高考數(shù)學二輪復習資料06 平面向量教學案（學生版）

[2013考綱解讀】

1.理解平面向量的概念與幾何表示、兩個向量相等的含義;掌握向量加減與數(shù)乘運算及

其意義;理解兩個向量共線的含義，了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.

2.了解平面向量的基本定理及其意義;掌握平面向量的正交分解及其坐標表示;會用坐

標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算;理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

3.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；了解平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;

掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾

角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

【知識網(wǎng)絡構(gòu)建】

慨念

I正弦定理]-I

平

而

平行的先要條件I-]向

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向表

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般仃的無耍條件I」-1

幾何計算【測庇】

應用

【重點知識整合】

1.平面向量的基本概念

2.共線向量定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)人使6=4?a.如果向量a

=（乂，yi）,。=（必，㈤，則a〃8的充要條件是小度=X2巾或者矛1%一矛2"=0,即用坐標表

示的兩個向量平行的充要條件是它們坐標的交叉之積相等?當其中一個向量的坐標都不是零

時，這個充要條件也可以寫為小=上，即對應坐標的比值相等.

Xiy\

3.平面向量基本定理

對于任意a,若以不共線的向量e“僉作為基底，則存在唯一的一組實數(shù)對八，P,使

a—4e>+〃ei.

4.向量的坐標運算

a=（E,yi）,b={x-i,yi）,貝！]a+6=（xi+xz,yi+yz）,a-b=（xi—x2,0一%）,4a

=（久天,

5.數(shù)量積

(1)已知a,b的夾角為如,臥=.問0,7C]),則它們的數(shù)量積為ae=|4Wc。的,其

中6cos8叫做向量，在a方向上的投影，向量的數(shù)壁積滿足交換律、數(shù)乘結(jié)合律和分配律,

但不滿足結(jié)合律，即a?g,c)=(a0.c；

(2)若a=(xi，yi).2>=伏，㈤,則城=*的+加2；

(3)兩非零向量a,b的夾角公式為38=名=產(chǎn)+】產(chǎn),

ab五奇位謖

(4)a:=a-a

(5)兩個向量垂直的充要條件就是它們的數(shù)量積等于零.

【高頻考點突破】

考點一向量的有關(guān)概念和運算

(1)零向量模的大小為0,方向是任意的，它與任意向量都共線，記為0.

(2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，與a同向的單位向量為篙.

|a|

(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量).

例1、已知關(guān)于”的方程：OA?X+OB?2x+OC=0(xSR),其中點C為直線47上一點，

0是直線外一點，則下列結(jié)論正確的是()

A.點C在線段仍上

B.點C在線段的延長線上且點8為線段/C的中點

C.點C在線段46的反向延長線上且點4為線段優(yōu)的中點

D.以上情況均有可能

【方法技巧】解決向量的有關(guān)概念及運算問題要注意以下幾點

(1)正確理解向量的基本概念；

(2)正確理解平面向量的基本運算律，a+b=b+a,a?b=b.?a,

Aa,b—4(a?6)與a(b?c)W(a,6)c；

(3)相等向量、相反向量、單位向量、零向量，在概念考查中

一定要重視，如有遺漏，則會出現(xiàn)錯誤.

考點二平面向量的數(shù)量積

1.兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩個向量的模與兩向量夾角

的余弦的乘積，

其符號由夾角的余弦值確定.

a?b

2.求非零向量a,。的夾角一般利用公式cos〈a,b)『先求出夾角的余弦值,

a?b

然后求夾角；向量a在向量6方向上的投影為寸.

1

6=-a

例2、設(shè)向量a,6滿足「a|=|6|=l,a-

2J

A.mB.小

C.4D.A/7

【方法技巧】

(1)準確利用兩向量的夾角公式cos《a,b>=￡士及向量模的公式a=、石力.

(2)在涉及數(shù)量積時，向量運算應注意：

①？匕=0,未必有a=0,或d=0；

?a-b<ab；

③a?c)與(a”b)c不一定相等.

考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合應用

通過對向量的運算把問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值、最值或研究三角函數(shù)的性質(zhì)等問題,

是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型.

例3.已知向量a=(cosa,sina),b=(cosJ3,sin￡),c=(—1,0).

(1).求向量6+c的長度的最大值；

(2)設(shè)。=1，且a_L(方+c),求cos￡的值.

【難點探究】

難點一平面向量的概念及線性運算

例1、(1)a,b是不共線的向量，若46=3a+8,4C=a+42b(小，2&R),則4B,

C三點共線的充要條件為()

A.4]=A2——1B.41=幾2=1

九?

C.A2+I=OD.41幾2—1=0

⑵設(shè)4,4,4,4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若入SR),

=〃必2(〃￡R),且:+，=2,則稱43,4調(diào)和分割4,4,已知點C(c,0),D(d,0)(c,相R)

調(diào)和分割點4（0,0）,6（1,0）,則下面說法.正確的是（）

A.C可能是線段47的中點

B.〃可能是線段的中點

C.a?？赡芡瑫r在線段4?上

D.a〃不可能同時在線段的延長線上

【點評】向量的共線定理和平面向量基本定理是平面向量中的兩個帶有根本意義的定

理.平面向量基本定理是平面內(nèi)任意一個向量都可以用兩個不共線的向量唯一線性表示，這

個定理的一個極為重要的導出結(jié)果是，如果a,b不共線，那么Ma+/.zb=ma+u2b的充要

條件是乙=4且二=/共線向量定理有一個直接的導出結(jié)論,即如果用=.*歷+〕沅,則/,

B,C三點共線的充要條件是x+j=1.

【變式探究】（1）如圖所示，在中，點。是回的中點，過點。的直線分別交直線/反

4c于不同的兩點機N,若能=通/，~AC=nAN{m,n>0）,貝A十，的最小1:值為（）

mn

（2）設(shè)向量a,6滿足|a|=24"=（2,1）,且a與8的方向相反,則a的坐標為—

難點二平面。向量的數(shù)量積

例2如圖所示，。為如所在平面內(nèi)一點，向量Ql=a,OB=b,且。在線段的垂

直平分線上，向量昨c.若|a|=3,㈤=2,則c?（a—6）的值為（）

5

A.5B.3C-2D，2

【點評】平面向量問題的難點就是把平面向量的幾何運算與數(shù)量積運算的結(jié)合，這里.

要充分利用平面向量的幾何運算法則、平面向量的共線向量定理、兩向量垂直的條件以及平

面向量數(shù)量積的運算法則，探究解題的思想.

【變式探究】(1)已知a與匕均為單位向量，其夾角為8,有下列四個命題:

Pi：a+b>0,奇匕

Pzz7C；

p\i〃一力>10860,5,,；

paa-b>l^G'pjt.

其中的真命題是()

A.pi，p，B.pi，p3

C.pi，PiD,而，必

(2)在△OWB中，設(shè)晶=a,OB=b,則。4邊上的高等于.

難點三平面向量的共線與垂直的綜合運用

22

例3已知橢圓當+￡=1(a>6>0)的左、右焦點分別為K、九左頂點為力，若用川=2,

橢圓的離心率為e=].

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若尸是橢圓上的任意一點，求麗?虧的取值范圍；

(3)已知直線J：與橢圓相交于不同的兩點機N(均不是長軸的端點)，AH1MN,

垂足為〃且前=拓/?夠'，求證：直線/恒過定點.

【點評】本題是以考查解析幾何基本問題為主的試題，但平面向量在其中起著關(guān)鍵作

用.本題的難點是第三問，即把已知的垂直關(guān)系和向量等式轉(zhuǎn)化為施?就三0,從而達到使

用韋達定理建立直線中參數(shù)在，加的方程，確定4,0的關(guān)系，把雙參數(shù)直線系方程化為單參

數(shù)直線系方程，實現(xiàn)了證明直線系過定點的目的.

4

【變式探究】已知雙曲線的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一條漸近線方程為尸金心

右焦點以5,0),雙曲線的實軸為44，尸為雙曲線上一點(不同于4,A),直線4只A2P分

9

別與直線/：交于KAr兩點.

5

(1)求雙曲線的方程；

(2)求證：曲?旗為定值.

【歷屆高考真題】

[2012年高考試題】

1.[2012高考真題重慶理6】設(shè)x,y&R,向量。=(x,l)〃=(ly)c=(2-,且

a_Lcibllc,則Q+各

(A)V5(B)M(C)2亞(D)10

2.[2012高考真題浙江理5】設(shè)a,b是兩個非零向量。

A.若a-b=a-b,則a_Lb

B.若a_Lb,則a-b=a?b

C若a-b=a-b,則存在實數(shù)3使得b=Za

D.若存在實數(shù).使得b=Za,則a-b=a-b

3.12012高考真題四川理7】設(shè)a、8都是非零向量，下列四個條件中，使上-=上-成

⑷\b\

立的充分條件是()

A、a=-ballbC,a-2bD、a〃力且|a|=|)|

4.12012高考真題遼寧理3】已知兩個非零向量a,6滿足Ia+引=|a-引，則下面結(jié)論

正確的是

(A)a//b(B)aLb

(C)(0,1,3)(D)a+b=a—b

5.12012高考真題江西理7】在直角三角形ABC中，點。是斜邊AB的中點，點P為

\PAf+\PBf

線段CO的中點，則J~~一=

|PCf

A.2B.4￡.5D.10

6.12012高考真題湖南理7】在△ABC中，AB=2,AC=3,萬友=1貝lj￡C=_.

汶忑B.V?C.20D.在

7.12012高考真題廣東理3】若向量第=(2,3).O=(4,7).則比=

A.(-2:-4)B.(3,4)C.(6,10)D.(-6,-10)

8.［2012高考真題廣東理8］對任意兩個非零的平面向量a和B,定義

a?B7T-_——

a。B------.若平面向量a,b滿足|a|21bl>0,a與b的夾角6e(0,—)，且和。。a

B"4

都在集合g|〃eZ｝中，則。。6=

135

A.—B.1C.-D.一

222

9.【2012高考真題安徽理8】在平面直角坐標系中，0(0,0),P(6,8),將向量OP按逆

時針旋轉(zhuǎn)」3萬?后，得向量OQ,則點。的坐標是()

4

(4)(-7&,-&)(B)(-772,72)

(C)(-476,-2)(D)(-476,2)

10.12012高考真題天津理7］已知A43C為等邊三角形，AB=2,設(shè)點P,Q滿足

AP=AAB,AQ=(1-A)AC,AeR,若麗?而=—之，則；1=

2_

(A)⑻萼

2

i±Vio,、-3+242

(D)--------------

22

IL12012高考真題新課標理13】已知向量涓夾角為45\且p卜“工-耳=據(jù)

則忖=

13.12012高考真題上海理12】在平行四邊形HBC。中，乙4=一，邊.18、的

3

長分別為2、1,若“、N分別是邊5C、C。上的點，且滿足=U，則而?萬

BCCD

的取值范圍是.

14.【2012高考真題山東理16】如圖，在平面直角坐標系x0y中，一單位.圓的圓心的

初始位置在(0,1),此時圓上一點P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動?當圓滾動到

圓心位于(2,1)時，OP的,坐標為—

15.12012高考真題北京理13】已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,

則演?五的值為，而?皮的最大值為。

16.【2012高考真題安徽理14】若平面向量。力滿足：［2。一目＜3,則ab的最小值是

17.12012高考江蘇9](5分)如圖，在矩形ABCD中，AB=0，BC=2,前E為BC

的中點，點F在邊。上，若ABAF=42,則AE8尸的值是▲.

【2011年高考試題】

1.(2011年高考四川卷理科4)如圖，正六邊形ABCDEF中，BA+CD+EF^().

AA

?(A)0(B)BE(C)AD(D)CF

2.(2011年高考全國卷理科12)設(shè)向量a&c滿足I。|=|b|=1,

<a—c,b—c>=60°,則，的最大值等于

(A)2⑻G,(c)夜(D)l

二、填空題:

1-(2011年高考浙江卷理科14)若平面向量a,4滿足卜卜1,

|/?|<1且以向量a,/為鄰邊的平行四邊形的面積為:，則a與夕.的夾角。的取值范

圍是

2.（2011年高考安徽卷理科13）已知向量a,6滿足（＞28）_?（a~b）=一6,.且卜卜,

忖=2,則a與力的夾角為.

3.（2011年高考重慶卷理科12）已知單位向量弓，5的夾角為60,則|2q—c/=

4.(2011年高考安徽卷江蘇10)已知f弓—,內(nèi)是夾角為2士乃的兩個單位向量，

3

a=e]-2e2,h=ke}^e2,若〃?/?=(),則k的值為___

12010年高考試題】