2021-2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題，共24分）1．（2分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60°，則∠F＝．2．（2分）等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于度．3．（2分）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，AB＝DE，∠A＝∠D，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使得△ABC≌△DEF．4．（2分）在等腰三角形ABC中，它的頂角是80°，則它的底角為．5．（2分）直角三角形的兩直角邊長分別為6和8，則斜邊中線的長是．6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，CD＝6，則AB＝．7．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝45°，則∠C＝．8．（2分）如圖，以直角三角形三邊向外作正方形，其中兩個(gè)正方形的面積為50和20，則正方形A的面積等于．9．（2分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，則D到AB的距離為cm．10．（2分）10、如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交DE于點(diǎn)F，G，若BE＝5，DC＝7，DE＝9，則FG＝．11．（2分）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格選出一個(gè)也涂成黑色，與原來3個(gè)黑色方格組成的圖形成為軸對(duì)稱圖形，則符合要求的白色小正方形有．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上，且BD＝BA，點(diǎn)E在BC的延長線上，且CE＝CA，則∠DAE＝．二、選擇題（本大題共6小題，共18分）13．（3分）下面四個(gè)手機(jī)的圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．14．（3分）下列四組數(shù)，可作為直角三角形三邊長的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm15．（3分）三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)為O，則點(diǎn)O（）A．到三邊距離相等 B．到三頂點(diǎn)距離相等 C．不在第三邊的垂直平分線上 D．以上都不對(duì)16．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂線DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，則△BCD的周長為（）A．16 B．20 C．21 D．2417．（3分）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CD的長為（）A．1cm B．cm C．1.5cm D．cm18．（3分）將斜邊相等的兩塊三角形如圖放置，其中含45°角的三角板ABC的斜邊與含30°的三角板ADC的斜邊重合，B、D位于AC的兩側(cè)，若S四邊形ABCD＝8，連接BD．則BD的長為（）A．2 B．4 C．8 D．16三、解答題（本大題共10小題，共78分）19．（6分）已知：如圖，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求證：AE＝CF．20．（6分）已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，點(diǎn)E在AD上，求證：EB＝EC．21．（7分）如圖，有一塊四邊形的綠地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．（1）判斷△ACD的形狀；（2）求這塊綠地ABCD的面積．22．（7分）（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）△ABC的面積為；（3）在直線l上找一點(diǎn)P（在答題紙的圖中標(biāo)出點(diǎn)P），使PB+PC的長最短．23．（8分）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．已知△ADE的周長為13cm．（1）求線段BC；（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為27cm，則OA的長為cm．24．（8分）已知：如圖，線段AC和射線AB有公共端點(diǎn)A．（1）①在射線AB取一點(diǎn)P，使△APC是以AC為底邊的等腰三角形；②過P作射線PD，使PD∥AC；（以上按要求尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）（2）若∠BPD＝40°，則∠ACP＝°．25．（8分）已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．（1）求證：BE＝DF；（2）探究線段AB、AD、AF三者之間的數(shù)量關(guān)系；（3）若△ABC的面積是23，△ADC的面積是18，則△BEC的面積等于．26．（8分）點(diǎn)P，Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）連接AQ，CP交于點(diǎn)M，則在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；（2）連接PQ．①當(dāng)△BPQ為等邊三角形時(shí)，t＝秒；②當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，t＝秒．（直接寫出結(jié)果）27．（10分）數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、高、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．【知識(shí)理解】（1）勾股定理是數(shù)學(xué)中重要的定理．請(qǐng)從圖1、圖2中選擇一個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，要求寫出驗(yàn)證過程；【知識(shí)運(yùn)用】（2）在△ABC中（如圖4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面積．（3）如圖3是棱長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊，用不同方法計(jì)算這個(gè)正方體體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式為．【知識(shí)拓展】（4）如圖5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別AC、BC、AB為直角邊作三個(gè)等腰直角三角形，若圖中S1＝6，S2＝3，S3＝5，則S4＝．28．（10分）【問題情景】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，其依據(jù)是，請(qǐng)選擇正確的一項(xiàng)．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．【初步運(yùn)用】（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB，AD，DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【靈活運(yùn)用】（4）如圖3，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝BF，若EF＝5，EC＝3，求線段BF的長；【拓展延伸】（5）如圖4，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB＝AC，下列四個(gè)選項(xiàng)中：A．∠ACD＝∠BCDB．CE＝2CDC．∠BCD＝∠BCED．CD＝CB所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是．

2021-2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12小題，共24分）1．（2分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60°，則∠F＝20°．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∴∠D＝∠A＝100°，∵∠E＝60°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝20°，故答案為：20°．2．（2分）等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60度．【解答】解：等邊三角形各邊長相等，∴∠A＝∠B＝∠C，∵三角形內(nèi)角和為180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．故答案為：60．3．（2分）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，AB＝DE，∠A＝∠D，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：AC＝DF（答案不唯一），使得△ABC≌△DEF．【解答】解：添加的條件是AC＝DF，理由是：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案為：AC＝DF（答案不唯一）．4．（2分）在等腰三角形ABC中，它的頂角是80°，則它的底角為50°．【解答】解：根據(jù)等腰三角形兩底角相等，底角為：（180°﹣80°）÷2＝50°故答案為：50°．5．（2分）直角三角形的兩直角邊長分別為6和8，則斜邊中線的長是5．【解答】解：已知直角三角形的兩直角邊為6、8，則斜邊長為＝10，故斜邊的中線長為×10＝5，故答案為5．6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，CD＝6，則AB＝12．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，CD＝6，則AB＝2CD＝2×6＝12，故答案為：12．7．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝45°，則∠C＝45°．【解答】解：∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD是∠BAC的平分線，∠B＝∠C，∵∠BAD＝45°，∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝∠B＝（180°﹣90°）＝45°．故答案為：45°．8．（2分）如圖，以直角三角形三邊向外作正方形，其中兩個(gè)正方形的面積為50和20，則正方形A的面積等于30．【解答】解：如圖，∵∠CBD＝90°，CD2＝50，BD2＝20，∴BC2＝CD2﹣BD2＝50﹣20＝30，∴正方形A的面積為30，故答案為：30．9．（2分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，則D到AB的距離為5cm．【解答】解：過D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD，∵BD：DC＝2：1，BC＝15cm，∴CD＝5cm，∴DE＝CD＝5cm，即點(diǎn)D到AB的距離是5cm，故答案為：5．10．（2分）10、如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交DE于點(diǎn)F，G，若BE＝5，DC＝7，DE＝9，則FG＝3．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EFB＝∠FBC，∠DGC＝∠GCB，∵∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)F、G，∴∠FBC＝∠FBE，∠GCB＝∠GCD，∴∠EFB＝∠EBF，∠DCG＝∠DGC，∴BE＝EF，CD＝DG，∵若BE＝5，DC＝7，DE＝9，∴EB+CD＝EF+DG＝EG+FG+FG+DF＝ED+FG，即5+7＝9+FG，∴FG＝3，故答案為：3．11．（2分）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格選出一個(gè)也涂成黑色，與原來3個(gè)黑色方格組成的圖形成為軸對(duì)稱圖形，則符合要求的白色小正方形有4．【解答】解：如圖所示：，共4個(gè)，故答案為：4．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上，且BD＝BA，點(diǎn)E在BC的延長線上，且CE＝CA，則∠DAE＝45°．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝×45°＝22.5°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠E，＝67.5°﹣22.5°，＝45°．二、選擇題（本大題共6小題，共18分）13．（3分）下面四個(gè)手機(jī)的圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選不項(xiàng)符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選不項(xiàng)符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選不項(xiàng)符合題意；故選：A．14．（3分）下列四組數(shù)，可作為直角三角形三邊長的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm【解答】解：A、∵52+42≠62，∴此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、12+22≠32，∴此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵22+32≠42，∴此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵122+52＝132，∴此組數(shù)據(jù)能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)正確．故選：D．15．（3分）三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)為O，則點(diǎn)O（）A．到三邊距離相等 B．到三頂點(diǎn)距離相等 C．不在第三邊的垂直平分線上 D．以上都不對(duì)【解答】解：如圖：連接OA、OB、OC，∵O為△ABC兩邊BC、AC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OB＝OC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴O也在AB的垂直平分線上，且O到△ABC三頂點(diǎn)的距離相等，三角形的三角的平分線的交點(diǎn)到三角形的三邊距離相等，即選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤，只有選項(xiàng)B正確；故選：B．16．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂線DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，則△BCD的周長為（）A．16 B．20 C．21 D．24【解答】解：∵AB＝15，BC＝9，∴AC＝＝＝12，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴AD+CD＝BD+CD，即BD+CD＝AC，∴△BCD的周長為CD+BD+BC＝AC+BC＝12+9＝21．故選：C．17．（3分）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CD的長為（）A．1cm B．cm C．1.5cm D．cm【解答】解：∵∠ACD＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝＝4（cm），∵△ADE是由△ABD沿AD折疊而得到的，∴AE＝AB＝4cm，DE＝DB，∴CE＝AE﹣AC＝5﹣4＝1（cm），設(shè)CD＝xcm，則DB＝DE＝（3﹣x）cm，在Rt△DCE中，∴CD2+CE2＝DE2，∴x2+1＝（3﹣x）2，∴x＝，故選：B．18．（3分）將斜邊相等的兩塊三角形如圖放置，其中含45°角的三角板ABC的斜邊與含30°的三角板ADC的斜邊重合，B、D位于AC的兩側(cè)，若S四邊形ABCD＝8，連接BD．則BD的長為（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BAE，可知，BE＝BD，∠BCD＝∠BAE，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠BAE+∠BAD＝180°，∴D，A，E在一條直線上，∴△DBE是等腰直角三角形，面積等于四邊形ABCD的面積，即，可得：，解得：BD＝4，故選：B．三、解答題（本大題共10小題，共78分）19．（6分）已知：如圖，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求證：AE＝CF．【解答】證明：在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE，∴AE+EF＝EF+CF，∴AE＝CF．20．（6分）已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，點(diǎn)E在AD上，求證：EB＝EC．【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∵點(diǎn)E在AD上，∴EB＝EC．21．（7分）如圖，有一塊四邊形的綠地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．（1）判斷△ACD的形狀；（2）求這塊綠地ABCD的面積．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，在直角△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5（m），∵52+122＝132，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形；（2）∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD，∴S四邊形ABCD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36（m2），答：該綠地ABCD的面積為36m2．22．（7分）（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）△ABC的面積為；（3）在直線l上找一點(diǎn)P（在答題紙的圖中標(biāo)出點(diǎn)P），使PB+PC的長最短．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（2）△ABC的面積為3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4＝，故答案為：；（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．23．（8分）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．已知△ADE的周長為13cm．（1）求線段BC；（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為27cm，則OA的長為7cm．【解答】解：（1）∵OM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周長13，∴AD+DE+EA＝13，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13（cm）；（2）連接OB，OC，∵△OBC的周長為27，∴OB+OC+BC＝27，∵BC＝13，∴OB+OC＝14，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝7（cm），故答案為：7．24．（8分）已知：如圖，線段AC和射線AB有公共端點(diǎn)A．（1）①在射線AB取一點(diǎn)P，使△APC是以AC為底邊的等腰三角形；②過P作射線PD，使PD∥AC；（以上按要求尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）（2）若∠BPD＝40°，則∠ACP＝40°．【解答】解：（1）①如圖，點(diǎn)P即為所求；②射線PD即為所求；（2）∵PD∥AC，∴∠BPD＝∠A＝40°，∵PA＝PC，∴∠ACP＝∠A＝40°，故答案為：40．25．（8分）已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．（1）求證：BE＝DF；（2）探究線段AB、AD、AF三者之間的數(shù)量關(guān)系；（3）若△ABC的面積是23，△ADC的面積是18，則△BEC的面積等于2.5．【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE＝CF，∠CEB＝∠F＝90°，∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠B＝∠CDF，在Rt△BCE與Rt△DCF中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），∴BE＝DF；（2）AB+AD＝2AF，證明：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，∴DF＝BE，CE＝CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，在Rt△ACE與Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF＝AE，∴AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，∴AB+AD＝2AF；（3）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，∴S△BCE＝S△DCF，設(shè)△BEC的面積為x，∵△ABC的面積是23，△ADC面積是18，∴23﹣x＝18+x，∴x＝（23﹣18）＝2.5．即△BEC的面積等于2.5，故答案為：2.5．26．（8分）點(diǎn)P，Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）連接AQ，CP交于點(diǎn)M，則在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；（2）連接PQ．①當(dāng)△BPQ為等邊三角形時(shí)，t＝2秒；②當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，t＝或秒．（直接寫出結(jié)果）【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠PAC＝60°，∵點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，∴AP＝BQ，在△APC和△BQA中，，∴△APC≌△BQA（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠CAQ+∠ACP＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°，∴在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ＝60°；（2）①∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則AP＝BQ＝t，∴PB＝4﹣t，∵△BPQ為等邊三角形，∴BP＝BQ，∴4﹣t＝t，∴t＝2，故答案為：2；②∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP＝BQ＝t，∴PB＝4﹣t，當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，∴4﹣t＝2t，解得t＝，當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴BQ＝2PB，∴t＝2（4﹣t），解得t＝，∴當(dāng)t為秒或秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．故答案為：或．27．（10分）數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、高、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．【知識(shí)理解】（1）勾股定理是數(shù)學(xué)中重要的定理．請(qǐng)從圖1、圖2中選擇一個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，要求寫出驗(yàn)證過程；【知識(shí)運(yùn)用】（2）在△ABC中（如圖4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面積．（3）如圖3是棱長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊，用不同方法計(jì)算這個(gè)正方體體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式為（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．【知識(shí)拓展】（4）如圖5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別AC、BC、AB為直角邊作三個(gè)等腰直角三角形，若圖中S1＝6，S2＝3，S3＝5，則S4＝2．【解答】解：（1）如圖1中，∵S正方形ABCD＝4×S△ABE+S正方形EFGH，∴c2＝4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2．如圖2中，∵S四邊形ABCD＝2×S△ABE+S△AED，∴（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．（2）如圖4中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．設(shè)BH＝x．∵AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，∴BH＝5，AH＝＝12，∴S△ABC＝?BC?AH＝×14×12＝84．（3）方法一可表示為：（a+b）3；方法二可表示為：a3+3a2b+3ab2+b3．∴等式為：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．故答案為：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．（4）如圖4中，∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，設(shè)AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，∵a2+b2＝c2，∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，∴S4＝3+5﹣6＝2，故答案為：2．28．（10分）【問題情景】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，若AB＝