2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點全題型突破（新教材新高考）第01講 任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式（解析版）

第01講任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：題型篇 2題型一：重點考查終邊相同的角的集合 2題型二：重點考查象限角 4題型三：重點考查確定倍角（分角）所在象限 6題型四：重點考查區(qū)域角 8題型五：重點考查角度制與弧制度 12題型六：重點考查弧長與扇形面積 13題型七：重點考查任意角的三角函數(shù) 16題型八：重點考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 18角度1：①②③相互轉(zhuǎn)化 18角度2：商數(shù)關(guān)系（與分式或多項式求值） 23題型九：重點考查誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 26第二部分：易錯篇 31易錯點一：忽略角逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負 31易錯點二：已知求多項式值時忽略要先化為分式 32第一部分：題型篇題型一：重點考查終邊相同的角的集合典型例題例題1．（2023春·湖南衡陽·高一?？茧A段練習(xí)）下列與角的終邊一定相同的角是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A項，因為，故A項錯誤；對于B項，表達有誤，角的表示不能同時在一個表達式中既有角度制又有弧度制，B錯誤，對于C項，因為，故C項正確；對于D項，因為，故D項錯誤.故選：C.例題2．（2023春·上海長寧·高一上海市延安中學(xué)?？计谥校┄D2023°的終邊在第_________象限.【答案】二【詳解】因為，而，所以的終邊在第二象限.故答案為：二.例題3．（2023春·高一課時練習(xí)）（1）寫出與角終邊相同的角的集合；（2）把角寫成的形式，并指出其是第幾象限角；（3）若角且，求角．【答案】（1）；（2），第四象限角；（3）.【詳解】（1）由終邊相同的角的概念得：．（2）∵，而是第四象限角，∴是第四象限角．（3），又且，∴取得，．精練核心考點1．（2023春·四川甘孜·高一?？茧A段練習(xí)）下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】C【詳解】對于A，B，終邊相同的角的表達式中弧度與角度混用，不正確；又與角的終邊相同的角的表達式可以為（）或（），對于，令，表示的角為與角的終邊不相同，故C正確，D錯誤，故選：C2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，B，，中角度和弧度混用，不正確；對于C，因為與是終邊相同的角，故與角的終邊相同的角可表示為，C正確；對于D，，不妨取，則表示的角與終邊不相同，D錯誤，故選：C3．（2023秋·安徽六安·高一金寨縣青山中學(xué)?？计谀┰趦?nèi)與終邊相同的角是______．【答案】，【詳解】與終邊相同的角記為，當時，；當時，；∴在內(nèi)與終邊相同的角有，．故答案為：，題型二：重點考查象限角典型例題例題1．（2023春·山東濟寧·高一濟寧一中?？计谥校┤?，則角的終邊在（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】C【詳解】因為，所以在所在的象限一正一負，所以角的終邊在第三、四象限.故選：C.例題2．（2023春·江西南昌·高一南昌市鐵路第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】因為，所以α終邊在第二象限.故選：B例題3．（多選）（2023秋·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學(xué)?？计谀┮韵赂鹘侵?，是第二象限的是（

）A． B． C． D．2【答案】ABD【詳解】由象限角的定義可知，選項A：，是第二象限角，所以是第二象限角，A正確；選項B：，是第二象限角，所以是第二象限角，B正確；選項C：為第四象限角，C錯誤；選項D：2為第二象限角，D正確；故選：ABD精練核心考點1．（2023春·廣東河源·高一龍川縣第一中學(xué)?？计谥校c在平面直角坐標系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】解：因為，，故2023°為第三象限角，故，因為8與終邊相同，又，故8是第二象限角，故，則點在第三象限.故選：C.2．（2023春·甘肅張掖·高一高臺縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎獮榈诙笙薜慕?，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限【答案】D【詳解】由為第二象限的角，即所以所以所以當為偶數(shù)時，設(shè)，則，所以此時在第二象限.當為奇數(shù)時，設(shè)，則所以此時在第四象限.故選：D3．（2023春·福建三明·高一永安市第九中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：由題意逐一考查所給選項即可求得最終結(jié)果.詳解：若是第一象限角，則：位于第一象限，位于第二象限，位于第四象限，位于第三象限，本題選擇C選項.題型三：重點考查確定倍角（分角）所在象限典型例題例題1．（多選）（2023秋·新疆烏魯木齊·高一新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤羰堑诙笙藿?，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【答案】AB【詳解】解：因為與關(guān)于x軸對稱，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A選項正確；因為是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B選項正確；因為是第二象限角，所以是第一象限角，故C選項錯誤；因為是第二象限角，所以，，所以，，所以的終邊可能在y軸負半軸上，故D選項錯誤．故選：AB.例題2．（2023春·四川資陽·高一四川省樂至中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角是第三象限角，則終邊落在（

）A．第一象限或第二象限 B．第二象限或第三象限C．第二象限或第四象限 D．第一象限或第三象限【答案】C【詳解】由題得，所以，當時，終邊落在第二象限，當時，終邊落在第四象限，當時，終邊落在第二象限，當時，終邊落在第四象限，所以終邊落在第二象限或第四象限.故選：C例題3．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)角屬于第二象限且，則角屬于第__________象限．【答案】三【詳解】解：∵是第二象限角，∴在第一象限或在第三象限，∵，∴角在第三象限．故答案為：三．精練核心考點1．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是第一象限角，那么可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】AC【詳解】解：是第一象限角，，，，，當取偶數(shù)時，是第一象限角，當取奇數(shù)時，是第三象限角，故選：AC．2．（2023春·黑龍江佳木斯·高一?？奸_學(xué)考試）若為第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角【答案】D【詳解】因為為第一象限角，所以，所以，當時，，屬于第一象限角，排除B；當時，，屬于第三象限角,排除AC；所以是第一或第三象限角故選：D3．（2023·高一課時練習(xí)）若是第三象限角，則是第_________象限角．【答案】二【詳解】因為是第三象限角，所以的終邊在第三象限，又的終邊與的終邊關(guān)于軸對稱，所以的終邊在第二象限，所以是第二象限角，故答案為：二.題型四：重點考查區(qū)域角典型例題例題1．（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，用弧度制表示終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合：______.【答案】【詳解】因為，，結(jié)合圖像可看作范圍內(nèi)的角，結(jié)合任意角的概念可表示為.故答案為:.例題2．（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為______．【答案】【詳解】終邊在直線OM上的角的集合為：．同理可得終邊在直線ON上的角的集合為，所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為．故答案為：例題3．（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).（1）；（2）【答案】（1）；（2）或.【詳解】如題圖①，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，所以陰影部分內(nèi)的角的集合為；如題圖②，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z).不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，則M1=，M2=.所以陰影部分內(nèi)的角的集合為或.精練核心考點1．（2023春·江西南昌·高一南昌市鐵路第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)（含邊界）的角的集合是__________．【答案】【詳解】由題圖，終邊對應(yīng)角為且，終邊對應(yīng)角為且，所以陰影部分角的集合是.故答案為：2．（2023春·高一課時練習(xí)）已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角的取值范圍．【答案】【詳解】解：終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為，終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角的取值范圍為．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）寫出終邊在圖中陰影區(qū)域(包括邊界)內(nèi)的角的集合.【答案】(1);(2);(3).【詳解】（1）終邊在邊界上的角為，，終邊在陰影部分的角滿足：，所求角的集合為（2）終邊落在邊界上的角為，，終邊落在坐標軸上的角，，終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)的角為，故所求角的集合為，（3）終邊落在邊界上的角為，，，終邊在陰影部分的角滿足：，故所求角的集合為題型五：重點考查角度制與弧制度典型例題例題1．（2023春·陜西西安·高一?？奸_學(xué)考試）把化為弧度為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，故選：B例題2．（2023·高一單元測試）將75°角化為弧度制為______弧度．【答案】/【詳解】因為，所以.故答案為：精練核心考點1．（2023·高一課時練習(xí)）把化成角度制是（

）A．36° B．30° C．24° D．12°【答案】A【詳解】由角度制與弧度制的互化知，，所以，故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，時鐘顯示的時刻為12：55，將時針與分針視為兩條線段，則該時刻的時針與分針所夾的銳角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圖可知，該時刻的時針與分針所夾的銳角為．故選：B.題型六：重點考查弧長與扇形面積典型例題例題1．（2023春·江西·高一校聯(lián)考期中）已知一扇形的面積為8，所在圓的半徑為2，則扇形的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【詳解】由題知：由扇形的面積，且，為弧長，所以弧長，則扇形的周長為12．故選：D例題2．（2023春·遼寧·高一遼寧實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知扇形的周長為10cm，面積為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1或4 B．或8 C．1 D．【答案】D【詳解】設(shè)扇形圓心角為，半徑為，弧長為.由已知可得，，解得或.當時，，舍去；當時，.綜上所述，.故選：D.例題3．（2023春·上海長寧·高一上海市延安中學(xué)?？计谥校┤羯刃蔚膱A心角為30°，半徑為2，則該扇形的面積為__________.【答案】【詳解】設(shè)扇形的弧長為，圓心角為，半徑為，，.所以扇形的面積為.故答案為：例題4．（2023·高三課時練習(xí)）已知扇形的周長為30cm，當它的半徑和圓心角各取什么值時，能使扇形的面積最大？最大面積是多少？【答案】當扇形的半徑為，圓心角為2弧度時，扇形的面積最大，最大面積是.【詳解】設(shè)扇形的半徑是，扇形的弧長為，圓心角的弧度數(shù)是，則，.扇形的面積，可得當時，，又，所以.所以，當扇形的半徑為，圓心角為2弧度時，扇形的面積最大，最大面積是.精練核心考點1．（2023春·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一個扇形的圓心角為，面積為，則該扇形弧長為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，根據(jù)已知的扇形的圓心角，面積，由扇形的面積公式，得，解得（負值舍去），由弧長公式，故選：B2．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）已知扇形的周長為20，則該扇形的面積S的最大值為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【詳解】設(shè)扇形圓心角為，，扇形半徑為，，由題有，則，當時取等號.故選：D3．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點D（第一段圓?。僖渣cC為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E，再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…….以此類推，當?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時，“蚊香”的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，設(shè)第段圓弧的半徑為，則可得，故數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列，則，則“蚊香”的長度為.故選：D.題型七：重點考查任意角的三角函數(shù)典型例題例題1．（2023春·北京·高一北京師大附中?？计谥校┮阎堑慕K邊上一點，且，則等于（

）A． B．3 C．-3 D．【答案】B【詳解】由三角函數(shù)的定義可得：.故選：B例題2．（2023春·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，，所以.故選：A例題3．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將頂點在原點，始邊為軸非負半軸的銳角的終邊繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后，交單位圓于點，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由點在單位圓上，則，解得，由銳角，即，則，故，所以.故選：D例題4．（2023春·上海長寧·高一上海市延安中學(xué)?？计谥校┰谥苯亲鴺讼抵?，角的始邊為的正半軸，頂點為坐標原點，若角的終邊經(jīng)過點，則__________.【答案】【詳解】由于角的終邊經(jīng)過點，所以，故答案為：.精練核心考點1．（2023春·重慶·高一西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎堑慕K邊經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因為角的終邊經(jīng)過點，所以，故選：D2．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）設(shè)α是第二象限角，P（x，1）為其終邊上一點，且，則tanα=（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由三角函數(shù)定義可知：，又α是第二象限角，故，所以.故選：B3．（2023春·廣西欽州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)，角的終邊經(jīng)過點，則的值等于（

）A． B．－ C． D．－【答案】B【詳解】.由三角函數(shù)的定義：，當時，，故選：B4．（多選）（2023·江蘇常州·常州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知角的終邊與單位圓交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】角的終邊與單位圓交于點，，，，當時，；當時，．故選：AC.題型八：重點考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系角度1：①②③相互轉(zhuǎn)化典型例題例題1．（2023春·北京·高一大峪中學(xué)?？计谥校┤羰堑囊粋€內(nèi)角，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，即，，則，故選：C.例題2．（2023春·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為①，兩邊平方得，故，所以與異號，又，所以，，所以②，由①②解得，所以．故選：C例題3．（多選）（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】因為，所以，因為，所以，所以有，因此，因此選項A正確；因為，所以因此選項D正確；所以有，因此選項BC不正確，故選：AD例題4．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽市翔宇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知.(1)若，則的值；(2)若為三角形的內(nèi)角，則的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為,即所以,所以，又，故所以，所以.（2）聯(lián)立,消去得，即，又，所以，解得:或(舍去).所以，所以.精練核心考點1．（2023·山西·統(tǒng)考二模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，即，所以.因為，所以，所以.因為，所以.故選：B.2（多選）．（2023春·吉林·高一東北師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】由可得，即，即,,,當時，；當時，.故選：AB.3．（2023春·江西·高一江西師大附中?？计谥校┮阎顷P(guān)于x的一元二次方程的兩根，則__________，m＝________.【答案】//【詳解】因為是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則，即，顯然，又，即，于是，解得，而當時，方程的兩根為，滿足，符合題意，所以，.故答案為：；4．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）若角是三角形的一個內(nèi)角，且，則_________．【答案】【詳解】因為角是三角形的一個內(nèi)角，所以，又，所以，所以，因為，所以.故答案為：.角度2：商數(shù)關(guān)系（與分式或多項式求值）典型例題例題1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚中高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】故選：C.例題2．（2023春·江蘇連云港·高一校聯(lián)考期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以.故選：D.例題3．（2023春·廣東河源·高一龍川縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，并且是第二象限角．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為，且是第二象限角，則，所以.（2）由（1）知，，所以.例題4．（2023春·四川內(nèi)江·高一威遠中學(xué)校?？计谥校┮阎旤c在原點，以非負半軸為始邊的角終邊經(jīng)過點．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)3(2)【詳解】（1）因為角終邊經(jīng)過點，所以；（2）．精練核心考點1．（2023春·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)?？计谥校┮阎?，則（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【詳解】因為，所以，故選：B.2．（2023春·江蘇常州·高一統(tǒng)考期中）已知為第二象限角，且滿足．求值：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)【詳解】（1）若為第二象限角，則．又因為，故．．（也可以由得，．）（2）.3．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且滿足.求：(1)的值；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）已知，且滿足,平方得,所以，∴，，.聯(lián)立，解得，，；（2）；（3）.4．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽市翔宇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，解得或，又因為，，則；（2）.題型九：重點考查誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則______．【答案】7【詳解】因為，且，所以，所以．所以．故答案為：7.例題2．（2023春·江西·高一校聯(lián)考期中）已知角的始邊為軸非負半軸,終邊過點.(1)求的值.(2)已知角的始邊為軸非負半軸,角和的終邊關(guān)于軸對稱,求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知,則,所以.（2）因為角和的終邊關(guān)于軸對稱,所以,,所以.例題3．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）計算下列兩個小題(1)計算；(2)已知角終邊上有一點，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）因為角終邊上有一點，所以，，，所以.例題4．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知(1)化簡．(2)若為第三象限角，且，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）．（2）∵為第三象限角，且，∴，．精練核心考點1．（2023春·江西·高一校聯(lián)考期中）已知.(1)若角的終邊經(jīng)過點，，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)2(2)3【詳解】（1），因為角的終邊經(jīng)過點，，所以.（2）由（1）知，所以.2．（2023春·貴州畢節(jié)·高一?？计谥校┮阎堑谌笙藿?，且，求的值．【答案】【詳解】，，又是第三象限角，解得，.3．（2023春·湖南·高一桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點．(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）由題意知，，∴，；（2）原式，由（1）知，，∴．4．（2023春·四川·高一四川省峨眉第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知角的始邊為軸非負半軸，終邊過點.(1)求的值；(2