有限元法及其應(yīng)用 課件 3 平面問(wèn)題有限元法

3平面問(wèn)題的有限元法位移函數(shù)的選取有限元法中，連續(xù)體的位移場(chǎng)，采用分片連續(xù)的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)表征。選取位移函數(shù)的核心問(wèn)題是要保證有限元法解答的收斂性問(wèn)題，即網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解應(yīng)當(dāng)收斂于問(wèn)題的理論解。為保證收斂性，位移函數(shù)必須滿(mǎn)足三個(gè)性質(zhì)：完備性、協(xié)調(diào)性、幾何各項(xiàng)同性。完備性是收斂的必要條件，協(xié)調(diào)性和幾何各向同性是充分條件。相鄰單元公共邊界的變形情況選取位移函數(shù)滿(mǎn)足的三個(gè)準(zhǔn)則：

（1）完備性——反映單元的剛體位移狀態(tài)和常應(yīng)變狀態(tài)。真實(shí)狀態(tài)下，物體任意點(diǎn)的位移包含剛體位移和彈性位移疊加而成。因此，插值函數(shù)必須有剛體位移狀態(tài)，必須有常數(shù)項(xiàng)。（2）協(xié)調(diào)性——相鄰單元在公共邊界處位移或位移導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。在公共邊界上，沒(méi)有縫隙、重疊、且具有相同的法向轉(zhuǎn)角。位移函數(shù)的選?。?）幾何各向同性——所取位移函數(shù)從一個(gè)笛卡爾直角坐標(biāo)系線性變換到另一個(gè)坐標(biāo)系要保持完備性與協(xié)調(diào)性不變。選擇以下的位移函數(shù)能滿(mǎn)足單元的幾何各向同性：完全的n次多項(xiàng)式；不完全的n次多項(xiàng)式，但含有保持“對(duì)稱(chēng)性”的合適的項(xiàng)。帕斯卡（Pascal）三角形位移函數(shù)的選取3節(jié)點(diǎn)三角形單元確定單元的位移模式設(shè)定一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)作為單元位移的近似函數(shù)，該函數(shù)稱(chēng)為位移函數(shù)，位移函數(shù)一般取為多項(xiàng)式形式。對(duì)于三角形平面單元：

節(jié)點(diǎn)位移列向量節(jié)點(diǎn)力列向量根據(jù)帕斯卡三角，單元位移函數(shù)選完全多項(xiàng)式前三項(xiàng)：式中：αi

稱(chēng)為廣義坐標(biāo)。節(jié)點(diǎn)位移滿(mǎn)足位移函數(shù)3節(jié)點(diǎn)三角形單元單元節(jié)點(diǎn)處各位移分量滿(mǎn)足該位移函數(shù)：其中，為三角形的面積。伴隨矩陣求逆方法，左邊方程組的解為：將系數(shù)代入位移插值函數(shù)，得到位移用節(jié)點(diǎn)位移的表示形式：同理，可得y方向位移用節(jié)點(diǎn)位移的表示形式3節(jié)點(diǎn)三角形單元因此，三角形單元內(nèi)，位移插值函數(shù)的表達(dá)式為：3節(jié)點(diǎn)三角形單元令則有位移插值函數(shù)的表達(dá)式：為形函數(shù)。式中：[N]為形函數(shù)矩陣，其元素是位置坐標(biāo)的函數(shù)。寫(xiě)成矩陣形式：式中：

形函數(shù)的性質(zhì)：（1）形函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)，且與位移函數(shù)的形式相同。（2）形函數(shù)在本節(jié)點(diǎn)上取值為1，在其余節(jié)點(diǎn)取值為零。即有如下表達(dá)式：3節(jié)點(diǎn)三角形單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)位移都是基本的物理量，相互獨(dú)立。因此,i節(jié)點(diǎn)位移與其他兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位移無(wú)關(guān)，其系數(shù)為0。以i節(jié)點(diǎn)為例，i節(jié)點(diǎn)x方向位移：（3）在任意點(diǎn)(x,y)，形函數(shù)值的總和為1，即位移插值函數(shù)必然能滿(mǎn)足物體的剛體運(yùn)動(dòng)，因此假設(shè)物體做剛體運(yùn)動(dòng)（如，任意點(diǎn)運(yùn)動(dòng)u0）3節(jié)點(diǎn)三角形單元帕斯卡（Pascal）三角形位移插值函數(shù)——四個(gè)節(jié)點(diǎn)，選四項(xiàng)。4節(jié)點(diǎn)四邊形單元雙線性函數(shù)：固定x，位移函數(shù)u(x,y)和v(x,y)是關(guān)于y的線性函數(shù)；固定y，位移函數(shù)u(x,y)和v(x,y)是關(guān)于x的線性函數(shù)。用形函數(shù)表示：四節(jié)點(diǎn)矩形單元節(jié)點(diǎn)3形函數(shù)N3(x,y)在節(jié)點(diǎn)1,2,4取0，由于形函數(shù)為雙線性函數(shù)，固定一條邊時(shí)，線性變化。因此，N3(x,y)在直邊14和12都取0，即：4節(jié)點(diǎn)四邊形單元N3(x,y)在節(jié)點(diǎn)3取1總結(jié)規(guī)律，有如下一般形式：同理，2節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)可以表示為：N2(x,y)在節(jié)點(diǎn)2取1，則有：因此，（1）單元應(yīng)變矩陣有限元方程的建立為單元應(yīng)變矩陣，為3×2n矩陣；n為單元節(jié)點(diǎn)數(shù)目。

其中：有限元方程的建立對(duì)于線性平面3節(jié)點(diǎn)三角形單元，形函數(shù)為：?jiǎn)卧獞?yīng)變矩陣可表示成分塊的形式：其中：有限元方程的建立(2)單元應(yīng)力矩陣平面應(yīng)力問(wèn)題的本構(gòu)方程：可簡(jiǎn)寫(xiě)為將

代入，得到用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力的關(guān)系式：，其中[D]是與單元材料有關(guān)的彈性矩陣

（3）虛功原理——彈性體變形時(shí)，外力所做的虛功等于內(nèi)力所做的虛功。有限元方程的建立虛功原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式：內(nèi)虛功外虛功計(jì)算內(nèi)力虛功時(shí)，從彈性體中截取微小矩形，邊長(zhǎng)為dx和dy，厚度為t，圖示微小矩形的實(shí)際應(yīng)力和虛設(shè)變形。有限元方程的建立總內(nèi)虛功有限元方程的建立內(nèi)力在虛位移上所做的虛功：內(nèi)力×虛位移，其中，內(nèi)力=應(yīng)力×面積，虛位移=虛應(yīng)變×原長(zhǎng)虛應(yīng)變向量應(yīng)力向量式中：外力在虛位移上所做的虛功：式中：矩陣形式：虛位移向量體力向量面力向量有限元方程的建立單元e的節(jié)點(diǎn)位移向量為有限元方程的建立單元e內(nèi)的虛應(yīng)變?yōu)閱卧獌?nèi)虛功單元e的節(jié)點(diǎn)虛位移向量為由單元位移產(chǎn)生的單元應(yīng)力向量為厚度為t的單元內(nèi)的虛變形功為其中單元?jiǎng)偠染仃噯卧馓摴τ邢拊匠痰慕⑵渲校刃Ч?jié)點(diǎn)力虛位移場(chǎng)得到：外力所做虛功作用于任意一個(gè)單元上的載荷有體積力和單元邊界的表面力，單位體積力為，單位表面力為有限元方程的建立單元平衡方程記作用于單元e上的等效節(jié)點(diǎn)載荷向量為得到外力虛功由虛功原理得到即：?jiǎn)卧胶夥匠虒?duì)于平面問(wèn)題的3節(jié)點(diǎn)三角形單元，剛度矩陣：

有限元方程的建立其中有限元方程的建立對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，單元子剛度矩陣為對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需令單元子剛度矩陣為一厚度為h的平面薄片懸臂結(jié)構(gòu)，承受一集中荷載P，求其變形及應(yīng)變。現(xiàn)將該結(jié)構(gòu)劃分為4個(gè)單元，總共6個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元及節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖。例題先計(jì)算單元①的剛度矩陣，單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)按逆時(shí)針順序編號(hào)，節(jié)點(diǎn)i,j,m對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1，2，3。按節(jié)點(diǎn)分塊，單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為:★1.單元?jiǎng)傟嚨挠?jì)算例題單元①的剛度矩陣對(duì)于單元②

，按逆時(shí)針?lè)较蛉」?jié)點(diǎn)的順序?yàn)?，5，3，即按節(jié)點(diǎn)順序分塊，其單元平衡方程為例題單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)于單元③和④，因?yàn)槠鋷缀涡螤罴肮?jié)點(diǎn)排列的順序與單元①完全相同，所以有例題單元③平衡方程單元④平衡方程★2.整體剛陣的疊加例題節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷平衡。以節(jié)點(diǎn)2為例，系統(tǒng)的有限元方程為結(jié)構(gòu)的基本方程為整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)荷載列陣為★

3.基本方程和約束條件的處理其中各項(xiàng)為約束反力。例題整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量為基本方程含有12個(gè)方程，包含6個(gè)未知位移和6個(gè)未知約束反力是可以求解的。如只求位移，可將約束的位移條件代入（劃行劃線法）?！?/p>

3.基本方程和約束條件的處理例題如節(jié)點(diǎn)4的約束反力★

4.求位移、支反力例題求解降階后的平衡方程即可求解節(jié)點(diǎn)位移。將節(jié)點(diǎn)位移向量代入整體平衡方程即可得到約束反力。例題★

5.求應(yīng)變和應(yīng)力以單元②為例，單元節(jié)點(diǎn)的編碼為i=2，j=5，m=3，從已解的整體結(jié)構(gòu)位移列