指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（習題課 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用）課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

習題課指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)人教A版

數(shù)學

必修第一冊重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一指數(shù)不等式的解法問題1你能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式嗎?解要使函數(shù)

有意義,則ax-2-1≥0,即ax-2≥1.當a>1時,由ax-2≥a0知x-2≥0,此時x≥2;當0<a<1時,由ax-2≥a0知x-2≤0,此時x≤2.綜上可知,當a>1時,函數(shù)的定義域為[2,+∞);當0<a<1時,函數(shù)的定義域為(-∞,2].規(guī)律方法

指數(shù)不等式的求解方法(1)形如ax>ab的不等式,借助于函數(shù)y=ax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論.(2)形如ax>b的不等式,注意將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式,再借助于函數(shù)y=ax的單調(diào)性求解.(3)形如ax>bx的不等式,利用函數(shù)圖象求解.(4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式,可利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.探究點二與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問題問題2如何利用指數(shù)的定義域、值域求指數(shù)函數(shù)的定義域、值域?【例2】

求下列函數(shù)的定義域和值域.規(guī)律方法

求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域和值域的一般方法(1)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時,首先觀察函數(shù)是y=ax型還是y=af(x)(a>0,且a≠1)型,前者的定義域是R,后者的定義域與y=f(x)的定義域一致.y=f(ax)的定義域由t=ax(t>0)的值域在y=f(t)的定義域內(nèi)決定,因此求y=型函數(shù)的定義域時,往往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式(組).(2)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時,一方面要考慮函數(shù)的定義域和單調(diào)性,另一方面要注意指數(shù)函數(shù)的值域是(0,+∞).一般地,對于y=af(x)(a>0,且a≠1)型函數(shù),要先換元,令t=f(x),求出t=f(x)的定義域D,再求出t=f(x)的值域A,然后畫出y=at(t∈A)的草圖或利用函數(shù)的單調(diào)性,求出原函數(shù)的值域.探究點三指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題3如何利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?解設(shè)g(x)=x2+2(a-1)x+2,指數(shù)函數(shù)h(x)=()x在R上單調(diào)遞減,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的原則可知函數(shù)g(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減.由于函數(shù)g(x)=x2+2(a-1)x+2的圖象開口向上,且對稱軸為直線x=1-a,要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞增,則4≤1-a,即a≤-3.故a的取值范圍為(-∞,-3].延伸探究若本例(1)中函數(shù)改為“”呢?解

類似于例(1)的解法,得u(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增.又y=3u在R上是增函數(shù),∴函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1].規(guī)律方法

指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(1)定義域、值域的求解思路:形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的定義域就是函數(shù)f(x)的定義域.求形如y=af(x)的函數(shù)的值域,應(yīng)先求出u=f(x)(u>0)的值域,再結(jié)合y=au的單調(diào)性求出y=af(x)的值域.若a的取值范圍不確定,則需對a進行分類討論.形如y=f(ax)的函數(shù)的值域,要先求出u=ax的值域,再結(jié)合y=f(u)的單調(diào)性確定出y=f(ax)的值域.(2)令u=f(x),x∈[m,n],如果復(fù)合的兩個函數(shù)y=au(a>0,且a≠1)與u=f(x)的單調(diào)性相同,那么復(fù)合后的函數(shù)y=af(x)在[m,n]上是增函數(shù);如果兩者的單調(diào)性不同(即一增一減),那么復(fù)合后的函數(shù)y=af(x)在[m,n]上是減函數(shù).學以致用·隨堂檢測促達標12345678910A級必備知識基礎(chǔ)練1.當x∈[-2,2)時,y=3-x-1的值域是(

)A12345678910B123456789103.若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),滿足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]B令g(x)=|2x-4|,因為g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,+∞).故選B.123456789104.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),則實數(shù)a的取值范圍是

.

解析

指數(shù)函數(shù)f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),∴函數(shù)f(x)為減函數(shù),∴0<2a-1<1,解得

<a<1.12345678910B級關(guān)鍵能力提升練5.已知函數(shù)

若f(a)<1,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-3,1) B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-∞,-3) D.(1,+∞)A123456789106.(多選題)對于函數(shù)f(x)=2-x-2x有下述四個結(jié)論,其中正確的結(jié)論是(

)A.f(0)=0B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增D.對任意的實數(shù)a,方程f(x)-a=0都有解ABD解析

f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正確;x∈R,f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函數(shù),B正確;f(x)=在R上是減函數(shù),C錯誤;由于x趨向于-∞時,f(x)趨向于+∞,x趨向于+∞時,f(x)趨向于-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),又f(x)在R上是減函數(shù),因此對任意實數(shù)a,f(x)=a有唯一解,D正確.123456789107.若函數(shù)f(x)=3ax-2+5(a>0,a≠1)的圖象恒過定點P,則點P的坐標為(

)A.(2,5) B.(3,5)C.(2,8) D.(3,8)C解析

令x-2=0,即x=2,f(2)=3a2-2+5=3a0+5=8,則P(2,8).故選C.123456789108.若指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,3]上恒有f(x)≤11-x,則a的最大值為

.

2解析

設(shè)g(x)=ax+x,當a>1時,g(x)=ax+x在[-1,3]上單調(diào)遞增,所以g(x)max=g(3)=a3+3.要使指數(shù)函數(shù)f(x)=ax在[-1,3]上恒有f(x)≤11-x,即g(x)≤11,只需g(x)max≤11,即a3+3≤11,所以a≤2,所以1<a≤2.所以a的最大值為2.123456789109.設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),則當x<0時,求f(x);當x∈R時,求不等式f(x-2)>0的解集.解

設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=2-x-4.又f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=f(-x)=2-x-4.∴不等式的解集為(-∞,0)∪(4,+∞).1234567891010.設(shè)函數(shù)f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.(1)當a=2時,解不等式f(x)>30;(2)當x∈(-1,1)時,f(x)存在最小值-2,求a的值.12345678910解

設(shè)2x=t(t>0),則y=t2-2a·t-