三角恒等變換同步檢測2

第三章3.13.1.2一、選擇題1．化簡cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy的結(jié)果為()導(dǎo)學(xué)號(hào)34340907A．sin(x＋2y) B．－sin(x＋2y)C．sinx D．－sinx[答案]D[解析]原式＝sin[y－(x＋y)]＝sin(－x)＝－sinx.2．若cosαcosβ＝1，則sin(α＋β)等于()導(dǎo)學(xué)號(hào)34340908A．－1 B．0C．1 D．±1[答案]B[解析]∵cosαcosβ＝1，∴cosα＝1，cosβ＝1或cosα＝－1，cosβ＝－1，∴sinα＝0，sinβ＝0，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0.3．cosα－eq\r(3)sinα化簡的結(jié)果可以是()導(dǎo)學(xué)號(hào)34340909A．2sin(eq\f(π,6)－α) B．eq\f(1,2)sin(eq\f(π,6)－α)C．eq\f(1,2)cos(eq\f(π,3)－α) D．2cos(eq\f(π,3)－α)[答案]A[解析]cosα－eq\r(3)sinα＝2(eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα)＝2(sineq\f(π,6)cosα－coseq\f(π,6)sinα)＝2sin(eq\f(π,6)－α)．4．對(duì)等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ的認(rèn)識(shí)正確的是()導(dǎo)學(xué)號(hào)34340910A．對(duì)于任意的角α、β都成立B．只對(duì)α、β取幾個(gè)特殊值時(shí)成立C．對(duì)于任意的角α、β都不成立D．有無限個(gè)α、β的值使等式成立[答案]D[解析]當(dāng)α＝2kπ或β＝2kπ，有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立，因此有無限個(gè)α、β的值能使等式成立．5．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值為()導(dǎo)學(xué)號(hào)34340911A．eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin[90°－(110°－x)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin(65°－x＋x－20°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).6．(2015·四川理，4)下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是()導(dǎo)學(xué)號(hào)34340912A．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sinx＋cosx[答案]A[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閥＝－sin2x，T＝eq\f(2π,2)＝π，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選A．二、填空題7．化簡eq\f(sinα＋30°＋cosα＋60°,2cosα)的結(jié)果是________．導(dǎo)學(xué)號(hào)34340913[答案]eq\f(1,2)[解析]原式＝eq\f(sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°,2cosα)＝eq\f(cosα,2cosα)＝eq\f(1,2).8．化簡eq\f(sin22°＋cos45°sin23°,cos22°－sin45°sin23°)＝________.導(dǎo)學(xué)號(hào)34340914[答案]1[解析]原式＝eq\f(sin45°－23°＋cos45°sin23°,cos45°－23°－sin45°sin23°)＝eq\f(sin45°cos23°－cos45°sin23°＋cos45°sin23°,cos45°cos23°＋sin45°sin23°－sin45°sin23°)＝eq\f(sin45°cos23°,cos45°cos23°)＝tan45°＝1.三、解答題9．(2015·荊門市高一期末測試)已知向量a＝(eq\r(3)，1)、b＝(1，eq\r(3))、c＝(－1－cosα，sinα)，α為銳角．導(dǎo)學(xué)號(hào)34340915(1)求向量a、b的夾角；(2)若b⊥c，求角α的值．[解析](1)設(shè)向量a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\r(3)×1＋1×\r(3),\r(3＋1)×\r(1＋3))＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(π,6).(2)∵b⊥c，∴－1－cosα＋eq\r(3)sinα＝0，∴2sin(α－eq\f(π,6))＝1，∴sin(α－eq\f(π,6))＝eq\f(1,2).∵α為銳角，∴α＝eq\f(π,3).10.(2014·廣東理，16)已知函數(shù)f(x)＝Asin(x＋eq\f(π,4))，x∈R，且f(eq\f(5π,12))＝eq\f(3,2).導(dǎo)學(xué)號(hào)34340916(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝eq\f(3,2)，θ∈(0，eq\f(π,2))，求f(eq\f(3π,4)－θ)．[解析](1)f(eq\f(5π,12))＝Asin(eq\f(5π,12)＋eq\f(π,4))＝eq\f(3,2)，∴A×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，∴A＝eq\r(3).(2)f(θ)＋f(－θ)＝eq\r(3)sin(θ＋eq\f(π,4))＋eq\r(3)sin(－θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(3,2)，∴eq\r(3)[eq\f(\r(2),2)(sinθ＋cosθ)＋eq\f(\r(2),2)(－sinθ＋cosθ)]＝eq\f(3,2).∴eq\r(6)cosθ＝eq\f(3,2)，∴cosθ＝eq\f(\r(6),4)，又∵θ∈(0，eq\f(π,2))，∴sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(\r(10),4)，∴f(eq\f(3π,4)－θ)＝eq\r(3)sin(π－θ)＝eq\r(3)sinθ＝eq\f(\r(30),4).一、選擇題1．設(shè)a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝eq\f(\r(6),2)，則a、b、c的大小關(guān)系是()導(dǎo)學(xué)號(hào)34340917A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．b<c<a[答案]B[解析]a＝eq\r(2)sin(14°＋45°)＝eq\r(2)sin59°，b＝eq\r(2)sin(16°＋45°)＝eq\r(2)sin61°，c＝eq\r(2)·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(2)sin60°，由y＝sinx的單調(diào)性知：a<c<b.2．已知eq\r(3)cosx－sinx＝－eq\f(6,5)，則sin(eq\f(π,3)－x)＝()導(dǎo)學(xué)號(hào)34340918A．eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)[答案]D[解析]∵eq\r(3)cosx－sinx＝2(sineq\f(π,3)cosx－coseq\f(π,3)sinx)＝2sin(eq\f(π,3)－x)＝－eq\f(6,5)，∴sin(eq\f(π,3)－x)＝－eq\f(3,5).3．已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(cosβ，sinβ)，α、β為銳角且a∥b，則α＋β等于()導(dǎo)學(xué)號(hào)34340919A．0° B．90°C．135° D．180°[答案]B[解析]a∥b，∴sinαsinβ－cosαcosβ＝0，∴－cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝90°.4．(2015·廣東中山紀(jì)念中學(xué)高一期末測試)函數(shù)y＝sin(2x－eq\f(π,3))－sin2x的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()導(dǎo)學(xué)號(hào)34340920A．[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)] B．[eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)]C．[eq\f(5π,12)，eq\f(13π,12)] D．[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)][答案]D[解析]y＝sin(2x－eq\f(π,3))－sin2x＝sin2xcoseq\f(π,3)－cos2xsineq\f(π,3)－sin2x＝－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(1,2)sin2x＝－sin(2x＋eq\f(π,3))令2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(7π,12)，k∈Z.取k＝0，得eq\f(π,12)≤x≤eq\f(7π,12)，故選D．二、填空題5．(2015·隨州市高一期末測試)已知cosα＝eq\f(3,5)，cos(α－β)＝eq\f(12,13)，且0<α<β<eq\f(π,2)，則sinβ＝________.導(dǎo)學(xué)號(hào)34340921[答案]eq\f(63,65)[解析]∵cosα＝eq\f(3,5)，0<α<eq\f(π,2)，∴sinα＝eq\f(4,5).又∵0<α<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<α－β<0，∴sin(α－β)＝－eq\f(5,13).∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\f(12,13)－eq\f(3,5)×(－eq\f(5,13))＝eq\f(63,65).6．(2016·全國卷Ⅲ文，14)函數(shù)y＝sinx－eq\r(3)cosx的圖像可由函數(shù)y＝2sinx的圖像至少向右平移________個(gè)單位長度得到.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)34340922)[答案]eq\f(π,3)[解析]因?yàn)閥＝sinx－eq\r(3)cosx＝2sin(x－eq\f(π,3))，所以函數(shù)y＝sinx－eq\r(3)cosx的圖象可由函數(shù)y＝2sinx的圖象至少向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度得到．三、解答題7．已知sinα＝eq\f(15,17)，cosβ＝－eq\f(5,13)，α∈(eq\f(π,2)，π)，β∈(eq\f(π,2)，π)，求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．導(dǎo)學(xué)號(hào)34340923[解析]∵sinα＝eq\f(15,17)，α∈(eq\f(π,2)，π)，∴cosα＝－eq\r(1－\f(15,17)2)＝－eq\f(8,17).∵cosβ＝－eq\f(5,13)，β∈(eq\f(π,2)，π)，∴sinβ＝eq\r(1－－\f(5,13)2)＝eq\f(12,13)，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(15,17)×(－eq\f(5,13))＋(－eq\f(8,17))×eq\f(12,13)＝－eq\f(75＋96,221)＝－eq\f(171,221)，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(15,17)×(－eq\f(5,13))－(－eq\f(8,17))×eq\f(12,13)＝eq\f(21,221).8．求值：導(dǎo)學(xué)號(hào)34340924(1)(tan10°－eq\r(3))·eq\f(cos10°,sin50°)；(2)[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280°).[解析](1)(tan10°－eq\r(3))·eq\f(cos10°,sin50°)＝(tan10°－tan60°)·eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin10°,cos10°)－\f(sin60°,cos60°)))·eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin10°·cos60°－cos10°·sin60°,cos10°·cos60°)·eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin－50°,cos60°)·eq\f(1,sin50°)＝－2.(2)[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280°)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2sin50°＋sin10°\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)))))·eq\r(2cos210°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin50°＋2sin10°·\f(cos50°,cos10°)))·eq\r(2)cos10°＝2eq\r(2)(sin50°cos10°＋sin10°·cos50°)＝2eq\r(2)sin60°＝eq\r(6).9.(2014·重慶理，17)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)≤φ<eq\f(π,2))的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π.導(dǎo)學(xué)號(hào)34340925(1)求ω和φ的值；(2)若f(eq\f(α,2))＝eq\f(\r(3),4)(eq\f(π,6)<α<eq\f(2π,3))，求cos(α＋eq\f(3π,2))的值．[解析](1)因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，所以f(x)的最小正周期T＝π，從而ω＝eq\f(2π,T)＝2，又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，所以2×eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k＝0，±1，±2，…，因－eq\f(π,2)≤φ<eq\f(π,2)得k＝0，所以φ＝eq\f(π,2)－eq\f(2π,