三角函數(shù)的概念 課件 2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.2.1三角函數(shù)的概念第五章三角函數(shù)人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)

通過上一單元的學(xué)習(xí),對角度的認識拓展到了任意角,在角的度量的計算中學(xué)習(xí)了弧度制這個更方便的表示方法,這為本單元的學(xué)習(xí)打下了堅實基礎(chǔ).本單元中,我們從單位圓上點的運動規(guī)律,定義任意角的三角函數(shù),并根據(jù)周而復(fù)始的特性,研究相同終邊角的三角函數(shù)關(guān)系,以及從圓周上點的坐標(biāo)關(guān)系出發(fā),研究同角三角函數(shù)之間的關(guān)系.學(xué)習(xí)單元2

三角函數(shù)的概念

本單元的研究路徑為:三角函數(shù)的概念——同角三角函數(shù)的關(guān)系.這是我們學(xué)習(xí)本單元的知識明線,具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如圖所示:

本學(xué)習(xí)單元的最終目標(biāo)是理解三角函數(shù)的概念,掌握并能應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系的公式,并知道其推導(dǎo)過程.在此單元的學(xué)習(xí)過程中,通過概念、公式的理解、掌握、應(yīng)用等,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助單位圓理解并掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.已知角α終邊上一點,會求角α的各三角函數(shù)值.(數(shù)學(xué)運算)3.能利用三角函數(shù)的定義,理解正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號.(數(shù)學(xué)抽象)4.通過對任意角三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(數(shù)學(xué)運算)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一:三角函數(shù)的概念概念前提如圖,設(shè)α是一個任意角,它的終邊OP與

相交于點P(x,y)

定義正弦

叫做α的正弦函數(shù),記作sin

α,即

余弦

叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即

單位圓

把點P的縱坐標(biāo)y

y=sinα把點P

的橫坐標(biāo)x

x=cosα定義正切

叫做α的正切函數(shù),記為tan

α,即=tan

α(x≠0)

三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上的點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)把點P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值

微思考初中學(xué)的銳角三角函數(shù)是否滿足現(xiàn)在的定義?知識點二:三角函數(shù)值的符號sin

α,cosα,tan

α在各個象限的符號如下:記憶口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦.”名師點睛正弦函數(shù)值的符號取決于縱坐標(biāo)y的符號,它在x軸上方為正,下方為負;余弦函數(shù)值的符號取決于橫坐標(biāo)x的符號,在y軸右側(cè)為正,左側(cè)為負;正切函數(shù)值符號取決于橫、縱坐標(biāo)符號,同號為正,異號為負.微思考如何理解并記憶三角函數(shù)在各個象限的符號?提示

根據(jù)三角函數(shù)的定義,,所以正弦的符號由y決定,所以一、二象限為正,三、四象限為負;余弦的符號由x決定,所以一、四象限為正,二、三象限為負;正切的符號由x,y同時決定,所以同號為正,異號為負,即一、三象限為正,二、四象限為負.知識點三:公式一1.語言表示:終邊相同的角的

三角函數(shù)的值相等.

2.式子表示:(1)sin(α+k·2π)=

,

(2)cos(α+k·2π)=

,

(3)tan(α+k·2π)=

,其中k∈Z.

微思考如何理解并記憶公式一?同一

sinαcosαtanα提示

因為α+2kπ的終邊與α相同,根據(jù)三角函數(shù)的定義,它們對應(yīng)的三角函數(shù)相等.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化的數(shù)學(xué)模型,如何研究單位圓上點的運動規(guī)律?問題2借助函數(shù)的研究經(jīng)驗,上述幾何問題可以轉(zhuǎn)化為什么代數(shù)問題來研究?任意角的三角函數(shù)如何定義?問題3任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間有什么關(guān)聯(lián)?探究點一利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值問題4三角函數(shù)的定義實質(zhì)上是構(gòu)建了角與坐標(biāo)之間的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系,如何根據(jù)此對應(yīng)關(guān)系求出相應(yīng)的函數(shù)值?【例1】

求解下列各題:(1)若角α的終邊與單位圓的交點是P(x,),則sin

α=

,cosα=

,tan

α=

.

分析

先求出x的值,再計算分析

利用三角函數(shù)的定義的推廣求解.(3)已知角α的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊在射線4x-3y=0(x≤0)上,則cosα-sin

α=

.

分析

先在終邊上取點,再利用定義求解.解析∵角α的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊在射線4x-3y=0(x≤0)上,不妨令x=-3,則y=-4,延伸探究已知角α的終邊上有一點P的坐標(biāo)是(3a,4a),其中a<0,則sinα=(

)D解析

因為a<0,所以|a|=-a,因為角α的終邊上有一點P的坐標(biāo)是(3a,4a),故選D.規(guī)律方法

利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值有以下幾種情況:(1)若已知角,則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo),即可求出各三角函數(shù)值.(2)若已知角α終邊上一點P(x,y)(x≠0)是單位圓上的點,則sin

α=y,cos

α=x,tan

α=.(4)若已知角α終邊上點的坐標(biāo)含參數(shù),則需進行分類討論.探究點二三角函數(shù)值符號的運用問題5根據(jù)三角函數(shù)的定義,可否確定相應(yīng)角的三角函數(shù)值的符號?反過來,根據(jù)三角函數(shù)值的符號,可否確定角的范圍?【例2】

(1)若sin

αtan

α<0,且

<0,則角α是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角分析

由已知條件確定出sin

α,cos

α的符號即可確定角α的象限.C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α異號,從而α為第二、第三象限角.由

<0可知cos

α,tan

α異號,從而α為第三、第四象限角.綜上可知,α為第三象限角,故選C.(2)判斷下列各式的符號:①sin105°cos230°;

②cos3tan().分析

先判斷每個因式的符號,再確定積的符號.解

①∵105°,230°分別為第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0.于是sin

105°cos

230°<0.規(guī)律方法

判斷三角函數(shù)值在各象限符號的攻略(1)基礎(chǔ):準確確定各角所在象限;(2)關(guān)鍵:準確記憶三角函數(shù)在各象限的符號;(3)注意:用弧度制給出的角常常不寫單位,不要誤當(dāng)作角度導(dǎo)致象限判斷錯誤.注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限的符號.探究點三公式一的應(yīng)用問題6三角函數(shù)與眾不同的是其周期性.因此,三角函數(shù)取值的規(guī)律性、各三角函數(shù)的相互聯(lián)系性就是值得研究的性質(zhì).你能發(fā)現(xiàn)什么時候三角函數(shù)取值相等或相反嗎?問題7由三角函數(shù)的定義知道,若角的終邊位置相同,則相應(yīng)的三角函數(shù)值是確定的,這體現(xiàn)了三角函數(shù)是典型的周期現(xiàn)象模型.據(jù)此,如何求出任意角的三角函數(shù)值?【例3】

求下列各式的值:(1)a2sin(-1350°)+b2tan405°-(a-b)2tan765°-2abcos(-1080°);解

原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin

90°+b2tan

45°-(a-b)2tan

45°-2abcos

0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.規(guī)律方法

公式一的應(yīng)用策略(1)公式一可以統(tǒng)一寫成f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的實質(zhì)是終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等;(2)利用它可把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0~2π角的三角函數(shù)值,即可把負角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到2π角的三角函數(shù),亦可把大于2π的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到2π角的三角函數(shù),即把角實現(xiàn)“大化小,負化正”的轉(zhuǎn)化.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)12345678910A級必備知識基礎(chǔ)練1.sin(-1080°)=(

)A.- B.1 C.0 D.-1C解析

sin(-1

080°)=sin(-3×360°+0°)=0.故選C.123456789102.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知角α的始邊是x軸的非負半軸,終邊經(jīng)過點P(-1,2),則cosα=(

)C123456789103.(多選題)代數(shù)式sin(-330°)cos390°的值為(

)BC12345678910A12345678910B123456789106.已知角α的終邊經(jīng)過點P(x,-6),且tanα=-,則x的值為

.

10123456789107.已知角α的終邊在直線y=3x上,求sinα,cosα,tanα的值.123456789108.求下列各式的值:(2)sin(-1380°)cos1110°+tan405°.123