校本課程生活中的數學

《生活中的數學》校本課程------大豐市南陽中學陳永輝序言數學是打開知識大門的鑰匙，是整個科學的基礎知識。創(chuàng)新教學的先行者里斯特伯先生指出：“學生學習數學就是要解決生活問題，只有極少數人才能攻關艱深的高級數學問題，我們不能只為了培養(yǎng)尖端人才而忽略或者犧牲大多數學生的利益，所以數學首先應該是生活概念?！痹谏钪袑W數學，以學生生活中實實在在的鮮活材料來吸引學生對科學的興趣。我們選取的都是從學生生活實踐中取材，將數學知識巧妙地運用于生活之中，增加了學生對數學的興趣，實現新課改所倡導的情感體驗，培養(yǎng)良好的科學態(tài)度和正確價值觀的目標。數學校本課程的開發(fā)要滿足學生已有的興趣和愛好，又要激發(fā)和培養(yǎng)學生新的興趣和愛好，要要求和鼓勵學生投入生活，親身實踐體驗。選題要尊重學生的實際、學生的探究本能和興趣，給與每個學生主體性發(fā)揮的廣闊空間，從而更好的培養(yǎng)學生提出問題、分析問題、解決問題的素質和能力。使學生成為學習的主人，學有興趣，習有方法，必有成功。學生的個性在社會活動中得以健康發(fā)展，學生的潛能在自學自育中得到充分開發(fā)。目錄第一課：讓數學幫你理財第二課：導航的雙曲線第三課：電冰箱溫控器的調節(jié)——如何使電冰箱使用時間更長第四課：賭馬中的數學問題第五課：對稱——自然美的基礎第六課：對數螺線與蜘蛛網第七課：斐波那契數列第八課：分數維的山峰與植物第九課：蜂房中的數學第十課：龜背上的學問第十一課：Music與數學第十二課：e和銀行業(yè)第十三課：幾何就在你的身邊第十四課：巧用數學看現實第十五課：商品調價中的數學問題第十六課：煤商怎樣進煤利潤高第十七課：把握或然，你會更聰明第十八課：順水推舟，克“敵”致勝——例談反證法的應用第十九課：抽屜原理和六人集會問題第二十課：數獨游戲與數學第二十一課：集合與生活第二十二課：生活中的立體幾何第二十三課：排列組合處理問題第二十四課：算法妙用第二十五課：生活中的趣味數學第二十六課：世界數學難題欣賞——四色猜想第二十七課：世界數學難題欣賞——哥尼斯堡七橋問題第二十八課：世界數學難題欣賞——費馬大定理第二十九課：世界數學難題欣賞——哥德巴赫猜想第一課：讓數學幫你理財某銀行為鼓勵小朋友養(yǎng)成儲蓄習慣，提供一個頗有心思的儲蓄計劃。參加者除可有較高年息優(yōu)惠外（見附表），更可以特價換取手表一只。先不論以低價換表是否真的超值，但這種宣傳方法頗具心思。手表與戶口連在一起，正好意味著利息隨時間遞增的關系。

儲蓄計劃優(yōu)惠年息一覽表每月存款（港幣）＄1，000存期（月）每年復息利率到期存款（港幣）利息（港幣）到期本息金額（港幣）9121518246.625%7.125%7.375%7.75%8.00%9,00012,00015,000

18,00024,000252473759

1,1462,1069,25212,47315,75919,14626,106

銀行的宣傳小冊子更注明十一歲至十七歲小朋友已可開個人戶口。這群“準客戶”大致是接受中學教育的適齡兒童。無論有興趣參加與否，總希望他們或早或遲懂得儲蓄計劃背后的數學原理。這個儲蓄計劃是以每月存入定額存款來計算利息，而存款期限愈長，利率則愈高。為了更有效理解表中“到期本息金額”如何計算出來，且讓我們設為每月存款的金額，而則為月息利率。月息利率是由“每年復息利率”除以12而來的。譬如說，存款期限為9個月，從表中得知每年復息利率是6.625%，因此月息利率為6.625%÷12，即約是0.5521%。存款1個月后，到期本息金額：存款2個月后，到期本息金額：

存款3個月后，到期本息金額：

余此類推，存款個月后，到期本息金額應為：

為了簡化這數式，設。因此，括號內的數式在數學上稱為等比數列：首項是x，公比是x。利用公式，我們便可把的數式寫成：

?，F在就讓我們運用這公式找出表中第一行的“到期本息金額”：

，

代入數式，

（準確至最接近的整數）表中其余的“到期本息金額”不如留給你算算，看看表中列的數字是否有錯誤吧。第二課：導航的雙曲線我們小時侯都曾夢想，長大以后要當上船長就好了。在茫茫的大海上，驚濤駭浪，你能順利地指揮著船隊駛向前方嗎?好，讓我們的雙曲線來幫助你吧。它是大海的導航員。

先來看一看原理。假如你站在廣場上，廣場的東西兩側各裝有一只喇叭，并且放著歡快的音樂：北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太陽，多么溫暖……我站在廣場上，聽見第一只喇叭把“金色的太陽”傳到耳朵后的半秒鐘，又聽到了第二聲“金色的太陽”。由于兩個喇叭離耳朵的遠近不同，所以產生了聽覺上的時間差。再換一個地方，是否還有這樣歌聲相差半秒的情形呢?實際上，只要人站的位置與兩只喇叭的距離差與第一次一樣就可以了。因此可以找到很多這樣的點。這些點就構成了雙曲線的一支。輪船航行在海上時，它就處于人的位置。岸上有兩個無線電發(fā)射臺，用電波代替了喇叭里傳出的音樂。輪船行駛在某一位置時，就可以從接收的電波的相位差，測出輪船與電臺的距離差，由此確定了一條以兩個電臺為焦點的雙曲線。若再和另一對電臺聯(lián)系，可以確定出另一條雙曲線，兩條雙曲線有一個交點，船就處于這一點上。這一切都是在一瞬間完成的，因為有很多現代化的工具來幫助我們，你明白了嗎?船長們就是這樣來導航的。第三課：電冰箱溫控器的調節(jié)人民生活水平日益提高，許多家庭都購買了電冰箱等家用電器。但是有許多家庭并不了解電冰箱的工作原理，更不了解電冰箱溫控器的工作原理及其調節(jié)方法。不正確的使用電冰箱勢必會縮短其使用壽命，帶來了不必要的麻煩，同時也浪費了自然資源和財力。電冰箱工作了很長時間，卻一直不停機。檢查后發(fā)現只是溫控器調節(jié)的不正確。這使我們認識到了冰箱溫控器對于電冰箱的重要性。因此，我們來研究一下電冰箱溫控器的正確使用方法，即如何使電冰箱的使用壽命更長。問題：如何正確調節(jié)電冰箱溫控器，使電冰箱使用壽命更長。電冰箱制冷是靠中溫低壓的液態(tài)制冷劑進入蒸發(fā)器吸收熱量汽化為低溫低壓的氣態(tài)制冷劑，達到蒸發(fā)器周圍降溫使冰箱內部冷卻的目的。壓縮機、冷凝器、干燥過濾器、毛細管則是幫助并保證在蒸發(fā)器中已使用過的制冷劑回復到中溫低壓的液體，能再一次送回蒸發(fā)器吸熱汽化，實現單向連續(xù)循環(huán)制冷。蒸發(fā)器是電冰箱中唯一制冷的器件。壓縮機把蒸發(fā)器出來的低溫低壓的汽態(tài)制冷劑經回氣管由壓縮機吸入氣缸，被壓縮為高溫高壓的氣態(tài)進入冷凝器，把蒸發(fā)器中吸收的熱量和壓縮機在壓縮做功時轉換的熱量，利用制冷劑與周圍介質之間有較大的溫差，通過冷凝器全部散發(fā)到空氣中。制冷劑在冷凝器中因放熱而被液化。這高壓中溫液態(tài)制冷劑經干燥過濾器吸收其中的水分，濾除其中的雜質，進入毛細管節(jié)流降壓，使高壓液態(tài)制冷劑降為低壓而能回到蒸發(fā)器重復使用。電冰箱就是這樣由各種制冷劑作工質，在封閉系統(tǒng)中作單向連續(xù)循環(huán)，把冰箱內熱量不斷的轉移到箱外而達到制冷目的。電冰箱壓縮機是開開停停間歇工作的。電冰箱達到箱內的設定溫度是通過溫度控制器控制壓縮機的開、停機來完成的。壓縮機運轉時間長，即制冷時間長，則箱內溫低；反之箱溫就高。溫度控制器二個觸點串聯(lián)在壓縮機電路中，當箱內溫度低到某一設定溫度時則溫控器觸點跳開，壓縮機停轉，暫停制冷，隨后箱內溫度逐漸提高，在箱內溫度高到另一設定溫度時則溫控器觸點閉合，壓縮機又運轉制冷……如此循環(huán)。使箱內溫度保持在一定范圍內。電冰箱溫控器中的感溫包感受蒸發(fā)器的溫度，當溫度升高或降低時，感溫元件中感溫劑膨脹或收縮，使非剛性元件感溫腔（波紋管或膜盒）推進或退縮，從而改變感溫元件與彈簧片之間的作用力通過溫控器中機械傳力放大，使感溫腔微小形變產生的微小位移放大，控制電觸點，使其閉合或斷開電路。溫控器指向的數字，并不表示確切的溫度，而是表示控制溫度高低的程度趨向，數字小表示控制在較高溫度，數字大則表示控制在較低溫度。

我們認為，壓縮機的使用壽命在很大程度上決定了電冰箱的使用壽命。而影響壓縮機工作時間的因素主要有：外界溫度、溫控器檔位、冷凍室食品量、開關冰箱門習慣。當電冰箱工作穩(wěn)定后，冷凍室食品量對其影響十分微小，但不可以忽略不計。無論是在寒冷的冬季，還是在炎熱的夏季，冰箱中的食品都是在不斷的吸熱和放熱。當冰箱內冷汽散失時，食品吸熱；當電冰箱制冷吸熱時，食品放熱。這在夏季時最為明顯：當電冰箱停機時，冰箱內食品越多其停機時間越長，因為如果假設食品的平均比熱容不變，那么根據物理學關于熱能的公式Q=M×C×ΔT可知食品量與停機時間成反比。其中Q為食品熱量變化，C為食品平均比熱，ΔT食品溫度變化量。因此，冰箱內食品量的多少也是十分重要的。實際上，外界溫度隨季節(jié)變化而變化，溫控器檔位靠人工調節(jié)，冰箱內的食品量和如何開關門對于一個家庭來講變化不會很大，因為已經形成了習慣。但是，使用時如果壓縮機長時間連續(xù)工作，壓縮機溫度就會升高，就會造成熱沖擊。過多的熱沖擊會縮短壓縮機的使用壽命。因此，我們只要調節(jié)溫控器檔位，使電冰箱冷凍室溫度不低于某一溫度，而且壓縮機在非長時間連續(xù)工作的條件下（不超過一個小時），工作時間與工作、停機的時間和的比值最?。ㄈ绻ぷ?0分鐘，停機10分鐘，則比值為0.5)，即壓縮機的使用壽命更長，就可以使電冰箱的使用壽命更長。同時，電冰箱的耗電量也降低了。這樣，一臺電冰箱在使用過程中既省電，又可以延長使用壽命，當然十分經濟。通過電冰箱生產廠家的電話咨詢，專業(yè)技術人員肯定了我們的上述看法。于是我們就此進行了一些實驗，并通過電話咨詢得到了一些準確的數據。在北京等中國北方城市，冬季的供暖由市區(qū)縣的各供暖單位負責保證。政府規(guī)定，冬季居民室內的溫度不得低于16攝氏度。北京市的供暖單位現在一般能夠保證這個溫度在18攝氏度左右，最高溫可達20攝氏度，最低溫絕不低于16攝氏度。因此，可以認為我國北方冬季家庭室內溫度在18攝氏度左右。又因為，我國北方春秋季節(jié)家庭室內溫度也在18攝氏度左右，偏冷的地區(qū)依然有暖汽等供暖，甚至常年不斷。所以，可以認為，我國北方春秋冬三季的家庭室內溫度均在18攝氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般現吃現買，生食一般只放幾個星期。電冰箱冷凍室的食品量一般占冷凍室容積的五分之三左右，且一般變化不是很大。就是說，一般家庭的食品量對冰箱的影響基本相同。

綜上所述，我們理想化的實驗條件是我國北方春秋冬三季一般家庭的電冰箱。在研究這個問題時可以把食品量和室內溫度作為常數來考慮。由于每次開冰箱門時都會使冰箱內食品吸熱升溫，所以不同人的開門習慣和速度會影響到冰箱的制冷效果。比如說：老人可能手腳不是很利落，而且拿一件東西要想一下；年輕人可能一只手開門，另一只手就把東西拿出來了。為了簡便計算，我們可以認為，在一個家庭中不考慮老人與青年人的分別，只考慮平均到每個家庭成員的使用效果，那么各個家庭的情況基本相同。結果是，我們在計算過程中可以忽略這一因素的影響。我們想利用家用電冰箱來進行一次實驗。于是我們選用了長嶺阿里斯頓——BCD208型電冰箱，在保持室溫為18攝氏度且食品量始終占冷凍室有效容積五分之三不變的情況下，測定了一些數據。這種電冰箱屬于中等檔次的家用電器，制冷效果屬于一般水平。目前許多家庭使用的電冰箱的制冷效果和保溫能力都與其相差無幾。這些滿足了本論文前面交代的實驗條件，可以作為該條件下的一個例子，來解決這個問題。于是我們開始了實驗。實驗進行了一個多星期，每組數據（既一個檔位）間間隔二個小時，讓電冰箱進行調節(jié)，以保證數據的準確性。

這臺冰箱的溫控器旋鈕有六個檔位，分別是從零到五。第零檔為停機檔，既電冰箱壓縮機停止工作，不會啟動；第五檔為速凍檔，即壓縮機一直啟動，不會停機。因此，我們不能選第零檔，因為冰箱不會制冷；不能選第五檔，因為冰箱持續(xù)工作，即浪費電能，又會造成熱沖擊，還有可能凍壞食品。我們設工作時間與工作、停機的時間和的比值為y，設電冰箱溫控器檔位為x。則自變量x的取值范圍為（0，5）。在平面直角坐標系中描點作圖，為了便于計算，且不影響結果的正確，我們在計算時把原ｙ值擴大了100倍。這樣可以方便計算，也能方便作圖。觀察散點的分布，我們認為這些點極有可能是在一條拋物線上，因此設y關于x的函數為。我們在后面附有實驗數據列表和用繪圖工具《幾何畫板》作出的函數圖象。其中，表格包含五組數據，在測定時每組數據之間至少間隔兩個小時，因為電冰箱需要約一個小時來調整。函數圖象有一個大致的輪廓。圖中的空心圓點表示描點，實心圓點表示當x為4.5時函數圖象上的點。

我們分別以三組數據為一組，把五組數據分成了十組。設五組數據對應函數圖象上的點從左至右依次為A、B、C、D、E，則將五組數據分組為：ABC、ABD、ABE、ACD……BDE、CDE。每組可分別解出一個函數，但都有一定誤差。其中，凡是包含數據組E的組誤差都十分大，且不太正常。我們認為是由于壓縮機升溫且冷凝器溫度升高散熱變慢，導致電冰箱工作異常。這種可能性十分大，屬于正?，F象。通過電話咨詢，冰箱廠家的技術人員肯定了我們的想法，并告訴我們：目前一些高級的冷凝管可以大大提高散熱效率，但造價頗高，且調節(jié)溫控器就可解決問題，沒必要多花錢去生產。于是把數據組E舍去，只計算前四組，又可以分為四組：ABC、ABD、ACD、BCD。以這四組數據分別解出一個函數，這四組函數中也存在誤差，但是應該保留數據組A存在誤差的那一分組。因為，溫控器調得過低后也會造成冰箱本身的問題。由于檔位越低，要求達到的溫度越高（不一定始終在設定溫度以下），所以要工作的時間就比較短，但停機時間縮短得更多。就是說，冰箱內的食品在較長時間內放出了熱量，在較短的時間內又吸入了大致相同的熱量。冰箱在這時需要適度調低要求達到的溫度。這就是為什么要注意溫控器的調節(jié)。就是說，由BCD解得的函數對于點A、D的誤差屬于合理誤差。最后，只有BCD這一組的不合理誤差最小(此時A點誤差為-0.36),最后解得的函數即為所求的函數y=f(x)。由數據組BCD解函數：

當x=2.574時,函數有最小值y=35.846；

所以,溫控器旋鈕應指在2.574的位置。可是由于實驗中不可能消除誤差，所以應指在2、3之間的一個位置，室溫稍低時就調低一點兒，反之就高一點兒，一般家庭不用經常調，溫度差2到3度不會有大影響。但是不同的電冰箱性能不同，具體的食品量在變化，外界溫度也會上下浮動，每個人每一次開門造成的影響都不相同，不同品牌電冰箱溫控器控制面板也不相同。所以忽略絕大多數家庭相同的因素，只須再考慮不同的電冰箱性能不同、電冰箱溫控器控制面板也不相同。盡管不同的電冰箱性能不同，但是它們的工作原理相同，都是在不斷的吸熱、放熱。就是說，它們在那個檔位基本上都是最佳的。雖然電冰箱溫控器控制面板不相同，但是內部旋轉多少角度能調節(jié)多少溫度，卻是同樣基本相同的。目前市場上比較多的樣式主要有：“0”到“5”，“1”到“7”和“弱”、“中”、“強”。由于我們實驗用的電冰箱配備的是第一種樣式的溫控器，所以對應到其它兩種樣式分別是“3”、“4”檔之間和“中”略偏“弱”。問題解決了，是在中國北方春秋冬三季，一般家庭家用電冰箱溫控器的調節(jié)。目的是如何更經濟的使用好電冰箱。答案就是上一段最后的幾句話。問題雖然很小，而且用的就是解方程的方法，但卻能培養(yǎng)我們從生活中尋找數學問題、運用數學知識的好習慣。這對于推行素質教育是一個極佳的方法，它使學生因為自己的興趣而學習，知識也就更加牢固。另外，這個問題可以擴展到其它方面。如下水道的清理問題，你必須知道什么時候清理最合理：時間早了浪費物資，晚了又極難工作。當然牽扯的量也是相當多的。我們相信，通過我們不斷的學習，我們將解決更多的生活中的問題。第四課：賭馬中的數學問題隨著中國的改革開放，境外許多事物漸漸被生活在大陸的人知曉諸如賭馬、六合彩等常在媒體中提及。對我們來說，了解一些原來不熟悉的東西也是必要的。其實，一些博彩游戲和古老的賭博有許多相似之處，我們可以用初等概率知識對其中的現象作一定的分析。

我們以賭馬問題為例。為簡便起見，假設只有兩匹馬參加比賽。通過對決定馬匹勝負的各因素的研究以及對以往賽事勝負情況的統(tǒng)計分析，我們可得出兩匹馬各自勝出的實際概率。不失一般性，設其中一匹馬勝出的實際概率為，則另一匹馬勝出的實際概率為。那么，參賭者該如何下注以最大的限度確保他們能贏得錢呢？要解決這個問題必須先弄明白莊家的賠率是如何設定的。所謂賠率，是指押注一元錢于勝方所獲得的總金額。舉例來說，若賠率為1.65元，則如押注一元的一方恰好勝出，可得收益0.65元，加上本金，一共可得1.65元。若押注負方，則會失去所押注的1元，但不須另外再輸錢?，F在，我們知道了馬匹勝出的實際概率，知道了莊家設定的賠率，就可以分析參賭者該如何下注。這里，設總金額為1元，并設在第一匹馬上押注元，則在第二匹馬上押注。至于具體押注多少，參賭者可以將總金額按該比例分配給這兩匹馬。于是，可得下表：馬匹第一匹第二匹勝出的實際概率莊家設定賠率（元）押注（元）如果第一匹馬贏，參賭者可得到元，再減去付出的1元，參賭者的收益為元；同理，如果第二匹馬贏，參賭者收益為元?？紤]到兩匹馬勝出的實際概率分別為和，參賭者的期望收益為，其中。另外，若參賭者把所有錢都押注于第一匹馬時期望收益為；若參賭者把所有的錢都押注于第二匹馬時，期望收益為。自然，參賭者希望收益，這樣，他們才能以一個正的概率贏利。所以要求：。1）當，且，即當且時，不論取何值，恒大于0，且當趨向1時，趨向于極大值。實際上，當，即參賭者把錢全押注于第一匹馬上時，有收益，所以參賭者應當把錢全部押注于第一匹馬上。2）當且，即當且時，收益隨著的變大而變小，且當趨于0時，趨于極大值。實際上，當，即參賭者把錢全押注于第二匹馬上時，有收益。所以參賭者應當把錢全押在第二匹馬上。3）當，時，為使，應滿足：

。又∵，∴，即。即當，且時，參賭者按分配賭注可期望贏利。且當趨向于1時，收益趨于極大值。同1）情況可知，這時，參賭者應把錢全押注于第一匹馬上，有收益。4）當，且時。這時不論賭注如何分配，參賭者的期望收益恒為負。在這情況下，參賭者介入其中是不理智的行為。

以上是參賭者在已知勝出概率及賠率時選擇的策略。同樣，莊家在設置賠率時，一定會對實際各匹馬勝出的概率作一番認真研究，由此設定相應賠率。這樣，他才有可能不賠本。由此當莊家設置一個賠率時，我們也可以反推莊家所估計的各匹馬勝出的概率。例如，莊家賠率設定為15，則我們大致可以知道該馬匹勝出概率大致應小于。

其實，在其它涉及賠率、押注的簡單模型中，我們也可以用相應的方法進行分析。當然，這只是對實際情況的一種簡化?，F實生活中的賭馬不會僅有兩匹，并且要求出各馬匹實際勝出的概率是件非常困難的事，在一般情況下，只能求得近似解。第五課：對稱——自然美的基礎在豐富多彩的物質世界中，對于各式各樣的物體的外形，我們經?？梢耘龅酵昝绖蚍Q的例子。它們引起人們的注意，令人賞心悅目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚貝殼都使人著迷；蜂房的建筑藝術，向日葵上種子的排列，以及植物莖上葉子的螺旋狀頒都令我們驚訝。仔細的觀察表明，對稱性蘊含在上述各種事例之中，它從最簡單到最復雜的表現形式，是大自然形式的基礎。

花朵具有旋轉對稱的性征。花朵繞花心旋轉適當位置，每一花瓣會占據它相鄰花瓣原來的位置，花朵就自相重合。旋轉時達到自相重合的最小角稱為元角。不同的花這個角不一樣。例如梅花為72°，水仙花為60°?！皩ΨQ”在生物學上指生物體在對應的部位上有相同的構造，分兩側對稱（如蝴蝶），輻射對稱（放射蟲，太陽蟲等）。我國最早記載了雪花是六角星形。其實，雪花形狀千奇百怪，但又萬變不離其宗（六角星）。既是中心對稱，又是軸對稱。

很多植物是螺旋對稱的，即旋轉某一個角度后，沿軸平移可以和自己的初始位置重合。例如樹葉沿莖桿呈螺旋狀排列，向四面八方伸展，不致彼此遮擋為生存所必需的陽光。這種有趣的現象叫葉序。向日葵的花序或者松球鱗片的螺線形排列是葉序的另一種表現形式?！熬w閃爍對稱的光輝”，這是俄國學者費多洛夫的名言。無怪乎在古典童話故事中，奇妙的寶石交織著溫馨的幻境，精美絕倫，雍容華貴。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。第六課：對數螺線與蜘蛛網曾看過這樣一則謎語:“小小諸葛亮，穩(wěn)坐軍中帳。擺下八卦陣，只等飛來將。”動一動腦筋，這說的是什么呢?原來是蜘蛛，后兩句講的正是蜘蛛結網捕蟲的生動情形。我們知道，蜘蛛網既是它棲息的地方，也是它賴以謀生的工具。而且，結網是它的本能，并不需要學習。你觀察過蜘蛛網嗎?它是用什么工具編織出這么精致的網來的呢?你心中是不是有一連串的疑問，好，下面就讓我來慢慢告訴你吧。在結網的過程中，功勛最卓著的要屬它的腿了。首先，它用腿從吐絲器中抽出一些絲，把它固定在墻角的一側或者樹枝上。然后，再吐出一些絲，把整個蜘蛛網的輪廓勾勒出來，用一根特別的絲把這個輪廓固定住。為繼續(xù)穿針引線搭好了腳手架。它每抽一根絲，沿著腳手架，小心翼翼地向前走，走到中心時，把絲拉緊，多余的部分就讓它聚到中心。從中心往邊上爬的過程中，在合適的地方加幾根輻線，為了保持蜘蛛網的平衡，再到對面去加幾根對稱的輻線。一般來說，不同種類的蜘蛛引出的輻線數目不相同。絲蛛最多，42條；有帶的蜘蛛次之，也有32條；角蛛最少，也達到21條。同一種蜘蛛一般不會改變輻線數。到目前為止，蜘蛛已經用輻線把圓周分成了幾部分，相臨的輻線間的圓周角也是大體相同的。現在，整個蜘蛛網看起來是一些半徑等分的圓周，畫曲線的工作就要開始了。蜘蛛從中心開始，用一條極細的絲在那些半徑上作出一條螺旋狀的絲。這是一條輔助的絲。然后，它又從外圈盤旋著走向中心，同時在半徑上安上最后成網的螺旋線。在這個過程中，它的腳就落在輔助線上，每到一處，就用腳把輔助線抓起來，聚成一個小球，放在半徑上。這樣半徑上就有許多小球。從外面看上去，就是許多個小點。好了，一個完美的蜘蛛網就結成了。

讓我們再來好好觀察一下這個小精靈的杰作:從外圈走向中心的那根螺旋線，越接近中心，每周間的距離越密，直到中斷。只有中心部分的輔助線一圈密似一圈，向中心繞去。小精靈所畫出的曲線，在幾何中稱之為對數螺線。

對數螺線又叫等角螺線，因為曲線上任意一點和中心的連線與曲線上這點的切線所形成的角是一個定角。大家可別小看了對數螺線:在工業(yè)生產中，把抽水機的渦輪葉片的曲面作成對數；螺線的形狀，抽水就均勻；在農業(yè)生產中，把軋刀的刀口彎曲成對數螺線的形狀，它就會按特定的角度來切割草料，又快又好。第七課：斐波那契數列斐波那契數列在自然界中的出現是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的。

（1）細察下列各種花，它們的花瓣的數目具有斐波那契數：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花。

（2）細察以下花的類似花瓣部分，它們也具有斐波那契數：紫宛、大波斯菊、雛菊。

斐波那契數經常與花瓣的數目相結合：

3………百合和蝴蝶花

5………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草

8………翠雀花

13………金盞草

21………紫宛

34，55，84……………雛菊

（3）斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數0，然后依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。

（4）斐波那契數有時也稱松果數，因為連續(xù)的斐波那契數會出現在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數目之中。這種情況在向日葵的種子盤中也會看到。此外，你能發(fā)現一些連續(xù)的魯卡斯數嗎？

（5）菠蘿是又一種可以檢驗斐波那契數的植物。對于菠蘿，我們可以去數一下它表面上六角形鱗片所形成的螺旋線數。

斐波那契數列與黃金比值

相繼的斐波那契數的比的數列：

它們交錯地或大于或小于黃金比的值。該數列的極限為。這種聯(lián)系暗示了無論（尤其在自然現象中）在哪里出現黃金比、黃金矩形或等角螺線，那里也就會出現斐波那契數，反之亦然。第八課：分數維的山峰與植物大廳的燈光暗下來，帳幕徐徐打開，銀幕上出現了根據J．R．R．Tolkien的三部曲“LordoftheRings”所改編的電影。Frodo在一個開闊的峽谷里溜達著。遠處，鋸齒狀的冰雪覆蓋著的山峰聳入云端。近處有些不知是什么種類的奇花異木在陽光下閃爍。轉眼，屏幕上的奇景變成了一個男巫凝視著一只水晶球，在這球體的中央出現了一個堡壘，火焰正從它的城垛里竄出來。

雖然現在還很難說Frodo是否會在這樣的電影里出現，但我肯定那些山峰、樹木、水晶球以及火焰都會奇妙地出現在銀幕上。這個成就主要將歸功于Pixar公司(即從前的Lucasfilm計算機繪圖實驗室)所開發(fā)的軟件和硬件。有家用計算機的讀者都能夠在計算機上作出基本類似于這些東西的圖形來。由于本文篇幅所限，不能在此對水晶球和火焰作一個廣泛深入的論述，但還是能夠揭示產生它們的基本原理。

在上面描述的假想的電影中，我們可以把攝像機移向Frodo身后的那些山峰上。人們可能從來沒有見過比這些山峰更令人生畏的大片陸地了。每一個大的山峰都由一些較小的山峰構成，而這些較小的山峰又由比它們更小的山峰組成，如此下去就形成了一種小山峰的無窮回歸。即使一個有皮質腳的滴水嘴一樣的海怪站在這樣一個犬牙般的地方也會感到難受。

原則上，這樣的一種山的圖形是容易作出來的。為簡便起見，我假定這山覆蓋了一個三角形的地面。找出每條邊的中點，用三條線段把這三個中點連起來。就把這三角形分成了四個較小三角形。用同樣的辦法再分這四個小三角形。這一過程不斷進行，直到達到分辨率極限或計算時間極限為止。結果是得到一大堆令人感到枯燥無味的三角形。如果要使這圖形變得生動一些，可以在作圖過程中加進一條有關垂直方向上的規(guī)則：每當新的中點畫在圖上時，就使其向上或向下移動某一隨機量。通常這個隨機數必須隨三角形的逐漸變小而減少。這一規(guī)則把那些三角形變成弄皺了的山峰和褶皺。

為什么這一種方法會作出那樣逼真的山峰圖案呢?答案在于這個過程中產生了一個分數維圖形，即當圖案不斷放大時會顯露出更多的細節(jié)的圖形。分數維形態(tài)在自然界似乎是隨處可見。我們可以用一個關于海岸線的例子解釋分數維圖形的基本概念。假設我們要用一根l000米長的測量桿測量出法國海岸線的長度，那么就得沿著海灘向前一桿一桿地進行艱難的測量，同時數出有多少個l000米。然而這樣會把許多小的海灣和海岬遺漏掉，所以用這種辦法測出的最后得數是不那么準確的。用一根l米長的測量桿重復這一過程，會得出一個更精確、數字更大的結果。但即使如此，也有大量的小海灣和岬地被遺漏掉了。無疑，用一根l厘米長的測量桿結果就會更為精確。一般規(guī)律是，當測量桿變小時，測出的海岸線長度會增大。測出的長度與測量桿桿長之比率為一個專門值，這個值稱為分數維。分數維與通常說的維不同，它往往被表達成一個分數，而不是一個整數。例如我們討論的海岸線的維數可能就是一個3/2的分數維。可以把這樣的一種形狀想象成一個介于一維形狀(直線)和二維形狀(平面)之間的中間形狀。如果海岸線比較直，其分數維就接近于1。如果海岸線很曲折，其分數維就接近于2，此時它幾乎填滿一個二維平面。

自然界的分數維模型實際上隱含了細節(jié)的無窮回歸。從計算機繪圖的角度來看，無窮回歸是無關緊要的問題；只要景物看來是具有各級放大水平上的細節(jié)就行了。在達到屏幕分辨率的極限之前，計算機上生成的山的特征就與上述分割過程中最終所得的三角形的特征一樣精細。完整的山峰繪制算法太長太復雜，無法在此作足夠詳細的介紹。但有一個簡單的程度可以繪出Mandelbrot峰的斷面，它稱為MOUNTAIN。該程序體現了沿垂直軸隨機移動中點這一基本早想。開始時是一條水平線段。確定其中點，使其向上或向下移動一段隨機地確定的距離，然后把由此產生的兩個線段再分，并使其各自中點也按此規(guī)則移動。用類似于再分三角形的方法可把這一過程不斷地進行下去。

程序MOUNTAIN有兩個數組，叫做points和lines。其作用是保持計算機屏幕上的山的輪廓。每個數組分別有兩列和足夠多的行(比如說2048行)以方便地調整屏幕分辨率；points的兩列是坐標值，而lines的兩列則是下標。每條線段定義為數組points中表明該線段終點坐標的一對位置。觀察一個普通的多邊形通過一連串的再分后形成山的輪廓這一過程是非常有趣的，所以程序MOUNTAIN使每一次圖案的形成都處于用戶的控制下。在—次主循環(huán)結束時，程序詢問用戶是否需要另一次迭代，如果回答是肯定的，那么執(zhí)行會再返回此程序的開頭。

主循環(huán)的作用是把當前的點與線段的集合變成大1倍的新集合。為實現這一點，它一次一行地對數組lines進行掃描，查尋其對應點的下標并從數組poinlts中檢索出它們的坐標。在已知某一給定線段的兩個端點坐標后，程序就可以計算出該線段的中點坐標，同時隨機地改變y坐標的值。下面所列出的算法過程為程序的編制提供了充分的基礎，其中變量j和k是指數組points和lines中當前正保持著再分的最新結果的那些“行”。變量pts和lns記錄在進入主循環(huán)之前構成山的點和線段的數目。開始時j等于pts，k等于lns。下標i從1到lns。MOUNTAIN程序的這一部分在很大程度上是不言自明的。當第j點的坐標計算出來后，下標j就被存貯起來作為第i條線段的第二個點和第k條線段的第一個點。第i條線段的第一個點與其原來的一樣，而第k條線段的第二個點與第i條線段原來的第二個點，即帶有下標b的那個點相同。當循環(huán)最終計算后，pts和lns必須分別復置為j和k的最新值。變量range是在程序的開頭由用戶確定各再分點在垂直方向上隨機移動量的最大值。每次循環(huán)結束時，該變量就要除以2，使得這一隨機移動量與線段尺寸成比例地減小。函數random(range)用于表示在0和變量range的當前值之間所選擇一個隨機數。

如果Frodo身后的那些山峰是令人難忘的，那么，他周圍的村木和植物就更是令人難忘。它們既逼真又奇特。之所以逼真，是因為它們有與真實植物一樣的分枝，而之所以奇特是因為它們不是常見的物種。大概是圖形設計者有太多的參數可以任他使用，因此他禁不住要創(chuàng)造一些新的植物種類。這些新的植物種類被叫做“嫁接”(graftal)植物，因為它們是在圖形(graph)的基礎上形成的，且有內在的的分數維性質。這里所謂的“內在分數維性質”，指的是用于生成植物圖案的基本拓撲特征的規(guī)規(guī)則可以(但實際上沒有)應用于屏幕分辨率的極限。簡言之，植物的細枝條不會無限地回歸成更小的枝條。一旦作為植物的基礎的圖形發(fā)展起來，計算機就能用大小、顏色、厚度、質地等解釋植物的圖形，從而把它變換成無數的令人信服的植物種類。

某一給定植物所據以形成的圖形是由L系統(tǒng)產生，這種系統(tǒng)是丹麥生物學家和數學家AristidLindenmeyer在1968年提出的一種語法類別。一個L系統(tǒng)實際就是一套用于從舊的字符串中推導新的字符串的規(guī)則。例如，根據下列規(guī)則，用數字0和1以及符號[和]能夠生成一系列復雜的植物：

為了弄清如何應用這些規(guī)則，我們從由單個的符號0組成的字符串開始。將箭頭左邊的每一個符號都用與其對應的右邊的符號來代替，就可以一個接一個地得到下列的字符串：

01[0]1

[0]011[1[0]l[0]0]ll[1[0]1[0]0]1[0]l

[0]0

把每個數字(0或1)當作一條線段，每個括號當作一個分支點，就可把這樣的字符串變換成樹一樣的圖形。0和1所代表線段的長度相等，其區(qū)別在于0線段的外端上要加一片葉子，而1線段上則什么也不加。例如字符串1[0]1[0]0的莖是由三個不在括號內的符號組成的。最下面的是1線段，中間也是1線段，頂部則是0線段。兩根枝條(每根均是一條0線段)從莖上長出來。第一根枝條長在第一條1線段上，第二根枝條則長在第二條1線段上。讀者可以試畫一下樹莖最初幾次生成的圖案。為了使植物更逼真，對這個模型可以加上另外一些解釋性的規(guī)則；例如，對于任何給定的莖(不管它是否主莖)，都可以使枝條輪流地從左右兩側長出。

一個叫PLANT的由兩部分組成的程序產生上述序列中的第n個字符串，然后把它表示成一個線段圖。在該程序的第一階段，PLANT將它所生成的字符串保存在被稱為StringA及stringB的兩個符號數組中。每一代植物圖形輪流地占據兩個數組中的一個，即某一數組中所存貯的那一代是由另一數組中所存貯的上；代得來的。也不一定非要在數組中存貯符號。只要程序的代換過程是正確的，數字0，l，2和3也完全可以。

L系統(tǒng)規(guī)則在條件語句中體現出來；例如可以采用下面這段算法編碼把StringA的第i位上的1個0變成stringB中的九個新的符號：

如果stringA(i)＝0，那么

stringB(j)←1

stringB(j+1)←2

stringB(j+2)←0

stringB(j+3)←3

stringB(j+4)←1

stringB(j+5)←2

stringB(j+6)←0

stringB(j+7)←3

stringB(j+8)←0

j←j+9

這里0和1代表它們自己，而2和3分別代表[和]，如果stringA的第i個符號是0，那么，程序把序列l(wèi)，2，0，3，l，2，0，3，0插入數組stringB中以下標j(即數組stringB的尚未填入符號的第；個年置)開頭的九個連續(xù)位置上。程序PLANT的第一階段中的一個單循環(huán)就含有四個上述的條件語句，每個語句相應于可能遇到的一個符號。循環(huán)用下標j來指出當前這一代中正被處理的那個符號。循環(huán)執(zhí)行的次數依用戶的愿望而定。在每一次生成后，程序PLANT會詢問用戶是否希望另一個更長的字符串。

PIANT的第二個階段(即繪圖階段)把第一個階段產生的字符串變換成一個圖形。它循環(huán)地執(zhí)行這一過程：只要左括號(或2)沒有出現，它就在一個給定方向上繪出一系列線段。當碰到某一對括號中的左括號時。程序就在一個新的方向(從前一個方向反時針轉45°)上繪出后面的線段。當對應的右括號出現后，這一過程就終止。這時畫出一片葉子，它的形狀和顏色都留給讀者去想象。第二個左括號的出現使該程序又重復進行。只是現在的方向是順時針45°。其他的工作都是自動進行的。

PIANT用了一個隨被繪出的植物的復雜性而定的比例因數。例如，第n代植物的高度大約為2n條線段，如果屏幕的高是200個像元，那么每根線段就必須短于200／2n雄心勃勃的讀者們無疑會嘗試生成語法、枝條角度及葉片形狀等方面的新花樣。如果具有這些新花樣的圖案在同一屏幕上生成，植物和樹木的風景就會出現了(當然不是很逼真的)。

Pixar繪圖計算機的心臟是一個有24兆字節(jié)，2000×2000像元的存貯器，其分辨率對大多數應用是足夠的。此外，每個像元由48個存貯位表示，足夠存貯色采和透明度方面的信息。Pixar繪圖計算機的大容量存貯器由四個高速并行完全可編程序的處理機操縱。它們每秒鐘能執(zhí)行約4000萬條指令，其速度比普通的計算機大幾個數量級。顯示裝置與存貯器問的數據交換速度可達每秒4．8億個字節(jié)。

Pixar繪圖計算機預定用于醫(yī)學成像、遙感、工程設計及動畫片制作這些領域中。也許還會用來制作我在本文開頭所描述的假想電影。第九課：蜂房中的數學蜜蜂是勤勞的,它們釀造出了最甜的蜜;蜜蜂是聰明的,它們會分工合作,還會用舞蹈的形式告訴同伴:哪里有花源,數量怎么樣。實際上,不僅如此,蜜蜂還是出色的建筑師。它們建筑的蜂房就是自然界諸多奇跡中的一個。

蜂房是正六棱柱的形狀,它的底是由三個全等的菱形組成的。達爾文稱贊蜜蜂的建筑藝術,說它是:天才的工程師。法國的學者馬拉爾狄曾經觀察過蜂房的結構,在1712年,他寫出了一篇關于蜂房結構的論文。他測量后發(fā)現,每個蜂房的體積幾乎都是0。25立方厘米。底部菱形的銳角是70度32分,鈍角是109度28分,蜜蜂的工作竟然是這樣的精細。物理學家列奧繆拉也曾研究了這個問題,它想推導出:底部的菱形的兩個互補的角是多大時,才能使得蜂房的容量達到最大,他沒有把這項工作進行下去。蘇格蘭的數學家馬克勞林通過計算得出了與前面觀察完全吻合的數據。公元4世紀,數學家巴普士就告訴我們:正六棱柱的蜂房是一種最經濟的形狀,在其他條件相同的情況下,這種結構的容積最大,所用的材料最少。他給出了嚴格的證明。看來,我們不得不為蜜蜂的高超的建筑藝術所折服了。馬克思也高度地評價它:蜜蜂建筑蜂房的本領使人間的許多建筑師感到慚愧?，F在,許多建筑師開始模仿蜂房的結構,并把它們應用到建筑的實踐中去。第十課：龜背上的學問傳說大禹治水時，在一次疏通河道中，挖出了一只大龜，人們很是驚訝，爭相觀看，只見龜背上清晰刻著圖1所示的一個數字方陣。這個方陣，按《孫子算經》中籌算記數的縱橫相間制：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。六不積算，五不單張。”可譯成現代的數字，如圖2所示。

方陣包括了九個數字，每一行一與列的數字和均為15，兩條對角線上的數也有相同的性質。當時，人們以為是天神相助，治水有望了。后來，人們稱刻在龜背上的方陣為“幻方”(國外稱為“拉丁方”)，屬于組合數學范疇。使用整數1—9構成的3×3階“拉丁方”唯一可能的和數是15，這一點只要把這“拉丁方”中所有數加起來便可證明，1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45，要把這幾個數分配到三行(或列)使得每行(或列)有同樣的和，那么，每行(或列)的和應為45／3＝150

組合數學是數學中的一個分支，在實際生活中應用很廣泛，請看下面的例子。

5名待業(yè)青年，有7項可供他們挑選的工作，他們是否能找到自己合適的工作呢?由于每個人的文化水平、興趣愛好及性別等原因，每個人只能從七項工作中挑選某些工種，也就是說每個人都有一張志愿表，最后根據需求和志愿找到一個合適的工作。

組合數學把每一種分配方案叫一種安排。當然第一個問題是考慮安排的存在性，這就是存在問題；第二個問題是有多少種安排方法，這就是計數問題。接下去要考慮在眾多的安排中選擇一種最好的方案，這就是所謂的“最優(yōu)化問題”。存在問題、構造問題、計數問題和最優(yōu)化問題就構成了全部組合數學的內容。如果你想了解更多的組合數學問題，那就要博覽有關書籍，你會得到許多非常有趣的知識，會給你許多的啟發(fā)和教益。第十一課：Music與數學動人的音樂常給人以美妙的感受。古人云：余音繞梁，三日不絕，這說的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成調，這就是唱得不好了。同樣是唱歌，甚至是唱同樣的歌，給人的感覺卻是迥然不同。其重要原因在于歌唱者發(fā)聲振動頻率不同。

人類很早就在實踐中對聲音是否和諧有了感受，但對諧和音的比較深入的了解只是在弦樂器出現以后，這是因為弦振動頻率和弦的長度存在著簡單的比例關系。近代數學已經得出弦振動的頻率公式是W，這里，P是弦的材料的線密度；T是弦的張力，也就是張緊程度；L是弦長；W是頻率，通常以每秒一次即赫茲為單位。

那么，決定音樂和諧的因素又是什么呢？人類經過長期的研究，發(fā)現它決定于兩音的頻率之比。兩音頻率之比越簡單，兩音的感覺效果越純凈、愉快與和諧。

首先，最簡單之比是２：１。例如，一個音的頻率是160、7赫茲，那么，與它相鄰的協(xié)和音的頻率應該是2×260、7赫茲，這就是高八度音。而與頻率為2×260、7赫茲的音和諧的次一個音是4×260、7赫茲。這樣推導下去，我們可以得到下面一列和諧的音樂：

260、7，2×260、7，22×260、7……

我們把它簡記為C0，C1，C2，……，稱為音名。

由于我們討論的是音的比較，可暫時不管音的絕對高度（頻率），因此又可將音樂簡寫為：

C0C1C2C3……20212223……

需要說明的是，在上面的音列中，不僅相鄰的音是和諧的，而且C與C2，C與C3等等也都是和諧的。一般說來這些協(xié)和音頻率之比是2M。（其中M是自然數）

第十二課：e和銀行業(yè)

跟我們日常的事情有什么關系呢？事實上它在我們日常生活中，跟任何一個特定的整數一樣，盡管人們并不總能察覺到它的出現。只有人知道是一個實際的數，如果問大家，可能多數人會說是英語字母表里的第5個字母。大家知道它是一個奇怪的數，這是我們通過數學課了解到的。只有少數人知道它是一個無理數和一個超越數。

在今天的銀行業(yè)里，是對銀行家最有幫助的一個數。人們可能會問，像這樣的數是怎樣又以何種方式與銀行業(yè)發(fā)生關系呢？要知道后者是專門跟“元”和“分”打交道的!

假如沒有的發(fā)現，銀行家要計算今天的利息就要花費極其大量的時間，無論是逐日逐日地算復利，還是持續(xù)地算復利都無法避免。有幸的是，的出現助了一臂之力。

的定義是作為數列的極限。我們通常寫為。在利息計算中怎樣借助于這個公式呢？實際的計算公式是：本利和，。

這里本金，年利率，一年之內計算利息的次數，存錢的年數。

上述公式可以變形為對于的公式。當人們投資1美元年利率為100％時，一年的本利和可達美元。開頭可能會有人以為總計會是一個天文數字，但看了下面的估計后就會知道它接近于的值。

于是，我們看到：如果我們投資1美元，年利率為100％，那么收益決不會超過2.72美元。事實上的小數點后頭22位數是＝2.7182818284590452353602。

下一個問題是怎樣對進行工作。最好先通過嘗試來確定看。比如說我們從1000美元開始以年利8％存入銀行，讓我們看看當按一年期計算，然后按每半年期計算，再按每三個月期計算復利時會出現什么。

如果逐日計算復利，可用公式。這個公式如果用手算則要花好多時間，但今天用電子計算器和專門的計算機頃刻間便能得出結果。第十三課：幾何就在你的身邊初學幾何時，你往往會感到這門學科枯燥乏味，有的知識似曾相識，似懂非懂；有的知識則似乎很“玄”，離我們很遠!其實，日常生活中有幾何，幾何就在你的身邊。當你騎自行車時，想過自行車的輪子為什么是圓形的，而不能是“雞蛋形”的呢?因為“圓”形的特性可以使自行車平穩(wěn)地前進；自行車的輪于有大有小，可供人們選擇；兩個輪子裝的位置必須裝得恰當，騎時會感到方便。這說明：物體的形狀、大小、位置關系與日常生活有著緊密的聯(lián)系，這也正是幾何這門學科所要研究的。當你把一張長方形的紙裁成一個正方形時，你想過這里面有幾何知識嗎?圖1圖2圖3

何中叫“比較線段的大?。话殃幱安糠植萌?，可以看成在“長”上截取一段，使它等于“寬”，這就是幾何中的“線段作圖”；長方形的長與寬相等時，就是正方形，這更是幾何中的一個重要結論。如果把正方形折成相等的兩部分，除了圖2中所示的四種折法外，你還能想到其他的折法嗎?不妨試試：過四條折痕相交的那個點“·”，任意地折一條線，看看這樣把正方形分成的兩部分也一樣嗎?當你走進用磚塊鋪地的房間時，你注意到這些磚塊的形狀嗎？有的是等邊三角形的，有的是長方形或正方形的。其實，任意形狀的四邊形磚塊也能把地面拼得沒有縫隙，請看圖3。這又將告訴我們幾何中的一個重要結論(四邊形的四個角的大小之和恰好等于360度)，這個結論，與小學數學里學過的“三角形的三個角之和等于180度°又有著緊密的聯(lián)系。如果有興趣的話，請你剪兩塊同樣的直角三角形紙片，然后把兩塊紙片拼合成一個圖形，你能拼出6種不同的圖形嗎？這里又包含了許許多多的幾何知識。比如，當你拼成一個等腰三角形時，就不難知道：等腰三角形可以分成兩個同樣的直角三角形，中間的那條線位置很特殊，今后研究等腰三角形時常常要用到它！第十四課：巧用數學看現實在現實生活中，人們的生活越來越趨向于經濟化，合理化．但怎樣才能達到這樣的目的呢？

在數學活動組里，我就遇到了這樣一道實際生活中的問題：

某報紙上報道了兩則廣告，甲商廈實行有獎銷售：特等獎10000元1名，一等獎1000元2名，二等獎100元10名，三等獎5元200名，乙商廈則實行九五折優(yōu)惠銷售。請你想一想；哪一種銷售方式更吸引人？哪一家商廈提供給銷費者的實惠大？

面對問題我們并不能一目了然。于是我們首先作了一個隨機調查。把全組的16名學員作為調查對象，其中8人愿意去甲家，6人喜歡去乙家，還有兩人則認為去兩家都可以。調查結果表明：甲商廈的銷售方式更吸引人，但事實是否如此呢？

在實際問題中，甲商厚每組設獎銷售的營業(yè)額和參加抽獎的人數都沒有限制。所以我們認為這個問題應該有幾種答案。

一、苦甲商廈確定每組設獎，當參加人數較少時，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人們會認為獲獎機率較大，則甲商廈的銷售方式更吸引顧客。

二、若甲商廈的每組營業(yè)額較多時，它給顧客的優(yōu)惠幅度就相應的小。因為甲商廈提供的優(yōu)惠金額是固定的，共14000元（10000＋2000＋1000＋1000=14000）。假設兩商廈提供的優(yōu)惠都是14000元，則可求乙商廈的營業(yè)額為280000元（14000÷5％=280000）。

所以由此可得：

（l）當兩商廈的營業(yè)額都為280000元時，兩家商廈所提供的優(yōu)惠同樣多。

（2）當兩商廈的營業(yè)額都不足280000元時，乙商廈的優(yōu)惠則小于14000元，所以這時甲商廈提供的優(yōu)惠仍是14000元，優(yōu)惠較大。

（3）當兩家的營業(yè)額都超過280000元時，乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元，而甲商廈的優(yōu)惠仍保持14000元時，乙商廈所提供的實惠大。

像這樣的問題，我們在日常生活中隨處可見。例如，有兩家液化氣站，已知每瓶液化氣的質和量相同，開始定的價也相同。為了爭取更多的用戶，兩站分別推出優(yōu)惠政策。甲站的辦法是實行七五折錯售，乙站的辦法是對客戶自第二次換氣以后以7折銷售。兩站的優(yōu)惠期限都是一年。你作為用戶，應該選哪家好？

這個問題與前面的問題有很大相同之處。只要通過你所需要的罐數來分析討論，這樣，問題便可迎刃而解了。

隨著市場經濟的逐步完善，人們日常生活中的經濟活動越來越豐富多彩。買與賣，存款與保險，股票與債券，……都已進入我們的生活．同時與這一系列經濟活動相關的數學，利比和比例，利息與利率，統(tǒng)計與概率。運籌與優(yōu)化，以及系統(tǒng)分析和決策，都將成為數學課程中的“座上客”。

作為跨世紀的中學生，我們不僅要學會數學知識，而且要會應用數學知識去分析、解決生活中遇到的問題．這樣才能更好地適應社會的發(fā)展和需要。第十五課：商品調價中的數學問題若將某商品先漲價10％后再降價10％，所得的價格與原先的價格相比有無變化？不少同學會不加思索脫口而出：那還用問嗎？肯定不變。果真如此嗎？

比如設這種商品原價為100元，則漲價10％后價格為100＋10=110元，再降價10％就是110-11=99元，可見比原先的價格便宜了。所以很多事情不能想當然貿然下結論，還是動筆算一算為好，才能做到心中有“數”。請研究下例：

某商品擬作兩次調價，設p＞q＞0，有下列六種方案供選擇：

(A)選漲價p%，再降價q%；

(B)選漲價q%，再降價p%；

(C)選漲價%，再降價%;

(D)選漲價%，再降價%;

(E)選漲價%，再降價%;(F)選漲價%，再降價%;若規(guī)定兩次調價后該商品的價格最高的方案稱為好方案。請判斷其中哪一個是好方案？

分析

設某商品原價為1，采用方案(A)、(B)、(C)、(D)、(E)、(F)調價后的商品價格分別為a,b,c,d,e,f，則所以，方案（A）是好方案。第十六課：煤商怎樣進煤利潤高日常生活中，有許多事情可采取多種方法來完成．哪種方法最好呢？比如：哪種方法最省時，或者最省錢等．如果開辦加工廠，加工某種東西，又怎樣獲得利潤最高？這都需要精打細算．比如開辦一個煤廠吧！也就是把煤沫加工成蜂窩煤，它需要以下幾個步驟：1.購買煤沫；2．摻好煤土；3．加工成品；4．銷售．雖然僅有這么簡單的四步，但也要仔細計算一下，然后再決定怎樣使煤廠利潤更高．然而，使煤廠利潤更高，會受到多種因素的影響，這里我們重點研究購買哪種煤沫利潤更高，但還要注意成品的銷售情況。煤廠現在可以進購兩種煤沫，一種好些，價錢當然貴了，可多摻黃土；另一種次些，價錢也就便宜，但摻黃土不能過多。煤廠進哪一種煤沫利潤更高呢？這就要通過計算了，這里有三種方法。第一種，進購好煤沫，好煤沫的進價是每噸105元，摻上占煤沫的40％，摻水占煤土的8％，加工好的蜂窩煤售價是每噸88元，我們來計算一下進購好煤沫10噸的利潤是多少．首先要得出10噸煤摻黃土和水后，可加工多少噸蜂窩煤，再算出總價，減去成本，求出利潤．用10噸煤沫摻上40％的黃土共是14噸煤工，再摻上占煤土的8％的水1.12噸．共是15.12噸煤，加工后可賣88××15.12=1330.56元．再來算一下成本，每噸煤沫105元，10噸共1050元，黃土每噸18元，4噸共72元，水每噸0.6元，1.12噸共0.672元，這15.12噸煤的成本為1050＋72＋0．672=1122．67元．最后算一下利潤，用總價減去成本，得1330.56-1122.672=207.888元，平均每噸煤獲利潤13.7元，這段話用式子表示為：｛88×「10＋10×40％1（10X40％）×8％]－（105X10＋18X4＋0.6XI.12)}÷15.12≈13．7元．第二種，進購次煤沫．次煤沫的進價是每噸85元，摻上占煤沫20%的土和占煤土8%的水，加工好的蜂窩煤的售價同樣也是每噸88元．我們同樣計算進購10噸次煤的利潤是多少，方法與計算好煤利潤相同．用10噸煤沫摻上占它的20％的黃土，共是12噸煤土，再摻上煤土的8％的水0.96噸，共是12.96噸煤，加工后可賣88×12.96=1140.48元．我們同樣也算一下它的成本，每噸煤沫85元，10噸共850元，每噸黃土18元，2噸共36元，每噸水0.6元，0.96噸為0.576元，這12.96噸煤的成本為850+36+0。576=886.576元，它的利潤為1140.48-886.576=253.904元，平均每噸煤的利潤約為17.2元，這段話用武子表示為：{88×[10+10×2O%+(10+10×20%)×8%]-（85×IO+18×2+0.6×0.96）}÷12.96≈17．2元．第三種，進購好次兩種煤沫，為了使煤質好些，所以好煤與壞煤的混合比例為2：1．摻上占煤的百分之多少呢？摻水又占煤土的百分之多少呢？讓我們來計算一下．我們設摻次煤A噸，摻好煤2A噸，我們算出A噸次煤和2A噸好煤各摻多少土和水，算出土共是多少，占煤沫的多少；算出水共多少，又占煤土的百分之多少．好煤應摻它40％的土，所以2A噸好煤應摻2A×40％=80％A噸的土，也就是0.8A噸，這種煤土應摻它8％的水，所以（2A十0.8A）噸煤士應摻水（2a+0.8A）×8％=22.4％A噸，也就是0.224A噸．我們算完了2A噸好煤應摻的土和水，再來算一下A噸次煤應摻多少土和水．次煤應摻的土占它的20％，所以A噸次煤應摻A×20％=20％A的土，也就是0.2A噸，這種煤土應摻的水仍占它的8％，所以（A＋20％A）噸的煤土應摻水（A+20％A)×8％=9.6％A噸，也就是0.096A噸．我們現在可以算出好、次兩種煤共應摻黃土(0.8A+0.2A)=A噸，占3A噸煤的，再來算一下水占煤土的百分之幾，這種摻法，水和煤土的百分之比與好次煤土所按的水一樣，仍是8％．我們知道了混合煤土所摻土和水的百分比之后，就來算一下10噸混合煤加工成煤后，它的利潤又是多少．方法與求好次煤利潤的方法相同．10噸混合煤應是10×噸的次煤和10×噸的好煤混合成的，混合煤摻上它的的土共是噸，再摻上煤土8％的水噸，共是14.4噸，加工后可賣88×14.4=1267.7元，再算一下它的成本是噸好煤共700元，次煤共元，噸黃土共60元，噸水共元，這14.4噸煤的成本是元，利潤為元，平均每噸煤獲利潤15.5元，這段話用式子表示為：

通過計算，我們很明顯的可以看出，進購次煤利潤會更高，但是還要注意一下銷售這個問題，因為煤廠一個冬天就要賣幾百上千噸的煤。所以僅看每噸煤的利潤是不行的，還要看一看哪種煤賣得快、賣得多。我們分析一下三種煤的銷售情況，好煤沫加工成的煤，煤質好，大家都愿意買這種煤，混合煤沫加工后的煤，因為好煤沫多一些，煤質就不如那兩種煤了，火苗又小燒得時間又短，大家都不愿意買這種煤，如果廠家大量加工第三種煤，就賣不出去了。而另外兩種煤，混合煤的利潤高一些，且也很受大家歡迎，所以煤廠就大批加工這種煤。第十七課:把握或然，你會更聰明車與羊三扇門概率問題：一個游戲：有3扇關閉著的門，其中2扇門后面各有一只羊，另一扇門后面有一輛車。參與者：一個游戲者和一個主持人。主持人事先知道各扇門后的物品，而游戲者不知道。游戲目的：游戲者選擇到車。分析：游戲過程：1、游戲者隨機選定一扇門；2、在不打開此扇門的情況下，主持人打開另一扇有羊的門。3、此時面對剩下2扇門，游戲者有一次更改上次選擇的機會。問題是：游戲者是否應該改變上次的選擇，以使選到車的概率較大？答案：不改變選擇，得到車的概率是1/3。改變選擇，得到車的概率是2/3。解釋：1、若想不改變選擇選到車：第一步：概率問題：若不改變選擇，要選到車，則游戲者必須第一次就選中車。此時選中車的概率是1/3（原理詳見中學數學課本）。第二步：必然問題：因為游戲者不會改變選擇，所以，之后主持人的任何行為——開門也好關門也好敲門也好摔門也好——都與游戲者最初做出的選擇無關。最終：概率還是1/3。2、若改變選擇選到車：第一步：概率問題：若要通過改變選擇選到車，則游戲者必須第一次選中的是羊。此時選中羊的概率是2/3（原理詳見中學數學課本）。第二步：必然問題：之后，主持人會打開另一扇有羊的門。此時游戲者面對剩下的2扇門，改變選擇的方式只有一種，就是選上次沒有選的那扇門。（這之中沒有幾分之幾概率的存在。打個簡單比方，一個包子和一個饅頭放在你面前，你第一步先拿了個包子在手上；然后第二步我叫你“換一個拿”，顯然你只能選剩下的那個饅頭。在第二步中，你并沒有選擇包子或饅頭的機會。）最終：選到車的概率還是2/3。練習與思考題：1.(練習題)有3個囚犯A、B和C，被關在各自的獄室里，大家都知道他們中有一個人第二天將被處死，另外兩個人則將被赦免。只有獄長知道誰會被處死。犯人A懇求看守幫忙：“請向獄長打聽一下明天誰會被處死，然后把這個消息告訴我的朋友B和C中的一個人，讓他知道明天是上他會被赦免。”看守同意了，并回來告訴A說他已經把赦免的消息告訴B了。那么，根據以上已知的信息，A被處死的幾率有多大？（用數學方法解答這個問題，而不是扳著手指頭數）。2.思考題：路人甲贏的概率假如現在有兩張牌，一張正反面一樣是底面（稱為A），一張正面是joker反面是底面（稱為B），現在兩張牌放在一個袋子中，如果抽出來的牌是底面，那么翻面看是否為B，若為B則路人甲贏，若為A則路人乙贏；如果抽出來的牌是joker面，則放回重新抽。問：路人甲贏的概率。三類概率問題的處理方法：概率是高中數學的一個重要內容，也是高考中的一個難點。如何快捷地處理概率問題，是同學們最關心的問題之一，下面本文就這個問題展開討論，介紹三類概率問題的處理辦法。1、古典概率模型中的計數問題古典概率模型是指試驗中所有可能出現的基本事件為有限個且每個基本事件出現的可能性相等的概率模型。只有滿足條件才能采用古典概率模型的概率公式計算。例1一個盒中裝著標有數字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任意抽取3張，每張卡片被抽出的可能性相等，求：（1）抽出的3張卡片上最大的數字是4的概率；（2）抽出的3張卡片中有2張上的數字是3的概率；（3）抽出的3張卡片上的數字互不相同的概率。分析：分類求基本事件的個數：解：（1）設抽出的3張卡片上最大的數字是4的事件為A，則（2）設抽出的3張卡片中有2張卡片上的數字是3的事件為B，則（3）設其對立事件抽出的3張卡片上有2張的數字相同的事件為C，則，故所求的概率為2、相互獨立事件和對立事件的模型的概率問題事件A與事件B相互獨立是指事件A的發(fā)生不會影響事件B的發(fā)生，在計算概率時表現為。事件A與事件B對立是指事件A與事件B互斥，且為必然事件，在計算概率時表現為。例2某安全生產監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查（簡稱安檢）。若安檢不合格，則必須整改。若整改后經復查仍不合格，則強制關閉。設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計算：（1）恰好有2家煤礦必須整改的概率；（2）某煤礦不被關閉的概率；（3）至少關閉1家煤礦的概率（結果精確到0.01）。分析：在處理復雜事件的概率問題時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率轉化為一些彼此互斥的事件的概率的和，這是由互斥事件概念的作用決定的；二是先求對立事件的概率，對立事件的概念為間接法求解問題提供了依據和基礎，解：（1）每家煤礦必須整改的概率是，且每家煤礦是否整改是相互獨立的，所以恰好有2家煤礦必須整改的概率是（2）某煤礦被關閉，即兩次檢查都不合格，被關閉的概率是，從而煤礦不被關閉的概率是0.90。（3）由（2）可知，每家煤礦不被關閉的概率是0.9，且彼此是否被關閉是相互獨立的，所以至少關閉一家煤礦的概率是3、幾何概率模型的概率問題幾何概率模型是指如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例的概率模型。在求幾何概率模型的概率問題時，長度、面積或體積的計算是解題的關鍵。例3甲、乙兩人約定在6時至7時之間在某地會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率。分析：這類題有兩個難點，一是如何把實際問題轉化為數學問題，二是計算表示事件發(fā)生的陰影部分的面積。解：以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人在6時至7時的一小時內到達約定地點的時間，則兩人能夠會面的條件是。在如圖所示的平面直線坐標系下，（x，y）的所有可能結果是邊長為60的正方形。設“兩人能會面”為事件A，則A所有可能結果由圖中陰影部分表示，從以上幾種解法可以看出，解決概率問題的步驟可歸納為三步：第一步,確定事件的性質，例如古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗，然后把所給問題歸結為幾類事件中的某一種。第二步,判斷事件的運算、和事件、積事件,確定事件至少有一個發(fā)生還是同時發(fā)生,分別運用相加或相乘事件公式。第三步,運用相應的公式計算?？傊_的求解概率問題，必須要具備上述的方法步驟，能熟悉和掌握必要的“概率模型”，并會利用分類與討論、轉化與化歸等數學思想。練習與思考題1：獵人在距100米處射擊一野兔，其命中率為，如果第一次射擊未中，則獵人進行第二次射擊，但距離為150米，如果第二次未擊中，則獵人進行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為200米，已知獵人命中概率與距離平方成反比，求獵人命中野兔的概率。2：設有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去住（n≤N）,求下列事件的概率（1）指定的n個房間各有一個人?。?）恰好有n個房間，其中各住一人3：已知某種高炮在它控制的區(qū)域內擊中敵機制概率為0.2（1）假定有5門這種高炮控制某區(qū)域，求敵機進入該區(qū)域后被擊中的概率。（2）要使敵機一旦進入這個區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？4：基本系統(tǒng)是由四個整流二極管（串、并）聯(lián)而成，已知每個二極管的可靠度為0.8（即正常工作），若要求系統(tǒng)的可靠度0.85，請你設計二極管的聯(lián)結方式。第十八課:順水推舟，克“敵”致勝——例談反證法的應用反證法定義：中國成語中有一個“矛盾”的故事，有一個人同時販賣矛與盾，他向買家吹噓他的矛是“無堅不摧”的，盾呢，是刀槍不入的。于是，有人馬上提議他“以子之矛，攻子之盾”來驗證一下他的宣傳是否可靠，于是這人當場弄得啞口無言。

此人采用“以子之矛，攻子之盾”的方法來反駁販賣者的說法，收到奇效，這種方法實際上就是數學上所說的反證法。我們再來看一個例子：王戎小時候，愛和小朋友在路上玩耍。一天，他們發(fā)現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動。等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的?！边@是很著名的“道旁苦李”的故事。實質上王戎的論述，也正是運用了反證法，我們不妨把這則故事改編成象幾何題目中的“已知、求證、證明”再和反證法的步驟進行對比，大家就明白了。事實：樹上結滿了李子已知：樹上有李小朋友問：為什么李苦求證：李為苦李王戎：假如李子不苦證明：假設李不苦則早被路人摘光則早被路人摘光而樹上結滿李子與已知樹上有李矛盾所以一定是苦的所以李為苦李至此，反證法的思路及步驟就一目了然了。反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。下面，我們來歸納反證法證明問題的一般步驟：第一步是“假設命題的結論不成立”，亦可理解成假命題結論的反面成立。但此時，要考慮結論的反面可能出現的情況。如果結論的反面只有一種情況，那么只須否定這種情況就足以證明原結論是正確的；如果結論的反面不止一種情況，那么必須把各種可能情況全部列舉出來，并且一一加以否定后，才能肯定原結論是正確的；第二步“從這個假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾”其中的矛盾，可以是和已知矛盾，也可以和定義、公理、定理、性質等矛盾，這樣都足以說明假設錯誤，原命題正確。第三步由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。我們先來看兩個短時間簡單的例子：例1．求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個鈍角。證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個鈍角，不妨設∠A>900，o且∠B>900，則∠A+∠B+∠C>1800。這與三角形和定理矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個三角形不可能有兩個鈍角。例2、用反證法證明:在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于60°.已知:∠A，∠B，∠C是△ABC的內角.求證:∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°.證明:假設所求證的結論不成立，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°則∠A+∠B+∠C<180°.這與三角形三個內角的和等于180°相矛盾.所以假設不成立，所求證的結論成立.試一試：用反證法證明下述命題：某班有49位學生，證明：至少有5位學生的生日在同一個月.已知：如圖，直線a,b被直線c所截，

∠1≠∠2求證：a∥b通過上節(jié)課的學習，大家對反證法定義和證明方法有了初步的了解，我們再來回顧反證法證題的具體步驟：①反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；②歸謬：從假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾；③結論：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.例1、已知a>0,b>0,且a+b>2,求證：中至少有一個小于2。證明：假設都不小于2，即≥2且≥2∵a>0,b>0∴1+b≥2a,1+a≥2b∴2+a+b≥2a+2b∴a+b≤2這與已知a+b>2矛盾所以，假設不成立，故中至少有一個小于2。已知a、b、c∈R，a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求證：a>0,b>0,c>0證明：不妨設a≤0，∵abc>0∴a<0,bc<0又∵ab+bc+ca>0∴ab+ca>-bc>0∴a(b+c)>0∵a<0∴b+c<0∴a+b+c<0這與已知a+b+c>0矛盾，所以a>0同理可證，b>0,c>0反證法一般常用于有下述特點的命題的證明：①結論本身以否定形式出現；②結論是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；③結論涉及“存在或不存在”，“有限或無限”等形式；④直接證法比較困難的命題例2.給定實數a，a≠0且a≠1，設函數y＝(其中x∈R且x≠)，證明：①.經過這個函數圖像上任意兩個不同點的直