專題12 圓與幾何綜合的兩種考法（解析版）-2024年常考?jí)狠S題攻略（9年級(jí)上冊(cè)人教版）

專題12圓與幾何綜合的兩種考法類型一、切線問(wèn)題例1．（連圓心，證半徑）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，平分交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：與相切；(2)若，，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由是的直徑可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)圓周角定理可得，進(jìn)而可證，，即可證明與相切；（2）連接，，先證是等邊三角形，推出，再根據(jù)圓周角定理證明，進(jìn)而可得，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

是的直徑，，平分交于點(diǎn)E，，，，，，是的半徑，與相切；（2）解：如圖，連接，，

，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，是的直徑，，．即的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練應(yīng)用圓周角定理是解題的關(guān)鍵．例2（連半徑，證垂直）．如圖，中，，過(guò)B、C兩點(diǎn)，且是的切線，連接交劣弧于點(diǎn)P．(1)證明：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析；(2)6【分析】（1）利用全等三角形的判定與性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)定理得到，再利用圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；（2）設(shè)的半徑為r，則，．在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵是的切線，∴，∴．在和中，，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）設(shè)的半徑為r，則，．在中，∵，∴，解得：．∴的半徑為6．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，內(nèi)接于是的直徑，的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若的半徑為，求陰影部分的面積．【答案】(1)相切，理由見解析；(2)【分析】（1）連接，證明，由全等三角形的判定與性質(zhì)得出，由切線的判定可得出結(jié)論；（2）證明是等邊三角形，求出，，由三角形面積公式和扇形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）解：直線與相切．理由如下：連接，

為圓切線，，，，，，，，，在和中，，，，，又為圓的半徑，為圓的切線；（2），，是等邊三角形，，，，，，，陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積求法，等邊三角形的判定與性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，為的直徑，是圓的切線，切點(diǎn)為，平行于弦．

(1)求證：是的切線；(2)直線與交于點(diǎn)，且，，求的半徑．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，推得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，即可根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）設(shè)的半徑為r，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出的半徑．【詳解】（1）證明：連接，

∵是的切線，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴DC是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為r，在中，，即，解得：，∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，勾股定理，熟記經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M．

(1)求證：直線是的切線；(2)求證：；【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)題意證得，再根據(jù)等邊對(duì)等角即可證明．【詳解】（1）解：證明：連接，

，，平分，，，，，，是的半徑，直線是的切線；（2）線段是的直徑，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，O為上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D的分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析；(2)的半徑為5．【分析】（1）連接，可得，根據(jù)等邊對(duì)等角，以及角平分線的定義，可得，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，再根據(jù)切線的判定方法，即可判定；（2）過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理可得，故，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，

，是的平分線，，，，，為的半徑，點(diǎn)D在上，∴是的切線；（2）解：過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)G，如圖，

，，，，，，，，四邊形是矩形，，的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓的垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線．類型二、求長(zhǎng)度例．如圖，已知是的外接圓，是的直徑，D是延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于E，于F，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）要證是的切線，只要連接，再證即可；（2）由切線的性質(zhì)及勾股定理可得的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式及勾股定理可得的長(zhǎng)，最后由全等三角形的判定與性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）證明：連接；∵，又，∴．∵，∴，∴．∴．∴．又是的半徑，∴是的切線．

（2）解：∵，∴，，∵，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在邊上．以點(diǎn)D為圓心，為半徑作與相切于點(diǎn)F，已知．

(1)求證：；(2)連接，若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)與相切于點(diǎn)F得到，結(jié)合，即可得到，結(jié)合，，得到，即可得到證明；（2）根據(jù)，得到，即可得到，即可得到，即可得到答案；【詳解】（1）證明：連接，

∵與相切于點(diǎn)F，∴，∴，又，，∴，∴；（2）解：在和中，∵，，∴，∴，∴，由（1），∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形全等的性質(zhì)轉(zhuǎn)換線段關(guān)系．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，O是邊上的點(diǎn)，以為半徑的圓分別交邊、于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F．

(1)求證：直線是的切線；(2)若，求劣弧的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析；(2)【分析】（1）連接，等邊對(duì)等角推出，得到，進(jìn)而推出，即可得證；（2）平行線的性質(zhì)，求出的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：證明：連接，

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，而于點(diǎn)F，∴，又是的半徑，即直線是的切線；（2）解：∵，∴，∵，即圓的半徑為1，∴劣弧的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，求弧長(zhǎng)．解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定定理以及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式．【變式訓(xùn)練3】．如圖，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析；(2)的面積為【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，則，則，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，等弧所對(duì)的圓周角相等可得，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，即可；（2）連接，根據(jù)平行四邊形的判定，得四邊形是平行四邊形，根據(jù)，則平行四邊形是菱形，則是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得，；根據(jù)直角三角形中，所對(duì)的直角邊是斜邊的一邊，得，再根據(jù)圓的面積公式，即可．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：連接，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面積為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓，三角形，菱形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，圓的切線，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)．【變式訓(xùn)練4】．如圖1，在中，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的平分線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理證得兩直線平行，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由勾股定理得到邊的關(guān)系，求出線段的長(zhǎng)，再利用等面積法求解即可．【詳解】（1）解：為的直徑，，為的平分線，，，，，，，，；（2）解：連接，設(shè)，則，，，

為的直徑，，在中，，由（1）得，，，，，，，解得或（不合題意舍去），，，是的切線，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握?qǐng)A周角定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．如圖，以為直徑的經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)C，，分別平分和，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接，.

(1)求證：：(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）由角平分線的定義和圓周角定理可知，，，可得即可證明結(jié)論；（2）連接、、，交于點(diǎn)，由題意易知，進(jìn)而可知，結(jié)合，可知垂直平分．易證是等腰直角三角形，，可得，可得．設(shè)，則，在和中，根據(jù)，可列方程解出的值，進(jìn)而完成解答．【詳解】（1）證明：由圓周角定理可得：，∵平分，平分，∴，．∵，，∴．∴．（2）解：連接、，交于點(diǎn)，

由圓周角定理可得：，由（1）知，∴．∴．∵．∴垂直平分．∵為直徑，∴，則是等腰直角三角形．∵，∴．∵，，解得：∴．設(shè)，則，在和中，，即：，解得，即，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，證明是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．2．如圖，在中，為直徑，為弦，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接．(1)若的長(zhǎng)為，求的度數(shù)．(2)若，，求證：是的切線．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）連接，如圖，設(shè)的度數(shù)為，利用弧長(zhǎng)公式得到，求出n得到，然后根據(jù)圓周角定理得到的度數(shù)；（2）連接，如圖，先利用圓周角定理得到，則利用勾股定理先計(jì)算出，再計(jì)算出，所以，然后利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，，所以，從而根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論．【詳解】（1）解：連接，如圖，設(shè)的度數(shù)為，

∵的長(zhǎng)為，為直徑，，∴，解得，即，∴；（2）連接，如圖，

∵為直徑，∴，在中，，在中，，∴，∵，，，∴，∴為直角三角形，，∴，而為直徑，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、弧長(zhǎng)公式和勾股定理的逆定理．3．如圖，在中，A、B，C三點(diǎn)在上，點(diǎn)O在邊上，點(diǎn)E在外，，垂足為F．

(1)若，求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）連接和，四邊形是平行四邊形得，則，則，即可得到，即可得到，又由是的半徑即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，四邊形是平行四邊形，則，，則，得四邊形為平行四邊形，則，設(shè)的半徑為x，則，由垂徑定理可得，在中，由勾股定理可得則，解得即可得到，則，再證，在中，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接和，

∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，是的半徑，是的切線（2）解：過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴四邊形為平行四邊形，，設(shè)的半徑為x，則∴，在中，∴，解得∴，

∴，∴，∴在中，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定定理、垂徑定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定定理和添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖1，已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，于E，D為弧的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．(1)求證：；(2)如圖2，若，連接，求證：．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，從而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后根據(jù)已知可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)對(duì)頂角相等可得，從而可得進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊即可解答；（2）連接，利用（1）的結(jié)論，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得，然后根據(jù)證明，從而可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得，從而可得，進(jìn)而利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）證明：連接，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵D為弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．如圖，中兩條互相垂直的弦交于點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，E是的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．(1)若，，求的長(zhǎng)；(2)求證：．【答案】(1)的長(zhǎng)為；(2