結(jié)構(gòu)力學(xué)（下） 課件 17 結(jié)構(gòu)的極限荷載

17結(jié)構(gòu)的極限荷載1§17.1極限荷載的概述此前主要討論結(jié)構(gòu)的彈性分析：假定應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的；荷載卸去后，結(jié)構(gòu)無(wú)任何殘余變形；應(yīng)力達(dá)到材料的極限應(yīng)力即認(rèn)為結(jié)構(gòu)將破壞；正常使用條件下彈性計(jì)算能給出足夠準(zhǔn)確的結(jié)果；以彈性極限作為設(shè)計(jì)依據(jù)的設(shè)計(jì)方法稱彈性設(shè)計(jì)法。2彈性設(shè)計(jì)法有一定的缺陷：對(duì)塑性材料的結(jié)構(gòu)，特別是超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)最大應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，甚至某些截面進(jìn)入屈服時(shí)，并沒(méi)有耗盡全部承載能力；以個(gè)別截面的局部應(yīng)力來(lái)衡量整個(gè)結(jié)構(gòu)的承載能力不經(jīng)濟(jì)合理；安全系數(shù)k也不能反映整個(gè)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度儲(chǔ)備。3為彌補(bǔ)彈性設(shè)計(jì)法的不足，進(jìn)一步挖掘結(jié)構(gòu)的承載能力，給達(dá)到彈性極限的結(jié)構(gòu)繼續(xù)施加同樣形式的荷載，直至結(jié)構(gòu)破壞。結(jié)構(gòu)所能夠承擔(dān)的最大荷載叫作極限荷載；結(jié)構(gòu)即將達(dá)到破壞時(shí)的狀態(tài)稱作極限狀態(tài)；按極限狀態(tài)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的方法稱塑性設(shè)計(jì)法。結(jié)構(gòu)的塑性分析彈性設(shè)計(jì)時(shí)的強(qiáng)度條件：塑性設(shè)計(jì)時(shí)的荷載條件：4理想彈塑性材料假設(shè)：OACBD在OA段線性，滿足在C點(diǎn)卸載，滿足在AB段應(yīng)力達(dá)到屈服，材料進(jìn)入塑性流動(dòng)；加載時(shí)是彈塑性，卸載時(shí)是彈性。經(jīng)歷塑性變形后，應(yīng)力～應(yīng)變關(guān)系不再是單值關(guān)系5滿足理想彈塑性的梁段，在純彎曲狀態(tài)下分析σ中性軸§17.2基本概念

ε中性軸6隨著彎矩的增大，梁會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由彈性階段到彈塑性階段最后達(dá)到塑性流動(dòng)階段的過(guò)程當(dāng)截面達(dá)到彈性極限狀態(tài)外力偶繼續(xù)增大以后，截面上的應(yīng)變分布仍與截面高度呈線性關(guān)系，即平截面假定仍然適用。但截面上的應(yīng)力分布不再與截面高度保持線性關(guān)系。7彈性階段結(jié)束的標(biāo)志是最外纖維某處應(yīng)力達(dá)到屈服極限應(yīng)力σs

，此時(shí)的彎矩稱屈服彎矩

Ms。W彈性抗彎截面系數(shù)彈塑性階段截面上既有塑性區(qū)又有彈性區(qū)（彈性核

y0）。隨彎矩增大，彈性核逐漸減小。yy0y8塑性流動(dòng)階段

彈性核趨于零時(shí)，整個(gè)截面都屈服，此時(shí)截面所能承受的最大彎矩稱極限彎矩Mu

：中性軸等分截面面積Wu塑性抗彎截面系數(shù)9截面形狀系數(shù)矩形

=1.5

圓形

1.7

工字形

1.15

極限彎矩Mu只與材料的物理性質(zhì)和截面幾何形狀、尺寸有關(guān),與外力無(wú)關(guān)何種截面強(qiáng)度儲(chǔ)備較多？10塑性流動(dòng)階段一個(gè)重要現(xiàn)象：在極限彎矩保持不變的情況下，兩個(gè)無(wú)限靠近的相鄰截面可產(chǎn)生有限的相對(duì)轉(zhuǎn)角（類似帶鉸的截面）稱此截面為塑性鉸。塑性鉸特性：塑性鉸與普通鉸的差別：

1.塑性鉸可承受極限彎矩～普通鉸不承擔(dān)彎矩;

2.塑性鉸是單向的～普通鉸是多向鉸;

3.塑性鉸卸載時(shí)消失～普通鉸與荷載無(wú)關(guān);

4.塑性鉸隨荷載分布可出現(xiàn)于不同截面～普通鉸位置固定.塑性鉸只能沿極限彎矩方向發(fā)生有限轉(zhuǎn)角；截面彎矩一旦小于極限彎矩(卸載)，塑性鉸即消失。11對(duì)只有一個(gè)對(duì)稱軸的截面：

形心軸等面積軸在彈性階段，應(yīng)力直線分布，中性軸通過(guò)截面形心；彈性極限和塑性極限之間的彈塑性階段，中性軸界于截面的形心軸和等面積軸之間。

中性軸在彈塑性階段，隨彎矩增大中性軸的位置發(fā)生變化；在塑性流動(dòng)階段，中性軸平分截面面積。12例題：已知材料的屈服極限σs

=240MPa，求圖示截面的極限彎矩。100mm20mm解:A1形心距離下端0.045m,A2形心距離上端0.01167m,A1與A2的形心距離為0.0633m.13歷程：加載初期→彈性極限荷載→塑性區(qū)擴(kuò)大→形成塑性鉸（機(jī)構(gòu)）→極限荷載

§17.3靜定梁的極限荷載

出現(xiàn)一個(gè)塑性鉸即成為破壞機(jī)構(gòu)。這時(shí)結(jié)構(gòu)上的荷載即為極限荷載FPu。塑性鉸出現(xiàn)的位置？如何確定極限荷載？FPl/2l/2ABC（取截面彎矩與極限彎矩之比大者）（截面彎矩等于極限彎矩，平衡條件）14FPl/2l/2ABC也可通過(guò)建立極限狀態(tài)的虛功方程求出極限荷載。由虛功方程FPu當(dāng)把截面C的極限彎矩考慮成內(nèi)力矩時(shí)：平衡狀態(tài)虛位移狀態(tài)15FPl/2l/2ABC也可通過(guò)建立極限狀態(tài)的虛功方程求出極限荷載。由虛功方程FPu當(dāng)把截面C的極限彎矩考慮成外力矩時(shí)：平衡狀態(tài)虛位移狀態(tài)16超靜定梁的破壞過(guò)程和極限荷載的特點(diǎn)靜定梁只要出現(xiàn)一個(gè)塑性鉸就變?yōu)闄C(jī)構(gòu)而喪失繼續(xù)承載能力；超靜定梁由于有多余約束，必須出現(xiàn)足夠多的塑性鉸才能使其變成機(jī)構(gòu)而喪失繼續(xù)承載能力。§17.4單跨超靜定梁的極限荷載

17彈塑性階段，隨荷載增加，A截面塑性區(qū)不斷增大，彎矩圖的變化不再與彈性彎矩圖成比例，A截面逐漸形成塑性鉸。FPl/2l/2ABCFP<FPsABCFPs

<

FP<

FPuABCFP=

FPuABC此時(shí)結(jié)構(gòu)尚有進(jìn)一步承載能力。隨荷載增加，A截面彎矩不再增加。荷載增量引起的彎矩增量分布類似于簡(jiǎn)支粱的彎矩圖。C截面彎矩逐漸增大，當(dāng)C截面彎矩增大到極限彎矩時(shí)，形成第二個(gè)塑性鉸，結(jié)構(gòu)變成機(jī)構(gòu)，梁的承載能力達(dá)到極限。18A截面先出現(xiàn)塑性鉸，這時(shí)再增加荷載使C截面出現(xiàn)塑性鉸將FP代入，得逐漸加載法（增量法）19根據(jù)極限狀態(tài)的彎矩圖，由靜力平衡方程推算極限荷載，而不必考慮梁的彈塑性變形的發(fā)展過(guò)程.破壞機(jī)構(gòu)法FP=

FPuAB極限平衡法FP=

FPuABC20例題：試求圖示結(jié)構(gòu)的極限荷載qu

解：qABABq①首先求當(dāng)出現(xiàn)第一個(gè)塑性鉸時(shí)支座B的約束反力FRB由梁的彎矩圖可知：第一個(gè)塑性鉸必出現(xiàn)在固定支座處；21第二個(gè)塑性鉸位置待定，由彎矩圖知道，應(yīng)在梁中某處，設(shè)距支座A為x

處。梁x處的彎矩應(yīng)最大,達(dá)到極限彎矩，對(duì)應(yīng)剪力為零。②③qAB①22由①③解得⑥④⑤由②③④解得由④⑥解得不合題意，舍棄23超靜定結(jié)構(gòu)極限荷載計(jì)算特點(diǎn)：③極限荷載的計(jì)算不受溫度變化、支座移動(dòng)等因素的影響。它們只影響位移演變過(guò)程。①

無(wú)需考慮結(jié)構(gòu)彈塑性變形的發(fā)展過(guò)程，只需考慮最后的破壞機(jī)構(gòu)；②

無(wú)需考慮變形協(xié)調(diào)，只需考慮靜力平衡條件；24例題：求變截面梁的極限荷載可能出現(xiàn)塑性鉸的位置（A、B、C）。即塑性鉸可能出現(xiàn)的位置除彎矩較大點(diǎn)外，還與截面突變位置及極限彎矩的比值η有關(guān)。ABCFPl/3l/3l/3D解：首先繪制彎矩圖25破壞機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的條件：（1）B、C點(diǎn)出現(xiàn)塑性鉸則：FPMuMuMuMuABCDABCFPD26破壞機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的條件：（2）A、C點(diǎn)出現(xiàn)塑性鉸則：（3）A、B、C點(diǎn)出現(xiàn)塑性鉸則：FPABCDABCFPD27由上述分析可見(jiàn):當(dāng)η≥3時(shí)，塑性鉸出現(xiàn)在B、C截面；當(dāng)1≤η<3時(shí)，塑性鉸出現(xiàn)在A、C截面；預(yù)計(jì)當(dāng)η≤

1時(shí)，塑性鉸出現(xiàn)在A、B截面。28例題：求圖示變截面梁的極限荷載(η=2)

解：確定塑性鉸的位置：ABCFPl/3l/3l/3D由于η=2，根據(jù)前面的討論，塑性鉸只能在A、C截面出現(xiàn)。列虛功方程ABCFPDABCD當(dāng)η

＝1時(shí)，將如何？

η＝1/2時(shí)又當(dāng)如何？29比例加載的含義：求極限荷載相當(dāng)于求比例參數(shù)P的極限值FP1FP3q2§5比例加載一般定理1.所有荷載變化時(shí)保持同一比例；2.只是單調(diào)增大,不出現(xiàn)卸載過(guò)程。30結(jié)構(gòu)的極限受力狀態(tài)應(yīng)滿足的條件：兩個(gè)定義：1.可破壞荷載，由單向機(jī)構(gòu)求得的荷載;

2.可接受荷載，內(nèi)力皆不超過(guò)極限彎矩的荷載.

所以滿足1，3條件；滿足1，2條件。

極限荷載既是可破壞荷載又是可接受荷載⒈平衡條件：整體、局部皆平衡；⒉內(nèi)力局限：各截面彎矩不大于其極限彎矩；⒊單向機(jī)構(gòu)：機(jī)構(gòu)沿荷載方向做單向運(yùn)動(dòng)。31基本定理：

唯一定理(單值定理)：

FPu

是唯一的

上限定理(極小定理)：

下限定理(極大定理)：

比例加載時(shí)關(guān)于極限荷載的四個(gè)定理：可破壞荷載：不一定滿足內(nèi)力局限條件可接受荷載：不一定滿足機(jī)構(gòu)條件32利用上、下限定理，一方面可以得出極限荷載的近似解，并給出精確解的范圍；另一方面可用來(lái)求極限荷載的精確解。

窮舉法：完備地列出可能的破壞機(jī)構(gòu)，用平衡條件求出各破壞荷載，利用上限定理取其最小者即極限荷載。試算法：每次選擇一種破壞機(jī)構(gòu)，并驗(yàn)算相應(yīng)的可破壞荷載是否同時(shí)也是可接受荷載，如果是，根據(jù)唯一性定理，它即極限荷載。33例題：求圖示等截面梁的極限荷載。解：用窮舉法求解共有三種可能的破壞機(jī)構(gòu)FPl/3l/3l/3FPFPFPFPFPFPFP34令解：用上限定理（極小定理）計(jì)算例題：求圖示等截面梁的極限荷載。AB

平衡狀態(tài)虛位移狀態(tài)35連續(xù)梁的極限荷載連續(xù)梁破壞機(jī)構(gòu)的形式：假定連續(xù)梁在每跨內(nèi)為等截面(各跨之間截面可以不同)；荷載方向相同；比例加載。這樣的連續(xù)梁只可能在各跨獨(dú)立形成單梁破壞機(jī)構(gòu)，而不能由相鄰幾跨形成一個(gè)聯(lián)合破壞機(jī)構(gòu)。彈性狀態(tài)彎矩圖FP1FP2FP3假設(shè)截面極限正彎矩與截面極限負(fù)彎矩?cái)?shù)值相等；忽略軸力和剪力的影響。36可能的各種破壞機(jī)構(gòu)FP1FP2FP3FP1FP2FP3FP1FP2FP3關(guān)于連續(xù)梁極限荷載對(duì)應(yīng)單跨破壞機(jī)構(gòu)的解釋37顯然由于它們都不滿足極限條件（塑性鉸沿極限彎矩方向產(chǎn)生）FP1FP2FP3FP1FP2FP3不可能的各種破壞機(jī)構(gòu)關(guān)于連續(xù)梁極限荷載對(duì)應(yīng)單跨破壞機(jī)構(gòu)的解釋38例題：求圖示連續(xù)梁的極限荷載。各跨分別是等截面的，AB、BC跨的極限彎矩為Mu，CD跨的極限彎矩為3Mu

。解：先分別求出各跨獨(dú)自破壞時(shí)的可破壞荷載.（1）AB跨破壞時(shí)（2）BC跨破壞時(shí)（3）CD跨破壞時(shí)有三種情況：0.8FPFPll2llllFPFP/lABCD39首先確定可能破壞機(jī)構(gòu)，然后利用虛功原理求最小可破壞荷載。剛架的超靜定次數(shù)n，可能出現(xiàn)的塑性鉸個(gè)數(shù)h(出現(xiàn)一個(gè)塑性鉸相當(dāng)減少一個(gè)約束或增加一個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度),則剛架可能有的基本機(jī)構(gòu)數(shù)為

m=h-n2FPFP2FPFP剛架的極限荷載m=h–n＝5－3＝2即兩個(gè)基本機(jī)構(gòu)40設(shè)想剛架上所有的塑性鉸同時(shí)出現(xiàn)，則剛架變成一個(gè)自由度數(shù)為(h-n)的機(jī)構(gòu)體系，它的可能位移形式由(h-n)個(gè)參變數(shù)決定,而與每個(gè)獨(dú)立參變數(shù)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)形式就是該體系的一種基本機(jī)構(gòu)。梁破壞機(jī)構(gòu)2FPFP2FPFP柱破壞機(jī)構(gòu)2FPFP組合破壞機(jī)構(gòu)原剛架的各種可能的破壞機(jī)構(gòu)都可由(h-n)個(gè)基本機(jī)構(gòu)線性組合而成。組合過(guò)程中轉(zhuǎn)角相反的塑性鉸閉合。41增量變剛度法以矩陣位移法為基礎(chǔ)?；炯僭O(shè)

1塑性鉸只在一個(gè)截面產(chǎn)生，其余部分仍為彈性；

2荷載按比例增加，且為結(jié)點(diǎn)荷載；

3各桿的極限彎矩可以不同，但每桿沿桿長(zhǎng)極限彎矩為常數(shù)；

4忽略剪力和軸力對(duì)極限彎矩的影響。§6增量變剛度法基本思路：將原非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分段線性問(wèn)題42彈性階段，確定第一個(gè)塑性鉸出現(xiàn)的位置和荷載值。

對(duì)原結(jié)構(gòu)，加單位力FPl/2l/2ABCABC取最小非零值為第一塑性鉸出現(xiàn)的荷載值43此時(shí)梁結(jié)點(diǎn)彎矩

一鉸階段，確定下一個(gè)塑性鉸出現(xiàn)的位置和荷載增量值。對(duì)修改后的結(jié)構(gòu)，加單位力AB