天津中考圓的復(fù)習(xí)專題

天津中考天津中考圓的復(fù)習(xí)專題（13年真題）圓的有關(guān)概念與性質(zhì)，圓的切線的判定和性質(zhì)，圓心角與圓周角之間的關(guān)系，垂徑定理，圓與三角形和三角函數(shù)，四邊形結(jié)合等題型。圓在天津中考的大題中出現(xiàn)在第22題，分值是8分。一、圓的基本概念圓的定義1．描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段繞它固定的一個端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，其中固定端點(diǎn)叫做圓心，叫做半徑．2．集合性定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓，頂點(diǎn)叫做圓心，定長叫做半徑．3．圓的表示方法：通常用符號表示圓，定義中以為圓心，為半徑的圓記作”“，讀作”圓“．4．同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；能夠重合的兩個圓叫做等圓．注意：同圓或等圓的半徑相等．弦和弧1．弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．2．直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的倍．3．弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距．4．?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧．以為端點(diǎn)的圓弧記作，讀作弧．5．等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?．半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．7．優(yōu)弧、劣弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?．弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．二、垂徑定理圓的對稱性圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線是它的對稱軸；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度角，總能與自身重合．⑴旋轉(zhuǎn)對稱性：無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度它都能與自身重合，對稱中心為圓心．圓的旋轉(zhuǎn)對稱性弦、弧、弦心距，圓心角之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距這四組量中，只要有其中一組量相等，則其余三組量也分別相等，其相互推導(dǎo)關(guān)系如下圖：所對的兩圓心角相等所對的兩圓心角相等所對的兩條弦相等所對的兩條弧相等所對的兩條弦的弦心距相等注意：①前提條件是在同圓或等圓中；②在由等弦推出等弧時應(yīng)注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；劣弧與劣弧相等．⑵軸對稱性：它的任意一條直徑所在的直線均為它的對稱軸．圓的軸對稱性垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦、并且平分弦所對的兩條?。箯蕉ɡ?．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．2．推論1：⑴平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；⑵弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；⑶平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?．推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．注意：應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計(jì)算時，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：，根據(jù)此公式，在，，三個量中知道任何兩個量就可以求出第三個量．二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外三種，這三種關(guān)系由這個點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系決定．設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則有：點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi).如下表所示：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部點(diǎn)在的外部.確定圓的條件1.圓的確定確定一個圓有兩個基本條件：①圓心(定點(diǎn))，確定圓的位置；②半徑(定長)，確定圓的大小．只有當(dāng)圓心和半徑都確定時，遠(yuǎn)才能確定．2.過已知點(diǎn)作圓⑴經(jīng)過點(diǎn)的圓：以點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)為圓心，以的長為半徑，即可作出過點(diǎn)的圓，這樣的圓有無數(shù)個．⑵經(jīng)過兩點(diǎn)的圓：以線段中垂線上任意一點(diǎn)作為圓心，以的長為半徑，即可作出過點(diǎn)的圓，這樣的圓也有無數(shù)個．⑶過三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)共線時，過三點(diǎn)的圓不存在；若三點(diǎn)不共線時，圓心是線段與的中垂線的交點(diǎn)，而這個交點(diǎn)是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個．⑷過個點(diǎn)的圓：只可以作個或個，當(dāng)只可作一個時，其圓心是其中不共線三點(diǎn)確定的圓的圓心．3.定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓．注意：⑴”不在同一直線上”這個條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；⑵”確定”一詞的含義是”有且只有”，即”唯一存在”．4.三角形的外接圓⑴經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合.⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處(即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半)；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.三直線和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點(diǎn)．直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．直線與相切相交直線與圓有兩個公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線．直線與相交從另一個角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示：直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系公共點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)無直線名稱割線切線無三、切線的性質(zhì)及判定1．切線的性質(zhì)：定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．2．切線的判定：定義法：和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線；距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．3．切線長和切線長定理：⑴切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．⑵切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．4．弦切角等于同弧所對的圓周角．①切線的判定定理設(shè)OA為⊙O的半徑，過半徑外端A作⊥OA，則O到的距離d=r，∴與⊙O相切．因此，我們得到：切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．注：定理的題設(shè)①“經(jīng)過半徑外端”，②“垂直于半徑”，兩個條件缺一不可．結(jié)論是“直線是圓的切線”．舉例說明：只滿足題設(shè)的一個條件不是⊙O的切線．證明一直線是圓的切線有兩個思路：連接半徑，證直線與此半徑垂直；(2)作垂直，證垂直在圓上②切線的性質(zhì)定理及其推論切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．我們分析：這個定理共有三個條件：一條直線滿足：(1)垂直于切線(2)過切點(diǎn)(3)過圓心定理：①過圓心，過切點(diǎn)垂直于切線OA過圓心，OA過切點(diǎn)A，則OA⊥AT②經(jīng)過圓心，垂直于切線過切點(diǎn)③經(jīng)過切點(diǎn)，垂直于切線過圓心四、圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系可以是兩圓相交、兩圓相切(內(nèi)切或外切)、兩圓相離、兩圓內(nèi)含．設(shè)兩個圓為、，半徑分別為、，且，與間距離為，那么就有兩圓相離；兩圓相外切；兩圓相內(nèi)切；兩圓相交；兩圓內(nèi)含(這里)．如果兩圓、相交于、兩點(diǎn)，那么垂直平分．如果兩個半徑不相等的圓、圓相離，那么內(nèi)公切線交點(diǎn)、外公切線交點(diǎn)都在直線上，并且直線上，并且直線平分兩外公切所夾的角和兩內(nèi)公切線所夾的角．如果兩條外公切線分別切圓于、兩點(diǎn)、切圓于、兩點(diǎn)，那么兩條外公切線長相等，且、都被垂直平分．處理兩圓位置關(guān)系的基本思路與處理關(guān)于直線與圓位置關(guān)系問題的基本思路是一致的．相切兩圓的性質(zhì)連心線：是指通過兩圓圓心的一條直線．連心線是它的對稱軸．兩圓相切時，由于切點(diǎn)是它們唯一的公共點(diǎn)，所以切點(diǎn)一定在對稱軸上．①通過兩圓圓心的直線叫做連心線．②如果兩個圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上．．（2010?天津）已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．（1）如圖①，若AB=2，∠P=30°，求AP的長（結(jié)果保留根號）；（2）如圖②，若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線．（2011?天津）已知AB與⊙O相切于點(diǎn)C，OA=OB，OA、OB與⊙O分別交于點(diǎn)D、E．（I）如圖①，若⊙O的直徑為8，AB=10，求OA的長（結(jié)果保留根號）；（II）如圖②，連接CD、CE，若四邊形ODCE為菱形，求的值．．（2012?天津）已知⊙O中，AC為直徑，MA、MB分別切⊙O于點(diǎn)A、B．（Ⅰ）如圖①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大?。唬á颍┤鐖D②，過點(diǎn)B作BD⊥AC于E，交⊙O于點(diǎn)D，若BD=MA，求∠AMB的大?。?009?天津）如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA，PC是⊙O的切線，A，C為切點(diǎn)，∠BAC=30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB=2，求PA的長（結(jié)果保留根號）．．（2008?天津）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O為內(nèi)切圓，E為切點(diǎn)，（Ⅰ）求∠AOD的度數(shù)；（Ⅱ）若AO=8cm，DO=6cm，求OE的長．．（2007?天津）如圖，⊙O和⊙O′都經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在BA延長線上，過P作⊙O的割線PCD交⊙O于C、D兩點(diǎn)，作⊙O′的切線PE切⊙O′于點(diǎn)E．若PC=4，CD=8，⊙O的半徑為5．（1）求PE的長；（2）求△COD的面積．．（2005?天津）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，小圓的半徑長為2，大圓的弦AB與小圓交于點(diǎn)C、D，且AB=3CD，∠COD=60°．（1）求大圓半徑的長；（2）若大圓的弦AE與小圓切于點(diǎn)F，求AE的長．．（2004?天津）如圖，已知PAB是⊙O的割線，AB為⊙O的直徑，PC為⊙O的切線，C為切點(diǎn)，BD⊥PC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，PA=AO=OB=1．（Ⅰ）求∠P的度數(shù)；（Ⅱ）求DE的長．．（2006?天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．（Ⅰ）如圖①，若半徑為r1的⊙O1是Rt△ABC的內(nèi)切圓，求r1；（Ⅱ）如圖②，若半徑為r2的兩個等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求r2；（Ⅲ）如圖③，當(dāng)n大于2的正整數(shù)時，若半徑rn的n個等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1與AC、BC相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On﹣1均與AB邊相切，求rn．．（2003?天津）已知，如圖⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C為切點(diǎn)．（1）求證：AB⊥AC；（2）若r1、r2分別為⊙O1、⊙O2的半徑，且r1=2r2．求的值．．（2002?天津）如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上的一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，D