第四章：幾何圖形初步重點題型復(fù)習(xí)（二）（解析版）

第四章：幾何圖形初步重點題型復(fù)習(xí)（二）題型十一線段中點的有關(guān)計算【例11】如圖，C、D是線段AB上兩點，M、N分別是線段AD、BC的中點，下列結(jié)論：①若AD=BM，則AB=3BD；②若AC=BD，則AM=BN；③AC?BD=2MC?DN；④2MN=AB?CNA．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【解析】解：如圖，∵M、N分別是線段AD、BC的中點，∴AM=MD=∵AD=∴AD=∴AD=∴AD=2∴AD+BD=2BD+∵AC=∴AD=∴12∴AM=BN，故∵AC?∴AC?故③符合題意；∵2MN=2MC∴2MN∵MD=12∴2MN===AB故④不符合題意，故選：A．【變式11-1】如圖，已知線段AB上有任意兩點C和D，AB=12，下列說法正確的是()

A．若CD=6，則DB=3B．若點C和點D是AB的三等分點，則CD=4C．取AB的中點E，則BE=D．若點M為AC中點，點N為BD中點，則MN=【答案】BCD【解析】解：A.∵CD=6∴AC+∴BD無法確定，∴A不正確，不符合題意；B.∵點C和點D是AB的三等分點，∴CD=∴B正確，符合題意；C.∵點E是AB的中點，∴BE=∴C正確，符合題意；D.∵點M為AC中點，點N為BD中點，∴MN=∴D正確，符合題意．故選：BCD．【變式11-2】如圖，M是線段AC的中點，N是線段BC的中點．（1）如果AC=8cm，BC=6cm，求（2）如果AM=5cm，CN=2cm，求線段【答案】（1）7cm（2）【解析】（1）解：（1）∵AC=8，BC∴AB=∵M是線段AC的中點，N是線段BC的中點，∴MN=∴MN的長為7cm（2）∵M是線段AC的中點，N是線段BC的中點，AM=5，CN∴AC=2AM=2×5=10∴AB=∴線段AB的長為14cm【變式11-3】如圖，直線l上有A、B兩點，AB=18cm，點O是線段AB上的點，OA=2OB（1）OA=_______cm，OB=_______（2）若點C是直線AB上一點，且滿足AC=CO+CB，求CO的長．【答案】（1）12；6（2）2cm或【解析】（1）解：∵AB=18，OA∴18=AB解得：OB=6∴OA=2∴OA=12cm，故答案為：12；6；（2）設(shè)CO的長是xcm①點C線段BA的延長線上時，則AC<與“AC=②當點C在線段AO上時，則AC=12?x，∵AC=∴12?x解得：x=2③當點C在線段OB上時，則AC=12+x，∵AC=∴12+x解得：x=?6④當點C在線段AB的延長線上時，則AC=12+x，∵AC=∴12+x解得：x=18綜上所述，CO的長為2cm或18【變式11-4】己知線段AB=15，P，Q是線段AB上的兩點（點P在點Q的左邊），且．PQ=5．（1）如圖1，若點C在線段AB上，且AC=12BC，當P為AC（2）如圖2，若M為線段AP的中點，N為線段BQ的中點．求線段MN的長．【答案】（1）BQ=7.5（2）【解析】（1）解：∵AC=1∴AC∵P為AC的中點，∴AP∴BQ=（2）解：∵AB∴AP+∵M為線段AP的中點，N為線段BQ∴AM=1∴AM∴MN=題型十二與線段有關(guān)的動點問題【例12】B是線段AD上一動點，沿A至D的方向以2cm/s的速度運動．C是線段BD的中點．AD=10cm．在運動過程中，若線段AB的中點為E．則EC的長是（A．2cm B．5cm C．2cm或【答案】B【解析】設(shè)運動時間為t，則AB=2t，BD=10-2t，∵C是線段BD的中點，E為線段AB的中點，∴EB=AB2=t，BC=BD∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm，故選：B．【變式12-1】如圖，線段AB的長為m，點C為AB上一動點（不與A，B重合），D為AC中點，E為BC中點，隨著點C的運動，線段DE的長度（

）A．隨之變化 B．不改變，且為2C．不改變，且為35m 【答案】D【解析】∵D為AC中點，E為BC中點，∴DC=12AC，CE=1∴DE=DC+CE=12AC+1=12=12【變式12-2】如圖，C是線段AB上一點，AB=20cm，BC=8cm，點P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B；點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向左運動，終點為A．已知P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設(shè)點（1）當P、Q兩點重合時，求t的值；（2）是否存在某一時刻，使得C、P、Q這三個點中，有一個點恰好是另外兩點所連線段的中點？若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）t=203（2）存在，滿足條件的【解析】（1）解：由題意可得：AP=2t，∴當P、Q重合時，2t解得：t=（2）解：由題意可得：AC=20?8=12①當點C是線段PQ的中點時，12?2t解得：t=4②當點P是線段CQ的中點時，22解得：t=③當點Q是線段PC的中點時，2解得：t=7綜上所述，滿足條件的t值為4或7或325【變式12-3】如圖，P是線段AB上一點，AB=18cm，C，D兩動點分別從點P，B同時出發(fā)沿射線BA向左運動，到達點A（1）若點C，D的速度分別是1cm/s，2①若2cm<AP<14cm，當動點C，D運動了2②若點C到達AP中點時，點D也剛好到達BP的中點，求AP:PB；（2）若動點C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點C，D在運動時，總有PD=3AC，求【答案】（1）①12cm；②1:2（2）【解析】（1）解：①由題意得：BD=2×2=4(cm)∴AC②點C到達AP中點時，點D也剛好到達BP的中點，設(shè)運動時間為t，則：AP=2PC=2∴AP（2）解：設(shè)運動時間為ts，則PC=t∴BD∵PD∴∴AP【變式12-4】如圖，已知長方形ABCD的長AB=x米，寬BC=y米，x，y滿足x?5+y?42=0，一動點P從A出發(fā)以每秒1米的速度沿著A→D→C→B運動，另一動點Q從B出發(fā)以每秒2米的速度沿B→C→D→A運動，P，（1）x=______________，y=______________．（2）當t=4.5時，求△APQ的面積；（3）當P，Q都在DC上，且PQ距離為1時，求t的值【答案】（1）5，4（2）S△APQ【解析】（1）解∶∵x?5∴x?5=0,∴x=5，y=4，故答案為：5，4；（2）解：當t=4.5時，P走過的路程為4.5米，此時點P在CD上，DP=0.5米，Q走過的路程為9米，剛好到達點D處，∴PQ=∴S△（3）解：點P在DC上，4≤t≤9，點Q在DC上，∴4≤t當P左Q右時，DP=t?4∴PQ=∴13?3t解得：t當Q左P右時，DP=t?4∴PQ=∴3t解得t=綜上，滿足題意的t=4題型十三兩點間的距離【例13】如圖，點C是線段AB上一點，D為BC的中點，且AB=12cm，BD=5cm．若點E在直線AB上，且AE=3cmA．4cm B．15cm C．3cm或15cm D．【答案】D【解析】解：∵D為BC的中點，BD=5∴BC=10cm，∵AB=12∴AC=2如圖1，當點E在點A右側(cè)，∵AE=3∴CE=1∴DE=如圖2，當點E在點A左側(cè)，∵AE=3∴DE=故DE的長為4cm或10故選：D．【變式13-1】已知點A、B、C在一條直線上，若線段AB=7，BC=5，則線段AC的長為【答案】2或12【解析】解：當點C在點B的右側(cè)時，如圖：

∵AB=7，BC∴AC當點C在點B的左側(cè)，如圖：

∵AB=7，BC∴AC故答案為：2或12．【變式13-2】如圖，點C、D、E在線段AB上，若點C是線段AB的中點，DE=5BE，CD:AB=3:8，CE=17，則AB=．【答案】48【解析】解：設(shè)BE=則DE=5∴BD∴CD∵CD∴AB∵點C是線段AB的中點，∴BC=1解得：x=7∴AB【變式13-3】在一條直線上順次取A、B、C三點，點O是線段AC的中點．（1）當AB=3cm，BC=2AB時，請你畫出圖形，并求出線段BO（2）當AB=3cm，BO=0.5cm時，線段BC的長為____________【答案】（1）圖形見解析，BO=1.5【解析】（1）解：∵AB=3cm∴∴AC∴AO∴（2）①如圖，當B在點O的左邊時，∴AO∴AC∴BC②如圖，當B在點O的右邊時，∴AO∴AC∴BC故答案為：4或2．【變式13-4】若C為直線AB上任一點，滿足AC=acm，CB=bcma>b，點M，N分別是AC，BC【答案】MN的長度為12a【解析】當點C在線段AB上時，因為AC=acm，點M是AC因為CB=bcm，點N是BC所以MN=當點C在線段AB的延長線上時，如圖，

則AC>因為M是AC的中點，所以CM=因為點N是BC的中點，所以CN=所以MN=綜上所述，MN的長度為12a+題型十四角的概念與分類【例14】下列各圖中有關(guān)角的表示正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】解：圖1中，角的頂點為A，應(yīng)表示為∠CAB圖3，射線和周角是兩個概念，射線不能表示周角；圖4表示正確．所以表示正確的個數(shù)為2．故選：B．【變式14-1】如圖所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有個，它們的度數(shù)之和是．【答案】10450°【解析】不大于90°的角有∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠EOA，∠DOC，∠DOB，∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA共10個；它們的度數(shù)之和是(∠EOD＋∠DOA)＋(∠EOC＋∠COA)＋(∠EOB＋∠BOA)＋[(∠DOC＋∠COB)＋∠DOB]＋∠EOA＝90°＋90°＋90°＋(45°＋45°)＋90°＝450°.故答案為10；450°.【變式14-2】下列說法中，正確的有個①小于90°的角是銳角；②等于90°的角是直角；③大于90°的角是鈍角；④平角等于180°；⑤周角等于360°．【答案】3【解析】①小于90°的角也可能是0°，不一定是銳角，原說法錯誤；②等于90°的角是直角，說法正確；③平角大于90°但不是鈍角，原說法錯誤；④平角等于180°，說法正確；⑤周角等于360°，說法正確，故正確的有3個.【變式14-3】如圖，以點O為端點引3條射線時，共有個角；以點O為端點引4條射線時，共有個角;??;以點O為端點引n條射線時，共有個角(用含n的代數(shù)式表示)．

【答案】36n【解析】解：以點O為端點引3條射線時，共有3個角；3=1+2；以點O為端點引4條射線時，共有6個角；6=1+2+3；以點O為端點引5條射線時，共有個10角；10=1+2+3+4；……以點O為端點引n條射線時，共有1+2+3+?+n故答案為：3，6，nn【變式14-4】完成以下各題．（1）寫出圖中能用一個字母表示的角；（2）寫出圖中以A為頂點的角；（3）圖中共有幾個角？【答案】（1）能用一個字母表示的角有2個：∠B，（2）以A為頂點的角有6個：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC（3）圖中所有的角有11個：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，題型十五鐘面角和方向角【例15】觀察站測得一輪船在北偏東35°20'，則在輪船上看觀察站的方位是（A．南偏東54°40' B．南偏西C．南偏東35°20' 【答案】B【解析】一輪船在北偏東35°20'方向，則在輪船上看觀察站的方向是南偏西【變式15-1】甲從O點出發(fā)，沿北偏西30°走了50米到達A點，乙從O點出發(fā)，沿南偏東35°方向走了80米到達B點，則∠AOB為（

）A．65° B．115° C．175° D．185°【答案】C【解析】解：如圖所示，

∵甲從O點出發(fā)，沿北偏西30°走了50米到達A點，乙從O點出發(fā)，沿南偏東35°方向走了80米到達B點，∴∠AON∴∠NOB∴∠AOB【變式15-2】如圖，A點在B點的北偏東40°方向，C點在B點的北偏東75°方向，A點在C點的北偏西50°方向，則∠BAC的度數(shù)是（

）A．85° B．80° C．90° D．95°【答案】C【解析】∵∠DBA＝40°，∠DBC＝75°，∴∠ABC＝∠DBC?∠DBA＝75°?40°＝35°，∵DB∥EC，∴∠DBC＋∠ECB＝180°，∴∠ECB＝180°?∠DBC＝180°?75°＝105°，∴∠ACB＝∠ECB?∠ACE＝105°?50°＝55°，∴∠BAC＝180°?∠ACB?∠ABC＝180°?55°?35°＝90°．【變式15-3】小明下午5點時放學(xué)回到家后立即寫作業(yè)，作業(yè)完成后是5時40分，此時時針與分針較小的夾角是()度．【答案】70【解析】解：如圖，時針ON，分針OA，時鐘中心O，時刻5點對應(yīng)的點I，連接OI，則∠NOI=360°×1∴∠AON

【變式15-4】剛上初中的小明為了更加高效的完成作業(yè)，進行限時訓(xùn)練，特意去商店買了一塊機械手表，愛鉆研的小明發(fā)現(xiàn)了手表上的數(shù)學(xué)問題，當小明看時間是8:30時，（1）8:30時分針和時針的夾角為____________度；（2）經(jīng)過多長時間，時針與分針第一次相遇？（列一元一次方程解題）【答案】（1）75（2）15011【解析】（1）解：∵分針每分鐘走過的度數(shù)為360°÷60=6°，時針每分鐘走過的度數(shù)為360°÷12÷60=0.5°，∴時針從8:00?8:30，30分鐘走過的角度為0.5×30=15°，∴8:30時分針和時針的夾角為15°+30°×2=75°，故答案為：75；（2）設(shè)經(jīng)過x分鐘，時針和分針第一次相遇，由題意，得：0.5x解得：x=答：經(jīng)過15011題型十六角的單位與角度制【例16】34.37°=34°'【答案】2212【解析】解：0.37×60=22.2，0.2×60=12，34.37°=34°22【變式16-1】（1）計算：24°24'（2）鐘表上的時間是3時30分，此時時針與分針所成的夾角是度．【答案】24.4°75【解析】（1）解：∵1'∴24∴24°24（2）解：∵一個圓為360°，有12個大格，∴一個大格為360°÷12=30°，一個圓有60個小格，∴一個小格為：360°÷60=6°，∴3時30分夾角為：30°×2+2.5×6°=60°+15°=75°．【變式16-2】36.33°用度、分、秒表示正確的是（

）A．36°19'48″ B．36°18【答案】A【解析】解：36.33°=36°19【變式16-3】1500'=A．15° B．25° C．150° D．250°【答案】B【解析】解：1500【變式16-4】（1）1周角=平角=直角；（2）1°=′=″；（3）1.25°=′，5400″=【答案】24603600751.5【解析】解：（1）1周角=2平角=4直角；（2）1°=60（3）1.25°=75'，題型十七角的大小比較【例17】若∠1=60.5°，∠2=60°50'，則∠1∠2．（填“>”、“<”或“【答案】<【解析】解：∵∠1=60.5°=60°30'，∠2=60°50'【變式17-1】已知∠1=17°18'，∠2=17.18°，∠3=17.3°，下列說法正確的是（A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠2=∠3【答案】B【解析】解：∵1°=60∴18∴∠1=17°18∵∠2=17.18°，∠3=17.3°，∴∠1=∠3≠∠2，故選：B．【變式17-2】若∠A=20°18',∠B=20°1A．∠A>∠B>∠C B．∠B>∠A>∠C C．∠A>∠C>∠B D．∠C>∠A>∠B【答案】A【解析】∠∵20°18∴∠A【變式17-3】如圖∠AOB:∠BOC=1:4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC=3:1，若（1）∠AOB∠NOC（填“＞”或“＜”或“=”）；（2）求∠AOC的度數(shù)．【答案】（1）=（2）130°【解析】（1）∵∠∴設(shè)∠AOB=2x∵OM平分∠AOB，∠∴∠AOM=∠BOM=x∴∠AOB=∠NOC（2）∵∠∴∠NOM∴x=13°∴∠∴∠AOC的度數(shù)為130°【變式17-4】如圖，將兩塊直角三角板的直角頂點C疊放在一起．（1）比較大?。骸螦CE____∠BCD；（填“＞”“＝”或“＜”）（2）若∠DCE=40°，求∠ACB的度數(shù)；（3）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）＝（2）140°（3）∠ACB【解析】（1）解：∵∠ACD∴∠ACD∴∠（2）解：∵∠DCE∴∠ACE∴∠ACB（3）解：∠ACB理由如下：∵∠ACD∴∠ACD∴∠ACB題型十八角度計算問題【例18】如圖1，一副三角板的兩個直角重疊在一起，∠A=30°，∠C=45°．△COD固定不動，△AOB繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)α°0°<α<180°，若△AOB繞著O點旋轉(zhuǎn)圖2的位置，若∠BOD=60°，則∠AOC的度數(shù)為（

A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】B【解析】解：根據(jù)題意得：∠AOB∵∠BOD∴∠AOD∴∠AOC【變式18-1】如圖所示，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，則α、β、γ三個角的數(shù)量關(guān)系為（

）

A．α+β+γ=90° B．α+β?γ=90°C．α?β+γ=90° D．α+2β?γ=90°【答案】C【解析】解：如圖：

∵∠DOE∴∠BOD∵∠BOC又∵β∴β∴α【變式18-2】如圖，已知∠AOB=12∠BOC，∠COD=∠AOD=3∠AOB，則

【答案】120°【解析】解：設(shè)∠AOB∵∠AOB=1∴∠BOC=2x∵∠AOB∴x解得：x=40∴∠COD【變式18-3】一束光在空氣與某透明物質(zhì)的界面處發(fā)生了反射和折射現(xiàn)象，其光路如圖所示．入射光線AO與界面的入射角為50°，折射角為70°，則反射光線與折射光線形成的∠BOC=．【答案】120°【解析】解：過點O作法線MN，得到MN⊥界面，由圖可知AO是入射光線，BO是反射光線，OC是折射光線，∵MN⊥界面，∴50°+∠AOM=90°，得到∵入射角等于反射角，∴∠AOM∴BO與界面的夾角是50°，∴∠BOC故∠BOC【變式18-4】計算：（1）48°39（2）180°?21°17（3）31°37（4）152°40【答案】（1）116°10'（2）158°43'【解析】（1）解：48°39（2）解：180°?21°17（3）解：31°37（4）解：152°40題型十九角平分線的有關(guān)計算【例19】已知∠AOB=90°，∠BOC=26°，OM為∠AOC的平分線，則∠AOM的度數(shù)為．【答案】58°或32°【解析】解：如圖所示，當OC在∠AOB

∠AOC∵OM為∠AOC∴∠AOM當OC在∠AOB

∠∵OM為∠AOC∴∠AOM綜上所述，∠AOM的度數(shù)為58°或32°故答案為：58°或32°．【變式19-1】如圖，射線OB、OC為銳角∠AOD的三等分線，若圖中所有銳角度數(shù)之和為200°，則∠AOD的度數(shù)為．【答案】60°【解析】解：∵OB、OC為銳角∠AOD的三等分線，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD，設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度數(shù)為x，∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝x＋x＋x＋2x＋3x＋2x＝10x＝200°，∴x＝20°，∴∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3x＝60°，故答案為：60°．【變式19-2】已知∠AOB=α，過點O任作一射線OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，（1）如圖，當OC在∠AOB內(nèi)部時，試探尋∠MON與α的關(guān)系；（2）當OC在∠AOB外部時，其它條件不變，上述關(guān)系是否成立？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．【答案】（1）12α（2）12【解析】（1）解：∵OM平分∠AOC，∴∠NOC=1∵∠CON∴∠MON（2）如圖所示：∵OM平分∠AOC，∴∠MOC=1∵∠MON∴∠===1如圖所示，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=1∴∠===1如圖所示，當OM,ON在∠【變式19-3】如圖，O在直線AB上，射線OD平分∠AOC，射線OE在∠BOC內(nèi)．

（1）若∠DOE=90°，求證：射線OE是∠BOC的平分線；（2）若∠COE=13∠EOB，∠DOE=48°【答案】（1）見解析（2）126°【解析】（1）證明：∵∠DOE∴∠DOC∵∠AOB∴∠DOA∵射線OD平分∠AOC∴∠DOA∴∠DOC∴∠COE∴射線OE是∠BOC（2）解：∵∠COE∴設(shè)∠COE=x∵∠DOE∴∠DOC∵射線OD平分∠AOC∴∠AOC∵∠AOC∴2(48°?x解得x=42°∴∠EOB【變式19-4】已知∠AOB=120°，在∠AOB內(nèi)部作射線OC，使得（1）如圖，在∠BOC內(nèi)部作射線ON，使得∠BON=3∠CON；作射線OM平分∠AOC，求∠MON的度數(shù)；（2）如果過點O作射線OD，使得2∠AOD=3∠BOD，則∠COD的度數(shù)為______．（不需寫演推過程）【答案】（1）∠MON=40°（2）32°【解析】（1）解：∵∠AOB=∠AOC∴∠AOC∵∠BOC=∠BON∴∠CON∵OM平分∠AOC∴∠COM∴∠MON（2）分類討論：①如圖，當OD在∠AOB設(shè)∠BOD∵2∠AOD∴∠AOD∵∠BOD∴x°+解得：x=48∴∠BOD∵∠BOC∴∠COD②如圖，當OD在∠AOB設(shè)∠BOD=y∵∠BOD∴y°+解得：y=96∴∠BOD∴∠COD故答案為：32°或176°