寧夏回族自治區(qū)銀川市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)二模理試題含解析

Page20寧夏回族自治區(qū)銀川市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)二模（理）試題一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿(mǎn)分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圖象推斷出陰影部分為，由此求得正確答案.【詳解】，由圖象可知，陰影部分表示.故選：A2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)意為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)，代入化簡(jiǎn)，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.3.命題“，則”及其逆命題、否命題和逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先推斷原命題的真假，寫(xiě)出其逆命題，即可推斷其真假，再依據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假，即可推斷；【詳解】解：因?yàn)槊}“，則”為真命題，所以其逆否命題也為真命題；其逆命題為：則，明顯也為真命題，故其否命題也為真命題；故命題“，則”及其逆命題、否命題和逆否命題這四個(gè)命題中，真命題有4個(gè)；故選：D4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿(mǎn)意的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得正確結(jié)果.詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，須要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.5.下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)不等式成立的條件依次推斷各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式明顯不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，成立的條件為，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式明顯不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，故，正確.故選：D6.下列四個(gè)函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】A.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)推斷；B.利用正切函數(shù)的性質(zhì)推斷；C.利用正弦函數(shù)的性質(zhì)推斷；D.利用函數(shù)的圖象推斷.【詳解】A.，不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；B.在上遞增，但在定義域上不單調(diào)，故錯(cuò)誤；C.在上遞增，但在定義域R上不單調(diào)，故錯(cuò)誤；D.，其圖象如圖所示：由圖象知：定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故正確，故選：D7.有4名高校生志愿者參與2024年北京冬奧會(huì)志愿服務(wù).冬奧會(huì)志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參與冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個(gè)項(xiàng)目競(jìng)賽的志愿服務(wù)，則每個(gè)項(xiàng)目至少支配一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將4人分成3組，其一組有2人，然后將3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行排列，可求出每個(gè)項(xiàng)目至少支配一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的方法數(shù)，再求出4名志愿者參與3個(gè)項(xiàng)目競(jìng)賽的志愿服務(wù)的總方法數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有種分法，然后將3個(gè)項(xiàng)目全排列，共有種排法，所以每個(gè)項(xiàng)目至少支配一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的方法數(shù)為種，因?yàn)?名志愿者參與3個(gè)項(xiàng)目競(jìng)賽的志愿服務(wù)的總方法數(shù)種，所以每個(gè)項(xiàng)目至少支配一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率為，故選：D8.設(shè)，那么等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，寫(xiě)出，作差即可.【詳解】由題意，，則，所以，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，正確弄清由到時(shí)增加和削減的項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9.為了解人們對(duì)環(huán)保學(xué)問(wèn)的認(rèn)知狀況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)地區(qū)隨機(jī)選取個(gè)居民進(jìn)行了環(huán)保學(xué)問(wèn)問(wèn)卷調(diào)查（滿(mǎn)分為100分），并依據(jù)問(wèn)卷成果（不低于60分記為及格）繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分為，，，，，六組），若問(wèn)卷成果最終三組頻數(shù)之和為360，則下面結(jié)論中正確的是（）

A.B.問(wèn)卷成果在內(nèi)的頻率為0.5C.D.以樣本估計(jì)總體，若對(duì)地區(qū)5000人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則約有2000人及格【答案】A【解析】【分析】依據(jù)全部小矩形的面積之和為1求出，即可推斷C，求出最終三組頻率之和，依據(jù)頻數(shù)，可推斷A；依據(jù)頻率等于小矩形的面積計(jì)算出成果在內(nèi)的頻率即可推斷B；求出及格的頻率，從而可求出及格人數(shù)，即可推斷D.【詳解】解：，解得，故C錯(cuò)誤；，故A正確；問(wèn)卷成果在內(nèi)的頻率為，故B錯(cuò)誤；不低于60分頻率為，則約有人及格，故D錯(cuò)誤.故選：A.10.果農(nóng)采摘水果，采摘下來(lái)的水果會(huì)漸漸失去簇新度．已知某種水果失去簇新度h與其采摘后時(shí)間t（天）滿(mǎn)意的函數(shù)關(guān)系式為，若采摘后5天，這種水果失去的簇新度為20%，采摘后10天，這種水果失去的簇新度為40%，采摘下來(lái)的這種水果失去50%的簇新度也許是（參考數(shù)據(jù)：）（）A.第10天 B.第12天 C.第14天 D.第16天【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題目所給條件，求出m和a即可.【詳解】依題意有，解得，m=0.1，代入得，當(dāng)h=05時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)得，故選：B.11.已知函數(shù)，若在上有且僅有2個(gè)最大值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】探討、時(shí)，取最大值時(shí)的值，由其周期性找到第三個(gè)最大值對(duì)應(yīng)的值，由此確定的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，第1次取到最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，第2次取到最大值，由知：當(dāng)時(shí)，第3次取到最大值．∴．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：探討的范圍，通過(guò)確定其次、三個(gè)最大值對(duì)應(yīng)的值，進(jìn)而得到的取值范圍.12.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)意，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】實(shí)數(shù)，滿(mǎn)意，通過(guò)探討，得到其圖象是橢圓、雙曲線(xiàn)的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點(diǎn)到直線(xiàn)距離范圍的2倍，求出切線(xiàn)方程依據(jù)平行直線(xiàn)距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿(mǎn)意，所以當(dāng)時(shí)，，其圖象是位于第一象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的一部分（含點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第四象限，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象不存在，當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第三象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的一部分，作出橢圓和雙曲線(xiàn)的圖象，其中圖象如下：隨意一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點(diǎn)到直線(xiàn)距離范圍的2倍，雙曲線(xiàn)，其中一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行，通過(guò)圖形可得當(dāng)曲線(xiàn)上一點(diǎn)位于時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值，小于兩平行線(xiàn)與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像第一象限相切于點(diǎn)，由因?yàn)榛颍ㄉ崛ィ┧灾本€(xiàn)與直線(xiàn)的距離為此時(shí)，所以的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】三種距離公式：（1）兩點(diǎn)間的距離公式：平面上隨意兩點(diǎn)間的距離公式為；（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離;（3）兩平行直線(xiàn)間的距離公式：兩條平行直線(xiàn)與間的距離.二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.向量是單位向量，，，則______.【答案】【解析】【分析】由題意可得，利用向量的模的運(yùn)算代入求值即可得答案.【詳解】∵，∴.故答案為：.14.已知a，b表示兩條直線(xiàn)，α，β，γ表示三個(gè)不重合的平面，給出下列命題：①若α∩γ=a，β∩γ=b，且ab，則αβ；②若a，b相交且都在α，β外，aα，bβ，則αβ；③若aα，aβ，則αβ；④若a?α，aβ，α∩β=b，則ab.其中正確命題的序號(hào)是________.【答案】④【解析】【分析】依據(jù)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面之間的位置關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】解析：①錯(cuò)誤，α與β也可能相交；②錯(cuò)誤，α與β也可能相交；③錯(cuò)誤，α與β也可能相交；④正確，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可知.故答案為：④15.設(shè)，圓，若動(dòng)直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)A、C，動(dòng)直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)B、D，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】求出圓的圓心和半徑，求出兩條直線(xiàn)位置關(guān)系和經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，作出圖像，設(shè)圓心到其中一條直線(xiàn)的距離為d，依據(jù)幾何關(guān)系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.【詳解】，圓心M(1，3)，半徑r＝，過(guò)定點(diǎn)E(2,1)，過(guò)定點(diǎn)E(2,1)，且⊥，如圖，設(shè)AC和BD中點(diǎn)分別為F、G，則四邊形EFMG為矩形，設(shè)，，則，則＝，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：.16.已知，，，成等比數(shù)列，且.若，則___________（填“>”或“<”）；___________（填“>”或“<”）【答案】①.>②.<【解析】【分析】依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，推斷出，得到，求出.對(duì)q進(jìn)行分類(lèi)探討：和不合題意沖突，得到，即可比較大小.【詳解】因?yàn)?，所?記，則.令，得：；令，得：；函數(shù)在上單增，在上單減，所以對(duì)隨意，都有，即恒成立，所以，即，所以，所以.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，則，，與題意沖突，故舍去；當(dāng)時(shí),則,即.又,所以,與題意沖突,故舍去；所以,從而,即；,故，即.故答案為：>,<【點(diǎn)睛】數(shù)列中比較大小的方法：（1）依據(jù)通項(xiàng)公式，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；（2）利用作差法（作商法）比較.三?解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且的面積.（1）求B；（2）若a?b?c成等差數(shù)列，的面積為，求b.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形面積公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)已知式子可求得B；（2）由a?b?c成等差數(shù)列，可得，再由的面積為，可得，然后利用余弦定理可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】∵，∴，即，∵，∴.【小問(wèn)2詳解】∵??成等差數(shù)列，∴，兩邊同時(shí)平方得：，又由（1）可知：，∴，∴，，由余弦定理得，，解得，∴18.如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線(xiàn)和平面所成角的正弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過(guò)平面ABCD的一個(gè)法向量與的數(shù)量積為0，即得結(jié)論；（2）通過(guò)設(shè)，利用平面ABCD的一個(gè)法向量與的夾角的余弦值為，計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】（1）證明：由題意以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：因?yàn)椋?，由勾股定理得等腰底邊上的高?，依題意可得，，，，，，，.又因?yàn)?，分別為和的中點(diǎn)，所以，，依題意，可得為平面的一個(gè)法向量，，由此可得，又因?yàn)橹本€(xiàn)平面，所以平面；（2）解：依題意，可設(shè)，其中，則，從而，又為平面的一個(gè)法向量，由已知得，整理得，又因?yàn)?，解?所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與平面平行和垂直、二面角、直線(xiàn)與平面所成的角等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，屬于中檔題.19.已知雙曲線(xiàn)的離心率等于，且點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上.（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）若雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，P為雙曲線(xiàn)右支上隨意一點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）（2）-4【解析】【分析】（1）干脆由離心率和點(diǎn)代入雙曲線(xiàn)求得即可；（2）先表示出，再通過(guò)點(diǎn)P橫坐標(biāo)的范圍求出最小值.【小問(wèn)1詳解】依題又，所以，，故雙曲線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】由已知得，，設(shè)，于是，，因此，由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，為.20.某商場(chǎng)擬在年末進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特殊推出“玩嬉戲，送禮券“的活動(dòng)，嬉戲規(guī)則如下：每輪嬉戲都拋擲一枚質(zhì)地勻稱(chēng)的骰子（形態(tài)為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪嬉戲，若累計(jì)得分為19分，則嬉戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為20分，則嬉戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪嬉戲．（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪嬉戲時(shí)，總分為X，求X的期望；（2）若累計(jì)得分為i的概率為，（初始得分為0分，）．①證明數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；②求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率．【答案】（1）5；（2）①證明見(jiàn)解析；②．【解析】【分析】（1）由題意可知每輪嬉戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，而每輪嬉戲的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)進(jìn)行完3輪嬉戲時(shí)，得1分的次數(shù)為，所以，，即可求出X的期望；（2）①依據(jù)累計(jì)得分為i的概率為，分兩種情形探討得分狀況，從而得到遞推式，再依據(jù)構(gòu)造法即可證出數(shù)列是等比數(shù)列；②依據(jù)①可求出，再依據(jù)累加法即可求出，然后由從而解出．【詳解】（1）由題意可知每輪嬉戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，設(shè)進(jìn)行完3輪嬉戲時(shí)，得1分的次數(shù)為，所以，，而，即隨機(jī)變量X可能取值為3，4，5，6，，，，．∴X的分布列為：X3456PE（X）＝＝5．（2）①證明：n＝1，即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2點(diǎn)，，則，累計(jì)得分為i分的狀況有兩種：（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累計(jì)得i﹣2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過(guò)2點(diǎn)，其概率為，（Ⅱ）累計(jì)得分為i﹣1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒(méi)超過(guò)2點(diǎn)，得1分，其概率為，∴，∴，（i＝2，3，???，19），∴數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項(xiàng)為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列．②∵數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項(xiàng)為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列，∴，∴，，???，，各式相加，得：，∴，（i＝1，2，???，19），∴活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為：．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)解題關(guān)鍵是明確得1分的次數(shù)為聽(tīng)從二項(xiàng)分布，從而找到所求變量與的關(guān)系，列出分布列，求得期望；其次問(wèn)①主要是遞推式的建立，分析推斷如何得到分的狀況，進(jìn)而得到，利用數(shù)列學(xué)問(wèn)即可證出，②借由①的結(jié)論，求出，分析可知，從而解出．21.已知函數(shù)，.（1）若，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）設(shè)函數(shù)在上的最大值和最小值分別為和，若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）干脆求導(dǎo)后得到，干脆寫(xiě)出切線(xiàn)即可；（2）干脆求導(dǎo)確定單調(diào)性，端點(diǎn)作差確定最大值，得到不等式，結(jié)合單調(diào)性求解即可.【小問(wèn)1詳解】若，，，因，，所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意知，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.則在上的最小值為，最大值為，所以，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由，可得，即的取值范圍是.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)與曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).（Ⅰ）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為，設(shè)直線(xiàn)與