浙江省寧波市五校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市五校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字．3．所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．Ⅰ選擇題部分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，又，所以.故選：C.2.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的定義域為，由，得，則函數(shù)的定義域為，故選：C3.已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)式子結構，構造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調遞增，在單調遞減，而，，因為，所以故選：D4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是等腰直角三角形，為圖象與軸的交點，為圖象上的最高點，且，則（）A. B.C.在上單調遞減 D.函數(shù)的圖象關于點中心對稱〖答案〗D〖解析〗由為等腰直角三角形，為圖象上的最高點，且點的縱坐標為1，所以．則函數(shù)的周期為4，由，，可得，又，所以，則，將點代入，得，則，．而，則，所以,則，A錯誤；，B錯誤；若，則，顯然函數(shù)不是單調的，C錯誤；，所以函數(shù)的圖象關于點中心對稱，D正確.故選：D.5.下列圖像中，不可能成為函數(shù)的圖像的是（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以當時，無解，且此時在，單調遞增，D選項符合此種情況.當時有兩個解，且此時，單調遞增，B選項符合此種情況.當時當時易知，時所以函數(shù)圖像不可能是C.故選：C6.某人外出，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為0.8；若澆水，盆栽枯萎的概率為0.2．若鄰居澆水的概率為P，該人回來盆栽沒有枯萎的概率為0.74，則實數(shù)P的值為（）A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75〖答案〗A〖解析〗記A為事件“盆栽沒有枯萎”，W為事件“鄰居給盆栽澆水”，由題意可得，由對立事件的概率公式可得.由全概率公式可得，解得故選：A7.函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，若，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，易得在上單調遞增，又，，所以在上存在唯一零點，即，又由已知可得，，所以，即，因為，所以，結合選項可知無需考慮，則和這兩個函數(shù)均為增函數(shù)，所以，即，所以，又，即，所以，即，所以.故選：D.8.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，令，，則，所以為奇函數(shù)，則關于原點對稱，所以關于對稱，則，則在定義域上單調遞增，在上單調遞減，所以在定義域上單調遞減，則在定義域上單調遞減，則不等式，即，所以，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分）9.函數(shù)，，用表示，中的較大者，記為，則下列說法正確的是（）A. B.，C.有最大值 D.最小值為0〖答案〗BD〖解析〗令，即，解得或，所以可知，所以，故A錯誤；當時，，故B正確；由（或）可知，函數(shù)無最大值，故C錯誤；當或時，，當時，，所以最小值為0，故D正確.故選：BD10.下列關于排列組合數(shù)的說法正確的是（）A.B.C.已知，則等式對，恒成立D.，則x除以10的余數(shù)為6〖答案〗ABC〖解析〗對于A，，，故A正確；對于B，因為的展開式為，所以，故的展開式的的系數(shù)為，又因為，則，同理的展開式為，即的展開式的的系數(shù)為，由于，所以，在上式中，令，就有，故B選項正確；對于C，若，則，故C正確；對于D，因為，所以，所以，而是一些正整數(shù)的乘積，且里面含有10，所以的個位數(shù)字是0，所以x除以10的余數(shù)為9，不是6，故D錯誤.故選：ABC.11.投擲一枚質地均勻的硬幣，規(guī)定拋出正面得2分，拋出反面得1分，記投擲若干次后，得n分的概率為，下列說法正確的是（）A. B.C.當時， D.當時，〖答案〗ACD〖解析〗對于A，第一次投擲出現(xiàn)反面，則，A正確；對于B，得2分的事件，可以是投擲2次都出現(xiàn)反面，也可以是投擲1次出現(xiàn)正面，，B錯誤；對于C，當時，得n分的事件，可以在得分后投擲出現(xiàn)反面，也可以是在得分后投擲出現(xiàn)正面，因此，C正確；對于D，由選項C知，當時，，則，因此數(shù)列是常數(shù)列，，即，所以當時，，D正確.故選：ACDⅡ非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每題5分，共15分，其中第13題第（1）空2分，第（2）空3分）12.已知，，則__________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，又，所以，所以.故〖答案〗為：13.已知正實數(shù)a，b，c，，則的最大值為__________，的最小值為__________．〖答案〗①②〖解析〗因為正實數(shù)a，b，滿足，所以，當且僅當時，等號成立；由正實數(shù)a，b，滿足，可得，所以，而，當且僅當，即時取等號，，當且僅當時，即時取等號故〖答案〗為：；14.某景區(qū)內有如圖所示的一個花壇，此花壇有9個區(qū)域需栽種植物，要求同一區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物，且圓環(huán)的3個區(qū)域種植綠色植物，中間的6個扇形區(qū)域種植鮮花．現(xiàn)有3種不同的綠色植物和3種不同的鮮花可供選擇，則不同的栽種方案共有__________種．〖答案〗396〖解析〗將六個扇形區(qū)域標號為1到6（如圖所示），分兩類完成這件事情：第一類：若1和3種植的鮮花相同，此時先種植區(qū)域和，有種；再種植區(qū)域和，共有6種；最后種植圓環(huán)區(qū)域，共有種，按照分步乘法計數(shù)原理知，此種情況共種.第二類：若1和3種植的鮮花不相同，此時先種植區(qū)域和，有種；再種植區(qū)域和，共有種；最后種植圓環(huán)區(qū)域，共有種，按照分步乘法計數(shù)原理知，此種情況共種.按照分類加法計數(shù)原理得，共有種.故〖答案〗為：396.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知集合，非空集合．（1）當時，求；（2）若是的必要條件，求m的取值范圍．解：（1）集合，即，當時，集合，.（2）由是的必要條件，可得，,即，解得，即的取值范圍為.16.函數(shù)．（1）若的定義域為，求實數(shù)a的取值范圍；（2）方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）．（1）由的定義域為，則函數(shù)對恒成立，方程無實數(shù)解，即．．（2）方程在區(qū)間上有解，等價于方程在區(qū)間上有解，即命題，使得，則命題，使得恒成立，或恒成立．①對恒成立，或②對恒成立，設，，令，則則，又在單調遞減，在單調遞增，且是增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可得，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即即或，所以原命題．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）解不等式；（3）函數(shù)的圖象依次經(jīng)過三次變換：①向左平移個單位長度，②縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模坳P于軸對稱，得到函數(shù)的圖象，求圖象在軸右側第二個對稱中心的坐標．解：（1）因為，令，，解得，，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，．（2）不等式，即，又，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，．（3）將向左平移個單位長度得到，再將的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫剑詈髮㈥P于軸對稱得到，令，，解得，，所以的對稱中心坐標為，，當為，當為，當為，在軸右側第二個對稱中心的坐標為．18.設，函數(shù)，，.（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）當時，若，在上均單調遞增，求的取值范圍；（3）設，若對任意，都有，求的最大值.解：（1）若偶函數(shù)，則對任意，都有，即，亦即，則；（2）在上單調遞減，在上單調遞增故，其中，則；（3）對任意，恒成立等價于對任意，恒成立，且恒成立，即恒成立，且恒成立.分別令函數(shù)，，注意到，故對任意，與恒成立的充要條件是即，亦即，因，故，因此.從而，即，當且僅當，時，等號成立，所以最大值是-15.19.斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence），又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，（，），已知，則集合A中的元素個數(shù)可表示為，又有且．（1）求集合A中奇數(shù)元素的個數(shù)，不需說明理由；并求出集合B中所有元素之積為奇數(shù)的概率；（2）求集合B中所有元素之和為奇數(shù)的概率．（3）取其中的6個數(shù)1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相鄰三數(shù)之和都不能被3整除，求這樣的排列的個數(shù)．（如排列1，2，3，5，13，21中，相鄰三數(shù)如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，則此排列不合題意）解：（1）對于數(shù)列中的連續(xù)3項，，，由，可得，即必為偶數(shù)，則連續(xù)3項，，全為偶數(shù)，或為1個偶數(shù)2個奇數(shù)，又由為偶數(shù)，可得與同奇同偶，可知數(shù)列奇偶項分布為1偶2奇．記A中奇數(shù)元素的個數(shù)為m，則，集合B中所有元素之積為奇數(shù)，則B中所有元素為奇數(shù)，設A中所有的奇數(shù)元素的集合為C，，且，則集合B的元素組成情況，即集合C的非空子集共有種，設事件M：B中所有元素之積為奇數(shù)，則．（2）設事件N：B中所有元素之和為奇數(shù)，設A中所有的偶數(shù)元素的集合為D．B中所有的偶數(shù)元素的集合為F，B中所有的奇數(shù)元素的集合為E，則，，，其中，且為奇數(shù)，則集合B中的偶數(shù)元素的組成情況，即F的情況