浙江省北斗星盟2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省北斗星盟2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，即，解得，所以，由，解得，所以，所以，則.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由得：，即，所以，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.3.已知向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C.3 D.6〖答案〗B〖解析〗，因為與垂直，所以，解得，所以.故選：B4.已知數(shù)列滿足，則“為等比數(shù)列”是“（，）”的（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件〖答案〗B〖解析〗若為等比數(shù)列，則，所以，，當(dāng)時，故充分性不成立；若（，），不妨令，則，又，所以，即，所以為公比為的等比數(shù)列，故必要性成立；故“為等比數(shù)列”是“（，）”的必要不充分條件.故選：B5.在對某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個項目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計樣本的方差不可能為（）A.11 B.13 C.15 D.17〖答案〗A〖解析〗設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，則，，結(jié)合選項，可得A項不符合.故選：A.6.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，即，即，兩邊同除可得，所以故選：C7.如圖，假定兩點(diǎn)P，Q以相同的初速度運(yùn)動．點(diǎn)Q沿直線CD做勻速運(yùn)動，；點(diǎn)P沿線段AB（長度為單位）運(yùn)動，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離．令P與Q同時分別從A，C出發(fā)，定義x為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示x與y的對應(yīng)關(guān)系就是，當(dāng)點(diǎn)P從線段AB靠近A的三等分點(diǎn)移動到中點(diǎn)時，經(jīng)過的時間為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，點(diǎn)初始速度即為點(diǎn)的速度．當(dāng)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時：，解得：，當(dāng)在中點(diǎn)時：，解得：，所以經(jīng)過的時間為：．故選：D．8.設(shè)雙曲線：（，）的左焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，.由雙曲線的對稱性可得：，，則四邊形是平行四邊形，又因為，則，設(shè)，由雙曲線的定義可得：，在中，由余弦定理可得：所以，整理可得：，解得：或（舍去），則，，在中，由余弦定理可得：所以，整理可得：，所以.故選：B.二、多項選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于對稱C.在上單調(diào)遞減 D.當(dāng)時，〖答案〗BCD〖解析〗對于A中，由，所以A不正確；對于B中，由，可得函數(shù)關(guān)于對稱，所以B正確；對于C中，設(shè)，可得，則，當(dāng)時，可得，則，又由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以C正確；對于D中，當(dāng)時，可得，則，又由，在為遞減函數(shù)，當(dāng)時，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以D正確.故選：BCD.10.已知，，是一個隨機(jī)試驗中的三個事件，且，，下列說法正確的是（）A.若與互斥，則與不相互獨(dú)立B.若與相互獨(dú)立，則與不互斥C.若，且，則與相互獨(dú)立D.若，則，，兩兩獨(dú)立〖答案〗ABC〖解析〗對于A，若與互斥，則與不能同時發(fā)生，即，因為表示與都不發(fā)生，則的對立事件為與至少有一個發(fā)生，所以，而，所以，因為所以，由此可知，與不相互獨(dú)立，故A正確；對于B，若與相互獨(dú)立，則，因為，，所以，則，所以與不互斥，故B正確；對于C，若，因，因為，則有，所以與相互獨(dú)立，故C正確；對于D，拋擲一枚質(zhì)地均均的骰子，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，，滿足，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，但則，不相互獨(dú)立，故D錯誤.故選：ABC.11.已知正方體的棱長為1，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時，則的最小值為B.過點(diǎn)在平面內(nèi)一定可以作無數(shù)條直線與垂直C.若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線D.當(dāng)，時，正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，當(dāng)時，，所以點(diǎn)在線段上，如圖，將三角形與矩形沿展成平面圖形如下所示，則線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，即的最小值為，故A正確；對于B，當(dāng)在時，過點(diǎn)在平面內(nèi)只可以作一條直線與垂直，故B錯誤；對于C，以D為原點(diǎn)，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，得，，整理得，為雙曲線方程，故C正確．對于D，當(dāng)時，，故點(diǎn)在線段上運(yùn)動,正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面為平行四邊形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，于是當(dāng)時，的面積取最小值，此時截面面積為；當(dāng)或時，的面積取最大值，此時截面面積為，所以正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為，故D正確．故選：ACD．三、填空題12.若展開式的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)為______.〖答案〗280〖解析〗展開式的二項式系數(shù)之和為，解得：，所以展開式的通項為：，令，解得：，所以展開式中的系數(shù)為：.故〖答案〗為：280.13.已知圓：和圓：，過圓上一動點(diǎn)作圓的切線，交圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積最大時，滿足條件的切線方程為______.（寫出一條即可）〖答案〗或或（寫出一條即可）〖解析〗設(shè)圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；設(shè)到直線的距離為，則，，則，所以當(dāng)時，的面積最大，當(dāng)直線的斜率不存在時，滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：，則由題意可得，①化簡可得，即或，代入①可解得或，所以滿足條件的切線方程為或或，故〖答案〗為：或或.（寫出一條即可）14.已知函數(shù)，，對任意，存在使得不等式成立，則滿足條件的的最大整數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗依題意對任意，且有，因為存在使得不等式成立，所以存在使得，即，令，，則，令，，則在上單調(diào)遞增，且，，所以使得，即，，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因為，所以，所以，依題意，又為整數(shù)，所以，所以的最大值為.

故〖答案〗為：.四、解答題15.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有線段，已知點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，……，點(diǎn)是線段（，）上靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，，求的通項公式.（1）證明：由題意得所以，可得，又由，所以所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）解：因為，，所以，因為數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以時，.由累加法可得時，，即當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式.16.在四棱錐中，，，，，、分別為直線，上的動點(diǎn).（1）若異面直線與所成的角為，判斷與是否具有垂直關(guān)系并說明理由；（2）若，，求直線與平面所成角的最大值.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，因為，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，①當(dāng)時，中，，，由余弦定理可知，所以，所以，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以.②當(dāng)，假設(shè)，則由①有平面，因為平面，所以，，這與相矛盾，故此時與不垂直.綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，與不垂直.（2）由，點(diǎn)是中點(diǎn)，可得，從而由可得，又，所以，即，因為，由（1）有，所以，所以兩兩互相垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.故，，，，.因為，設(shè)平面的法向量為，則有設(shè)，則，又，所以有令，則，故平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，令，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.（當(dāng)且僅當(dāng)，時取“＝”）.又，所以.綜上所述，直線與平面所成角的最大值為.17.將除顏色外完全相同的紅球2個、白球3個放入一盲盒（一種具有隨機(jī)屬性的玩具盒子），現(xiàn)從中不放回取球.（1）若每次取一個球，求：（?。┣皟纱尉〉郊t球的概率；（ⅱ）第2次取到紅球的概率；（2）若從中取出兩個球，已知其中一個球為紅球，求：（?。┝硪粋€也為紅球的概率；（ⅱ）若你現(xiàn)在可以選擇從剩下的球中隨機(jī)取一個球來替換另一個球，如果從提高取到紅球的可能性出發(fā)，你是選擇換還是不換？試說明理由.解：（1）記事件（）為第次取到紅球，事件（）為第次取到白球.（?。┣皟纱尉〉郊t球即為事件，.（ⅱ）.（2）（?。┦录浩渲杏幸粋€球為紅球的“對立事件”為：兩個球均為白球，即為事件，，所以在一個球為紅球的前提下另一個球也為紅球的概率.（ⅱ）若不換：在取到的一個球為紅球的前提下取到的另一個球也為紅球的概率記為；若換：換后取到紅球的概率記為；由于，所以交換后摸到紅球的概率更大，選擇交換.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，為動點(diǎn)，滿足.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，，連接，.（?。┯浿本€，的斜率分別為，，求證：為定值；（ⅱ）直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，求最小值.（1）解：因為，所以根據(jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實軸長為2的雙曲線，由，，得，，所以的方程為.（2）（?。┳C明：設(shè)直線：（）因為直線過定點(diǎn)，所以.變形可得，即所以整理得（*）設(shè)，則（*）式除以得此時，是方程的兩根，所以，所以，得證.（ⅱ）解：設(shè)直線：，由，可得；設(shè)直線：，同理可得；.由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為.19.莫比烏斯函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家莫比烏斯提出，數(shù)學(xué)家梅滕斯首先使用作為莫比烏斯函數(shù)的記號，其在數(shù)論中有著廣泛應(yīng)用.所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個質(zhì)數(shù)的乘積形式：（為的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，為質(zhì)數(shù)，，），例如：，對應(yīng)，，，，，，.現(xiàn)對任意，定義莫比烏斯函數(shù).（1）求，；（2）已知，記（為的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，為質(zhì)數(shù)，，）的所有因數(shù)從小到大依次為，，…，.（?。┳C明：；（ⅱ）求的