集合（解答題）2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)真題和模擬題測試練習(xí)（共19題）

專題1集合(解答題)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)真題和模擬題測試練習(xí)

三、解答題(共19題)

1.(2020?全國?一模(理))已知集合2=卜|%2一(機(jī)+2)x+(1-m)(2m+1)W0}.集合B=

卜|y=3x)(3—81)}.

(I)當(dāng)m=1時(shí)，求4UB；

(H)若BU4,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

2.(2021?河南?羅山縣教學(xué)研究室--模(理))(1)設(shè)集合4={乂€/?比2一2%-1=0},B=

[x\x2+2(a4-l)x+a2-5=0}.AC\B=A,求實(shí)數(shù)a的取值集合；

(2)設(shè)A=(x\x2—(a+l)x+a<0},B={x\x2—3x—4<0},若AUB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

3.(2020?江西?模擬預(yù)測)已知集合A={a-2,2a2+5a},且一3GA.

(1)求a；

(2)寫出集合4的所有子集.

4.(2020?廣西?模擬預(yù)測)已知集合A={x|l<x<5}.B={x|0<x<4},C=(x\m+1<x<2m—

1).

(1)求4UB,CMAnB)：

(2)若Bnc=c,求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

5.(2020?山東?模擬預(yù)測)在①2eM,3€M,②函數(shù)y=;-1的圖象經(jīng)過點(diǎn)PQ-9，③a<0,2a2-

5a-3=0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并解答.

問題：已知集合”={x€卅％33+2研，N={x|l<2x+1<6},且求MCN.

6.(2020?廣東中山?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"X)=loga(2x+1)+VI=而的定義域?yàn)槿瞬坏仁?/p>

[%-(m+1)]-[%-(m-1)]>0(mGR)的解集為集合B.

(1)求集合A和8；

(2)已知“xea”是“X6B”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

7.(2020?福建三明?模擬預(yù)測)已知集合4={x\x2—%—12<0},B={x\x2—2x+1-m2<0,m>

0).

(1)若m=2,求4n(CRB)；

(2)%€4是》68的條件，若實(shí)數(shù)m的值存在，求出in的取值范圍；若不存在，說明理由.(請

在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任選一個(gè)，補(bǔ)充到空白處)注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，

則按第一個(gè)解答計(jì)分.

8.(2021?江西?模擬預(yù)測)設(shè)全集U=R,集合A={x|2%2-9x+4W0},B={x\2—a<x<a}.

(1)當(dāng)a=2時(shí),求Cu(AuB)；

(2)若AnB=4求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

9.(2020?江蘇?海安高級中學(xué)二模)已知集合A={x\x2-x-2>0},集合B={x\2x2+(2/c+5)x+

5k<0},kGR.

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(1)求集合區(qū)

(2)記M=4n8,且集合材中有且僅有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)攵的取值范圍.

10.(2020?江西陰山縣第一中學(xué)模擬預(yù)測)已知集合4={x\a-1<%<2a+1],F={x|0<%<3],

U=R.

(1)若a=[，求A。(。汴)：

(2)若4nB=0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

11.(2020?江西?模擬預(yù)測)已知集合4={x|2—aSxS2+a},B={x\x2—5x+4>0}.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求4nB；

(2)若ACB=?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

12.(2021?江西?模擬預(yù)測)設(shè)全集U=R,集合4={x|2aWx<a+l},8={%|i<4X<64j.

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求AU(CuB)；

(2)若4CB=4求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

13.(2021?上海民辦南模中學(xué)三模)已知集合P的元素個(gè)數(shù)為3n(幾6N*)且元素均為正整數(shù)，若能夠?qū)?/p>

集合P分成元素個(gè)數(shù)相同且兩兩沒有公共元素的三個(gè)集合4,B,C,即P=4UBUC,4CB=。，4n

Bbb

c=0,BnC=0,其中4=…，a*}，={i>2>—>bn},C={q,C2,…，cn},且滿足q<c2V

…<cn,ak+bk=ck,k=1,2,-,n,則稱集合P為“完美集合

(I)若集合P={1,2,3},Q={1,2,3,456},判斷集合P和集合Q是否為“完美集合”？并說明理由；

(II)己知集合「={1,右3,4,5,6}為“完美集合”,求正整數(shù)x的值;

(III)設(shè)集合P={x|l<x<3n,neN*},證明：集合P為"完美集合"的一個(gè)必要條件是n=4k或n=

4k+1(neN*).

14.(2020?北京海淀?二模)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn).對任意的點(diǎn)P(x,y),定義||OP||=|x|+

X

|y|.任取點(diǎn)4(nyj,B{X2,y?)，記人’g,y2)>B'(2,y"，若此時(shí)||O*104'『+

口OB『成立，則稱點(diǎn)4B相關(guān).

(1)分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說明理由；

①4(-2,1),B(3,2)；②C(4,-3),0(2,4).

(2)給定neN*,23,點(diǎn)集On={(x,y)|-?i<x47i,-n<y<eZ}.

(i)求集合。丸中與點(diǎn)4(1,1)相關(guān)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(ii)若Sao”，且對于任意的4,B6S,點(diǎn)48相關(guān)，求S中元素個(gè)數(shù)的最大值.

15.(2021?北京門頭溝?一模)對于一個(gè)非空集合4如果集合。滿足如下四個(gè)條件：①。a{(a,b)|

A,b&4}；@Va6A,(a,a)6D；③若(a,b)eD且(b,a)€0,則。=b；@Va,b,c6A,

若(a,b)e。且(b,c)eD,則(a,c)e。，則稱集合〃為力的一個(gè)偏序關(guān)系.

(1)設(shè)4={1,2,3},判斷集合。={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合力的偏序關(guān)系，請你寫出一

個(gè)含有4個(gè)元素且是集合A的偏序關(guān)系的集合D；

(2)證明：&={(a,b)|aCR,beR,aWb}是實(shí)數(shù)集〃的一個(gè)偏序關(guān)系：

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(3)設(shè)￡為集合A的一個(gè)偏序關(guān)系,a,bEA.若存在ce4,使得(c,a)eE,(c,b)CE,且Vde4,若(d,a)eE,

(d/)€E,一定有(d,c)€E,則稱c是a和6的交，記為c=aAb.證明：對4中的兩個(gè)給定元素a,b,

若aAb存在，則一定唯一.

16.(2021?北京?人大附中模擬預(yù)測)已知S={l,2,...,n},AQS,T={tvt2}QS,記4=

(x\x=a+tbaE=1,2),用|X|表示有限集合X的元素個(gè)數(shù).

(I)若律=5,A={1,2,5),41n42=0，求r；

(II)若n=7,I川=4,則對于任意的4,是否都存在7,使得41n42=M說明理由；

(III)若⑷=5,對于任意的4都存在T,使得4nA2=0求71的最小值.

17.(2022?北京?模擬預(yù)測)已知Sn={X|X=(%,。2，。3,…,即)，a=0或l,i=1,2,…,n}(n22),對

于4=31，。2,…,ajB=(于1，力2,…，％)eSa,，-B=(|出一瓦I，|。2—Bl，…一匕nl)，定義4與B

之間的距離為dQ4,B)=ENiQ-bt\.

(1)若U,V&S4,寫出一組U,U的值，使得d(U,V)=2；

(2)證明：對于任意的U,V,WESn,d(U-W,V-W)=d(U,V');

(3)若U=31，。2，。3,…,即)，若U6Sn，求所有d(U1)之和.

18.(2022?北京豐臺?一模)已知集合S={1,2,…,n}(n>3且neN*),A=,a2,-,am],且4uS.若

EAaeAe

對任意/-j(1<i<j<m),當(dāng)心+aj<n時(shí)，存在以(1<fc<m),使得a+a,=ak,

則稱4是S的rn元完美子集.

(1)判斷下列集合是否是S={1,2,3,4,5}的3元完美子集，并說明理由；

①&={1,2,4}；②&={2,4,5}.

(2)若力={%,a2,613}是S=[1,2,-,7}的3元完美子集，求%+a2+。3的最小值；

(3)若4={的，&2,…,%?}是5={1,2,…,n}(n23且nCN*)的?n元完美子集，求證：+?2+…+2

吟也,并指出等號成立的條件.

19.(2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模)設(shè)n>2且nGN,集合Un={1,2,3,4,…,2口，若對U”的

任意k元子集九，都存在a,b,c€%,滿足：a<b<c,a+b>c,且a+b+c為偶數(shù)，則稱瞑為理想

集，并將k的最小值記為心.

(1)當(dāng)n=2時(shí)，是否存在理想集？并說明理由.

(2)當(dāng)n=3時(shí)，是否存在理想集？若存在，求出心；若不存在，請說明理由.

(3)求降.

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參考答案：

1.(I)A(JB={x\—2<x<4](II)(―—3]U[3,+

【解析】

【分析】

(I)把m=l代入，求出集合A,再利用指數(shù)的單調(diào)性求解集合B,根據(jù)集合的并運(yùn)算即可求解.

(】1)討論m的取值范圍，求出集合A,根據(jù)集合的包含關(guān)系可得或I；}：]]?,解不等

式組即可求解.

【詳解】

(I)當(dāng)m=1時(shí)，A=[x\x2-3x<0}={x|0<x<3},

B=卜|y=-3、)(3X-81)}={x|i<3^<81}={x|-2<x<4},

所以AUB={x|-2SxS4}.

(II)集合A={x\x2—(m4-2)x4-(1—m)(2m+1)<0}={x|(x+m—1)(%—2m-1)<0}

若m>0,則4={x|l—m<%<2m+1},

?2=4.解得43,

若m<0,則4={x\2m4-1<%<1-m}.

,：BQA,.,?[27+1572>解得mW-3,

的取值范圍為(一叱一3]U[3,+河.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算以及集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.

2.(1)]-2}；(2)[-1,4].

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意分析可得4=B,由2(a+l)=-2且a2—5=-1可解得結(jié)果；

(2)化簡集合B,分類討論a求出集合4根據(jù)AUB列式可解得結(jié)果.

【詳解】

(1)AQB=A,AQB,又[中方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且6中方程最多有兩個(gè)實(shí)根，

所以力=8,則2(a+l)=-2且。2-5=-1,所以a=-2,所以實(shí)數(shù)a的取值集合為{—2}.

(2)由—3x—4<0,解得—l<x<4,.'.B={x|—1<%<4},

由題意得：%2—(a+1)%+a_(x—l)(x—a)<0.

當(dāng)a>l時(shí)，A={x\1<x<a}."JAB,:.1<a<4.

當(dāng)a=1時(shí)，A=或前足條件.

當(dāng)a<1時(shí)，A={x[a<x<1}.AQB,-1<a<1.

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綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【點(diǎn)睛】

本題考查了由集合之間的關(guān)系求參數(shù)，考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

3.(1)a=—-i(2)0,{-9,{-3},{—('一

【解析】

(1)由—364,求得a=—1或。=一|,結(jié)合元素的特征，即可求解；

(2)由(1)知集合4={—g-3},根據(jù)集合子集的概念，即可求解.

【詳解】

(1)由題意，集合力={a-2,2a2+5a},且-3€4,

可得—3=a—2或—3=2a2+5a,解得a=—1或a=—|,

當(dāng)a=-l時(shí)，a-2=-3=2。2+5,集合4不滿足互異性，所以a=-l舍去；

當(dāng)a=-|時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故a=—|.

(2)由(1)知集合4={一.一3,

所以集合4的子集是。，{一孑{一3}，

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用元素與集合的關(guān)系求參數(shù)，以及集合的子集的概念及應(yīng)用，著重考查運(yùn)算與求解能力,

屬于基礎(chǔ)題.

4.⑴AUB={x[0<xW5}；CRG4nB)={xIxS1酶24};(2)m<|.

【解析】

(1)由并集的定義，以及交集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)BnC=C等價(jià)于CUB,按8和8力0討論，分別列出不等式，解出實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】

(1)/1UB={X|0<X<5}；

CRQ4nF)={xI%<1或x>4}

(2)因?yàn)锽nC=C,所以CW8.

當(dāng)8=0時(shí)，m+1>2m—1,即?nW2；

+1<2m-1

當(dāng)B片0時(shí)，m+1>0,即2cmW|

2m—1<4

綜上，m<|

5.選擇見解析；{1,2}.

【解析】

【分析】

選擇①，由2€M,3￡M,得到M={0,1,2},結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解；

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選擇②，求得。=-也得到M={0,1,2},結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解；

選擇③，求得a=-：,得到M={0,1,2},結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】

選擇①，因?yàn)?6M,3CM,所以2s3+2a<3,

又因?yàn)閤eN,所以"={0,1,2}.

因?yàn)镹={x|l<2x+1<6}={x|0<x<|j,所以MnN={1,2).

選擇②，將P(2,—{)的坐標(biāo)代入、=解得a=—土

故"={x€N\x<2}={0,1,2},

因?yàn)镹={x|l<2x+1<6}=[x|0<x<|j,所以MnN={1,2}.

選擇③，a<0且2a2-5a-3=(2a+l)(a-3)=0,解得a=-1或a=3(舍去)，

故"={xeN\x<2}=[0,1,2}.

因?yàn)镹={x|l<2x+1<6}={x|0<x<|],所以MnN={1,2).

6.(1)A={x[—g<xW：}；8={x|x<m—1或x>m+1}；(2)mW—|或7n>：.

【解析】

【分析】

(1)使式子有意義可得已匕：：及，解不等式可求出4解一元二次不等式可求出B；

(2)由題意可得集合4是集合B的真子集，再由集合的包含關(guān)系即可求解.

【詳解】

(1)函數(shù)/(%)=loga(2x4-1)+13—4%有意義,

則解得-24

所以集合A=卜|一

由不等式[x—(m+1)],[x-(zn-1)]>0得x>m+1或x<m—1,

所以集合B-[x\x<m—1或x>m+1].

(2)因?yàn)椤皒eA”是“x€B”的充分不必要條件，

所以集合4是集合B的真子集，

所以m+1W或m-1>',所以mW-|或

7.(1)4C(CRB)={X|—3Wx<-l或3<x<4}

(2)條件選擇見解析，答案見解析

【解析】

【分析】

(1)求出集合4、B,利用補(bǔ)集和的交集的定義可求得結(jié)果；

(2)求出集合8,根據(jù)所選條件可得出集合4、B的包含關(guān)系，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式組，解之即可得

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出結(jié)論.

(1)

解：由不等式/-%-12=(%-4)(%4-3)<0,解得一3<%<4,可得/={%|-3<%<4]

當(dāng)m=2時(shí)，不等式——2%—3=(%—3)(%4-1)<0,解得—1<x<3,即B={x|—1<%<3},

可得CRB=(x\x<-1或%>3],

所以/n(CRB)={x|-3<x<-l或3Vx44}.

(2)

解：由不等式/—2%4-1—m2=(%—m—l)(x4-m—1)<0(m>0),解得1—TnWxWl+ni,

所以B={x|l—m<%<1+m,m>0}.

(1—niM—3

若選擇條件①，則集合A是B的真子集，得zn+124,解得m>4.

(m>0

當(dāng)m=4時(shí)，B={x|—3<x<5},AB,合乎題意；

1—>—3

若選擇條件②，則集合B是4的真子集，得m+144,解得0<znW3.

m>0

當(dāng)?n=3時(shí)，B={x|-2<x<4},則8A,合乎題意；

(1-TH=-3

若選擇條件③，則集合4=B,得m+l=4無解，所以不存在滿足條件③的實(shí)數(shù)m.

{m>0

8.(1)(―0°,0]U(4,+°0)

(2)(4,4-0°)

【解析】

【分析】

(1)利用并集和補(bǔ)集的基本運(yùn)算結(jié)合一元二次不等式的解法即可求解；

(2)根據(jù)交集的運(yùn)算結(jié)果得出集合間的包含關(guān)系，再利用分類討論即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍

(1)

解：當(dāng)a=2時(shí)，B={x|0<x<2},A={x\2x2-9x+4<0]={x|(x-4)(2x—1)<0}=|<x<4

所以AUB=(0,4]

又全集U=R

所以Cu(AUB)=(-8,0]u(4,+°°)

(2)

解：由(1)知，A=^x\^<x<4^,B=(x\2-a<x<a}

由2nB=4可得：AQB,則

(2-a<a

<2—a<^,解得：a>4

a>4

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所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：ae(4,+8)

9.(1)B=(——,-k)(2)[—3,2)U(3,4]

【解析】

(1)由不等式2/+(2k+5)x+5/c<0可得(2x+5)(%+fc)<0,討論-k與一|的關(guān)系，即可得到結(jié)果；

(2)先解得不等式/-X-2>0,由集合”中有且僅有一個(gè)整數(shù),當(dāng)一k<一|時(shí),則材中僅有的整數(shù)為-3；

當(dāng)一上>一|時(shí)，則"中僅有的整數(shù)為-2,進(jìn)而求解即可.

【詳解】

解：⑴因?yàn)?#2+(2/￡+5)4+5+<0,所以(2芯+5)。+十<0,

當(dāng)一k<-|,即上>|時(shí),B=(-k,-|)；

當(dāng)一k=—|,即k=|時(shí),8=0;

當(dāng)一k>-|,即k<|時(shí),B=

(2)由一％一2>0得x6(-8,一1)u(2,+力)，

當(dāng)一k<-|,即k>3時(shí)，”中僅有的整數(shù)為一3,

所以一4<—k<—3,即々6(3,4]；

當(dāng)一k>-|,即k<1時(shí)，"中僅有的整數(shù)為一2,

所以-2<—k<3,即kG[—3,2)；

綜上,滿足題意的k的范圍為[一3,2)U(3,4]

【點(diǎn)睛】

本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結(jié)果求參數(shù)范圍,考查分類討論思想與運(yùn)算能力.

10.(1)—|<x<oj；(2){a|aW—g或a24}.

【解析】

【分析】

(1)利用交并補(bǔ)的定義計(jì)算可得答案；

(2)按力=確1工片多類討論，列出不等式，解出a的取值范圍.

【詳解】

(1)若a=[時(shí)4={x|—：<x<2),B={x|0<x<3}?

由CuB={x\x<0或x>3],所以An(QB)={x|-^<x<o]

(2)由AnB=函

當(dāng)/=褂fci—1>2a+1;?aW—2

當(dāng)4彳^a-l>31或12：:建/心4或-2<a<-1

綜上：a的取值范圍是{a|aS-:或a24}.

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【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，考查利用集合間的關(guān)系求參數(shù)范圍問題，屬于中檔題.

11.(1)或4WXW5}；(2)

【解析】

(1)當(dāng)a=3時(shí)，先分別化簡集合4B,再求ACB；

(2)anB=0,也就是，集合46沒有公共元素，這樣，就可以建立不等關(guān)系，從而可求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)a-3時(shí)，>1={x|—1<x<5},B={x|x2—5x+4>0}=[x\x<1或%>4},

：.AnB={x|-l<%<1或4WxW5}；

(2)因?yàn)锳CB=<f>,

(2-a>1

所以2+a<4或2-a>2+a,解得OWa<l或a<0,

(.2-aW2+a

所以a的取值范圍是(-si).

【點(diǎn)睛】

本題考查交集的求法，考查由交集的結(jié)果求參數(shù)的取值范圍，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于常

考題.

12.(l){x|xW0或3Wx}

(2)(―1,+0°)

【解析】

【分析】

(1)化簡集合46,根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算求解；

(2)由4CB=4則/U8,分A=0,寸論，分別建立不等式求解即可.

(1)

當(dāng)a=-l時(shí)，可得：A={x\-2<x<0},

又B=(x|i<4X<64}={x|-l<x<3},

所以QB={x|x<-1或x>3],

所以AU(Cy5)={x|x<0或3<x}.

(2)

由AnB=A,則B,

當(dāng)4=曲',則有2a>a+1,解得a>1,

(-1V2a

當(dāng)4。曲，由/旦4可得，a+1<3,

(a<1

解得—[<a<1.

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綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍(一：,+河.

13.(I)集合P是“完美集合”，集合Q不是“完美集合”，理由見解析；(II)7,9,11中中任一個(gè);

(HD詳見解析.

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)“完美集合”的定義判斷.

(H)根據(jù)“完美集合”的定義，寫出集合4,B,C的所有情況，算出x的所有可能的值.

(III)根據(jù)集合P中所有元素的和為1+2+3+…+3幾=犯等西，以及a1+bi+q+a2+b2+

c2+...+a3n+b3n+c3n=2(q+c2+c3+cn_x+d)和%=3n

得到鄴爐=0+C2+C3+,利用/為正整數(shù)求解.

4

【詳解】

(I)P={1,2,3}是“完美集合”，此時(shí)，A={1},B={2},C={3},

滿足q<c2<<cn,ak+bk=ck.

Q={123,4,5,6}不是“完美集合”，

若Q為“完美集合”，將Q分成3個(gè)集合，每個(gè)集合中有兩個(gè)元素，則的+瓦=&,a2+b2=c2.

Q中所有元素之和為21,21+2=10.5不符合要求.

(II)由(I)可得x豐2,

若4={1,3},B={4,6},根據(jù)“完美集合”的定義,

則C=[5,%],*=3+6=9.

若4={1,4},B={5,3},根據(jù)“完美集合”的定義,

則。={6,x},x=3+4=7.

若4={1,5},B={6,3},根據(jù)“完美集合”的定義,

則C={4,x}>x=5+6=11.

綜上：正整數(shù)x的值為，9,7,11中任一個(gè).

(III)設(shè)集合P中所有元素的和為1+2+3+…+3n=鄴啜2,

c

而+瓦+C1+@2+匕2+C2+…+。3九+^3n+3n=2(Q+C2+C3+Cn_1+Cn),

因?yàn)镃n=3n,

(

所以3n(3;+l)=2q+02+C3+Cn_1+Cn),=C1+C2+C3+Cn_x+Cn，

9n(n-l)

=Q+C2+C3+,

4

等號右邊為正整數(shù),

則等式左邊9幾5-1)可以被4整除,

所以Ti=4k或n-1=4k,

即九=4k或n=4fc4-1(nGN*).

第10頁共17頁

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的新概念問題，集合的運(yùn)算以及等差數(shù)列的求和公式，還考查了分類討論思想和運(yùn)算

求解的能力，屬于難題.

14.(1)①相關(guān)；②不相關(guān).(2)⑴4層+5個(gè)(ii)8n-1.

【解析】

【分

(1)根據(jù)所給定義，代入不等式化簡變形可得對應(yīng)坐標(biāo)滿足的關(guān)系，即可判斷所給兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否符

合定義要求.

(2)(i)根據(jù)所給點(diǎn)集，依次判斷在四個(gè)象限內(nèi)滿足的點(diǎn)個(gè)數(shù)，坐標(biāo)軸上及原點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求得集合0"

中與點(diǎn)4(1,1)相關(guān)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；⑺)由(1)可知相關(guān)點(diǎn)滿足(與-不)(％-丫2)20,利用分類討論證明

1(%+%)-(必+丫2)1>1)即可求得S中元素個(gè)數(shù)的最大值?

【詳解】

若點(diǎn)4區(qū),比),8。2，、2)相關(guān)，則4'(卬丫2),B(X2，%)，而點(diǎn)P|l=|x|+lyl，

不妨設(shè)Xi>0,y!>0,x2>0,y2>0,

222222x2

則由定義||0川|2+||0B||>.04||+10B||可知01+yi)+(X2+y2)2Qi+72)+(z+yi)>

化簡變形可得(M-X2)(yi-y2)>0,

(1)對于①4(一2,1),B(3,2)；對應(yīng)坐標(biāo)取絕對值，代入可知(2-3)(1-2)20成立，因此相關(guān)；

②對應(yīng)坐標(biāo)取絕對值，代入可知(4-2)(3-4)<0,因此不相關(guān).

(2)(i)在第一象限內(nèi)，(x-l)(y-1)N0,可知11Wx4n且1<y<%有，個(gè)點(diǎn)；同理可知，在第二

象限、第三象限、第四象限也各有小個(gè)點(diǎn).

在x軸正半軸上，點(diǎn)(1,0)滿足條件；在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)(-1,0)滿足條件；

在y軸正半軸上，點(diǎn)(0,1)滿足條件；在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)(0,-1)滿足條件：

原點(diǎn)(0,0)滿足條件；

因此集合?！爸泄灿?n2+5個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)4(1,1)相關(guān).

(ii)若兩個(gè)不同的點(diǎn)力(X1%),8(x2,丫2)相關(guān)，其中打，x2>0,%,y2>0,

可知(由-x2)(yi-%)20.

下面證明1(3+yj-(x2+72)I21.

若％1=x2>則為*y2>成立；

若>x2，則%>y2>

若與<x2,則yi<y2,亦成立.

由于101+%)-(%2+Y2)l<(n+n)-(0+0)=2n,

因此最多有2n+1個(gè)點(diǎn)兩兩相關(guān)，其中最多有2〃-1個(gè)點(diǎn)在第一象限；最少有1個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸正半軸上，

一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn).

因此S中元素個(gè)數(shù)的最大值為4(2n-l)+2-l+l=8n-l.

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【點(diǎn)睛】

本題考查了集合中新定義的應(yīng)用，對題意的理解與分析能力的要求較高，屬于難題.

15.(1)集合D={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}不是集合4的偏序關(guān)系,{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}，

(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)條件顯然(L2)(2,3)但(1,3)CD所以不滿足條件④由此可判斷，寫出一個(gè)滿足這四

個(gè)條件的集合即可.

(2)依次證明集合《滿足題目中的四個(gè)條件即可.

(3)設(shè)為c=aAb,則cGA,貝?。?c,a)€E,(c,b)eE,假設(shè)還存在一個(gè)/,使得/=aAb,則可以得到(f,c)G

E,(c,/)6E,由條件③可得c=/從而得證.

【詳解】

⑴由。={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}

顯然(1,2)6。，(2,3)6。，f0(l,3)eD

所以不滿足條件④Va,b,c64,若(a,b)e0且(b,c)e。，貝?。?a,c)6。

所以集合。={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}不是集合A的偏序關(guān)系.

集合{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}滿足條件①②③④，

所以集合{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}是集合A的偏序關(guān)系.

(2)/?<={(a,6)|aGR,b6R,a<6}

所以&={(a,b)|a6R,b6R,aSb}u{(a,b)|a6R,b6R},則滿足①

又aWb,所以Va€4,(a,a)ED,則滿足②

由于aSb,則當(dāng)若(a,b)6D,則(b,a)任。，也滿足③

由于&={(a,b)|aeR,b€R,a4b},Va,b,ceA,

若(a,b)6D則aWb,若(b,c)€D,則bWc,所以aWc

所以(a,c)CD,所以滿足④

所以&={(a,b)IaeR,bGR,a<b}是實(shí)數(shù)集斤的一個(gè)偏序關(guān)系

(3)對1中的兩個(gè)給定元素a,b,若aAb存在，設(shè)為c=a/\b

所以ce4,(c,a)6E,(c,b)GF,

假設(shè)還存在一個(gè)/,使得/=aAb

則(f,a)eE,(f.b)GE,又對于c"有(c,a)€E,(c,b)GE,則(/,c)eE

由C64(c,a)eE,(c,b)6E,對于/64有(fa)6E,(f,b)6E,則(c,f)6E

由條件③Va,be4,若(a,b)€。且(b,a)e。，則a=6可得c=/

所以對/中的兩個(gè)給定元素a,b,若aAb存在，則一定唯一

【點(diǎn)睛】

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關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查集合中的新定義問題，解答本題的關(guān)鍵是弄清楚定義的意義，特別是③Va,6€4若

(a,b)€。且(8a)eD,則。=b,以及c=aAb的意義,假設(shè)還存在一個(gè)/，使得/=aAb,則可以得到

(7,c)eE,(c,/)GF,屬于難題.

16.(I)7={1,3},或7={2,4},或7={3,5}；(II)不一定存在，見解析；(III)11.

【解析】

【分析】

(I)由已知得ti-t2中。一人其中a,be4"相差2，由此可求得。

(II)當(dāng)4={1,2,5,7}時(shí)，2—1=1,5-1=4,5-2=3,7-1=6,7-2=5,7-5=2.則口，

t2相差不可能1，2,3,4,5,6,可得結(jié)論.

(III)因?yàn)镃￡=10,故集合/中的元素的差的絕對值至多有10種，可得"的最小值.

【詳解】

(I)若41nA2=0,則其中a,ben,否則匕+。=12+從&n出力0,

又n=5,A={1,2,5}>2—1=1,5—2=3,5—1=4,則“，相差2，

所以7={1,3},或7={2,4},或T={3,5}；

(II)不一定存在，

當(dāng)4={1,2,5,7}時(shí)，2—1=1,5-1=4,5-2=3,7-1=6,7-2=5,7-5=2,則％相差

不可能1.2,3,4,5,6,

這與T={t「tz}u{l,2,3,4,5,6,7}矛盾，故不都存在7：

(III)因?yàn)轺?10,故集合/中的元素的差的絕對值至多有10種，

當(dāng)n>12時(shí)，結(jié)論都成立；

當(dāng)n=11時(shí)，不存在AuS,M|=5,使得A中任意兩個(gè)元素差不同，所以當(dāng)n=11時(shí)，結(jié)論成立；

當(dāng)n=10時(shí)，若4={1,3,6,9,10},則不存在7,所以n的最小值為11.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查集合的新定義，解決此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解集合的新定義，緊扣定義解決問題.

17.(1)1/=(0,1,0,0),V=(1,1,0,1)(答案不唯一)

(2)證明見解析

⑶n-2n-i

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)定義寫出所求即可；

(2)設(shè)U=(的,。2，。3,…，an)，V=(bi，b2,b3l-,bn),W=(c1,c2,c31—,cn)&Sn,由題中定義首先證明

對于任意的u,V,/eSn,有u-皿eSn,V-/eSn,u-vesn,然后分類討論證明d(u-w,v-w)=

d(U,U)即可;

(3)易知％中共有2n個(gè)元素，分別記為取(k=1,2,…,2"),對于U=(瓦,尻/3……匕)，分別求出d=0和

第13頁共17頁

d=1的鼠的個(gè)數(shù)，從而可得出答案.

(1)

解：(U=(0,1,0,0),V=(14,0,1)(答案不唯一)；

(2)

證明：設(shè)U=…，的!)，用=(瓦/2，=，…，匕)，w=(q,C2，C3,…，C")eS.,

因?yàn)閏ij,G6{0,1},所以依一C{0,1},(i=1,2,...,n)

從而U—W=(|a1—Cil，\a2—c2\,\an—cn|)GSn,

同理V一/=(|瓦一C1\,\b2-C2|,-|6n-Cnl)GSn,

G

u-V=(1%—btl，\a2-b2\,"-\an-勾1)Sn,

又d(U-W,V-W)=￡%|心一Gl-I仇一Cill，

由題意知見,bt，Cte[0,1}(i=1,2,...,n).

當(dāng)q=0時(shí)，

||七-4|一山一Q||=||a(-6/11；

當(dāng)q=1時(shí)，

||a；-c；|-\bi-c|||=||az—1|—\b[—1||=|(1-az)-(1--)|=-bt\

所以d(U-W,V-W)=22i|七-仇|=d(U,V)；

(3)

解：易知％中共有2幾個(gè)元素，分別記為限(k=1,2,…,2"),

對于V=(i>i，b2,bi...bn),

,:瓦=0的％共有211T個(gè),bt=1的九共有2"T個(gè)，

nnxnr

(2"T|%-0|+2-1|%-1|+2-1|。2-0|+2"T|a2-1|+…+2時(shí)”￡1n-0|+2-|an-1|)=n-2-

???2：：/((7,%)=入2-1,

故所有d(U,V)之和為n-2"-i.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用新定義和集合的運(yùn)算性質(zhì)綜合應(yīng)用的能力，解題時(shí)需要認(rèn)真審題，抓住新定義的本質(zhì).

18.(1)&不是S的3元完美子集；%是S的3元完美子集；理由見解析

⑵12

(3)證明見解析；等號成立的條件是電=喏€N*且為=—(2<i<m)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)m元完美子集的定義判斷可得結(jié)論；

(2)不妨設(shè)的<a?<a?.由%=1,%=2,%23分別由定義可求得a1+a?+a?的最小值；

(3)不妨設(shè)由<a2<???<am,有/<a；+aj<a,+a2<…<a；+am+i-tn.a,++a2,…，a,+

第14頁共17頁

Qm+1-i是A中租+1-i個(gè)不同的元素，且均屬于集合｛%+1，4+2,…,。加｝，此時(shí)該集合恰有血一i個(gè)不同的元

素，顯然矛盾.因此對任意lWiWm,都有七+Q^+IT3九+1,由此可得證.

(1)

解：(1)①因?yàn)?+2=345,又3041，所以乙不是S的3元完美子集.

②因?yàn)?+2=445,且4￡42，而5+5>4+5>4+4>2+5>2+4>5,

所以4是S的3元完美子集.

(2)

解：不妨設(shè)a2Vg.

若的=1,則QI+QI=2￡4,1+2=3G>1,1+3=4W4與3元完美子集矛盾；

若為=2,則%+。1=464,2+4=6G^4,而2+6>7,符合題意，此時(shí)的+g+。3=12.

若%>則%+于是a>所以的

3,a1N6,w24,36,+a2+a3>13.

綜上，%+的+%的最小值是12.

(3)

證明：不妨設(shè)的Vg<…V/n?

對任意1<i<m,都有見+Qm+IT>n+1,

否則，存在某個(gè)i(lWiMm),使得Qi+Qm+l.iW兒

由的<a<</+即<。^m+l-iW/.

2…<am,得/Qj+2<…<%+

所以見+alfat+a2，…，&+%n+i-t是力中m+1-i個(gè)不同的元素，且均屬于集合｛%+1，田+2,…，％n｝，

該集合恰有m-i個(gè)不同的元素，顯然矛盾.

所以對任意1<i<m9都有見+Qm+l-i>n+l.

于是2(%+。2+…+/n-l+a?n)=(%+Qm)+(。2+*-1)+…+(?m-l+。2)+(flm+%)之機(jī)(九+D?

即的+a2------H>嗎+D.

等號成立的條件是由=鬻6(且因=—(2<i<m).

7M+1IP1Tn+1、'

19.(1)不存在，理由見解析；

⑵存在，K3=6；

(3)6

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)理想集的定義，分3元子集、4元子集分別說明判斷作答.

(2)根據(jù)理想集的定義，結(jié)合(1)中信息，說明判斷5元子集，6元子集作答.

(3)根據(jù)理想集的定義，結(jié)合(1)(2)中信息，判斷U的所有6元子集都符合理想集的定義作答.

(1)

解：依題意，九要為理想集，k>3,

當(dāng)n=2時(shí)，U2=[1,2,3,4｝(顯然｛2,3,4｝=/，有2<3<4,2+3>4,而2+3+4不是偶數(shù)，即存在3

第15頁共17頁

元子集不符合理想集定義，

而{123,4}〈4，在口,2,3,4}中任取3個(gè)數(shù)，有4種結(jié)果，1,2,3；1,2,4；1,3,4；2,3,4,它們都不符合理想

集定義，

所以當(dāng)n=2時(shí)，不存在理想集.

(2)

解：當(dāng)n=3時(shí)，/={123,4,5,6},由(1)知，存在3元子集{2,3,4}、4元子集{1,2,3,4}均不符合理想集

定義，

5元子集{1,234,6},在此集合中任取3