蘇教版高中數(shù)學選修（2-2）-1函數(shù)大題

函數(shù)大題

【三年真題重溫】

1.12011?新課標全國理,21】已知函數(shù)/(幻=生丫+2,曲線y=/(x)在點(1J⑴)

處的切線方程為x+2y-3=0.

(I)求a,b的值；

(II)如果當x〉0,且XH1時，/(幻〉龍±+《，求%的取值范圍.

x—1X

(I)r(x)=_j―,由于直線x-2j-3=Q的斜率為且過點｛II，故

(x+iy

,7(0=1佑=i

1，解得夕=1，b=1.

(II)由(I)知/(x)=—+1,所以

X+1X

Inx.一_k_'\=一1

<x-lxjl-x:I

上47%IIx*-1'|^c-l；lX*+1|^2x

考慮函數(shù)/?|x|=21nx+------------------x>0；,貝IIh|x)=-----------------------,

ix—ir

(i)設ZWO,由的幻==-----r----------知，當工不1時，,而加1)=0,

故當x€(0J)時，h(x)<0,可得丁'A(x)>0；

當xw(L-x：時，A(x)<0,可得一二加外>0,

/<?-詈+撲。，即/卜)>(Inxk

從而當x>0,且工k1時,

x-1x

(i、

1:

(ii)設0<kvl,由于當xe?Ly:—(B^?(k-l)(x*l)+2x>0,故>0,而”[I)=0,

故當時，A|x)>0,可得丁二.加x)<0,與題設矛盾.

(川)設無之1，此時it(x)>0,而-(1)=0,故當工e|L-x)時，A(x)>0>得一二〃[x)<0，

與題設矛盾.綜合得，上的取值范圍為1-工期.

2.12011.新課標全國文，21］已知函數(shù)/(幻=色吧+2,曲線y=/(x)在點

x+1x

(1,/(1))處的切線方程為x+2y—3=0.

(I)求a,6的值；

(II)證明：當X>0,且時，/(元)〉生土.

X-1

zx+l.、

a(——-ln?0h1

(I)尸(x)=一~；——二，由于直線x+2y-3=0的斜率為一上，且過點(L1),

(x+1)2X’2

7(1)=1

a1>解得a=l,b—1.

—b——.

(111*(1)知/仃)=止+工，所以f(x)-處=^^(21nx+^\

x+1xx-11-x*X

丫：_i,?2x——(x*—11?

考慮函數(shù)%(x)=2In工一^-----(x>0),則A(x)=-----------------=--

XXx"

所以當xwl時，而〃(1)=0,

故:當xw(CUl時，〃(x)>0,可得一^-Zz(x)>0；

1-x

當xw(L+oc)時，Zz(x)<0>可得一二｝(公>0.

IT

從而當X>0,且XM1時，/(X)-->0,gp/(x)>—.

x-1x-1

3.12010?新課標全國理，21］設函數(shù)/(x)=e*-l-x-ax?.

(1)若a=O,求/(x)的單調區(qū)間；

(2)若當xNO時/(x)2O,求a的取值范圍.

解：(I)a=0時，f(x)=e'—1—x>f'(x)-e'—1.

當xe(—x,0)時，/,(x)<0；當xe@+x)時，尸(x)>0.故，(x)在(—x,0)單調減少,

在(0,+x)單調遞噌

(II)尸出=/一1一2於,由⑴知e*21+x,當且僅當x=0時等號成立.故

/'(x)>x-2ax=(l-2a)x,

從而當l-2a20，即時，/,(x)>0(x>0)?而/(Oh。，

于是當x2O時，/(x)>0.

由e*>1+X(XH0)可得p-*>1-:C(XHO),從而當a>：時，

/'(x)<ex-l+2a(e-x-1)=晨”(/-蚊/一2d),

故當xw(01n2a)時，f'(x)<0,而/'(0)=0,于是當xw(01n2a)時，/(x)<0.

綜合得a的取值范圍為(-x：l].

4.[2010.新課標全國文，21]設函數(shù)/(x)=x(e*-l)-/.

(I)若。=,，求/(x)的單調區(qū)間；

(II)若當xK)時/(x)K),求」的取值范圍.

(I)a=：時，f(x)=x(ex-1)-ix:>/'(x)=ez-1+xe~-x=(ex-l)(x+l).當

丫6(-彳一11時尸仁)>0；當:<€(-10)時，/'(》)<0；當》€(wěn)(0,+8)時，/'(x)>0.故

/(x)在(TC「1),(0什8)單調噌加，在(-1,0)單調減少.

(II)f(x)=x(x°-1-ax).令g(x)=x"-l—ax,貝Ug'(x)=/-a.若aMl,則當

xw(O,+x)時，g,(x)>0,g(x)為誠函數(shù)，而g(0)=0,從而當時g(x)"O,即/(x)

沁

若a>1?則當xefqina)時，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù),而g(0)=0,從而當xw(O」na)

時g(x)V0,即/(x)VO.

綜合得。的取值范圍為(-85.

5.[2012.新課標全國理】(本小題滿分12分)

已知函數(shù)8)滿足滿足八x)=rM-s+產

(1)求/(幻的解析式及單調區(qū)間；

(2)f(x)>^x2+ax+b,求(。+1)。的最大值。

解：(1)/(x)=-/(0)x+ix:=>f\x)=f'(y)e-x-/(0)+x

令x=l得：/(O)=1

/(X)=f'(iyl-x+^x2=/(O)==1=f'(y)=e

得：f(x)=ex-x+-^x:=>g(x)=f'(x)=ex-1+x

g(x)=/+1>0=>j=g(x)在xwR上單調遞噌

/V)>0=/XO)=X>0/(x)<0=八0)=X<0

得：/(x)的解析式為/(x)=-x+，x：,

且單調遞噌區(qū)間為(0;+x),單調建遍區(qū)間為(-xs0).

(2)/(x)>+ax+i<=>7z(x)=ex-(a+l)x-i之0得Y(x)=e'-(a+1)

①當a+lKO時，〃(力>0nj=〃(?在xw火上單調遞噌

x->-x時，〃(*)->一8與〃(冷20矛盾

②當a+1>0時，h'(x)>0=x>ln(a+l)J?x)<0<=>x<ln(a+l)

得：當x=ln(a+l)時，h(x)^=(a+1)-(a+l)ln(a+1)-i>0

(a+1)6<(a+1):-(a+1):ln(a+l)(a+l>0)

令下(力=x2-幺Inx(x>0)j則戶(x)=x(l-21nX)

F'(x)>0?-0<x<<0<=>x>Ve

當、=/時，尸(x)==；

當a=y/e-l.i=\/e時，(a—l)b的最大值為f

6.[2012.新課標全國文】設函數(shù)_/(x)=&r-以-2

(I)求.共幻的單調區(qū)間

(H)若a=l,%為整數(shù)，且當x>0時，(%—k)f\x)+x+1>0,求攵的最大值

解：(1)f兇的定義域為(-x,+x),f\x)=ex-a

若a40,則/(力>0,所以f兇在(一七+x)單調遞噌

若a>0,則當xw(-x」na)時，/(x)<0；當xw(Inq+x)時，/(x)>0.

所以，f(X)在(-x」na)單調述堿，在(Inq+x)單調遞噌.

(2)由于a=l,所以(x-k)/'(x)+x+l=(x-k)(/-l)+x+l

X+1

故當x>0時，(x-k)/'(x)+x+l>0等價于左〈工——+x(x>0)①

e-1

令小)=三+》，則小)-X￡-1+1=￡C￡-X-2)

(ex-1)*(點-以

由(1)知，函數(shù)〃(x)=e'-x-2在(0：+x)單調遞噌，而〃(1)<0,〃(2)>0,

所以伙x)在(0,+oc)存在唯一的零點.故g(x)在(0,+x)存在唯一的零點.設此零點

為a,則ae(L2).

當xw?a)時，@(工)<0；當》6(4+8)時，g(x)>0.所以g(x)在(0,+8)的最

小值為g(a).又由g(a)=O,可得e,=a+2,所以g(a)=a+lw(2,3)

由于①式等價于k<g(a),故整數(shù)k的最大值為2.

【命題意圖猜想】

1.2011年理科高考考查了利用導數(shù)解函數(shù)的切線問題，已知含參數(shù)的不等式在

某個范圍上成立求參數(shù)范圍問題及分類討論思想.2010年高考理科考查利用導

數(shù)研究函數(shù)性質、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題，考查分類討論、轉

化與劃歸解題思想及其相應的運算能力.2012年高考理科考查函數(shù)與導數(shù)及運用

導數(shù)求單調區(qū)間、最值等數(shù)學知識和方法.突出考查綜合運用數(shù)學知識和方法分

析問題、解決問題的能力.近三年的高考試題基本上形成了一個模式，第一問求

解函數(shù)的解析式，以切線方程、極值點或者最值、單調區(qū)間等為背景得到方程進

而確定解析式，或者給出解析式探索函數(shù)的最值、極值、單調區(qū)間等問題，較為

簡單；第二問均為和不等式相聯(lián)系，考查不等式恒成立問題、證明不等式等綜合

問題，難度較大.預測函數(shù)大題，以對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)以及一次

函數(shù)、二次函數(shù)中的兩個或者三個為背景，組合成一個函數(shù)，然后考查函數(shù)的性

質，與不等式相結合時一個.永恒的話題.

2.從近幾年的高考試題來看，利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調性和極值問題已成為炙

手可熱的考點，既有小題，也有解答題，小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調

性和極值，解答題主要考查導數(shù)與函數(shù)單調性，或方程、不等式的綜合應用.預

測高考仍將以利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值為主要考向.

【最新考綱解讀】

1.導數(shù)概念及其幾何意義

⑴了解導數(shù)概念的實際背景.

⑵理解導數(shù)的幾何意義.

2.導數(shù)的運算

⑴能根據(jù)導數(shù)定義，求函數(shù)y=c,產x,y=/,（理）y=也的導數(shù).

⑵能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的

導數(shù)，（理）能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如.穴依+與）的導數(shù).

（3）會使用導數(shù)公式表.

3.導數(shù)在研究函數(shù)中的應用

⑴結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導

數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間.

⑵結合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導

數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多

項式函數(shù)最大值、最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質中的一般性和有效性.

4.生活中的優(yōu)化問題舉例.

例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際

問題中的作用.

【回歸課本整合】

1.導數(shù)的定義：設函數(shù)y=/（x）在x=x0處附近有定義，當自變量在x=x0處有

增量Ax時，則函數(shù)y=/(x)相應地有增量Ay=/(Xo+Ax)-/(Xo),如果ArfO

時’.與?的比普(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即卻無限趨近于某個常

數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)y=/(x)在X〉%處的導數(shù)，記作M，,，即

/(/+八丫)二/~(%)

=lim

ADAx

注意：在定義式中，設x=Xo+Av,則Ax=x-Xo，當Ax趨近于0時，x趨近于

/，因此，導數(shù)的定義式可寫成

/'(/)11m~■~~~~~—11m■~~~~,

心Ax1*0X-X。

2?導數(shù)的幾何意義：

導數(shù)/(內)=1加見3^^1是函數(shù)丁=/(幻在點與的處瞬時變化率，它反

Arf。AX

映的函數(shù)y=/(x)在點與處變化的快慢程度.它的幾何意義是曲線＞="X)上點

(將"(尤0))處的切線的斜率.因此，如果y=/(x)在點/可導，則曲線y=/(x)

f

在點(x0,/(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0)

注意：”過點A的曲線的切線方程”與“在點A處的切線方程”是不相同的，后者A

必為切點，前者未必是切點.

3?導數(shù)的物理意義：

函數(shù)s=s⑺在點，。處的導數(shù)，&),就是物體的運動方程s=s⑺在點f0時刻的

瞬時速度丫，即v=$'&).

4.幾種常見函數(shù)的導數(shù)：C=O(C為常數(shù))；(xn)'=fun-'(neQ)；

(sinx)*=cosx；(cosx),=-sinx；(Inx)f=—；(logx)z=-loge；(ex)f=ex；

xf/xw

(axy=axIna.

5.求導法則：

法則1：[u(x)±□(%)]'=ur(x)±v\x)；

法則2：[w(x)v(x)l，=/(x)v(x)+〃(x)M(x),[C〃(x)]'=Cu\x)；

法貝13：I-I=——-OH0).

6.復合函數(shù)的導數(shù)：設函數(shù)"=°(x)在點x處有導數(shù)〃[="(x),函數(shù)y=/(“)在

點x的對應點〃處有導數(shù)=.1(〃)，則復合函數(shù)y=/(e(x))在點x處也有導數(shù),

u

且y'x=y\：'x或fx(<pM)=f(u)-(p\x)

7.導數(shù)與函數(shù)的單調性

1.函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內有導數(shù)，如果/(x)>0,那么函數(shù)在這個區(qū)間上是

增函數(shù)，該區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間；若尸(x)<0,那么函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù),

該區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間.

2.利用導數(shù)研究多項式函數(shù)單調性的一般步驟：

(1)求尸(x);(2)確定f(x)在(a,b)內符號;

(3)若:(x)>0在(a回上恒成立，則/(x)在(a,。)上是增函數(shù)；若_f(x)<0在

(a,Z?)上恒成立，則在(a,b)上是減函數(shù)

8.導數(shù)與函數(shù)的極(最)值

1.極大值：一般地，設函數(shù)/(%)在點與附近有定義，如果對與附近的所有的點,

都有了(X)</(不)，就說/(%)是函數(shù)/(X)的一個極大值，記作)極大值=/(%),Xo

是極大值點.

2.極小值：一般地，設函數(shù)/(x)在與附近有定義，如果對玉,附近的所有的點，

都有f(x)>/(x0)就說/(%)是函數(shù)/(%)的一個極小值，記作y極小值=/(%)，/是

極小值點.

3.極值：極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值

點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.請注意以下幾點：

(1)極值是一個局部概念.由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)

值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內最大或最小.

(2)函數(shù)的極值不是唯一的.即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極xs大值或極

小值可以不止一個.

(3)極大值與極小值之間無確定的大小關系.即一個函數(shù)的極大值未必大于極小

值，如下圖所示，毛是極大值點，Z是極小值點，而/(*4)>/(x).

(4)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點.而使函

數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點.

4.當/(x)在點/連續(xù)時，判別/(x0)是極大、極小值的方法：

若與滿足((4)=0，且在/的兩側/(x)的導數(shù)異號，則4是/(x)的極值點，

/(X。)是極值，并且如果f\x)在X。兩側滿足“左正右負”，則X。是f(x)的極大值

點，/(X。)是極大值；如果/'(X)在X。兩側滿足“左負右正”，則X。是/(X)的極小

值點，/(%)是極小值.

5.求可導函數(shù)/(x)的極值的步驟：

⑴確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)尸(幻；(2)求方程/'(?=0的根；

(3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成

表格.檢查/(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么/(幻在這個根處

取得極大值；如果左負右正，那么/(幻在這個根處取得極小值；如果左右不改

變符號，那么/(幻在這個根處無極值.如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導，也需

要考慮這些點是否是極值點.

9.函數(shù)的最大值和最小值：一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)/(幻在同上必

有最大值與最小值.

注意：(1)在開區(qū)間(。,加內連續(xù)的函數(shù)/(x)不一定有最大值與最小值.如函數(shù)

/(x)=’在(0,+8)內連續(xù)，但沒有最大值與最小值；

X

(2)函數(shù)的最值是比較整個定義域內的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點

附近函數(shù)值得出的.

⑶函數(shù)/（x）在閉區(qū)間以上連續(xù)，是/⑴在閉區(qū)間［a,同上有最大值與最小值

的充分條件而非必要條件.

（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不

止一個，也可能沒有一個.

10.利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟：

由上面函數(shù)/（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點

的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了.設函數(shù)/（X）在卜,同上連續(xù)，在

（a,切內可導，則求/（x）在［a,"上的最大值與最小值的步驟如下：

⑴求/（x）在（a,b）內的極值;

（2）將/（幻的各極值與/（a）、/⑼比較得出函數(shù)/（x）在上的最值.p

【方法技巧提煉】

1.利用導數(shù)求切線問題中的“在”與“過”

在解決曲線的切線問題時，利用導數(shù)求切線的斜率是非常重要的一類方法.在求

解過程中特別注意：曲線在某點處的切線若有則只有一條，曲線過某點的要切線

往往不止一條；切線與曲線的公共點不一定只有一個.因此在審題時應首先判斷

是“在”還是“過”.若“在”，利用該點出的導數(shù)為直線的斜率，便可直接求解；若

“過”，解決問題關鍵是設切點，利用“待定切點法”，即：設點A（x0,y0）是曲線

y=f（x）上的一點，則以A為切點的切線方程為

y—丫廣"/）。-/）,再根據(jù)題意求出切點.

2.利用導數(shù)處理恒成立問題

不等式在某區(qū)間的恒成立問題，可以轉化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題來解決，

函數(shù)的最值問題的求解，利用求導分析函數(shù)單調性是常規(guī)途徑，例如：

①/（幻＞0=＞/（幻為增函數(shù)（/（幻＜0=/（幻為減函數(shù)）.②/（幻在區(qū)間（a,。）上

是增函數(shù)nr（x）“在（a,。）上恒成立；/（x）在區(qū)間（a,。）上為減函數(shù)n/V）＜0

在（a,上恒成立.

3.利用導數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題

在高考題的大題中，每年都要設計一道函數(shù)大題.在函數(shù)的解答題中有一類是研

究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研究在一個區(qū)間上恒成立的

不等式（實際上就是證明這個不等式），研究不等式在一個區(qū)間上成立時不等式的

某個參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在

某個區(qū)間上的根的個數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎初等函數(shù)的知識已經無能為力，就

需要根據(jù)導數(shù)的方法進行解決.使用導數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是

構造函數(shù)，通過導數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調性、極值和特殊點的函數(shù)值，根

據(jù)函數(shù)的性質推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數(shù).因為導數(shù)的引入，為

函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與

不等式相結合的題目時，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結合點，不清楚解

決技巧.解題技巧總結如下

（1）樹立服務意識：所謂“服務意識''是指利用給定函數(shù)的某些性質（一般第一

問先讓解決出來），如函數(shù)的單調性、最值等，服務于第二問要證明的不等式.

（2）強化變形技巧：所謂“強化變形技巧”是指對于給出的不等式直接證明無法

下手，可考慮對不等式進行必要的等價變形后，再去證明.例如采用兩邊取對數(shù)

（指數(shù)），移項通分等等.要注意變形的方向：因為要利用函數(shù)的性質，力求變形

后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關系式.

（3）巧妙構造函數(shù)：所謂“巧妙構造函數(shù)''是指根據(jù)不等式的結構特征，構造函

數(shù)，利用函數(shù)的最值進行解決.在構造函數(shù)的時候靈活多樣，注意積累經驗，體

現(xiàn)一個“巧妙”.

【考場經驗分享】

1.利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性需注意的幾個問題

⑴確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內，通過討論

導數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調區(qū)間.

⑵在對函數(shù)劃分單調區(qū)間時，除了必須確定使導數(shù)等于0的點外，還要注意定

義區(qū)間內的不連續(xù)點或不可導點.

（3）注意在某一區(qū)間內/（x）＞0（或/（x）VO）是函數(shù)/U）在該區(qū)間上為增（或減）函數(shù)的

充分條件.

2.可導函數(shù)的極值

⑴極值是一個局部性概念，一個函數(shù)在其定義域內可以有許多個極大值和極小

值，在某一點的極小值也可能大于另一點的極大值，也就是說極大值與極小值沒

有必然的大小關系.

⑵若7U)在Q,加內有極值，那么_Ax)在他，份內絕不是單調函數(shù)，即在某區(qū)間上

單調增或減的函數(shù)沒有極值.

3.如果一個函數(shù)單調性相同的區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用“U”連接，只

能用逗號或"和'’字隔開，如把增區(qū)間寫為“(一8,-|)U(h+00)''是不正確的，

2,,,2

因為“(一8,一+8)”不是一個區(qū)間，該函數(shù)在(一8,—+00)上

不是單調遞增的.

4.函數(shù)的解答題，一般放在最后一道題的位置，難度加大，尤其是第二問，與不

等式聯(lián)系，是拉開優(yōu)等生與一般生的重要途徑.故關于這道大題，我們應該以辯

證的觀點去處理.對于第一問是我們必須得分的部分，求導的準確性和函數(shù)定義

域這個兩個前提必須保證，這是基礎；對于第二問，往往通過不等式的等價轉化,

構造函數(shù)通過求導研究函數(shù)的單調性，然后達到證明不等式的基本模式.這里強

調得部分分數(shù)是應該總結經驗.

【新題預測演練】理科部分

1.【江西師大附中、鷹潭一中2013屆四月高三數(shù)學】(本小題滿分14分)

已知函數(shù)f(x)=ln(x+l)+fcc2(keR).

⑴若函數(shù)>=/(x)在x=l處取得極大值，求％的值；

(2)xe[0,zo)時，函數(shù)y=f(x)圖象上的點都在卜2°八所表示的區(qū)域內，求％的取值

[y-x>0

范圍；

“2

(3)證明:----ln(2〃+l)<2,neN+.

i=\2i—1

解析：⑴f(x)=±+2fcx,由f(1)=0得k=一；經檢嗡符合題意……(3分)

⑵依題意知，不等式x-ln(x+l)-fcr<0在xe[0,+8)域感晨??令

g(x)=x-ln(x+l)-fo?:

當在。時:取X=1：有gQ)=1-In2-左>0,故土0不合.......................(4

分)

當；r>0時，？付=白7—2沃=T>二-1n

X十1X+1

1—2k

令g(x)=。，得Xi=Q,x2=>—1.....................(5分)

①當出舸，(之。，g'(x)〈。在(0,+幻上嬲哀，因此g(R在[0,+Q上單調遞減,

從而對任意的xe[Q,+為，總有g1x)4(。)=0,故之5符合題意.......(6分)

②當ow/t,對于xG:),三三，g'(x)>0,

故g(x)在。，內單調遞噌，因此當取向G：o,時，g(Xo)>g(O)=O,不合.

綜上，....................(3分)

(3)證明：當“=1畝，不等式左邊=2一3<2=右邊，所以不等式成立...........(9分)

1Y-

當您2時，在口中取=七^x-ln(x+l)<—.........(10分)

取xY-rf弋入上式得泠75：l-」7)wd~F<、二、，.....(12分)

2L12I—12Z-12Z-1-(2Z-3X2Z-1)

nr2/7M7

I1+7±7S2-J13+I-----=----

:L2L1--L1.r自(21-3X2/-1)

??i

Z7-=^-10(2?2+1)<2-1113+1-^7<2.

L2l-1-迎-1

綜上，I-In{2n4-1)<2,neN......................(14分)

2z—1-

2.【河北省唐山市2012—2013學年度高三年級第一次模擬考試】己知函數(shù)

f(x)=(mx+n)e_x在x=l處取得極值e-1

(I)求函數(shù)f(x)的解析式，并求f(x)的單調區(qū)間；

(H)當％e(。，+8)時，f(2x—a)+f(a)>2f(x)求a的取值范圍.

解:

(I)/'(x)=—(mx+n—m)e-\

依題意，/⑴=eF06=0,即

r解得m=l,n=0.

ce--0,

所以/(x)=xeX…4分

r(xj=-(x—l)e"x.

當履(-8,li時，r(xi>0；當x￡(l,+8i時，r(xiVO.

函數(shù)在(-8,1)單調遞噌；在口，+ooj單調流減.…6分

(II)g(x)=/(2x—a)+/(a)—2f(x)?則g，(x)=2(H2x—a)—廣僅)].,1,7分

設h(x)=f'(x)=—(x—貝I)h'(x)=(x—2)e-\

當xe(-8,2j時，h'(x)<0,h(x)單調展減;

當xG(2,+ooj時，h,(x)>0.h(xj單調遞增.…8分

(1)若侖2,則當xG(。，+°°時,2x-a>x>h(2x—a)>/i(x)?即門2x—a)A2f'(x%

所以g(xj在(a,+8)單調述噌，此時g(x)>g(a)=O,

即/(2x—a)+f[a)-2f(x)>0.,,,10分

(2)若a<2,則當xG(a,胃^陽,2x_a>Xth(2x-a)<h(x)?即r(2x—a)V2/M，

所以gWVO,g(x)在(a,2j單調遞濫，此時g(x)Vg(。尸0.?,,11分

綜上，a的取值范圍是［2,+x)

3.【北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練】

設函數(shù)/(x)=yx3-ax(a>0),g(x)=bx?+2Z?-1.

(I)若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(l,c)處具有公共切線，求a力的

值;

(H)當a=1-2。時,若函數(shù)/(x)+g(x)在區(qū)間(-2,0)內恰有兩個零點，求a的取值范

圍;

(III)當a=1-2b=\時,求函數(shù)/(x)+g(x)在區(qū)間■+3］上的最大值.

解：(I)/'(x)=X：-qg'(x)=.

因為曲線J=f(x)與曲線J=g(x)在它們的交點(Lc)處具有公共切線，所以

/。)=』D，且廣Q)=gQ),

艮口:一a=b+25—1，且1—a=,

解得a=—.b=—.........................................3分

33

(Ilj記Mx)=f(x)+g(x),當a=1-26W.

,/\1jl-a2

/2(x)=-H—；—x-ax-a,

3—

F:

7i(x)=x+(l-a)x-a=(x+l)(x-a)t

令〃'|xl=0,得項=—Lx:=a>0

當x變化時,hr(x\從3的變化情況如下表：

X1-￡-11-1l-Lala(a+8)

V(x)+0—0+

/極大值X極小值/

所以函數(shù)Mx)的單調遞噌區(qū)間為(-x-l)8(a:+x):單調遞減區(qū)間為

(一1。),............................................................6分

故Mx)在區(qū)間(-2「11內單調遞曾在區(qū)間(-L0)內單調遞減

從而函數(shù)Mx)在區(qū)間(-2。)內恰有兩個零點，當且僅當

》(一2)<0；

/X1

U(-l)>0,解得0<a<2,

，/、3

ZzlOl<0

所以a的取值范圍是‘0.3...................................9分

I-3；

(ill)記川xl=f(xl+gix)，當。=1-26=1時，

/z(x)=-J-x3-x-l.

3

由川)可知屈數(shù)Mx)的單調遞噌區(qū)間為(-凡-lML+x)；單調遞減區(qū)間為(-L1).

①當？+3<-1時，即？<一4時，〃(x)在區(qū)間”+3］上單調述噌，所以卜(外在區(qū)間

"+3］上的最大值為〃(7+3)=!&+3)3-(r+3)-l=^-rs+3r+8r+5；

3、^^^3

②當r<-1且-1Sr+3<1,即-4Wr<-2時,〃(x)在區(qū)間hT上單調逑噌，在區(qū)間

［-Lr+3］上單調遞減所以Mx)在區(qū)間值t+3］上的最大值為M-1)=-；

當rv-1且，+321,即一2￡，<一1時，-且h(2j=h(-i),所以從X)在區(qū)間［r：r+3］上

的最大值為〃(一1)=一2；

3

③當一14/<1時"+322>1,

〃(x)在區(qū)間［用上單調遞減,在區(qū)間憶+3］上單調遞唱而最大值為柏I與h(t+3)中的

較大者.

由g+3)-峋=3(r+1X7+2)知，當-1Vr<1時,地+3)2砌,

所以ZJ(X)在區(qū)間匕.+3］上的最大值為Mr+3)尸+3J+8r+5:...13分

④當時，Mx)在區(qū)間卜4+3］上單調遞曾所以Mx)在區(qū)間卜4+3］上的最大值為

Zz(r+3)=—r3+3八+8r+5.................................14分

4.【2013年天津市濱海新區(qū)五所重點學校高三畢業(yè)班聯(lián)考］(本題滿分14分)設

函數(shù)/(x)=—+xlnx,g(x)=d一J一3.

x

（I）討論函數(shù)力（外=以電的單調性；

X

（II）如果存在%,%G[0,2],使得ga）-g（X2）NM成立，求滿足上述條件的最

大整數(shù)M;

（III）如果對任意的都有/（s）Ng⑺成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解：（1）4（x）=：+Inx，〃'（x）=一心一1,......1分

X'XXs

①a<0,h'（x）>0,函數(shù)Mx）在（0,+x）上單調遞噌................2分

②a>0,hW>0,x>函數(shù)Mx）的單調遞增區(qū)間為（后+8）.....3分

hW<0,0<x<J工，函數(shù)Mx）的單調遞減區(qū)間為S,岳）.........4分

（II）存在演行e[0,2],使得g（甬）-成立

等價于：[g（xj-8（工2）]工“之.................5分

考察g（x）=丁-3,g'⑶=3x?-2》=3雙》-三），...............6分

（o4）

X03

J3

g'(x)0—0+

極（最）小值上

g(x)-J遞減2,7述噌1

.............8分

由上表可知：g（X）sj,=g（y）=-與8⑶==g（2）=1，

117

[g（M）-8（今）]3=g（x）=-ga）.=g，..............9分

2/

所以滿足條件的最大整數(shù).1/=4；..............10分

(Ill)當XE［1,2］時，/(x)=—+xlnx>l't§,pJci7

2x

等價于aNx-x21nx恒成立，..........11分

記力(x)=x-x"nx,所以a之7Gsi(x)

h\x)=l-2xlnx-x,Zf(l)=0.

記T(x)=(1—x)—21nx,xe［，［)，1-x>05xlnx<05h\x)>0

即函數(shù)Mx)=X-/Inx在區(qū)間C」)上遞增，

記力'(x)=(1—x)—21nx,xe(1,2］>1-x<0:xlnx>0;h'(x)<0

即函數(shù)，?(x)=x-x“nx在區(qū)間(1J］上遞減，

x=LA(x)取到極大值也是最大值〃(1)=1.................................13分

所以a21..................................14分

另解物(/=1-2xlnx-x,m'(x)=-3-2Inx

由于w'(x)=-3-21nx<0,

所以叨(x)=〃'⑶=l-2xlnx-x在上遞減，

當xcg」)時，》(x)>0,xc(L2］時，〃'(x)<0,

即函數(shù)/i(x)=x-x:lnx在區(qū)間gJ)上述增，

在區(qū)間(1,2］上述裱，..................13分

所以｝(x)11ax=內(1)=1,所以a21?............

5.【2013屆貴州天柱民中、錦屏中學、黎平一中、黃平民中四校聯(lián)考】(本小題

滿分12分)已知函數(shù)/(x)=S皿(》>0,且xwi)

x-1

(1)討論函數(shù)/(X)的單調性；

(II)證明:f(x)>2。

-21nx+x--

1

解：⑴F(x)=—;_L

(x-l)*

設g(x)=-2Inx+x-L則g(0)=0,且g(x)=，'>0

XX，

g(x)在(0,+x)上單調涅噌.

當xc(0J)時，g(x)<0：從何(x)<0J(x洋調遞減;

當xwQ+幻時，g(x)>0,從何(x)>0J(x)單調遞增.

因此，f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+工)上單調遞增.(6分)

(2)原不等式就是包弛三-2>0

X—1

x+l2(x-l).c

即Bn----[nInx------1>0

x-1x+1

令〃(x)=In.順(1)=Q,h(x)=>0

X+1A^X+1)*

做》應(0,+x)上單調涅噌,

當xw。1)時，卜(幻<0,當xc(L+工)時，h(x)>0?

所以當x>0,且x=1時，/(x)>2(12分)

6.[2013安徽省省級示范高中名校高三聯(lián)考】(本小題滿分13分)

已知函數(shù)f(x)=lnx—mx十m,meR.

(I)求f(x)的單調區(qū)間；

(II)若f(x)S0。在xe(0,+00)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

(III)在(II)的條件下，任意的OVaVb,證明：,(")-/⑷<_L_i

h-aa

1-

解析：(I)/(X)=---(x>0).

X

當m=0時，/(x)=lnx在(0,+8)上單調遞增；

當m<0時，戶(力=匚工>0,所以/(x)在(0：+x)上單調遞噌;

X

1-mx11

當m>0時，令（力—三>0得0<x<上，所以"》）在；0,；上單調涅噌,

xwVmJ

令尸0）=匕竺<0得，X>1,所以f（x）在；L,+X；上單調遞減.........4分

XW'W

（II）當mW。時，f（x）在（q+x）上單調遞增，且一xvf（x）<+H,所以f（x）WO在

（0,+8）上不恒成立;

1、

當m>0時，由(I)得/(x)^=f—=-lnw-l+w<0，

aymj

徵一]

令glwl=-lnw-l+w,-—=------,所以w61011,g\m]<Q,

wms

we(L+x),gr(w)>0,g(物L>=g(D=0，所以m二L

綜上，m的取值范圍是m=l..............8分

iIn-b

(in)-1=——1―^--L因為b>a>0,所以一>1,

b-ab-a?！?14

a

由（H）得，xw(L+x)時，Inx<x-l,令t=t,則InfVf-l,

所以史<1,

又r>l，

t-\

,b

因為卜

0,所以——T--l<一一L即乙一———<--l.13分.r

a2_]ab-aa

7.【廣州市2013屆高三年級1月調研測試】（本小題滿分14分）

若函數(shù)/（X）對任意的實數(shù)X1,龍2€。，均有|/（￡）一/（七）|《民一玉|，則稱函數(shù)

/（X）是區(qū)間。上的“平緩函數(shù)”.

（1）判斷g（x）=sinx和〃（x）=/7是不是實數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”，并說明理

由；

⑵若數(shù)列｛七｝對所有的正整數(shù)〃都有②「七匕2〃1產設XLsinz，

求證：舊用一%|<5?

（本小題主要考查函數(shù)、絕對值不等式等基礎知識，考查函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與

轉化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識）

（1）解：g（x）=sinx是R上的“平緩函數(shù)”，但〃（x）=x?-x不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)々

設奴工）=X-sinx,則d（x）=l-cosx＞0,則奴工）=x-sinx是實數(shù)集R上的噌函數(shù)，

不妨設再＜W，則吹xjvdw）,即演一sinX[＜吃-sinx：1

貝iJsinx?_sinN〈與一演.①..........1分

又j=x+sinx也是R上的噌函數(shù)，則甬+5由甬＜x：+sin±,

艮Rsinw-sin再＞演一七，②..........2分

由①、②得一（七一天）＜由1七一sin』＜七一毛.

因此，卜in電-sinxj＜卜：一再|,對西＜天都成立...........3分

當再＞七時，同理有卜inx:-sinxj＜%-甬|成立

又當X]=士時，不等式卜in巧一sin甬|=|七一%|=0,

故對任意的實數(shù)演，XjeR,均有卜in電-sin.14比一再卜

因此g（x）=sinx是R上的“平緩函數(shù)”...........5分

由于W（再）一.七）|=|（七一天Xw+W-1）1.........6分

取網(wǎng)=3,x,=2,貝帥（角）一砥2）|=4＞卜一毛|,..........7分

因此，〃（x）=/-x不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”...........8分

（2）證明:由（1）得：8（力=5后》是區(qū)上的“平緩函數(shù)”，

則卜inx——sin/14k+iF|，所以1z-”14k“一修|...........9分

而歸1一”歸而了

...iii/i、八

?"一j;-------r<—；------—(——---)..........1。分

111(2k+1)’4"+4〃4n〃+1

;回+1-MI=|(%1—])+(羯-K-i)+(Hr-以-，+…+(乃一用)|，......11分

?'-|>'?-1->'iIb?-i->,?|+\>\-1-I+?'-+1>-2->iI?.........12分

二|%ifK---)+(――

4nn+1n-1n2

<—..........14分

4

8.【廣東省肇慶市中小學教學質量評估2012-2013學年第一學期統(tǒng)一檢測題】

已知函數(shù)/、(x)"ox?+x)e",其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，aeR.

(1)當a>0時,解不等式f(x)W0；

(2)當a=0時，求整數(shù)的所有值，使方程/(x)=x+2在上,/+1］上有解；

(3)若/(x)在上是單調增函數(shù)，求。的取值范圍.

解：曾因為e">0,所以不等式/(x)40即為av：-x4Q,又因為a>0,所以不等式可化為

x(x+l)<0,所以不等式/(X)40的解集為「-士。］.(4分)

aL4.

⑵當a=0時，方程即為xl=工-2,由于1>0,所以x=0不是方程的解，所以原方程

等價于e*-二一1=0,令"(x)=e"一二一1,因為/f(x)=e"-二>0對于工wi-x.O|JO.T?恒

XXX*

成立，

所以力(x)在(-XO)和(0「x|內是單調噌函數(shù)，