專題09 相似三角形的五種基本模型（解析版）-2024年?？級狠S題攻略（9年級上冊人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題09相似三角形的五種基本模型類型一、A字型（雙A字型）例1．如圖，已知D是BC的中點，M是AD的中點．求的值．【答案】【分析】過點C作AD的平行線交BN的延長線于點H，構(gòu)造“A”型和“8”型，得出和，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點的定義即可得出答案；【詳解】如圖，過點C作AD的平行線交BN的延長線于點H．因為，所以，所以．因為D為BC的中點，所以．因為M為AD的中點，所以，所以．因為，所以，所以．例2.（培優(yōu)）如圖，中，點D在邊上，且．（1）求證：；（2）點E在邊上，連接交于點F，且，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，的周長等于30，求的長．【答案】（1）見解析；（2）＝60°；（3）AF＝11【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式，運用等量代換得出，證得；（2）作CH＝BE，連接DH，根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH為等邊三角形，即可得出＝60°；（3）借助輔助線AO⊥CE，構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合平行線構(gòu)造△BFE∽△BDH，建立相應的等量關(guān)系式，完成等式變形和求值，即可得出AF的值．【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴

∠A＝90°－∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．∴

∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如圖1，作CH＝BE，連接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH為等邊三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如圖2，過點A作AO⊥CE，垂足為O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等邊三角形．設(shè)AC＝CE＝AE＝x，則BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴．∴，．∵△ABF的周長等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，解得AB＝16－．在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，∴BO＝16－．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即．解得（舍去）．∴AC＝．∴AF＝11．【點睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解題的關(guān)鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助線構(gòu)造特殊三角形的能力，．【變式訓練1】一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分數(shù)可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．說明見解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出兩種加工方式中正方形的邊長，邊長最大就符合要求；由已知三角形的面積和一條直角邊的邊長可求出其余兩邊的邊長，根據(jù)乙加工方案中的平行關(guān)系得到相似三角形，根據(jù)相似三角形對應變成比例，可求出正方形的邊長；根據(jù)甲加工方案中，根據(jù)相似三角形的高的比等于邊長比，可求出正方形的邊長，對比兩方案的邊長即可知誰符合要求．【詳解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如圖∵∴∵∴∴又∵DE∥AC∴∴，解得設(shè)正方形的邊長為x米，如圖乙∵DE∥AB∴∴，解得∵∴乙木匠的加工方法符合要求．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應用及分析、解決問題的能力，正確理解題意，建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓練2】在平面直角坐標系中，已知，，點是軸正半軸上一動點，以為直角邊構(gòu)造直角，另一直角邊交軸負半軸于點，為線段的中點，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)AC為直角邊可分∠CAB=90°和∠ACB=90°兩種情況進行討論．【詳解】∵為直角三角形，為直角邊，①當時，∵，又，∴、、、四點共圓，且為直徑，∵為中點，則為圓心，連接，則為圓的一條弦，∴圓心一定在的垂直平分線上，取中點，過做直線，則的運動軌跡為直線，∴當時，取得最小值，∵，∴的解析式為，又∵為中點，∴，∴，∵，∴，∴的解析式可設(shè)為，代入，得：，，∴的解析式為，令，得，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．②當時，點交于軸原點處不符合題意，故的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何問題的綜合應用，靈活運用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及相似三角形、四邊形和圓的有關(guān)性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．類型二、X字型X字型（平行）反X字型（不平行）例1．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若，則．【答案】2【分析】延長CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長CF、BA交于M，∵E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．例2.（培優(yōu)）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為DE．（1）如圖①，若點P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；（2）如圖②，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F，求BF的長．【答案】（1）；（2）BF＝3．【分析】（1）如圖①中，取DE的中點M，連接PM．證明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．（2）如圖②中，過點P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．設(shè)EG=x，則BG=4-x．證明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再證明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）如圖①中，取DE的中點M，連接PM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴，∴．（2）如圖②中，過點P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．則四邊形AGHD是矩形，設(shè)EG＝x，則BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得：x＝（負值已經(jīng)舍棄），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴，∴，∴BF＝3．【點睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．【變式訓練1】如圖，在中，點D在BC上，，連接AD，，則線段AD的長為．

【答案】【分析】過作，交的延長線于，過作，交的延長線于，可求，，設(shè)，可證，由即可求解．【詳解】解：如圖，過作，交的延長線于，過作，交的延長線于，

，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，整理得：，解得：，(舍去)，，故答案：．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，并會根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】（1）某學?！皩W習落實”數(shù)學興趣小組遇到這樣一個題目如圖，在△ABC中，點O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的長經(jīng)過數(shù)學小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題（如圖2）請回答：∠ADB＝

°，AB＝

（2）請參考以上解決思路，解決問題：如圖3在四邊形ABCD中對角線AC與BD相交于點O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的長【答案】（1）75，3；（2）CD＝【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ADB=∠OAC=75°，結(jié)合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性質(zhì)可求出OD的值，進而可得出AD的值，由三角形內(nèi)角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角對等邊可得出AB=AD即可求解；（2）過點B作BE∥AD交AC于點E，同（1）可得出AE=，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的長度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理即可求出DC的長．【詳解】解：（1）如圖2中，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝2，．又∵AO＝，∴OD＝2AO＝2，∴AD＝AO+OD＝3．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝3；故答案為：75，3．（2）如圖3中，過點B作BE∥AD交AC于點E．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝2．∵BO：OD＝1：3，∵AO＝，∴EO＝2，∴AE＝3．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝3，∴AB＝AC＝6，AD＝在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2，解得：CD＝（負根已經(jīng)舍棄）．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及判定定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．類型三、母子型例1．如圖，中，點在上，，若，，則線段的長為．【答案】【分析】延長到，使，連接，可得等腰和等腰，，再證明，利用相似三角形對應邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長到，使，連接，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰和②構(gòu)造等腰是解題關(guān)鍵．例2．（培優(yōu)）已知：如圖，中，平分，的垂直平分線交于點，交于點，交于點，交的延長線于點，求證：．【答案】見解析【分析】連接AF，先利用垂直平分定義以及角平分線性質(zhì)，求證，所以，所以【詳解】證明：如圖所示，連，∵垂直平分，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴，又公共，∴，∴，∴，∴.【點睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)，能夠靈活運用三角形判定定理是解題關(guān)鍵【變式訓練1】如圖，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．【答案】2【分析】過D作垂直于H點，過D作交BC于G點，先利用解直角三角形求出的長，其次利用，求出的長，得出的長，最后利用求出的長，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作垂直于H點，過D作交于G點，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應邊成比例求出答案．【變式訓練2】如圖，在中，，，，，，則CD的長為．【答案】5【分析】在CD上取點F，使，證明，求解再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得到答案.【詳解】解：在CD上取點F，使，，，由，，，，且，，，∽，，，，又，，∽，，又，，或舍去，經(jīng)檢驗：符合題意，．故答案為：5．本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.類型四、旋轉(zhuǎn)相似模型例．在中，，，點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點，連接，將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當時，的值是_______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類比探究如圖②，當時，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．【答案】(1)1，；(2)，，理由見解析【分析】(1)首先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可證得，如圖①中，設(shè)直線與直線交于點I，再利用全等三角形的性質(zhì)及角的關(guān)系，即可求得結(jié)果；(2)首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得，可證得，即可證得，如圖②中，設(shè)直線交于G，交于點H，再利用相似三角形的性質(zhì)及角的關(guān)系，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：，，，，與都是等邊三角形，，，，，在與中，，，，；設(shè)與的延長線交于點I，如圖①，，∴直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為；（2）解：，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為，理由如下：，，，，同理可得：，，，.，即，，，，設(shè)交于點G，交于點H，如圖②，，，∴直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為．【點睛】本題考查的是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形和相似三角形解決問題．【變式訓練1】某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到BP和CQ的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對應邊成比例即可得到BP和AQ的數(shù)量關(guān)系；（3）連接BD，如圖（見詳解），先由正方形的性質(zhì)判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方法證出，由對應邊成比例，依據(jù)相似比求出線段BP的長，接著設(shè)正方形ABCD的邊長為x，運用勾股定理列出方程即可求得答案．【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，在中，，，∴，，∴．在和中，，∴，∴；（2）解：判斷，理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接BD，如圖所示，∵四邊形與四邊形是正方形，DE與PF交于點Q，∴和都是等腰直角三角形，∴，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，設(shè)，則，又∵正方形的邊長為，∴，∴，解得（舍去），．∴正方形的邊長為3．【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進行證明是解題的關(guān)鍵．【變式訓練2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當α＝60°時，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當α＝120°時，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點D到CP的距離．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）當α＝60°時，△ABC和△PBD為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；（2）過點作，求得，根據(jù)題意可得，可得，再根據(jù)，判定，得到，即可求解；（3）過點作于點，過點作于點，分兩種情況進行討論，當在線段或當在線段延長線上時，設(shè)根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）當α＝60°時，∵AB＝AC∴△ABC為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴△PBD為等邊三角形∴，∴在和中∴∴（2）過點作，如下圖：∵當α＝120°時，∴，∴由勾股定理得∴∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，又∵∴又∵，∴∴∴∴（3）過點作于點，過點作于點，則點D到CP的距離就是的長度當在線段上時，如下圖：由題意可得：∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則當在線段延長線上，如下圖：則，由（2）得，設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得，則綜上所述：點D到CP的距離為或【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，綜合性比較強，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】如圖1，在中，，在斜邊上取一點D，過點D作，交于點E．現(xiàn)將繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．【分析】（1）①先利用平行線分線段成比例定理得，進而得出結(jié)論；②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出，即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，②在Rt△ABC中，AC=BC，∴，由①知，△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，∵△ABD∽△ACE，，∴，∵∴在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2，在Rt△ADE中，AE=DE，∴（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=4，BD=3，∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，∴1+9k2=16-16k2，∴或（舍），（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=p，BD=n，∴，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，，∵，，∴4p2=9m2+4n2．【點睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對應成比例夾角相等來判斷兩三角形相似的方法應用．類型五、K字模型例1．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點D，使得．請求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點E是邊上一點，且，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長．

【答案】（1）；（2）發(fā)生變化，，證明見解析；（3）【分析】（1）結(jié)合“一線三等角”推出，從而證得結(jié)論即可；（2）利用條件證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；（3）作延長線于點，過點作，交于點，交于點，結(jié)合“一線三垂直”證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)求出和，最后利用勾股定理計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴．在和中，∴，∴．（2）發(fā)生變化，．證明：由（1）得，，，∴，∴，∴．（3）如圖所示，作延長線于點，過點作，交于點，交于點，則，，，由（1）同理可證，，∴，，∴，，∴．

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，準確證明三角形全等或相似，并熟練運用其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例2．（培優(yōu)）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝．【答案】3．【分析】過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，再根據(jù)勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依據(jù)勾股定理進行計算，即可得出BE的長．【詳解】如圖所示，過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，則∠G＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，∵Rt△FDG中，F(xiàn)G2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．【變式訓練1】【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當CP=CE時，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當PC=PE時，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當EC=EP時，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式訓練2】如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點E是邊BC上一個動點（不與點B、C重合），AE的垂線AF交CD的延長線于點F，點G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．（1）求證：；（2）當點G在△ADF的內(nèi)部時，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；（3）當∠FGD＝∠AFE時，求線段BE的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)題意可證明∠DAF＝∠BAE，又由于∠ABE＝∠ADF＝90°，即證明△ADF∽△ABE，所以．（2）作GH⊥CF于H，根據(jù)題意可求出DF＝3BE＝3x，根據(jù)平行線分線段成比例得出，即可列出關(guān)于x的等式，從而得出GH和FH的長，即可求出HD的長，cot∠ADG＝cot∠DGH＝，即可求出結(jié)果．（3）作EM//GD交DC于點M，即可知，可求出DM，從而求出CM，根據(jù)圖形可證明△ABE∽△ECM，即可得到，即列出關(guān)于x的方程，解出x即可．【詳解】（1）如圖，因為AF⊥AE，∴∠EAF＝∠BAD＝∠ADF＝90°．∵同角的余角相等，∴∠DAF＝∠BAE．∵∠ABE＝∠ADF＝90°．∴△ADF∽△ABE．∴．（2）由，得DF＝3BE＝3x．如圖，作GH⊥CF于H，那么GH//BC//AD．根據(jù)題意結(jié)合平行線分線段成比例得：．∵，，∴．即GH＝，F(xiàn)H＝．

在Rt△GHD中，HD＝DF－FH＝＝＝，∵∠ADG＝∠DGH，∴cot∠ADG＝cot∠DGH＝＝=．（3）當點G在△ADF內(nèi)部時，很明顯∠FGD和∠AFE不相等．所以點G在△ADF外部．如圖，作EM//GD交DC于點M，那么．∴DM＝6x，∴MC＝1－6x．如果∠FGD＝∠AFE，那么AF//GD//EM．∴∠AEM＋∠EAF＝180°．∴∠AEM＝90°．∴△ABE∽△ECM．∴．即．整理，得x2－9x＋1＝0．解得，（不符合題意，舍去）．所以BE＝．【點睛】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形，余角，平行線的性質(zhì)．綜合性較強，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓練3】如圖1和圖2，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），A是x軸上的一個動點，M是線段AC的中點．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AB．過B作x軸的垂線、過點C作y軸的垂線，兩直線交于點D，直線DB交x軸于點E．設(shè)A點的橫坐標為m．（1）求證：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，則點B的坐標為；若m=﹣3，則點B的坐標為；（3）若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求此時m的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析（2），，（3），，（4），，【分析】（1）利用三垂直模型或K字型相似.（2）首先由勾股定理求得線段的長，然后利用求得線段、的長，從而求得點的坐標；（3）分時和時，利用，根據(jù)相似比表示出點的坐標后，利用面積為6求得值即可；（4）分、、、，根據(jù)和兩種情況得到比例式即可求得值．【詳解】解：（1）證明：由題意得：∠MAB=90°∴∠CAO+∠BAE=90°又∵∠CAO+∠ACO=90°∴∠BAE=∠ACO又∵∠COA=∠AEB=90°∴△AOC∽△BEA（2）的坐標為，或，由勾股定理得：，且相似比為，，

，點的坐標為或，，故答案為：，，；（3）①當時，如圖（1）且相似比為，求得點的坐標為，，解得

或4，②當時，如圖（2），解得

或（舍去），，，（4）①當時，如圖（1）若即：無解，若，同理，解得或（不合題意舍去），②當時，如圖（2）若，即：，解得，取，若，同理，解得無解，③當時，如圖（3），若，即：，解得（不合題意舍去）或，若，同理，解得無解，④當時，如圖（4），若，，即：，則無解，若，同理，解得（不合題意舍去）或（不合題意舍去）；則，，．【點睛】本題考查了相似形的綜合題，比較繁瑣，難度很大，解答此題的關(guān)鍵是畫出圖形作出輔助線，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)利用比例式列出方程解答．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用．課后作業(yè)1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得，AD=BC，由可判斷△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形面積公式得，則．【詳解】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點∴BC=2AE∵，∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC，∴△AEF∽△CBF如圖，過點F作FH⊥AD于點H，F(xiàn)G⊥BC于點G，則，∴，∵△AEF的面積為2，∴，故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于同步基礎(chǔ)題．2．如圖，P為的邊上的一點，E，F(xiàn)分別為，的中點，，，的面積分別為S，S1，S2．若，則的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．10【答案】B【分析】過P作平行于，由與平行，得到平行于，可得出四邊形與都為平行四邊形，進而確定出與面積相等，與面積相等，再由為的中位線，利用中位線定理得到為的一半，且平行于，得出與相似，相似比為1：2，面積之比為1：4，求出的面積，而面積＝面積+面積，即為面積+面積，即為平行四邊形面積的一半，即可求出所求的面積．【詳解】解：過P作交BC于點Q，由，得到，

∴四邊形與四邊形都為平行四邊形，∴，，∴，，∵為的中位線，∴，，∴，且相似比為1：2，∴，，∴，故選：B．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．3．如圖1，ΔABC中，AB=AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，DE=DC，點F是DE與AC的交點．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過點E作EG//AC交AB于點G，求證：AB=2AG；（3）將“點D在BA的延長線上，點E在BC上”改為“點D在AB上，點E在CB的延長線上”，“點F是DE與AC的交點”改為“點F是ED的延長線與AC的交點”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②．【分析】（1）運用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)就可解決問題．（2）如圖1，證明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根據(jù)等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行線分線段成比例定理得：，由此可得結(jié)論；（3）①如圖2，作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再證明△ACB∽△GEB，列比例式可得結(jié)論；②如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ABC和△DCE的高線，先得，設(shè)AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，根據(jù)AH∥PD，得，設(shè)PD=3h，AH=4h，根據(jù)EG∥AC，同理得，設(shè)BE=y，BC=4y，利用三角形面積公式代入可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD；（2）證明：如圖1，∵EG∥AC，∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，由（1）知：∠DCA=∠BDE，∵DC=DE，∴△DCA≌△EDG（AAS），∴AD=EG，∵∠B=∠ACB=∠BEG，∴EG=BG=AD，∴DG=AB，∵DE=2DF，AF∥EG，∴，∴DG=2AD=2AG，∴AB=DG=2AG；（3）解：①如圖2，過點E作EG∥AC，交AB的延長線于點G，則有∠A=∠G，∵AB=AC，CD=DE，∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，∴∠ACD=∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，∴，∵EG=AD，AC=AB，∴AB?BE=AD?BC；②如圖3，過A作AH⊥BC于H，過D作DP⊥BC于P，則AH∥PD，∵AF∥EG，∴，∵DE=4DF，∴，設(shè)AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴，設(shè)PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴，設(shè)BE=y，BC=4y，∴S△ABC=BC?AH==8yh，S△DCE=CE?PD=yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，第三問有難度，利用參數(shù)表示各線段的長是本題的關(guān)鍵，綜合性較強．4.【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點（不與點B、C重合）將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點A旋轉(zhuǎn)，當點C，D，E在同一直線時，與具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞順時針旋轉(zhuǎn)，點C對應點E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（），當點C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段的長度．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段的長度為．【分析】（1）由題意易得，，從而可證，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；（2）連接，由題意易得，進而可證，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可求證；（3）如圖，過A作，由題意可知，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及題意易證，最后根據(jù)勾股定理及等積法進行求解即可．【詳解】解：（1）在中，，，，，即，在和中，，，，，，故答案為：；（2），理由：如圖2，連接，∵在和中，，，，，，∵，，，，，∴；（3）如圖3，過A作AF⊥EC，由題意可知，，∴，即，，，，，，，在中，，，，，，，，2×，．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進而求解．5．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點F，若點F是BC的中點，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】(1)22.5°；(2)見解析；(3)∠DAE+2∠ADM=180°，詳見解析【分析】（1）由等腰直角三角形性質(zhì)得∠B=∠CAF=45°，再由三角形外角性質(zhì)知∠ACE=∠BCF，代入求值即可；（2）連接AF，過A作AH⊥EF，由手拉手相似得△ACD∽△AFH，得∠CDF=∠BAC，再由∠ADE=90°－∠DAE，等量代換即可得證；（3）將AN繞A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，交MD延長線于Q，證明△ACQ≌△ABN，得AN=AQ，再證明△AND≌△AQD，得∠ADQ=∠AND，由對頂角相等得∠ADM=∠ADE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)等量代換即可解答．【詳解】（1）解：∵△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，由三角形外角性質(zhì)知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B，∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAD=45°，∴∠ACE=∠BCE，又∠ACB=45°，∴∠ACE=22.5°，故答案為：22.5°．（2）解：連接AF，過A作AH⊥EF于H，如圖所示，∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC，∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH，∴∠CAD=∠HAF，由△ACF∽△ADH知，∴，∴△ACD∽△