遼寧省大連市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中

Page18一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先推斷出為奇數(shù)集，為整數(shù)集，從而可推斷兩者之間的關(guān)系.【詳解】∵集合，故為奇數(shù)集.而，故為整數(shù)集，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的包含關(guān)系，一般依據(jù)集合元素的特征確定出兩個(gè)集合的包含關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題.2.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求抽象函數(shù)的定義域，只須要牢記對(duì)應(yīng)法則括號(hào)中的式子取值范圍相同即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)于，括號(hào)中的取值范圍即的取值范圍，即，所以對(duì)于，有，得，故的定義域?yàn)?故選：C3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】全稱命題的否定為特稱命題，改變規(guī)則為變量詞，否結(jié)論.【詳解】由命題：，得其否定為：.故選：C.4.已知f(x)＝│x│，g(x)＝x2，設(shè)則函數(shù)h(x)大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)＝│x│，g(x)＝x2的圖象，可得選項(xiàng).【詳解】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)＝│x│，g(x)＝x2的圖象，又因?yàn)橐罁?jù)圖象可知D選項(xiàng)正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的定義，函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】先分別系數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，證得是奇函數(shù)，由此得到，從而得到.【詳解】因?yàn)?，令，則，又的定義域?yàn)?，所以是奇函?shù)，故的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，又因?yàn)?，所以，?故選：C.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由兩個(gè)不等式，和代入數(shù)據(jù)即可正推，反推舉反例，則無法反推，即可得到答案.【詳解】由不等式,，則，，當(dāng)，即或者等號(hào)成立.由不等式,，則，，當(dāng)，即或者等號(hào)成立.故，故前者能推出后者，假設(shè)，滿意，但，故后者無法推出前者，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.定義：表示不大于的最大整數(shù)，如，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用常數(shù)分別法得到，再結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性，分類探討與兩種狀況下的值域，從而求得的值域.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，則，故，即，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，則，故，即，所以；綜上：.故選：C.8.設(shè)函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)隨意的，當(dāng)時(shí)，都有，則的最大值為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由條件可知在上單調(diào)遞增，再由的解析式分類探討與，可得的單調(diào)性，結(jié)合圖像即可求得的最大值.【詳解】依題意，不妨設(shè)，且，則，則由得，即，則，令，則在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，則開口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則開口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，由此的圖像如圖，所以由圖可知，，故的最大值為1.故選：B..二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，對(duì)a、b的符號(hào)分類探討，結(jié)合作差法推斷；對(duì)BCD，由不等式的性質(zhì)推斷【詳解】對(duì)A，當(dāng)或或，則；當(dāng)或，則，即，A對(duì)；對(duì)BC，，∴，，B對(duì)C錯(cuò)；對(duì)D，，∴，D對(duì)；故選：ABD10.已知函數(shù)，則（）A.在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)C.有兩個(gè)零點(diǎn) D.的圖像與直線無交點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，舉反例解除即可；對(duì)于B，利用奇偶性的推斷方法推斷即可；對(duì)于C，利用干脆法，求得的解的個(gè)數(shù)即可；對(duì)于D，聯(lián)立方程，有解即為有交點(diǎn)，無解即為無交點(diǎn).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，即，而，故在其定義域內(nèi)并不單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且有，所以是奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，令，即，解得，故有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，聯(lián)立，整理得，明顯無解，故的圖像與直線無交點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.11.已知為正數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，將題設(shè)式子化為，結(jié)合可得；對(duì)于B，令，可求得，滿意題設(shè)條件，由此可推斷B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，利用換元法及基本不等式可推斷CD正確.【詳解】對(duì)于A，由得，即，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；對(duì)于B，令，得，解得，明顯滿意題設(shè)條件，故不恒成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A得，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，故D正確.故選：ACD.12.已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對(duì)于隨意，均有，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)題意以換，然后求得函數(shù)的解析式，依據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合其單調(diào)性，逐一推斷即可得到結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，若對(duì)于隨意，均有，則是一個(gè)常數(shù)以換，得則，所以，所以，且在遞減，故A錯(cuò)誤;因?yàn)?，則，即，故B正確；因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即，故C正確；因?yàn)楫?dāng)，，且在遞減，即，故D錯(cuò)誤故選:BC三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)值集合為______．【答案】【解析】【分析】由得到，則的子集有，，，，分別求解即可.【詳解】因?yàn)?，故；則的子集有，，，，當(dāng)時(shí)，明顯有；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)，不存在，所以實(shí)數(shù)的集合為；故答案為．14.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，若，則不等式的解集為__________.【答案】或【解析】【分析】依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到在上單點(diǎn)遞增，，然后分和兩種狀況解不等式.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)解為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)的解為，所以的解集為或.故答案為：或15.已知且，則的最小值等于__________.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】因?yàn)榍?，所以，?dāng)且僅當(dāng)且，即，等號(hào)成立，故的最小值等于.故答案為：.16.已知函數(shù)與的圖像上不存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先由待定系數(shù)法求得關(guān)于軸對(duì)稱的直線，再假設(shè)存在，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得的值域，從而求得存在時(shí)的取值范圍，由此求得不存在是的取值范圍.【詳解】任取上兩點(diǎn)，它們關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為，設(shè)關(guān)于軸對(duì)稱的直線為，則，解得，故對(duì)稱直線為，假設(shè)與的圖像上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則與有交點(diǎn)，聯(lián)立，消去，得，令，則，即的取值范圍與的值域相同，因開口向下，對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞遞，故，又，故，所以，即，所以當(dāng)函數(shù)與的圖像上不存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)時(shí)，.故答案為：.四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程和演算步驟.17已知集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）設(shè)命題，命題，若是的充分條件，求的取值范圍.【答案】（1）；.（2）【解析】【分析】（1）求出集合A、B，進(jìn)而求出；（2）由是的充分條件，列不等式組求出的取值范圍.【小問1詳解】.當(dāng)時(shí)，或，所以.所以；.【小問2詳解】因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以.因?yàn)?，所?而，所以i.當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)集合,滿意，符合題意；ii.當(dāng)或時(shí)，或.要使，只需或者，均無解.綜上所述：的取值范圍為.18.已知函數(shù)，不等式的解集為.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）分類探討解不等式即可；（2）利用基本不等式求最值即可.【小問1詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上所述，或.【小問2詳解】由（1）得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.19.定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的解析式；（2）探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）先利用奇偶性得到，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，從而利用奇偶性求解析式的方法求得的解析式；（2）構(gòu)造函數(shù)，可知不是的零點(diǎn)，從而將問題轉(zhuǎn)化為探討與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖像可得探討結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故的對(duì)稱軸為，又由可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸也為，所以，得，故，當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知；綜上：.【小問2詳解】由（1）可知，令，易知不是的零點(diǎn)，令，此時(shí)，則問題轉(zhuǎn)化為：探討當(dāng)時(shí)，方程，即的解的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程，即的解的個(gè)數(shù)，令，，則問題再次轉(zhuǎn)化為探討與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，其圖像大致如圖，結(jié)合兩個(gè)圖像可知，(i)當(dāng)，即時(shí)，與的圖像有一個(gè)交點(diǎn)；(ii)當(dāng)，即時(shí)，與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)；(iii)當(dāng)，即時(shí)，與的圖像有三個(gè)交點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)..20.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.（1）求的值，并推斷的單調(diào)性（不必證明）；（2）設(shè)為正數(shù)，函數(shù)，若對(duì)于隨意，總存在，使得成立，求的最大值.【答案】（1），，單調(diào)遞增；（2）.【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，然后再依據(jù)求，最終利用單調(diào)性的定義推斷單調(diào)性即可；（2）將不等式恒成立存在問題轉(zhuǎn)化為最值問題，然后分別求出，的最小值即可.【小問1詳解】因?yàn)闀r(shí)定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，則，又，則，解得，所以，在定義域內(nèi)單調(diào)增.【小問2詳解】因?yàn)閷?duì)隨意，總存在，使，所以，由（1）得，，當(dāng)時(shí)，在出取得最小值，在，即處取得最小值，所以，所以，解得.所以的最大值為.21.記函數(shù)在的最小值為函數(shù).（1）求的解析式；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)軸定區(qū)間動(dòng)，分類探討，與三種狀況，即可得到的解析式；（2）先推斷得的關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，再求得取得最小值時(shí)，的取值范圍，由此得到或，解之即可得到的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)椋蚤_口向上，對(duì)稱軸為，(i)當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以；(ii)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；(iii)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以；綜上：.【小問2詳解】由（1）可得，，所以函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，且取得最小值時(shí)，，因?yàn)椋裕╥），解得，或(ii)，解得，綜上：，即..22.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)于隨意滿意.（1）證明：為奇函數(shù)；（2）設(shè)，若有三個(gè)零點(diǎn)，且存在使在單調(diào)遞增.（i）證明：；（ii）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）先利用賦值法得到，再得到，由此證得結(jié)論；（2）（i）利用反證法，結(jié)合（1）中結(jié)論推得至多只有一個(gè)零點(diǎn)，沖突即可；（ii）利用反證法，先證得，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理證得在上必為即可.【小問1詳解】因?yàn)閷?duì)