵BA＝BE，BF＝BF，∴△ABF≌△EBF（SAS），∴AF＝EF，同理可得△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∵AG∥DE，∴∠AFD＝∠EDF，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四邊形AFED菱形．（2）證明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，∵四邊形AFED是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C，∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴，即AB2＝BG?BC．（3）解：如圖，∵AB＝AC，∴∠ABG＝∠C，∵∠BAG＝∠C，∴∠ABG＝∠BAG，∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，∴∠AGC＝2∠BAG，∵BG＝CE，∴BE＝CG，∴CG＝CA，∴∠CAG＝∠CGA，∵∠CAG＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠ABC，∴∠DEA＝∠ACB，∴△DAE∽△ABC，∴，∵AB2＝BG?BC，AB＝BE，∴BE2＝EC?BC，∴點(diǎn)E是BC黃金分割點(diǎn)，∴，∴，∵∠EAC＝∠C，∴CE＝AE，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定及黃金分割點(diǎn)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵．題型四：“一線三等角”模型1．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形中，，，，平分．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果點(diǎn)在對(duì)角線上，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（點(diǎn)可與點(diǎn)重合），，設(shè)長(zhǎng)度是是常數(shù)，且，，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）在第（2）小題的條件下，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)（計(jì)算結(jié)果用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）或時(shí)，為等腰三角形【分析】（1）由題意先判斷出∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，進(jìn)而得出∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，即可得出結(jié)論；（2）由題意先判斷出△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC，得出比例式，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意分三種情況，①當(dāng)CE=EG時(shí)，判斷出點(diǎn)F，G和點(diǎn)D重合，即：AF=AB，即可得出結(jié)論，②當(dāng)CG=CE時(shí)，先判斷出∠FDG=∠FGD，得出FG=FD，即可得出AF=BF，進(jìn)而判斷出FB=AC，即可得出結(jié)論；③當(dāng)EG=GE時(shí)，判斷出∠CEG=∠CBF，而∠CEG=∠CBF+∠ACB，進(jìn)而判斷出此種情況不存在．【詳解】解：（1）證明：，，又平分，，，四邊形為平行四邊形又四邊形是菱形；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，，，即；（3）解：是等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，，，，，，此時(shí)，點(diǎn)，和點(diǎn)重合，，，即，②當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，，，即（負(fù)值已舍），③當(dāng)時(shí)，，，，，此種情況不存在．綜上所述：或時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分類討論的思想，解答本題的關(guān)鍵是找出相關(guān)角之間關(guān)系．2.（2018浦東新區(qū)二模）已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，點(diǎn)F在DE上CF＝CD，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥FC交AD于點(diǎn)G．（1）求證：GF＝GD；（2）聯(lián)結(jié)AF，求證：AF⊥DE．整體分析：根據(jù)等角的余角相等得到即可證明.聯(lián)結(jié)CG.證明△DAE≌△CDG,得到.進(jìn)而得到，根據(jù)等邊對(duì)等角得到根據(jù)三角形的內(nèi)角和可以求出∠AFD=90°，即可證明.滿分解答：∵四邊形是正方形，∴,∵FG⊥FC，∴∠GFC=90°,∵∴∠CDF=∠CFD,∴∠GFC-∠CFD=∠ADC-∠CDE，即∠GFD=∠GDF.∴GF=GD.聯(lián)結(jié)CG.∵∴點(diǎn)在線段的中垂線上,∴GC⊥DE，∴∠CDF+∠DCG=90°，∵∠CDF+∠ADE=90°，∴∠DCG=∠ADE四邊形是正方形,∴AD=DC，∠DAE=∠CDG=90°，∴△DAE≌△CDG,∴.點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴,∴∵∴∴∠AFD=90°，即AF⊥DE.點(diǎn)睛：屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，考查知識(shí)點(diǎn)比較多，難度不大，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.3．（2019·上海市育才初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，BM交對(duì)角線AC于點(diǎn)G、交CD于點(diǎn)M．（1）如圖1，聯(lián)結(jié)BD，求證：△DEB～△CGB（2）聯(lián)結(jié)EG，如圖2，若設(shè)，求y關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)M為邊DC的三等分點(diǎn)時(shí)，求的面積．【答案】；；或【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；（2）作EH⊥AC于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的性質(zhì)得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）分CM＝CD和CM＝CD兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，又∠EBM＝45°，∴∠GBC＋∠DBM＝45°，∠EBD＋∠DBM＝45°，∴∠GBC＝∠EBD，又∠EDB＝∠GCB＝45°，∴△DEB∽△CGB，∴DE：CG＝BD：BC＝；（2）如圖2，作EH⊥AC于H，則AH＝EH＝x，∵△DEB∽△CGB，∴，∴CG＝（6?x），∴HG＝AC?AH?CG＝3，∵EG2＝EH2＋HG2，∴；（3）當(dāng)CM＝CD＝2時(shí)，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴，∴CG＝，∴DE＝3，則AE＝3，∴AH＝EH＝，∵AD∥BC，∴，∴AF＝2，∴GF＝AC?AF?CG＝，∴S△EGF＝×FG×EH＝，當(dāng)CM＝CD＝4時(shí)，，∴CG＝，∴DE＝，則AE＝，AH＝EH＝，∵，∴AF＝，∴GF＝AC?AF?CG＝，∴S△EGF＝×FG×EH＝．綜上,S△EGF=或【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)的定理是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的運(yùn)用．4．（2020·上海寶山·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E．（1）求證：AB·AF＝CB·CD；（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)DP＝xcm（），四邊形BCDP的面積為ycm2．①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x為何值時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)y的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①（）；②當(dāng)時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，此時(shí)．【分析】（1）由已知條件易證△DCF∽△ABC，可得，即可得AB·AF＝CB·CD；（2）①由勾股定理求得AC=12，即可得CF＝AF＝6，根據(jù)四邊形BCDP的面積=△DCP的面積+△BCP的面積即可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②由題意可知△PBC的周長(zhǎng)最小，就是PB＋PC最小，當(dāng)當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)PB＋PA最?。@時(shí)求得x、y的值即可．【詳解】（1）證明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC∴AF＝CF，∠DFA＝∠DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF．∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B∴△DCF∽△ABC∴，即．∴AB·AF＝CB·CD（2）解①∵AB＝15

BC＝9∠ACB＝90°∴AC＝＝＝12∴CF＝AF＝6∴y=（x+9）×6＝3x＋27（x＞0）②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周長(zhǎng)最小，就是PB＋PC最?。桑?）可知，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小．顯然當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)PB＋PA最?。藭r(shí)DP＝DE，PB＋PA＝AB．由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC．由EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝．∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10．Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．∴DE＝DF＋FE＝8＋＝．∴當(dāng)x＝時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，此時(shí)y＝5．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，如圖1，請(qǐng)直接猜想并寫出與之間的數(shù)量關(guān)系：________；（2）如圖2，將（1）中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，矩形和有公共頂點(diǎn)，且，，則________．【答案】（1）AO＝CD；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，,由銳角三角比可得AO與CD的關(guān)系；(2)由正方形性質(zhì)可得，△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，得,由旋轉(zhuǎn)可得BC1＝BO1，易證△BDC1∽△BAO1,可得，即;(3)由∠EBF＝∠ABD＝30°，運(yùn)用銳角三角比可得，易證∠EBA＝∠FBD，可得△AEB∽△FBD，即.【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD為正方形，∴,∴AO＝CD．(2)如圖2，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，AC＝BD，OB＝OC，∠OBC＝∠ABO＝45°，∠BOC＝90°，∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，∴，，∴，∵△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△BO1C1，∴∠O1BC1＝∠OBC＝45°，OB＝O1B，BC1＝BC，∴