2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第04講 雙曲線（含直線與雙曲線的位置關(guān)系）（解析版）

第04講雙曲線（含直線與雙曲線的位置關(guān)系）目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：雙曲線定義 1題型二：雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題 4題型三：雙曲線的離心率 8題型四：雙曲線中的漸近線問題 14題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷 18題型六：雙曲線中點(diǎn)弦問題 21題型七：雙曲線弦長（面積）問題 24題型八：雙曲線中定點(diǎn)、定值問題 30題型九：雙曲線中定直線問題 39題型十：雙曲線中向量問題 45題型一：雙曲線定義典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的下、上焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)殡p曲線的下、上焦點(diǎn)分別為，，所以設(shè)雙曲線的方程為，半焦距為；又因?yàn)槭请p曲線上一點(diǎn)且，所以，即，則；所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.例題2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．雙曲線右支 D．一條射線【答案】C【詳解】解：因?yàn)榈膸缀我饬x是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差為2，又因?yàn)椋杂呻p曲線的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是雙曲線右支．故選：C例題3．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在相距2000m的兩個(gè)觀察站A，B先后聽到遠(yuǎn)處傳來的爆炸聲，已知A站聽到的時(shí)間比B站早4s，聲速是340m/s．建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，判斷爆炸點(diǎn)可能分布在什么樣的軌跡上，并求該軌跡的方程．【答案】爆炸點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線上（左半支），軌跡方程為【詳解】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，

設(shè)爆炸點(diǎn)為，由題意可得：，所以爆炸點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線上（左半支），設(shè)雙曲線的焦距為，實(shí)軸長為，虛軸長為，可得，則，所以爆炸點(diǎn)的軌跡方程為.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長軸長為26，若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】在橢圓中，由題知，解得，所以橢圓的焦點(diǎn)為，，因?yàn)榍€上的點(diǎn)到，的距離的差的絕對(duì)值等于8，且，所以曲線是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的雙曲線，所以曲線的虛半軸長為，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為9，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A．15 B．5 C．3或5 D．3或15【答案】D【詳解】由雙曲線的定義可知，而，所以，或，由，雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小值為，顯然和都符合題意，故選：D3．（2023·全國·高二課堂例題）已知，動(dòng)點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以根?jù)雙曲線的定義可知，一定在1，2且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支上，則，這就是說，點(diǎn)P的坐標(biāo)一定滿足．另一方面，由可知，因此P的橫坐標(biāo)要大于零，從而可知P的軌跡方程為．題型二：雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題典型例題例題1．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與的右支交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C．3 D．5【答案】A【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由題意可得，連接，則有，，若為等腰三角形，則（線段與顯然不相等），所以，又為的中點(diǎn)，所以，則有．由雙曲線的定義得，所以，設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則．故選：A．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，，，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)雙曲線的半焦距為.由題意，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根據(jù)雙曲線定義得，解得，故雙曲線的離心率.故選：D例題3．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)M在雙曲線上，且軸，求到直線的距離.【答案】【詳解】

由題可得，，所以,設(shè)，則，解得,由于對(duì)稱性，不妨取，所以根據(jù)雙曲線的定義可得，，解得，設(shè)到直線的距離為，在直角三角形中，，所以.精練核心考點(diǎn)1．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于，兩點(diǎn)，，且的面積為，則的離心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【詳解】如圖，若在第一象限，因?yàn)?，所以，由圖形的對(duì)稱性知四邊形為矩形，因?yàn)榈拿娣e為，所以，又因?yàn)椋?，，在中，，解得?/p>

故選：B2．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習(xí)）設(shè)、分別是雙曲線：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【詳解】由，所以是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線的交點(diǎn)，又，即它們也在點(diǎn)所在的圓上，且為直徑，所以為直角三角形，，

如上圖，，且，所以，則，故的面積為.故選：A3．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足，則的周長為.【答案】/【詳解】由題意可得，，，，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，，又，，則的周長為．故答案為：．

題型三：雙曲線的離心率典型例題例題1．（2023秋·四川成都·高三校考階段練習(xí)）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】設(shè)，雙曲線的半焦距為c，則有，，，于是，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即，離心率，所以雙曲線離心率的最小值為.故選：D例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，，平分，則C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】

可知，，得設(shè)，則，由雙曲線的定義可知：.因?yàn)槠椒?，所以，故，又，即有，，，，，在，中，由余弦定理可得，，，由，可?故選：C.例題3．（多選）（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】當(dāng)時(shí)，兩漸近線的斜率為，此時(shí)直線與另一漸近線平行，不滿足題意.當(dāng)時(shí)，如圖1所示，

.，又，解得，，，，即漸近線的斜率為，當(dāng)時(shí)，如圖2所示，設(shè)與軸交于點(diǎn)P，

，，又，解得，即漸近線的斜率為，綜上，雙曲線的離心率為或.故選：AC.例題4．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：，過其右焦點(diǎn)F作直線交雙曲線C的漸近線于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為面積的2倍，且，則雙曲線C的離心率為.【答案】【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，漸近線方程為，依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由解得，即，同理可求得，由于的面積為面積的2倍，所以，，解得，此時(shí)，由于，所以①，由于，所以①可化為，兩邊除以得，即.故答案為：精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】D【詳解】由題意知直線的方程為，令，得，所以．又因?yàn)椋环猎O(shè)，所以有，解得，所以，將其代入雙曲線方程，化簡得，解得或（舍去），所以的離心率．故選：D.2．（2023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線：，是直線上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，則直線與直線的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，且圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，所以，即，得離心率，因?yàn)?，所以雙曲線的離心率的取值范圍為，故選：A.3．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過雙曲線上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，若且與垂直，則雙曲線的離心率為.【答案】【詳解】設(shè)雙曲線焦距為，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由題意知，由且與垂直可知，四邊形為菱形，且邊長為，而為直角三角形，，

故，則，則，故，即離心率.故答案為:.4．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若在雙曲線右支上存在一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為.【答案】【詳解】如圖，因?yàn)?，所以，所以，則，，，解得.故答案為：

題型四：雙曲線中的漸近線問題典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，若點(diǎn)與點(diǎn)都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由點(diǎn)在雙曲線上，得，則，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解，當(dāng)時(shí)，，而，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：B例題2．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線傾斜角可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于雙曲線的漸近線為，且注意到雙曲線的離心率為，又在雙曲線中有平方關(guān)系：，所以離心率為，又由題意，所以有，解得，即雙曲線的漸近線的斜率為，由直線斜率和傾斜角的關(guān)系可知此雙曲線的漸近線的傾斜角可以是或.故選：B.例題3．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知，為雙曲線的焦點(diǎn)，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且，則雙曲線的漸近線方程為.

【答案】【詳解】設(shè)，，則，解得，∴.在中，，則①.由雙曲線的定義，得②.由①②得.∵，∴，即.∴.∴雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過原點(diǎn)的直線l與雙曲線E：交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），交x軸于C點(diǎn)，直線BC交雙曲線于點(diǎn)D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，因?yàn)榕c軸垂直，所以，設(shè)，則，而所以，，所以，所以漸近線方程為.故選：D

2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作C的其中一條漸近線的垂線l，垂足為M，l與C的另一條漸近線交于點(diǎn)N，且，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，OM，ON為雙曲線的兩條漸進(jìn)線.由題意可知，，又，則M為FN中點(diǎn)，則為等腰三角形，則，又，則.所以雙曲線的漸進(jìn)線方程為：.故選：B

3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】作于點(diǎn)，如圖所示，

因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，由雙曲線的定義知|，所以，故，因?yàn)?，所以，即，得，所以，得，故雙曲線的漸近線方程為，即.故選：B題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷典型例題例題1．（2023春·福建泉州·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)和雙曲線，過點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．無數(shù)條【答案】A【詳解】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).①若直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，合乎題意；②若直線的斜率存在，則當(dāng)直線平行于漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).若直線的斜率為，則直線的方程為，此時(shí)直線為雙曲線的一條漸近線，不合乎題意.綜上所述，過點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有條.故選：A.例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的交點(diǎn)分別在兩支上，求的范圍．【答案】【詳解】聯(lián)立雙曲線、直線方程，消去整理得，由題意，設(shè)方程的兩根為，則，解得．故答案為：

例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，直線，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，使：(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)．【答案】(1)或或；(2)或(3)或【詳解】（1）聯(lián)立，消整理得，（*）因?yàn)橹本€l與雙曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，整理得解得：或或.（2）當(dāng)即時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行，方程（*）化為，故方程（*）有唯一實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線相交，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意．當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹本€l與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則，解得；綜上，或.（3）因?yàn)橹本€l與雙曲線C沒有公共點(diǎn)，所以，解得：或.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與曲線僅有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得曲線，即，可得；當(dāng)時(shí)得到即；當(dāng)時(shí)得到；由以上可得曲線的如圖中所示，易知直線與雙曲線的一條漸近線平行；把直線向上平移到點(diǎn)時(shí)，即與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)；繼續(xù)向上平移至與半橢圓相切前有3個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)直線與橢圓的上半部分相切時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓的方程代入整理得即或（舍），由圖示可得；綜上可知.故選：C2．（2023·河南·開封高中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的方程為，點(diǎn)、分別在的左支和右支上，則直線斜率的取值范圍是．【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，則直線的斜率為存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，解得.因此，直線的斜率的取值范圍是.故答案為：.題型六：雙曲線中點(diǎn)弦問題典型例題例題1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)?，所以線段AB存在，故選：C例題2．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】由F、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線l的斜率．∵雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為(-2，0)，∴c=2．設(shè)雙曲線C的方程為，則．設(shè)，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．例題3．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？為什么？【答案】不能，證明見解析.【詳解】當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以直線l方程為x=1，又雙曲線，右頂點(diǎn)為（1,0）在直線l上所以直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，斜率存在，設(shè)，且，因?yàn)锳、B在雙曲線上，所以，兩式相減可得，所以，若點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，則，即，代入上式，所以，則直線l的斜率，所以直線l的方程為，即，將直線l與雙曲線聯(lián)立，可得，，故方程無解所以不存在這樣的直線l，綜上，點(diǎn)P不能是線段AB的中點(diǎn).精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作斜率為1的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)，則有，兩式做差后整理得，由已知，，又，，得故選：B2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知傾斜角為的直線l與雙曲線C：交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線l的方程．【答案】【詳解】設(shè)，，中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則①，②，②－①得，，即，又，所以，所以直線l的方程為，即.聯(lián)立，得，則，綜上，直線l的方程為.3．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線，過點(diǎn)作直線交雙曲線于，，若線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的斜率．【答案】【詳解】由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去整理得．顯然，設(shè)，，則，解得，由解得，顯然不適合，適合，所以．

題型七：雙曲線弦長（面積）問題典型例題例題1．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，求的值．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由雙曲線方程知：漸近線方程為，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)到漸近線的距離，又離心率，，解得：，雙曲線的方程為：.（2）由得：，則，解得：且，設(shè)，則，，，即，解得：或，均滿足且，或.例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).(1)證明：；(2)若的面積為8，求直線的斜率.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意在雙曲線左支上，在右支上，令且，而，則線段中點(diǎn)為，又，則，所以，則中點(diǎn)在雙曲線上或外部，即，僅當(dāng)重合時(shí)等號(hào)成立，故.（2）若，則，令，，聯(lián)立雙曲線，則，而，則，，所以，故，可得（負(fù)值舍），所以，故直線斜率為.例題3．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)，，．(1)求雙曲線的方程；(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或.【詳解】（1）解：由題意可得：，，，解得，，，所以雙曲線的方程為.（2）解：由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)：，設(shè)，，聯(lián)立，消，得，由，解得，則.所以，所以的面積，由，整理得，解得，，所以直線的方程為或.精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·山東青島·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為第一象限，且縱坐?為，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，所以，化簡得：所以的方程為?（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；

設(shè)，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，所以，解得或（舍去），所以直線為，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知雙曲線與有相同的漸近線，為上一點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且傾斜角為的直線與相交于、兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入方程中得，所以雙曲線的方程為，即雙曲線的方程為.（2）解：在雙曲線中，，，則，則，所以直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，則，所以，.3．（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考期末）已知雙曲線：與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過，傾斜角為，與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，設(shè)所求雙曲線方程為，代入點(diǎn)得，即，所以雙曲線方程為，即．（2）由（1）得，則，，，又直線傾斜角為，則，故直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，消去，得，則，，，由弦長公式得，又點(diǎn)到直線的距離，所以．題型八：雙曲線中定點(diǎn)、定值問題典型例題例題1．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上．(1)點(diǎn)，為的左右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于，的點(diǎn)，求的值；(2)點(diǎn)，在上，且，，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】(1);(2)證明見解析.【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線，則．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，所以，所以的值為．（2）證明：依題意，直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，設(shè)，聯(lián)立，消得，顯然，否則不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，，由韋達(dá)定理得，因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以，所以，即，所以有，將韋達(dá)定理代入化簡得，而當(dāng)，此時(shí)直線為，易知恒過定點(diǎn)，故舍去，所以，此時(shí)滿足且直線過定點(diǎn)，（如圖所示）

又因?yàn)闉榇棺?，所以為直角三角形，為直角，所以?dāng)點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)時(shí)，為定值．綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值．例題2．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且不與軸重合的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線，與圓分別交于，兩點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值；(3)證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)(3)直線過定點(diǎn),證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題可知，直線的斜率不等于零，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，整理得，若，即，直線的斜率為，與漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意，所以，所以，，因?yàn)?所以，所以.（3）（i）當(dāng)軸時(shí)，且，所以，則，聯(lián)立，整理得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以，由于對(duì)稱性，，此時(shí)直線過定點(diǎn)；（ii）當(dāng)不垂直于軸時(shí)，以下證明直線仍過定點(diǎn)設(shè)為，因?yàn)?，所以?lián)立，即，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以,同理，將上述過程中替換為可得，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以三點(diǎn)共線，即此時(shí)直線恒過定點(diǎn)，綜上直線過定點(diǎn).例題3．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線上異于、的任意一點(diǎn)，直線、的斜率乘積為．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、在雙曲線的右支上，直線、在軸上的截距之比為．試問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【詳解】（1）設(shè)，由可得，又，，又焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為，解得：．所以雙曲線的方程：.（2）設(shè)直線的方程為，如圖，

由得，，，直線，則直線在軸上的截距為，直線，則直線在軸上的截距為，由題得：，又，所以．所以，則，，，，化簡得：或．若，直線過頂點(diǎn)，舍去．．則直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是雙曲線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)【詳解】（1）由題意知，解得，，，雙曲線的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，得，則，，所以直線方程為，令，則，同理直線方程為，令，則，由，可得，即，即，即，即，即，即，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線方程為，恒過定點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過定點(diǎn)符合題意，綜上所述，直線過定點(diǎn).

2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）雙曲線C：的左頂點(diǎn)為A，焦距為4，過右焦點(diǎn)F作垂直于實(shí)軸的直線交雙曲線C于B，D兩點(diǎn)，且是直角三角形．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M，N是C右支上的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率為k1，k2，若，試問：直線MN是否經(jīng)過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)，理由見解析【詳解】（1）根據(jù)題意可得，，半焦距，則當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，由，得，所以，，解得或（舍去），所以，所以雙曲線方程為，（2）由題意可知直線的斜率不為零，所以設(shè)直線為，設(shè)，由，得，由，得，所以，由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，化簡得，所以，所以，化簡得，解得或，因?yàn)镸，N是C右支上的兩動(dòng)點(diǎn)，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過定點(diǎn)

3．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，且直線上存在一點(diǎn)滿足（不與重合）．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1）將直線方程代入雙曲線方程，化簡整理得，，要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，則應(yīng)滿足，解得；（2）設(shè)，

則由（1）知：.由，得：，所以.又，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值.題型九：雙曲線中定直線問題典型例題例題1．（2023春·黑龍江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點(diǎn)，為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為．過點(diǎn)且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點(diǎn)．(1)求Γ的方程；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)為直線上關(guān)于x軸對(duì)稱的不重合兩點(diǎn)，證明：直線ME，NF的交點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)；(2)詳見解析.【詳解】（1）由題意得，又為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為，所以，解得，所以雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線MN的方程為，由，可得，則，，設(shè)，，，，，所以，直線：，：，聯(lián)立兩方程，可得：，解得，當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，則，：，：，聯(lián)立可得，綜上，直線ME與NF的交點(diǎn)在定直線上.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，離心率為，直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；(3)設(shè)是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)是否在一條直線上？請(qǐng)說明你的理由.【答案】(1)(2)或(3)直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線，理由見解析【詳解】（1）由題意得：，，.解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）方法1：設(shè)，則依題意有解得，所以直線的方程為或.方法2：設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得：.當(dāng)時(shí)設(shè)，，得，.又因?yàn)?，所以，，解?此時(shí)，所以直線MN的方程為或.（3）方法1：設(shè)，，直線PM的方程為，直線ON的方程，聯(lián)立兩方程，可得①結(jié)合（2）方法2，可得代入①得故.所以直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線上.方法2設(shè)直線MN的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得：.設(shè)，，，，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，.：，：，聯(lián)立兩方程，可得：，解得所以直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線上.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·云南紅河·高三開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)雙曲線，其虛軸長為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線的左右兩支曲線分別交于點(diǎn)、，在線段上取點(diǎn)使得，證明：點(diǎn)落在某一定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線，其虛軸長為，且離心率為，∴，，∵，∴，，∴雙曲線的方程為．（2）解：設(shè)點(diǎn)，A，的坐標(biāo)分別為，，，且，∵，∴，即，①設(shè)直線的方程為，②將②代入中整理，得，∴，，代入①，整理可得，得，聯(lián)立②消得，∴點(diǎn)落在某一定直線上．2．（2023秋·全國·高二期中）已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡E與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），過的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線的交于，證明：在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由得，其半徑為4，因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，

故，則,而，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，則，故點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）證明：由題意知，

若直線l斜率為0，則其與雙曲線的交點(diǎn)為雙曲線的兩頂點(diǎn)，不合題意；故直線l的斜率不能為0，故設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，，故，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，故，則，即，解得，故直線與直線的交點(diǎn)在定直線上