2025年高考數(shù)學復習核心考點全題型突破（新教材新高考）第04講 數(shù)列求和（解析版）

第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一：倒序相加法 2題型二：分組求和法 5題型三：裂項相消法 9角度1：等差型 9角度2：無理型 11角度3：指數(shù)型 13角度4：通項裂項為“”型 15題型四：錯位相減法 24角度1：乘型 24角度2：除型 26角度3：混合求和 28題型五：奇偶項討論求和 34角度1：通項公式為分段式 34角度2：通項公式為型 38題型六：插入新數(shù)列 46角度1：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 46角度2：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 49角度3：插入新數(shù)混合 50題型七：其他類型求和 55角度1：通項含絕對值 55角度2：通項含取整函數(shù) 56題型一：倒序相加法典型例題例題1．（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)，則__________；數(shù)列滿足，則這個數(shù)列的前2015項的和等于__________.【答案】/1007.5【詳解】由，得，所以，設數(shù)列前項之和為，則，，兩式相加得，所以，即這個數(shù)列的前2015項的和等于.故答案為：；.例題2．（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二中?？茧A段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為___________.【答案】2022【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，所以，所以，所以，因此數(shù)列的前2022項和為，故答案為：2022例題3．（2023·全國·高二專題練習）德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設數(shù)列滿足，若，則的前項和_________．【答案】【詳解】由得，，由，得，故，故，所以，則，兩式相減得：故，故答案為：精練核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且，設函數(shù)，則___________，___________.【答案】/【詳解】解：由于，①，當時，所以，當時，，②，①②得：，所以，顯然時也成立，當時，，當時也成立，所以；根據(jù)函數(shù)，所以，，所以；所以．故答案為：；2．（2023·高三課時練習）設函數(shù)，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的方法，求得的值為______.【答案】11【詳解】因，設，則，故.故答案為：113．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，設，．求數(shù)列的通項公式．【答案】【詳解】；時，，，相加得，所以，又，所以對一切正整數(shù)，有；題型二：分組求和法典型例題例題1．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┰O數(shù)列的前項和滿足，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式與前項和.【答案】(1)(2)，【詳解】（1）由已知，有，即，從而，，又因為，，成等比數(shù)列，即，所以，解得，所以，數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故.（2）因為是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項公式為，.例題2．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，，解得，∴；（2）由題可知，∴，∴，例題3．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）數(shù)列的前項和滿足，且．(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，當時，又可得，當時，作差得，即，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，所以，，所以，所以.精練核心考點1．（2023·湖北咸寧·?？寄M預測）設為公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為由成等比數(shù)列可得，所以，所以，因為，所以.①又，所以，②所以，聯(lián)立①②得，所以數(shù)列的通項公式.（2）由（1）知，所以.2．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列滿足：，記的前項和為，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）①當時，②①－②得：即，數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.（2）.所以的前項和.3．（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┰O等比數(shù)列{}的前n項和為，且(1)求數(shù)列{}的通項公式；(2)設數(shù)列{}的前2n項和為，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知，，設等比數(shù)列{}的公比為q，顯然，則有.由①÷②得，所以，代入①得，所以.（2）由（1）可得，所以.題型三：裂項相消法角度1：等差型典型例題例題1．（2023春·遼寧沈陽·高二東北育才學校校考期中）在數(shù)列中，，且.(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，若，求正整數(shù)的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差．又因為，所以，解得，所以，即．（2）由題可知，．由，得，解得．例題2．（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）已知數(shù)列中，，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）∵，∴，即，∴，.∴是首項為2，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知，是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，，所以，.例題3．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學?？寄M預測）已知在等差數(shù)列中，..(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設的公差為.由，可得.因為，所以.由，得，.故.（2）因為，所以，所以.角度2：無理型典型例題例題1．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設公差為，則，即，解得，所以.（2），所以，所以，所以，當時，，所以當時，.例題2．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預測）在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)若，的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1），，則或，又，，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，，．（2）證明：由（1）得，，，則，的前項和為，則，又當時，當時，為增數(shù)列，，即，．角度3：指數(shù)型典型例題例題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┮阎棓?shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）因為，，所以，，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）,所以.例題2．（2023·全國·高三專題練習）設是公差不為零的等差數(shù)列，已知，為，的等比中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和；【答案】(1)(2)【詳解】（1）設公差為且，則，即，解得或（舍去），所以．即數(shù)列的通項公式為.（2），所以，即數(shù)列的前n項和例題3．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且．當時，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，由，可得，故數(shù)列的通項公式為.，兩邊同時乘以，則當時，，當時，，兩式相減，可得，所以，當時，，故滿足，故.（2），所以.故.角度4：通項裂項為“”型典型例題例題1．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）設正項數(shù)列的前項和為，已知，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因為，所以①，所以時，②．由，得，即．因為各項均為正數(shù)，所以，即，因為，所以，，解得，，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）得．當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，．所以例題2．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且滿足.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前10項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為是公差為的等差數(shù)列，，所以當時，，當時，，因為，即，解得，所以或（舍去），所以；（2）由（1）得，.所以.題型三精練核心考點1．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）在公差不為零的等差數(shù)列中，且，，成等比數(shù)列．(1)求通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和；【答案】(1)，；(2)．【詳解】（1）由題意，設等差數(shù)列的公差為，，，成等比數(shù)列，，，又，，解得，，；（2）由，可得，．2．（2023春·吉林長春·高二長春市第二實驗中學?？计谥校┰O數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，已知，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，且的前n項和為，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，所以，則或.又，，∴.（2）由（1）可得，，∴3．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)記，求證：.【答案】(1)(2)(3)詳見解析.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，當時，有，則

①當時，，兩式相減可得：，整理得，可知，代入①可得，所以等比數(shù)列的通項公式為（）.（2）由已知在與之間插入個數(shù)，組成以為首項的等差數(shù)列，所以，則，設，則是遞增數(shù)列，當為偶數(shù)時，恒成立，即，所以；當為奇數(shù)時，恒成立，即，所以；綜上所述，的取值范圍是.（3）證明：由（1）得，則有.,原不等式得證.4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）在①；②；③，這三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并解答問題．已知數(shù)列的前n項和．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，設___________，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【詳解】（1）因為①，所以②，②①得，整理得，由等差數(shù)列的定義可知是等差數(shù)列．（2）由（1）得的公差，又因為，所以．若選①：,所以．若選②：，所以．若選③：，則，

兩式作差得．

所以．5．（2023春·山東德州·高二校考階段練習）已知為數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，記的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當時，，則，因為，所以，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；（2）由（1）得，故，當時，，故.6．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知為數(shù)列的前項和，且滿足，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，記為數(shù)列的前項和，求滿足不等式的的最大值.【答案】(1)證明見詳解；(2)【詳解】（1）當時，，解得：.當時，，所以，即，所以所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以，所以，..所以時，即，所以，所以的最大值為.7．（2023春·河北·高二校聯(lián)考階段練習）設數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以當時，，所以，即，則，當時，，解得，則，從而是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故，即；（2）由（1）知，所以．8．（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考期中）設正項數(shù)列的前n項和為，已知，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以①，所以時，②．由，得，即．因為各項均為正數(shù)，所以，即，因為，所以，，解得，，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）得．當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，．所以9．（2023春·江西贛州·高三江西省信豐中學?？茧A段練習）已知數(shù)列，，滿足為數(shù)列的前n項和，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2)【詳解】（1），，，，故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，，，故.（2），，.題型四：錯位相減法角度1：乘型典型例題例題1．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預測）在①；②，與都是等比數(shù)列；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．已知數(shù)列的前項和為，且______．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．注：如果選擇多個條件分別作答，則按所作第一個解答計分．【答案】(1)(2)【詳解】（1）若選①：當時，，解得；當時，，，兩式相減得：，即，所以，所以數(shù)列是以為首項，4為公比的等比數(shù)列.所以.若選②：都是等比數(shù)列，設的公比為：，因為是等比數(shù)列，，即，解得（舍去）或，因為，所以.若選③：當時，，解得；當時，，，兩式相減得：，所以所以，當時，符合，故.（2）由（1）可知：，所以，所以數(shù)列的前n項和為：，，兩式相減得：，所以，所以，所以.例題2．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，，；數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列﹑的通項公式和；(2)設，求數(shù)列的前項和；【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為，，所以當時，當時，所以，即，又，所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以；又，，所以，即是以為首項、為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，所以，，所以，所以.角度2：除型典型例題例題1．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前項和為，請從以下三個條件中選擇一個完成解答.①數(shù)列是首項為2的單調(diào)遞減的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列；②；③.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）若選擇①，設公比為，則，即，解得或，又數(shù)列單調(diào)遞減，故，此時；若選擇②，則當時，，即，當時，，即，故；若選擇③，時，則；當時，符合上式，即.（2），則，則，兩式相減得，從而有.例題2．（2023·河北唐山·開灤第二中學校考模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設公差為，則，故，所以，而，則，所以，則，可得，故.（2）由（1）知：，所以，則，所以，故.角度3：混合求和典型例題例題1．（2023春·湖南長沙·高二長沙一中校考開學考試）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，，(2)【詳解】（1）解：由題意得，①當時，；當時，；當時，，②①一②得，當時，，也適合上式，所以，所以，兩式相減得，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，，設，③，④③一④得，，又，.例題2．（2023秋·天津南開·高三南開中學校考階段練習）設是公比大于0的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，已知，，，．(1)求數(shù)列，數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為q，，設等差數(shù)列的公差為d．∵，，∴，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．（2）由（1）得，令，，記數(shù)列的前項和為A，數(shù)列的前項和為B，，①則，②①－②得，，∴，又，∴，∴．題型四精練核心考點1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為是與的等比中項，___________.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【詳解】（1）選條件①：設等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項公式為.選條件②：設等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項公式為.選條件③：因為是與的等比中項，所以，由，可得，設等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）令，則①，②，①②得，所以.2．（2023·新疆喀什·?？寄M預測）已知數(shù)列的首項為1，前項和；(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為①，所以有②，②①得，即，經(jīng)驗證符合，所以數(shù)列的通項公式為.（2），所以①，②，①②可得，即，化簡得，所以數(shù)列的前項和.3．（2023·陜西寶雞·?？寄M預測）記數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對任意，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，當時，，所以從第項起為以為公比的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知，則①，②，①-②得，化簡得.4．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列滿足，．(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）第1步：對已知等式變形將兩邊同時平方，得，所以，所以，又，則，第2步，求出又，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．（2）第1步：求出由（1）知，第2步：利用錯位相減法求解所以，①所以，②②-①可得，．5．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知數(shù)列前n項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為，所以當時，，故；當時，，作差，得，即，此式對也成立，故數(shù)列的通項公式為，．（2）由（1）知，，不妨令，且數(shù)列的前n項和，則，，作差，得，即．則，即數(shù)列的前n項和為.6．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且滿足(1)的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為①，當時，則，當時②，①②得，即，則，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則.（2）因為，所以，所以③，④，③④得，所以.題型五：奇偶項討論求和角度1：通項公式為分段式典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習）已知等比數(shù)列的公比，前項和為，滿足：.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）法一：因為是公比的等比數(shù)列，所以由，得，即，兩式相除得，整理得，即，解得或，又，所以，故，所以，法二：因為是公比的等比數(shù)列，所以由得，即，則，，解得或（舍去），故，則，所以.（2）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以.例題2．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前40項和.【答案】(1)(2)784【詳解】（1）由題意易得，由可得，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.故，即.（2）由（1）知，.所以的前40項和.例題3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列滿足求的前項和.【答案】(1),；(2).【詳解】（1）根據(jù)題意可知，所以當為奇數(shù)時，，即，所以當為偶數(shù)時，；當為偶數(shù)時，，即，所以當為奇數(shù)時，.綜上，,.（2）由（1）可知當為奇數(shù)時，若，即，解得，當為偶數(shù)時，若，即，解得，所以，當時，，所以.當時，且為奇數(shù)時，當時，且為偶數(shù)時，.綜上，角度2：通項公式為型典型例題例題1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的首項，其前項和為，且滿足．(1)求；(2)設，求數(shù)列的最大項．【答案】(1)(2)數(shù)列的第二項和第四項都為其最大項，且.【詳解】（1）因為，所以，所以，故，所以，，，，，所以；（2）因為，所以，又，所以，由（1），所以，，所以，所以，，所以，當時，，所以，又，所以，又，所以，所以當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的最大項一定為偶數(shù)項，當為偶數(shù)時，，設，則，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，且為偶數(shù)時，數(shù)列單調(diào)遞增，所以，且為偶數(shù)時，單調(diào)遞減，又，，所以數(shù)列的第二項和第四項都為其最大項，且.例題2．（2023春·遼寧鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知數(shù)列的前項和為，若，．(1)記判斷是否為等差數(shù)列，若是，給出證明；若不是，請說明理由．(2)記，的前項和為，求．【答案】(1)不是等差數(shù)列，證明詳見解析；(2)當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，.【詳解】（1）因為，當時，，又因為，所以當時，因為，由，得①，所以②，所以得：，經(jīng)驗證，當時不等于，所以不是等差數(shù)列.（2）由，得，兩式相減得：.所以當時：數(shù)列（）是首項為，公差為6的等差數(shù)列；數(shù)列（）是首項為，公差為6的等差數(shù)列.當為偶數(shù)時，不妨設，則，此時因為，所以此時.當為奇數(shù)時，不妨設，則，此時.因為，所以此時綜上所述，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，.例題3．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)【詳解】（1），數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，解得：，，；，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.（2）由（1）得：，即，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；綜上所述：.題型五精練核心考點1．（2023·浙江·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為，已知．(1)求的通項公式；(2)設且，求數(shù)列的前n項和為．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）當時，，當時，，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則.（2）由題設知：，，當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；綜上，，.2．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由可知，則化簡可得：，即，數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，，由可知，，又由為遞增的等比數(shù)列，且，即，解得，.（2）依題意可知，因此,當為偶數(shù)時，原式，當為奇數(shù)時，原式，綜上，.3．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列中，且點在函數(shù)的圖像上．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）解：由已知得：，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義知數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.（2）由已知得：，①為偶數(shù)時，；②為奇數(shù)時，，所以.4．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足（n≥2，），．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）∵，∴，所以，又，∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴．（2）∵，∴，當n為偶數(shù)時，．當n為奇數(shù)時，．綜上．5．（2023·全國·模擬預測）記為正項數(shù)列的前項和，已知．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，當時，，解得，當時，，所以，整理得，對任意的，，則，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故（2）由（1）可知，，則，所以，對任意的，，當為偶數(shù)時，設，則；當為奇數(shù)時，設，則，.綜上所述，.6．（2023·全國·高三專題練習）記為正項數(shù)列的前n項和，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）(1)當時，因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項為，所以，為正項數(shù)列，則；當時，，亦適合上式，所以．（2）由(1)可知，，當n為偶數(shù)時，當n為奇數(shù)時，綜上可知題型六：插入新數(shù)列角度1：插入新數(shù)列構(gòu)成等差典型例題例題1．（2023·福建莆田·?？寄M預測）已知等比數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：設等比數(shù)列的公比為，因為，可得，兩式相減得到，即，所以，又因為，當時，可得，可得，適合上式，所以，所以數(shù)列的通項公式.（2）解：若在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，則，即為，整理得，所以，所以因為，所以，所以.例題2．（2023·安徽滁州·?？寄M預測）已知等比數(shù)列的前項和為，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)．【詳解】（1），當時，，兩式相減可得，，故等比數(shù)列的公比為，，，故數(shù)列的通項公式為．（2）由得：，，故，即，，，得：，故．例題3．（2023春·遼寧錦州·高二?？计谥校┯洖楦黜椌鶠檎龜?shù)的等比數(shù)列的前項和，，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)在和之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設數(shù)列的首項為，公比為q，則①，因為，，成等差數(shù)列，則，即②，因為，所以由②式可得，解得或（舍），代入①式可得，（2）由題可得，即，所以，則，所以①，則②，故①－②得：所以.角度2：插入新數(shù)列構(gòu)成等比典型例題例題1．（2023·全國·高三對口高考）在數(shù)1和100之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，再令.則數(shù)列的通項公式為__________.【答案】，【詳解】記由個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列為，則，，則，即所以，即故答案為：，.例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和記為（），滿足．(1)若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求的取值范圍；(2)若，在數(shù)列的第n項與第項之間插入首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前項，形成新數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由于，所以，解得，所以，若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則對于恒成立，所以在上恒成立，則，所以，又數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，故的取值范圍為；（2）若，則，根據(jù)題意數(shù)列為：第一組為：1，；第二組為：，，；第三組為：，，，；……第組為：，，，，…，；則前組一共有項，當時，項數(shù)為.故相當于是前組的和再加上這五項，即：設，則可看成是數(shù)列的前項和所以.角度3：插入新數(shù)混合典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可以形成一個新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法可以不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．現(xiàn)將數(shù)列1，3進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，4，3；第2次得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列1，．記，若成立，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】由，，，，，則，則，則，當時，．當時，．故選：C．例題2．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和，，且.數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)將數(shù)列中的項按從小到大的順序依次插入數(shù)列中，在任意的，之間插入項，從而構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前100項的和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由已知可得，當時，有，，兩式相減得：.又因為，所以，，滿足上式.所以，.又，所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即.又，所以，所以.又，所以，當時，有，，，，，兩邊同時相乘可得，，所以，.（2）設100項中，來自于數(shù)列中的有項.若第100項來自于，則應有，整理可得，，該方程沒有正整數(shù)解，不滿足題意；若第100項來自于，則應有，整理可得，.當時，有不滿足，，故，所以，數(shù)列中含有10項數(shù)列中的項，含有90項數(shù)列中的項.所以，.精練核心考點1．（2023·山東·山東省實驗中學校考一模）已知正項數(shù)列的前項和為，且，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項和．【答案】(1)，．(2)【詳解】（1）解：對任意的，因為，當時，，因為，所以，故．當時，適合，所以，．（2）解：因為，，所以當時，，所以，，所以，數(shù)列的前項分別為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，所以的前項是由個與個組成．所以．2．（2023·全國·高三專題練習）為數(shù)列的前n項和，已知．(1)證明：；(2)保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入數(shù)列的前k項，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列：，，，，，，，，，，…，求這個新數(shù)列的前50項和．【答案】(1)證明見解析(2)7429【詳解】（1）由得．由，可知．相減得，所以．又，故，因此．（2）設數(shù)列的前項和為，則．兩邊同乘以2得．以上兩式相減得．設是新數(shù)列的第N項，則．當時，，當時，．故這個新數(shù)列的前50項中包含的前9項，以及列的前k（k＝1，2，3，…，8）項和前5項，由（1）知，所以這個新數(shù)列的前50項和為．3．（2023秋·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）已知正項等差數(shù)列滿足，且是與的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；(2)保持中各項的先后順序不變，在與之間插入個，構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前24項和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：設等差數(shù)列的公差為，因為，且是與的等比中項，所以，解得或（舍去），所以，，所以；（2）解：由題意可知，新數(shù)列為，，，，，，，，，，…按照此規(guī)律，假設第24項在與之間，則，解得當時，.4．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項為__________.【答案】【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，所以，設在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)所得新數(shù)列為，則新的等差數(shù)列的公差為，首項為，所以新數(shù)列的通項公式為，故.故答案為：.題型七：其他類型求和角度1：通項含絕對值典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的首項為,公差為，則，所以當時，又也符合上式，故數(shù)列的通項公式為.（2）當時，，數(shù)列的前n項和；當時，，數(shù)列的前n項和，.綜上所述：例題2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）在正項數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項